Tema 3

Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones lineales

Ecuaciones

• Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en la que aparecen números y letras ligados por operaciones. Las letras representan cantidades indeterminadas, y se llaman incógnitas.

• Una igualdad que es cierta para cualquier valor de las variables es una identidad.

3x2 – 18x + 19 = 12x – 29

Incógnita Igualdad

1er miembro 2o miembro

x+2 = 3x = 7 es solución de ya que 7+2 = 3

x+2 = 3x = 1 no es solución de ya que 1+2 3

¿Qué es una solución de una ecuación?

Ecuaciones polinómicas: 2x3+5x =

52 grado 3: una incógnita

x+5 = x+7 grado 1: una incógnita

Ecuaciones radicales:

Ecuaciones logarítmicas:

Ecuaciones exponenciales:

2x3+5x = 3x+5 = x+7

2 + log x = 5log x2 + log x = 6

2x = 83x + 6 15xx = 27

Ecuaciones con una incógnita

¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación?

Ecuaciones sin solución incompatibles

Ecuaciones con solución compatibles

Ecuaciones con las mismas soluciones equivalentes

ax2+ bx+ c = 0

ax2+ bx+ c = 0 con a 0

Se multiplica por 4a:

4a2x2+4abx+4ac = 0

Se suma b2: 4a2x2+4abx+4ac = 0

4a4a 4a

+ b2 + b2

4a2x2+4abx+4ac + b2 = b2

Se resta 4ac:4a2x2+4abx+ b2 = b2 – 4ac

Se factoriza: (2ax + b)2 = b2 – 4ac

Ecuaciones de segundo grado (I)

Se despeja la incógnita:

2ax+b = b2 – 4ac

2ax+b = – b2 – 4ac

x = –b + b2 – 4ac

2a

x = –b – b2 – 4ac

2a

x = –b b2 – 4ac

2a

Ecuaciones de segundo grado (II)

Interpretación geométrica de las soluciones de una ecuación de 2º grado

• Las ecuaciones polinómicas de segundo grado, también llamadas cuadráticas, son equivalentes a ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0 con a 0

Soluciones: estas ecuaciones pueden tener dos, una o ninguna solución. Interpretación geométrica: un polinomio de segundo grado está representado por una parábola. Según la parábola corte al eje X en dos, uno o ningún punto la ecuación cuadrática tendrá dos, una o ninguna solución.

x2 + 1 = 0 tiene dos soluciones complejas: i. No tiene soluciones reales: la parábola no corta al eje x

y = x2 +1 y = (x +2)2

(x + 2)2 = 0 tiene una solución doble: –2. El polinomio tiene una raíz real doble. La parábola corta al eje x en un punto

x2 –2 = 0 tiene dos soluciones. El polinomio tiene dos raíces reales distintas. La parábola corta al eje x en dos puntos

X

Y

y = x2 – 2

Resolución de ecuaciones por factorización

Para encontrar las soluciones de x(x2 + x – 2) = 5 (x2 + x – 2)

Se escribe en la forma P(x) = 0

Se factoriza P = R . S

Se buscan las raíces de R y de S

Las soluciones de la ecuaciónson las raíces de R y las de S

x(x2 + x – 2) – 5 (x2 + x – 2) = 0

(x2 + x – 2) . ( x – 5) = 0

x2 + x – 2 = 0 x = 1, x = –2 x – 5 = 0 x = 5

Las soluciones de la ecuación son x = 1, x = –2 y x = 5

Resolver a ecuación x3 – 3x + 2 = 0

• Posibles raíces enteras: {1, –1, 2, –2}

• Probamos para x = 1: 13–3.1+2 = 0 es solución

• Dividimos el polinomio por x–1, y factorizamos:

x3 – 3x + 2 = (x–1) (x2+x–2)

• Resolvemos la ecuación x2+x–2 = 0

• Obtenemos x=1; x = –2

Por tanto las soluciones de la ecuación son: x = 1, x = 1, x = –2

Ecuaciones polinómicas con una raíz entera

Resolución de ecuaciones por sustitución

Para encontrar las soluciones de 4x4 – 5x2 + 1 = 0

Se sustituye la parte que se repite por t

Se resuelve la ecuación en t

Se deshace el cambio

Las soluciones de la ecuación son

4t2 – 5t + 1 = 0

t = 1, t = 1/4

x2 =1 x = 1, x = – 1

x2 = 1/4 x = 1/2, x = – 1/2

x = 1, x = – 1, x = 1/2, x = – 1/2

Ecuaciones con radicales

Para encontrar las soluciones de

Se aísla una de las raíces

Se eleva al cuadrado

Se aísla la raíz que queda

Se eleva al cuadro y se resuelve la ecuación

(x + 3)2 = 16 xSoluciones: x = 1; x = 9

2x + 7 – x = 2

2x + 7 = 2 + x

2x + 7 = 4 + 4 x + x

4 x = x + 3

Se comprueba si son soluciones

En este caso x=1; x = 9 son soluciones de la ecuación

• Buscamos potencias de igual base

• 2x + 1 = 8 = 23

• Igualamos exponentes: x + 1 = 3

• Resolvemos la ecuación: x = 2

Resolver 2x + 1 = 8

Ecuaciones exponenciales

• Agrupamos logaritmos:

• log x3 = log 6 + log x2

• log x3 = log (6 . x2)

• x3 = 6 . x2

• Resolvemos la ecuación x3 – 6x2 = 0

• Obtenemos x=0; x = 6

• Probamos las soluciones: sólo es válida x = 6

log x3 = log 6 + 2 log x

Ecuaciones logarítmicas

Sistemas de ecuaciones. Solución de un sistema

5x + y = 13 x + y = 1

Una solución de este sistema: x = 3; y = –2. En este caso es única

X

Y

Interpretación geométrica:• Cada igualdad del sistema representa

una recta en el plano cartesiano.• Una solución de este sistema es un

punto común a ambas rectas

5x+y=13x+y=1

(3, –2)

Se pueden aplicar a un sistema las mismas transformaciones que a una ecuación:

• Si se suma o se resta el mismo número a los dos miembros de una ecuación de un sistema, se obtiene un sistema equivalente

• Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un mismo número distinto de cero, se obtiene un sistema equivalente

Sistemas equivalentes. Sistemas lineales y no lineales

Sistemas equivalentes: Dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones

Sistemas lineales y no lineales: • Si en un sistema todas la ecuaciones son polinómicas de grado 1,

se dice que es un sistema de ecuaciones lineales.• En caso contrario se dice que el sistema es no lineal.

Número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales

5x + y = 13 x + y = 1 Es un sistema con solución única.

x + y = 1x + y = 2 Es un sistema sin solución.

2x + 2y = 2 x + y = 1 Es un sistema con infinitas soluciones.

X

Y

x + y = 1

5x + y = 13

X

Y

x + y = 1 x + y = 2

X

Y

x + y = 12x + 2y = 2

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: método de Gauss

x + y - 2z = 92x - y + 4z = 42x - y + 6z = -1

x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 - 3y + 10z = -19

x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 2z = -5

(1ª ec) (–2) + 2ª ec(1ª ec) (–2) + 3ª ec

(2ª ec) (–1) + 3ª ec

x = 9+2-5 = 6

y = 20 -14

-3 = -2

z = -52

x = 6y = -2

z = -52

Se despejan incógnitas hacia arriba

x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14

z = -52

Un sistema de ecuaciones lineales sin solución

x + y - 2z = 92x - y + 4z = 42x - y + 4z = -1

x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 - 3y + 8z = -19

x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 0 = -5

(1ª ec) (–2) + 2ª ec(1ª ec) (–2) + 3ª ec

(2ª ec) (–1) + 3ª ec

La ecuación 0 = – 5 no puede satisfacerse y el sistema al que se ha llegado no tiene solución. Como el sistema original es equivalente, tampoco tiene solución.

Un sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones

x + y - 2z = 92x - y + 4z = 42x - y + 4z = 4

x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14 0 = 0

x + y - 2z = 9 - 3y + 8z = -14

(1ª ec) (–2) + 2ª ec(1ª ec) (–2) + 3ª ec

• La ecuación 0 = 0 es siempre cierta y puede ser eliminada, obteniéndose con ello un sistema equivalente al original. Al darle a z un valor cualquiera (por ejemplo z = –1), podemos obtener las otras incógnitas por sustitución hacia arriba: y =2, x = 5. Ya tenemos una solución: x= 5, y = 2, z = –1

• Como a z se le puede dar cualquier valor concluimos que el sistema tiene infinitas soluciones

Sistemas de ecuaciones no lineales• No hay un método general que permita resolver todos los sistema de ecuaciones no

lineales.• Pueden tener cualquier número de soluciones, en número finito o infinito.• Las ecuaciones del sistema pueden representar rectas o curvas: resolverlo es

encontrar todos los puntos en común a las rectas – curvas que forman el sistema

X

Y

• •

El sistema tiene dos soluciones: • x = 3, y = 4• x = 4, y = 3

Estas soluciones corresponden a las coordenadas de los dos puntos en común que tienen la circunferencia x2 + y2 = 25, y la recta x + y = 7

x2 + y2 = 25x + y = 7

Ejemplo• Se despeja y de la segunda ecuación y

se sustituye en la primera.• Se obtiene: x2 – 7x + 12 = 0• Al resolver: x=3, x = 4• Sustituimos estos valores de x en la

segunda ecuación y se obtiene: y = 4, y = 3

Inecuacione

s• Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones en la que

aparecen números y letras ligados por operaciones. Las desigualdades pueden ser de cualquiera de los tipos: >, <, , o

• Las letras representan cantidades indeterminadas, y se llaman incógnitas.• Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar las

incógnitas de manera que, al sustituirlos en la inecuación, la desigualdad sea cierta .

3x2 – 18x + 19 > 12x – 29

Incógnita Desigualdad

1er miembro 2o miembro

Inecuaciones equivalentes

• Dos inecuaciones son equivalentes si tienen la mismas soluciones.• Transformaciones que conservan las soluciones de una inecuación.

Si se suma o resta el mismo número a los dos miembros de una inecuación se obtiene una inecuación equivalente.

Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número positivo se obtiene una inecuación equivalente.

Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número negativo y se invierte la desigualdad se obtiene una inecuación equivalente.

Ejemplos:

• La inecuación 3x2 – 18x + 19 > 12x – 29 tiene una solución para x = 1.• x = 2 no es solución de la inecuación anterior.• Una inecuación equivalente a la anterior es x2 – 10 x + 16 > 0

Inecuaciones de primer grado

• Una desigualdad entre polinomios de primer grado es una inecuación de primer grado.

• Puede ocurrir que: Se satisfagan para cualquier valor de la variable. No tengan solución. Las que no están en ninguno de los casos anteriores son

equivalentes a inecuaciones de la forma: x < a, x > a, x a, o x a

Ejemplos:

2x + 3 < 5x + 2 x > 1/3

1/3Soluciones: (1/3,+)

3 – 2x < 5 – 2x 0 < 2 Como esto es siempre cierto, son son solución todos los números reales. Soluciones: (– ,+)

5 – 3x 2 – 3x 3 0 Como esto es siempre falso, la inecuación no tiene solución

Inecuaciones polinómicas

• Para resolverlas primero se transforma en una inecuación en la que un miembro es 0

• Después se factorizan los polinomios resultantes y se estudia el signo del miembro no nulo que dependerá del signo de los factores.

Ejemplo: 2x2 – 2x + 1 x2 + 2x – 2 x2 – 4x + 3 0 (x – 1) . (x – 3) 0

x – 1

x – 3

(x – 1)(x – 3)

–

–

+

+

–

–

+

+

+

Soluciones: (–, –1] [1, + )

31Los puntos que son solución aparecen de color azul.

Inecuaciones racionales• Para resolverlas primero se transforma en una inecuación en la que un

miembro es 0• Después se factorizan los polinomios resultantes y se estudia el signo del

miembro no nulo que dependerá del signo de los factores.• Los ceros de los polinomios denominador no son soluciones porque no es

posible la división por 0.

Ejemplo: x – 4x + 3 0

4–3

x – 4

x + 3

(x – 4)/(x +3)

–

–

+

–

+

–

+

+

+

Los puntos que son solución aparecen de color azul.

Soluciones: (–, –3) [4, + )