SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZOFACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIN HUMANAS Y TECNOLOGICASCARRERA DE BIOLOGIA QUMICA Y LABORATORIOASIGNATURA ALGEBRA TEMA: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALESSEMESTRE: SEGUNDOPROFESORA: ING. NARCISA SANCHEZESTUDIANTES:CARRILLO CARLALLAMUCA JACQUELINEMERINO ALEXIS

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

DEFINICINDE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.Es un conjunto finito de ecuaciones lineales de las variablesX1, X2,. . . . . . . . . XnPor ejemplo un, sistema general de tres ecuaciones lineales en tres incgnitas se escribe as:

Es una ecuacin algebraica lineal en las variables X1, X2, X3, ... , Xn. Se admite que los coeficientes a11, a12, a13, ... , a1n y el trmino independiente C1, son constantes reales.

Clasificacin De Los Sistemas De Ecuaciones Lineales.Clasificacin de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solucionesUna ecuacin lineal es una ecuacin algebraica que contiene variables cuyo mximo grado posible es uno. Tales ecuaciones se utilizan normalmente para definir lneas rectas.Cuando tenemos numerosas ecuaciones lineales, donde sus posibles soluciones nos dan un punto de solucin, las llamamos como conjunto, sistema de ecuaciones lineales.Generalmente, un sistema de ecuaciones lineales se convierte en forma de matriz por conveniencia para su solucin. Sea un sistema de ecuaciones lineales dado comox + y z = 13x 2y + z = 34x + y 2z = 9A continuacin se indica la forma matricial del sistema de la ecuacin como,Existen tres tipos de sistemas de ecuaciones lineales posibles, los cuales dependen del punto de interseccin de la ecuacin lineal en un determinado sistema de ecuacin. Estos son:1. Inconsistente independiente: Si las ecuaciones del sistema dado vienen a ser las mismas rectas que difieren en su pendiente, entonces tal sistema de ecuaciones lineales es llamado consistente y dependiente.Este sistema de ecuaciones lineales no proporciona una solucin dado que todas las rectas son paralelas entre s y no pueden cumplir con los dems, incluso si se extiende hasta el infinito, por lo que nunca se obtiene un punto de interseccin, y por tanto, no puede obtenerse ninguna solucin.

2. Consistente dependiente:Si todas las ecuaciones en un sistema de ecuaciones lineales calculan la misma recta en un pedazo de papel milimetrado, de manera que todas las rectas se superpongan unas sobre otras, podemos llamar a tal sistema de ecuaciones como un sistema de ecuaciones lineales inconsistente e independiente.En este caso obtenemos un nmero infinito de soluciones porque todos los puntos por encima de la recta son puntos de interseccin.

3. Consistente independiente: Este es el sistema ms general de las ecuaciones lineales, donde tenemos un nmero de rectas que se interceptan en un solo puntoel cual es la nica solucin para el sistema de ecuaciones, y denominamos a tal sistema de ecuaciones consistente e independiente.

Adems de esto tambin tenemos tres categoras de posibles soluciones para un determinado sistema de ecuaciones lineales. Estas son:1. Solucin Independiente: La solucin independiente es la solucin nica para un sistema de ecuaciones lineales.Para un sistema de ecuacin, si aplicamos una operacin de transformacin de fila generalmente obtendremos una matriz de identidad.Una caracterstica nica de este tipo solucin es que se necesita disponer de tantos nmeros de ecuaciones como variables en el sistema dado.Si este requisito no se cumple, no podemos obtener una solucin independiente.Al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos una solucin nica para cada una de las tres variables como x = 3, y = 1 y z = 2

2. Solucin Dependiente: La solucin dependiente es aquella por medio de la cual se obtienen numerosas soluciones para una sola variable, este es el caso de las soluciones mltiples.Para este sistema de ecuaciones, si aplicamos la operacin de transformacin de fila generalmente obtendremos pocos trminos de cero.Usualmente, es el caso donde el nmero de variables es mayor que el nmero de ecuaciones en el sistema. Muchas veces este sistema contiene una fila cero.La solucin del sistema es x = 4 - 3t, y = 3 + 2t, z = t.

3. Solucin Inconsistente: La solucin es inconsistente, cuando no obtenemos ninguna solucin para el sistema de ecuaciones lineales.No tenemos una solucin para el sistema de ecuaciones anteriores. MTODOS DE SOLUCIN PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

SustitucinEl mtodo de sustitucin consiste en despejar en una de las ecuaciones con cualquier incgnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuacin sustituirla en otra ecuacin por su valor.En caso de sistemas con ms de dos incgnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuacin y una incgnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este mtodo reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitucin este sistema:{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3x&+y&=&22\\4x&-3y&=&-1\end{matrix}}\right.}En la primera ecuacin, seleccionamos la incgnita{\displaystyle y}por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite ms las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuacin.{\displaystyle y=22-3x}El siguiente paso ser sustituir cada ocurrencia de la incgnita{\displaystyle y}en la otra ecuacin, para as obtener una ecuacin donde la nica incgnita sea la{\displaystyle x}.{\displaystyle 4x-3(22-3x)=-1\qquad \Rightarrow 4x-66+9x=-1\qquad \Rightarrow 13x-66=-1,\qquad \Rightarrow 13x=65}Al resolver la ecuacin obtenemos el resultado{\displaystyle x=5}, y si ahora sustituimos esta incgnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos{\displaystyle y=7}, con lo que el sistema queda ya resuelto.

Igualacin.El mtodo de igualacin se puede entender como un caso particular del mtodo de sustitucin en el que se despeja la misma incgnita en dos ecuaciones y a continuacin se igualan entre s la parte derecha de ambas ecuaciones.Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el mtodo de sustitucin, si despejamos la incgnita{\displaystyle y}en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}y=&22-3x\\y=&{\cfrac {4x+1}{3}}\end{matrix}}\right.}Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas tambin son iguales entre s.{\displaystyle 22-3x={\frac {4x+1}{3}}\Rightarrow \quad \ 3(22-3x)=4x+1\Rightarrow \quad \ 65=13x\Rightarrow \quad \ x=5}Una vez obtenido el valor de la incgnita{\displaystyle x}, se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la{\displaystyle y}.La forma ms fcil de tener el mtodo de sustitucin es realizando un cambio para despejar x despus de averiguar el valor de la y.

ReduccinEste mtodo suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseado para sistemas con dos ecuaciones e incgnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, medianteproductos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incgnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuacin, se suman ambas ecuaciones producindose as la reduccin o cancelacin de dicha incgnita, obteniendo as una ecuacin con una sola incgnita, donde el mtodo de resolucin es simple.

Por ejemplo, en el sistema:{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}2x&+3y&=5\\5x&+6y&=4\end{matrix}}\right.}No tenemos ms que multiplicar la primera ecuacin por{\displaystyle -2}para poder cancelar la incgnita{\displaystyle y}. Al multiplicar, dicha ecuacin nos queda as:{\displaystyle -2(2x+3y=5)\quad \longrightarrow \quad -4x-6y=-10}Si sumamos esta ecuacin a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuacin donde la incgnita{\displaystyle y}ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incgnita{\displaystyle x}:{\displaystyle {\begin{array}{rrcr}-4x&-6y&=&-10\\5x&+6y&=&4\\\hline x&&=&-6\end{array}}}{\displaystyle x=-6}El siguiente paso consiste nicamente en sustituir el valor de la incgnita{\displaystyle x}en cualquiera de las ecuaciones donde aparecan ambas incgnitas, y obtener as que el valor de{\displaystyle y}si sustituimos en la primera ecuacin es igual a:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{rrcr}2x&+3y&=&5\\x&&=&-6\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad 2(-6)+3y=5\quad \longrightarrow \quad y={\frac {17}{3}}}Mtodo grfico

Rectasque pasan por el punto: (2,4)Consiste en construir la grfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El mtodo (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensin.El proceso de resolucin de un sistema de ecuaciones mediante el mtodo grfico se resuelve en los siguientes pasos:1. Se despeja la incgnita en ambas ecuaciones.2. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes.3. Se representan grficamente ambas rectas en los ejes coordenados.4. En este ltimo paso hay tres posibilidades:1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los nicos valores de las incgnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solucin en los reales pero si en los complejos.Mtodo de GaussEl mtodo de eliminacin de Gauss o simplemente mtodo de Gauss consiste en convertir un sistema lineal denecuaciones connincgnitas, en uno escalonado, en el que la pr