Aplicación de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de
Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
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Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales J. Albizuri, J.J. Anza, C. Bastero y M. Martínez -Nebreda INTRODUCCIÓN Este tema está dedicado a la discusión de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas. Dichos sistemas aparecen en problemas que tienen relación con varias variables dependientes que son función de la misma variable independiente. Por ejemplo, las leyes de Newton. donde m es la masa de la partícula, (x 1 , x 2 , x 3 ) son sus coordenadas espaciales y F 1 , F 2 , F 3 las componentes de la fuerza actuante sobre la partícula en dicha posición, que pueden ser función de la posición, de la velocidad y del tiempo. Hay una importante conexión entre los sistemas de ecuaciones y las ecuaciones de orden arbitrario. De hecho una ecuación de orden n (1) puede ser reducida a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden con una forma bastante particular. Para verlo se va a efectuar los siguientes cambios de variables, llamando ...
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Este tema está dedicado a la discusión de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas. Dichos sistemas aparecen en problemas que tienen relación con varias variables dependientes que son función de la misma variable independiente.
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Sistemas de Ecuaciones Diferenciales LinealesJ. Albizuri, J.J. Anza, C. Bastero y M. Martnez -Nebreda
INTRODUCCINEste tema est dedicado a la discusin de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias simultneas. Dichos sistemas aparecen en problemas que tienen relacin con varias variables dependientes que son funcin de la misma variable independiente.Por ejemplo, las leyes de Newton.
donde m es la masa de la partcula, (x1, x2, x3) son sus coordenadas espaciales y F1, F2, F3las componentes de la fuerza actuante sobre la partcula en dicha posicin, que pueden ser funcin de la posicin, de la velocidad y del tiempo.Hay una importante conexin entre los sistemas de ecuaciones y las ecuaciones de orden arbitrario. De hecho una ecuacin de orden n(1)
puede ser reducida a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden con una forma bastante particular. Para verlo se va a efectuar los siguientes cambios de variables, llamando
...
Entonces se puede reescribir (1) como
...
que es un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden.En el caso ms general un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden tiene tiene la forma:
...
Antes de proseguir ser necesario establecer en qu caso hay solucin del sistema y si sta es nica. Para ello, se enuncia el siguiente teorema:TeoremaSean continuas en una regin R del espacio (n+1) dimensionallas funciones
y tal que dicha regin contiene el punto. Entonces existe un intervaloen el que hay solucin nica de la forma:
...
del sistema de ecuaciones diferenciales que satisface la condicin
...
Nota.- Es importante saber que este teorema da las condiciones suficientes para que haya solucin, sin embargo, no establece las necesarias. Es decir, las condiciones son muy restrictivas y puede encontrarse un sistema que sin cumplirlas totalmente tenga solucin nica.Los sistemas se clasifican como las ecuaciones ordinarias. Pueden ser lineales y no lineales. Si las funcionestienen la forma
el sistema se dice lineal. Si no, es no lineal. Sies cero en todas y cada una de las ecuaciones, el sistema se dice homogneo; en caso contrario, no homogneo.Para los sistemas lineales el teorema de existencia y unicidad de solucin es ms simple y con una conclusin ms amplia. Es un teorema de existencia de solucin global, como en el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias.Si las funcionesyson continuas en el intervalo abierto< t
