TEMA SISTEMAS DE ECUACIONES

Profesor: Juan Sanmartín

Matemáticas

Sistemas Lineales Método Sustitución Método Igualación Método Reducción.

Recursos subvencionados por el…

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones, en este caso despejaremos x en la primera ecuación dejándola en función de y.

443

32

yx

yx

44332

yxyx

yx 23

Una vez despejada, se sustituye el valor de x en la segunda ecuación.

yxyx 2332

443 yx 44233 yy

4469 yy 5109446 yyy

Obtenemos una ecuación de primer grado en función de y.

21

y

2132123

x

21

2

y

x

Una vez obtenida y, resolvemos el valor de x mediante la ecuación en la que anteriormente despejamos la y

Resultado. (indicamos el resultado)

510 y21

105

y

yx 23

MÉTODO DE IGUALACIÓN

253

7510

532

5107

532

1057

yx

yx

yx

yx

yx

yx

532

1057

yx

yx

53751022

537

510

yyyy

Despejamos la misma incógnita en cada una de las ecuaciones, en este caso despejamos la x

Igualamos ambas incógnitas despejadas, ya que al ser la misma x, tiene que se igual

5

7035

75510

7510

yx

5

210

2553

253

yx

5

5

y

x

2035211035211020 yyyy

511555511

yy

Obtenemos una ecuación de primer grado en función de y

Obtenemos el valor de x por cualquiera de estas dos expresiones

Resultado

MÉTODO DE REDUCCIÓNReducimos ambas expresiones, restando ambas de forma que una de las incógnitas desaparezca, para ello podemos multiplicar cada expresión por un número entero.

932

1553

yx

yx

9323

1553)2(

yx

yx

319575719

yy

57190

2796

30106

yx

yx

yx

9321553

yxyx

0190019 xx

3

0

y

x

9325

15533

yx

yx

0019

451510

45159

yx

yx

yx

Resultado

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones, en este caso despejaremos y en la primera ecuación dejándola en función de x.

42xy

Una vez despejada, se sustituye el valor de y en la segunda ecuación.

y42x

53 yx 542x3x 5126xx

5126 xx

42

53yxyx

42

53yxyx Para no tener problemas con el signo

paso la y a la derecha para despejarla.

77 x77

x 1 1x

Una vez obtenida x, resolvemos el valor de y mediante la ecuación en la que anteriormente despejamos la y

1x

y42x

42

53yxyx

42xy 412y 2y

1x

2y

42

53yxyx

4212

5231Solución

Comprobación

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Despejamos la misma incógnita en cada una de las ecuaciones, en este caso despejamos la y

Igualamos ambas incógnitas despejadas, ya que al ser la misma y, tiene que se igual

yx

yx26

1735

yx

yx26

1735

yx

xy26

5173

263

517

xy

xy

3517

26 xx

251763 xx

xx 1034183 1834103 xx 5213 x

1352

x 4 4x

Obtenemos el valor de y por cualquiera de estas dos expresiones

4x

4x

3517 xy

26

xy

3

4517

33

32017

1

2

64 1

22

4x

1y

SoluciónComprobación

yx

yx26

1735

1264

171345

Obtenida la incógnita x vamos a proceder a obtener la incógnita y

Tiene que dar el mismo resultado, en caso contrario estaría mal.

MÉTODO DE REDUCCIÓNReducimos ambas expresiones, restando ambas de forma que una de las incógnitas desaparezca, para ello podemos multiplicar cada expresión por un número entero.

1332

112)2(

yxyx

357 y

357013322242

yxyxyx

1332112

yxyx

Comenzamos con la x, los coeficientes son múltiplos entre si, podemos reducir la x multiplicando la ecuación superior por (-2). El signo negativo nos sirve para poder restar y que desaparezca la x.

735

y5y

5

77 x

13322

1123

yxyx

70726643363

yxyxyx

1332112

yxyx

77

x 1

1x

5y

SoluciónComprobación

1332112

yxyx

13531211521

En el caso de la y, los coeficientes no son múltiplos entre si. Multiplicamos la ecuación de arriba por el coeficiente de abajo y viceversa. Como tienen signo distinto no tenemos que cambiárselo a ningún factor de multiplicación.

Reducimos ambas expresiones hasta obtener un sistemas lineal de dos ecuaciones igual que los anteriores.

323

232yx

yyxx

323

232yx

yyxx

618

63

62

2322yx

yyxx

18322322

yxyyxx

183225

yxyx

Sistema

Operamos los paréntesis en la ecuación superior y calculamos denominador común en la inferior.

Agrupamos términos de x e y Y tenemos el sistema que queremos resolver

MÉTODO DE SUSTITUCIÓNDespejamos una incógnita en una de las ecuaciones, en este caso despejaremos x en la primera ecuación dejándola en función de y.

yx 52

Una vez despejada, se sustituye el valor de y en la segunda ecuación.

x5y2

1832 yx 1835y-22 y 183104 yy

Para no tener problemas con el signo paso la x a la derecha para despejarla.

147 y7

14

y 2 2y

183225

yxyx

183225

yxyx

418310 yy

Una vez obtenida y resolvemos el valor de x mediante la ecuación en la que anteriormente despejamos la x

2y

21x

12x

2y

Solución

x5y2

183225

yxyx

yx 52 252 x 102

113

52

27

2315

yxyx

yxx

333

310223

621

63552

yxyx

yxx

Reducimos ambas expresiones hasta obtener un sistemas lineal de dos ecuaciones sencillo que después resolvemos

113

1022

27

2355

yxyx

yxx

333

33066

621

6331010

yxyx

yxx

113

52

27

2315

yxyx

yxx

Operamos los paréntesis

Obtenemos denominador común. Operamos

33306621331010

yxyxyxx

34340214935551535

yxyxyx

303375102137

yxyx

3751137

yxyx

3434

y

Una vez eliminados los denominadores en los dos lados del igual nos queda… Agrupando las incógnitas

3757

1137)5(

yxyx

3434 y

En este caso, los coeficientes de x e y no son múltiplos entre si. Multiplicamos la ecuación de arriba por el coeficiente de abajo y viceversa. Como tienen el mismo signo tenemos que cambiar el signo a un factor de multiplicación para poder restar

1

1y

Método de Reducción

6803492115772149

yxyxyx

6834 x

Ahora con la y hacemos lo mismo

3751137

yxyx

37531137)7(

yxyx

3468

x 2

2x

1y

Solución

FIN DE TEMA

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