ecuaciones sistemas de ecus lineales

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  • 1. Tema 3 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones lineales

2. Ecuaciones Una ecuacin es una igualdad entre dos expresiones en la que aparecen nmeros y letras ligados por operaciones. Las letras representan cantidades indeterminadas, y se llaman incgnitas. Una igualdad que es cierta para cualquier valor de las variables es una identidad. 3x2 18x + 19 = 12x 29 Incgnita Igualdad 1er miembro 2o miembro 3. x+2 = 3x = 7 es solucin de ya que 7+2 = 3 x+2 = 3x = 1 no es solucin de ya que 1+2 3 Qu es una solucin de una ecuacin? 4. Ecuaciones polinmicas: 2x3 +5x = 5 2 grado 3: una incgnita x+5 = x+7 grado 1: una incgnita Ecuaciones radicales: Ecuaciones logartmicas: Ecuaciones exponenciales: 2x3 +5x = 3 x+5 = x+7 2 + log x = 5 log x2 + log x = 6 2x = 8 3x + 6 15 xx = 27 Ecuaciones con una incgnita 5. Cuntas soluciones puede tener una ecuacin? Ecuaciones sin solucin incompatibles Ecuaciones con solucin compatibles Ecuaciones con las mismas soluciones equivalentes 6. ax2 + bx+ c = 0 ax2 + bx+ c = 0 con a 0 Se multiplica por 4a: 4a2 x2 +4abx+4ac = 0 Se suma b2 : 4a2 x2 +4abx+4ac = 0 4a4a 4a + b2 + b2 4a2 x2 +4abx+4ac + b2 = b2 Se resta 4ac: 4a2 x2 +4abx+ b2 = b2 4ac Se factoriza: (2ax + b)2 = b2 4ac Ecuaciones de segundo grado (I) 7. Se despeja la incgnita: 2ax+b = b2 4ac 2ax+b = b2 4ac x = b + b2 4ac 2a x = b b2 4ac 2a x = b b2 4ac 2a Ecuaciones de segundo grado (II) 8. Interpretacin geomtrica de las soluciones de una ecuacin de 2 grado Las ecuaciones polinmicas de segundo grado, tambin llamadas cuadrticas, son equivalentes a ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 con a 0 Soluciones: estas ecuaciones pueden tener dos, una o ninguna solucin. Interpretacin geomtrica: un polinomio de segundo grado est representado por una parbola. Segn la parbola corte al eje X en dos, uno o ningn punto la ecuacin cuadrtica tendr dos, una o ninguna solucin. x2 + 1 = 0 tiene dos soluciones complejas: i. No tiene soluciones reales: la parbola no corta al eje x y = x2 +1 y = (x +2)2 (x + 2)2 = 0 tiene una solucin doble: 2. El polinomio tiene una raz real doble. La parbola corta al eje x en un punto x2 2 = 0 tiene dos soluciones. El polinomio tiene dos races reales distintas. La parbola corta al eje x en dos puntos X Y y = x2 2 9. Resolucin de ecuaciones por factorizacin Para encontrar las soluciones de x(x2 + x 2) = 5 (x2 + x 2) Se escribe en la forma P(x) = 0 Se factoriza P = R . S Se buscan las races de R y de S Las soluciones de la ecuacin son las races de R y las de S x(x2 + x 2) 5 (x2 + x 2) = 0 (x2 + x 2) . ( x 5) = 0 x2 + x 2 = 0 x = 1, x = 2 x 5 = 0 x = 5 Las soluciones de la ecuacin son x = 1, x = 2 y x = 5 10. Resolver a ecuacin x3 3x + 2 = 0 Posibles races enteras: {1, 1, 2, 2} Probamos para x = 1: 13 3.1+2 = 0 es solucin Dividimos el polinomio por x1, y factorizamos: x3 3x + 2 = (x1) (x2 +x2) Resolvemos la ecuacin x2 +x2 = 0 Obtenemos x=1; x = 2 Por tanto las soluciones de la ecuacin son: x = 1, x = 1, x = 2 Ecuaciones polinmicas con una raz entera 11. Resolucin de ecuaciones por sustitucin Para encontrar las soluciones de 4x4 5x2 + 1 = 0 Se sustituye la parte que se repite por t Se resuelve la ecuacin en t Se deshace el cambio Las soluciones de la ecuacin son 4t2 5t + 1 = 0 t = 1, t = 1/4 x2 =1 x = 1, x = 1 x2 = 1/4 x = 1/2, x = 1/2 x = 1, x = 1, x = 1/2, x = 1/2 12. Ecuaciones con radicales Para encontrar las soluciones de Se asla una de las races Se eleva al cuadrado Se asla la raz que queda Se eleva al cuadro y se resuelve la ecuacin (x + 3)2 = 16 x Soluciones: x = 1; x = 9 2x + 7 x = 2 2x + 7 = 2 + x 2x + 7 = 4 + 4 x + x 4 x = x + 3 Se comprueba si son soluciones En este caso x=1; x = 9 son soluciones de la ecuacin 13. Buscamos potencias de igual base 2x + 1 = 8 = 23 Igualamos exponentes: x + 1 = 3 Resolvemos la ecuacin: x = 2 Resolver 2x + 1 = 8 Ecuaciones exponenciales 14. Agrupamos logaritmos: log x3 = log 6 + log x2 log x3 = log (6 . x2 ) x3 = 6 . x2 Resolvemos la ecuacin x3 6x2 = 0 Obtenemos x=0; x = 6 Probamos las soluciones: slo es vlida x = 6 log x3 = log 6 + 2 log x Ecuaciones logartmicas 15. Sistemas de ecuaciones. Solucin de un sistema 5x + y = 13 x + y = 1 Una solucin de este sistema: x = 3; y = 2. En este caso es nica X Y Interpretacin geomtrica: Cada igualdad del sistema representa una recta en el plano cartesiano. Una solucin de este sistema es un punto comn a ambas rectas 5x+y=13 x+y=1 (3, 2) 16. Se pueden aplicar a un sistema las mismas transformaciones que a una ecuacin: Si se suma o se resta el mismo nmero a los dos miembros de una ecuacin de un sistema, se obtiene un sistema equivalente Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuacin de un sistema por un mismo nmero distinto de cero, se obtiene un sistema equivalente Sistemas equivalentes. Sistemas lineales y no lineales Sistemas equivalentes: Dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones Sistemas lineales y no lineales: Si en un sistema todas la ecuaciones son polinmicas de grado 1, se dice que es un sistema de ecuaciones lineales. En caso contrario se dice que el sistema es no lineal. 17. Nmero de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales 5x + y = 13 x + y = 1 Es un sistema con solucin nica. x + y = 1 x + y = 2 Es un sistema sin solucin. 2x + 2y = 2 x + y = 1 Es un sistema con infinitas soluciones. X Y x + y = 1 5x + y = 13 X Y x + y = 1 x + y = 2 X Y x + y = 1 2x + 2y = 2 18. Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales: mtodo de Gauss x + y - 2z = 9 2x - y + 4z = 4 2x - y + 6z = -1 x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 - 3y + 10z = -19 x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 2z = -5 (1 ec) (2) + 2 ec (1 ec) (2) + 3 ec (2 ec) (1) + 3 ec x = 9+2-5 = 6 y = 20 -14 -3 = -2 z = -5 2 x = 6 y = -2 z = -5 2 Se despejan incgnitas hacia arriba x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 z = -5 2 19. Un sistema de ecuaciones lineales sin solucin x + y - 2z = 9 2x - y + 4z = 4 2x - y + 4z = -1 x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 - 3y + 8z = -19 x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 0 = -5 (1 ec) (2) + 2 ec (1 ec) (2) + 3 ec (2 ec) (1) + 3 ec La ecuacin 0 = 5 no puede satisfacerse y el sistema al que se ha llegado no tiene solucin. Como el sistema original es equivalente, tampoco tiene solucin. 20. Un sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones x + y - 2z = 9 2x - y + 4z = 4 2x - y + 4z = 4 x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 0 = 0 x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 (1 ec) (2) + 2 ec (1 ec) (2) + 3 ec La ecuacin 0 = 0 es siempre cierta y puede ser eliminada, obtenindose con ello un sistema equivalente al original. Al darle a z un valor cualquiera (por ejemplo z = 1), podemos obtener las otras incgnitas por sustitucin hacia arriba: y =2, x = 5. Ya tenemos una solucin: x= 5, y = 2, z = 1 Como a z se le puede dar cualquier valor concluimos que el sistema tiene infinitas soluciones 21. Sistemas de ecuaciones no lineales No hay un mtodo general que permita resolver todos los sistema de ecuaciones no lineales. Pueden tener cualquier nmero de soluciones, en nmero finito o infinito. Las ecuaciones del sistema pueden representar rectas o curvas: resolverlo es encontrar todos los puntos en comn a las rectas curvas que forman el sistema X Y El sistema tiene dos soluciones: x = 3, y = 4 x = 4, y = 3 Estas soluciones corresponden a las coordenadas de los dos puntos en comn que tienen la circunferencia x2 + y2 = 25, y la recta x + y = 7 x2 + y2 = 25 x + y = 7 Ejemplo Se despeja y de la segunda ecuacin y se sustituye en la primera. Se obtiene: x2 7x + 12 = 0 Al resolver: x=3, x = 4 Sustituimos estos valores de x en la segunda ecuacin y se obtiene: y = 4, y = 3 22. uaci one s Una inecuacin es una desigualdad entre dos expresiones en la que aparecen nmeros y letras ligados por operaciones. Las desigualdades pueden ser de cualquiera de los tipos: >, 12x 29 Incgnita Desigualdad 1er miembro 2o miembro 23. Inecuaciones equivalentes Dos inecuaciones son equivalentes si tienen la mismas soluciones. Transformaciones que conservan las soluciones de una inecuacin. Si se suma o resta el mismo nmero a los dos miembros de una inecuacin se obtiene una inecuacin equivalente. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuacin por un mismo nmero positivo se obtiene una inecuacin equivalente. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuacin por un mismo nmero negativo y se invierte la desigualdad se obtiene una inecuacin equivalente. Ejemplos: La inecuacin 3x2 18x + 19 > 12x 29 tiene una solucin para x = 1. x = 2 no es solucin de la inecuacin anterior. Una inecuacin equivalente a la anterior es x2 10 x + 16 > 0 24. Inecuaciones de primer grado Una desigualdad entre polinomios de primer grado es una inecuacin de primer grado. Puede ocurrir que: Se satisfagan para cualquier valor de la variable. No tengan solucin. Las que no estn en ninguno de los casos anteriores son equivalentes a inecuaciones de la forma: x < a, x > a, x a, o x a Ejemplos: 2x + 3 < 5x + 2 x > 1/3 1/3 Soluciones: (1/3,+) 3 2x < 5 2x 0 < 2 Como esto es siempre cierto, son son solucin todos los nmeros reales. Soluciones: ( ,+) 5 3x 2 3x 3 0 Como esto es siempre falso, la inecuacin no tiene solucin 25. Inecuaciones polinmicas Para resolverlas primero se transforma en una inecuacin en la que un miembro es 0 Despus se factorizan los polinomios resultantes y se estudia el signo del miembro no nulo que depender del signo de los factores. Ejemplo: 2x2 2x + 1 x2 + 2x 2 x2 4x + 3 0 (x 1) . (x 3) 0 x 1 x 3 (x 1)(x 3) + + + + + Soluciones: (, 1] [1, + ) 31 Los puntos que son solucin aparecen de color azul. 26. Inecuaciones racionales Para resolverlas primero se transforma en una inecuacin en la que un miembro es 0 Despus se factorizan los polinomios resultantes y se estudia el signo del miembro no nulo que depender del signo de los factores. Los ceros de los p