13) Sistemas de Ecuaciones Lineales

Fatela Preuniversitarios

Matemática - Sistemas de Ecuaciones Lineales - 1 -29

MATEMÁTICA GUÍA �º 13

“SISTEMAS DE ECUACIO�ES LI�EALES"

En esta guía se tratará sobre:

� Sistemas de Ecuaciones, Métodos de Resolución:

• Forma Gráfica.

• Sustitución.

• Igualación.

• De Reducción por Sumas y Restas.

• Determinantes (Para 2 y 3 ecuaciones).

� Tipos de Soluciones de Sistemas de Ecuaciones.

• Sistema Compatible Determinado.

• Sistema Compatible Indeterminado.

• Sistema Incompatible.

� Problemas con Sistemas de Ecuaciones.

� Inecuaciones con dos incógnitas:

• Solución Gráfica.

• Sistemas de Inecuaciones.

• Problemas con Sistemas de Inecuaciones.

SISTEMAS DE ECUACIO�ES LI�EALES

Genéricamente un Sistema de Ecuaciones Lineales se presenta como:

Las ecuaciones son "lineales" puesto que tanto la "x" como la "y" sólo

aparecen elevadas a la primera potencia. Los coeficientes “a1”, “b1”, “c1”, “a2”, “b2” y “c2” son números reales y constantes.

Resolver un sistema de ecuaciones implica encontrar los valores de "x" y de "y" que satisfagan a las dos ecuaciones al mismo tiempo.

Para lograr esto, existen diversos métodos que veremos a continuación:

a1 x + b1 y = c1

a2 x + b2 y = c2

Un Sistema de Ecuaciones Lineales consiste en dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

"x" e "y" que están relacionadas entre sí



MÉTODO GRÁFICO

Cada ecuación con dos incógnitas, es una función lineal que se halla implícita. El método gráfico consiste en despejar las funciones implícitas "y" de ambas ecuaciones, para luego graficarlas (usando el concepto pendiente y ordenada al origen, por ejemplo).

Si se tienen dos rectas que no son paralelas, entonces las mismas se cortarán en un punto P(x;y) cuyas coordenadas son la solución "x" e "y" del sistema. O sea que todos los puntos de una recta, representan los pares ordenados (x;y) que satisfacen a una sola ecuación; y habría sólo un punto del plano P(x;y) que al pertenecer a las dos rectas a la vez (es su intersección) satisface al mismo tiempo a las dos ecuaciones. Por eso las coordenadas de este punto "P" son la solución del sistema.

La solución gráfica puede no ser muy precisa, por ello existen métodos

analíticos que permiten conocer la solución exacta.

MÉTODO DE SUSTITUCIÓ�

Es un método analítico que consiste en despejar una incógnita ("x" o "y") de una ecuación (la primera o la segunda) y reemplazarla en la otra ecuación. Con ello se obtiene una ecuación de primer grado con una sola incógnita ("y" o "x", respectivamente). Se resuelve la misma y una vez hallada dicha incógnita se

4 xy

2

−=

x + 2 y = 4 3 x − 2 y = 4

1y x 2

2= − +

3y x 2

2= −

4 3xy

2

−=

−

x = 2

y = 1 x

y

P(x;y)

Solución Gráfica



reemplaza en la expresión despejada al comienzo a fin de hallar la otra incógnita, obteniéndose así la solución del sistema de ecuaciones.

MÉTODO DE IGUALACIÓ�

En el método analítico de "igualación" se despeja la misma incógnita ("x" o "y") de ambas ecuaciones y se igualan los dos segundos miembros de las expresiones obtenidas. De esta forma se tiene una ecuación con una sola incógnita ("y" o "x", respectivamente), la cual se resuelve para hallar dicha incógnita. Por último se reemplaza la incógnita obtenida en cualquiera de las dos expresiones despejadas inicialmente, y se logra así hallar la segunda incógnita.

Cuando hay sistemas de ecuaciones no lineales, puede ser una ecuación

cuadrática (parábola) con una lineal (recta), o dos cuadráticas; los métodos vistos de Sustitución y de Igualación también permiten la resolución, llegándose en este caso a obtener las coordenadas de dos puntos de intersección en general.

4 xy

2

−=

x + 2 y = 4 3 x − 2 y = 4 4 3x

y2

−=

−

y = 1

y = y

4 x 4 3x

2 2

− −=

−

( ) ( )2 4 x 2 4 3x− − = −

−8 + 2 x = 8 − 6 x

6 x+ 2 x = 8 + 8

8 x = 16

x = 2

4 x 4 2 2y

2 2 2

− −= = = ⇒

Solución = {(2; 1)} El Método de Igualación también sirve para resolver Sistemas de

Ecuaciones no Lineales

4 xy

2

−= x + 2 y = 4

3 x − 2 y = 4

3 x − 2 4 x

2

−

= 4

3 x − 4 + x = 4

4 x = 8

x = 2

4 2 2

2 2

−= = ⇒ y = 1

Solución = {(2; 1)}

El Método de Sustitución también sirve para resolver Sistemas de

Ecuaciones no Lineales



MÉTODO DE REDUCCIÓ� POR SUMAS Y RESTAS

En este método se trata de multiplicar los dos miembros de cada ecuación por un mismo número. Este número se elige de tal forma que al sumar o restar miembro a miembro las dos ecuaciones se cancelen los términos de una de las incógnitas, quedando una expresión sencilla con la otra incógnita solamente.

La restante incógnita puede obtenerse reemplazando la incógnita hallada en alguna de las ecuaciones y despejándola. O también puede volverse a aplicar una reducción por suma y resta para hallar la misma (como haremos ahora).

Mediante otro ejemplo veremos cómo se elige el número por el cual hay

que multiplicar a ambas ecuaciones a fin de "acomodar" las mismas para la reducción. Cuando la incógnita a eliminar tiene coeficientes distintos en las dos ecuaciones, se debe sacar el mínimo común múltiplo de los mismos, con el objeto de saber el coeficiente al que hay que llegar en las dos ecuaciones para esa incógnita, de modo de que luego se puedan cancelar.

Cada ecuación deberá multiplicarse entonces, miembro a miembro, por el número necesario para que los coeficientes de la incógnita a eliminar se hagan iguales al mínimo común múltiplo determinado.

x + 2 y = 4 3 x − 2 y = 4

y = 1

x = 2


Como está el sistema inicialmente puede procederse a reducir mediante una suma miembro a miembro de las dos ecuaciones.

x + 2 y = 4

3 x − 2 y = 4

4 x = 8

+

x = 8

4

Se aplica la suma cuando los términos a cancelar tienen signos opuestos

Ahora hallaremos la otra incógnita haciendo una nueva reducción por suma o resta. Para calcular "y" deben eliminarse los términos con "x". Para ello multiplicamos a la primera ecuación miembro a miembro por 3.

x + 2 y = 4 3 x − 2 y = 4

3 (x + 2 y) = 3 . 4 3 x + 6 y = 12

3 x − 2 y = 4

6 y − (− 2 y) = 8

8 y = 8

El Método de Reducción por Sumas y Restas sólo sirve para resolver Sistemas de

Ecuaciones Lineales

Se aplica la resta cuando los términos a cancelar

tienen igual signo



MÉTODO DE DETERMI�A�TES

Antes de exponer este método definiremos qué es un "Determinante":

8 x − 3 y = 7

12 x + 13 y = 63

Para calcular la "y" hay que eliminar la "x". Para ello tomamos el M.C.M. de sus coeficientes:

8 12 2 4 6 2 2 3 2 1 3 3 1 1

M.C.M.(8;12) = 23.3 = 24

Tenemos pues que llegar a un coeficiente 24 para la "x" en las dos ecuaciones: 8 x − 3 y = 7

12 x + 13 y = 63

3 (8 x − 3 y) = 3 . 7

2 (12 x + 13 y) = 2 . 63

24 x − 9 y = 21

24 x + 26 y = 126

− 9 y − 26 y = − 105

− 35 y = − 105

y =105

35

−

− y = 3

Para calcular la "x" hay que eliminar la "y". Para ello tomamos el M.C.M. entre sus coeficientes: (en este caso hay que hacer el producto de los mismos, pues son números primos)

M.C.M.(3;13) = 3 . 13 = 39

Tenemos pues que llegar a un coeficiente 39 para la "y" en las dos ecuaciones:

8 x − 3 y = 7

12 x + 13 y = 63

13 (8 x − 3 y) = 13 . 7

3 (12 x + 13 y) = 3 . 63

104 x − 39 y = 91

36 x + 39 y = 189

140 x = 280

x =280

140 x = 2

+


a ba.d b.c

c d= −

Un Determinante es un arreglo de números distribuidos en "n" filas y "n" columnas, que arroja un resultado numérico

En este caso el número "n" de filas y columnas de este arreglo "cuadrado" es "2"

Por definición:

Diagonal principal



Ahora aplicaremos esta breve teoría de determinantes a la resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales:

a1 x + b1 y = c1

a2 x + b2 y = c2

Dado el Sistema de Ecuaciones Lineales:

Para obtener el valor de las incógnitas "x" e "y" debemos plantear y resolver tres determinantes:

1) El Determinante Principal del Sistema: (∆)

1 1

2 2

a b

a b∆ =

Para aplicar el método de determinantes debe estar ordenado exactamente de

esta manera

Es el que toma los coeficientes de "x" e "y" de ambas ecuaciones en el orden que aparece en el Sistema de Ecuaciones

2) El Determinante Sustituto de "x": (∆x)

1 1x

2 2

c b

c b∆ =

A partir del determinante principal, en este determinante se sustituyen los coeficientes de "x" de ambas ecuaciones en su posición por los términos independientes de las mismas

3) El Determinante Sustituto de "y": (∆y)

1 1y

2 2

a c

a c∆ =

A partir del determinante principal, en este determinante se sustituyen los coeficientes de "y" de ambas ecuaciones en su posición por los términos independientes de las mismas

Una vez obtenido el valor de estos tres determinantes se hallan las incógnitas:

xx∆

=∆

yy∆

=∆

El Método de Determinantes sólo sirve para resolver Sistemas de

Ecuaciones Lineales

( ) ( )2 1

2. 3 1 .5 6 5 15 3

−= − − − = − + = −

− Por ejemplo el determinante:



En el presente curso preuniversitario no se realizará una demostración analítica de este método, la cual se encontrará durante el estudio universitario en la materia "Algebra Lineal".

Para resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas, generalmente

se emplea el método de determinantes, si bien también se puede realizar haciendo sustituciones apropiadas sobre las ecuaciones.

En esta situación se trabaja con determinantes de 3 filas y 3 columnas. Para resolver estos determinantes de (3x3) se puede emplear la Regla de Sarrus:

x + 2 y = 4

3 x − 2 y = 4

Resolveremos por determinantes el sistema de ecuaciones inicial:

El determinante principal del sistema (∆) será:

( )1 1

2 2

a b 1 21. 2 2.3 2 6 8

a b 3 2∆ = = = − − = − − = − = ∆

−

Los determinantes sustitutos del sistema (∆x y ∆y) serán:

( )1 1x x

2 2

c b 4 24. 2 2.4 8 8 16

c b 4 2∆ = = = − − = − − = − = ∆

−

1 1y y

2 2

a c 1 41.4 4.3 4 12 8

a c 3 4∆ = = = − = − = − = ∆

Ahora calcularemos las incógnitas "x" e "y":

x 16x 2

8

∆ −= = =

∆ − y = 1 x = 2 y 8

y 18

∆ −= = =

∆ −


a b c

a b c d e f

d e f a.e.i d.h.c g.b.f c.e.g f.h.a i.b.dg h i

g h i a b c

d e f

= = + + − − −

Regla de Sarrus

Dado el determinante de 3x3, se reescribe el mismo agregándole las

dos primeras filas debajo de la última.

Los productos que descienden hacia la derecha (en azul) van precedidos del signo "+" y los

que descienden hacia la izquierda (en rojo) van precedidos del signo "−".



Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se puede escribir, genéricamente:

a1 x + b1 y + c1 z = d1

a2 x + b2 y + c2 z = d2

a3 x + b3 y + c3 z = d3

Para resolver este sistema, deberemos calcular 4 determinantes:

uno principal y tres sustitutos.

1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b c

a b c

a b c

∆ =

Análogamente a la visto en determinantes de (2x2), el determinante principal contiene los

coeficientes de las incógnitas. (Las ecuaciones deben estar ordenadas en un orden estricto).

1 1 1

x 2 2 2

3 3 3

d b c

d b c

d b c

∆ =

A partir del determinante principal, en este determinante se sustituyen los coeficientes de "x" de las tres ecuaciones en su posición por los

términos independientes de las mismas.

1 1 1

y 2 2 2

3 3 3

a d c

a d c

a d c

∆ =

A partir del determinante principal, en este determinante se sustituyen los coeficientes de "y" de las tres ecuaciones en su posición por los


1 1 1

z 2 2 2

3 3 3

a b d

a b d

a b d

∆ =

A partir del determinante principal, en este determinante se sustituyen los coeficientes de "z" de las tres ecuaciones en su posición por los


Finalmente se obtienen las tres incógnitas:

xx∆

=∆

yy∆

=∆

zz∆

=∆

4) El Determinante Sustituto de "z": (∆z)

3) El Determinante Sustituto de "y": (∆y)

2) El Determinante Sustituto de "x": (∆x)

1) El Determinante Principal del Sistema: (∆)



Con un ejemplo expondremos este tema:

Calcularemos el determinante principal:

1 1 1

1 1 1 2 3 3

2 3 3 1.3.0 2.3.1 ( 5).1.( 3)5 3 0

5 3 0 1 1 1

2 3 3

−

∆ = − = = + + − −−

−

−

1.3.( 5) ( 3).3.1 0.1.2− − − − −

= 6 + 15 + 15 + 9 = 45 = ∆

y los determinantes sustitutos:

x

6 1 1

6 1 1 1 3 3

1 3 3 6.3.0 ( 1).3.1 1.1.( 3)1 3 0

1 3 0 6 1 1

1 3 3

− −

∆ = − − = = + − + −

− −

1.3.1 ( 3).3.6 0.1.( 1)− − − − −

= − 3 − 3 − 3 + 54 = 45 = ∆x

y

1 6 1

1 6 1 2 1 3

2 1 3 1.( 1).0 2.1.1 ( 5).6.( 3)5 1 0

5 1 0 1 6 1

2 1 3

− −

∆ = − − = = − + + − −−

−

− −

1.( 1).( 5) ( 3).1.1 0.6.2− − − − − −

= 2 + 90 − 5 + 3 = 90 = ∆y

135 = ∆z

z

1 1 6

1 1 6 2 3 1

2 3 1 1.3.1 2.3.6 ( 5).1.( 1)5 3 1

5 3 1 1 1 6

2 3 1

−

∆ = − = = + + − −−

−

−

= 3 + 36 + 5 + 90 + 3 − 2 =

6.3.( 5) ( 1).3.1 1.1.2− − − − −

Se tiene el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, ordenadas en el orden correspondiente:

x + y + z = 6

2 x + 3 y − 3 z = −1

− 5 x + 3 y = 1



TIPOS DE SOLUCIO�ES DE SISTEMAS DE ECUACIO�ES

Hasta ahora sólo hemos visto sistemas de ecuaciones que tienen una solución única:

� Un par ordenado (x; y) que corresponde a un punto del plano.

� Una terna ordenada (x; y; z) que corresponde a un punto del espacio.

Pero no siempre un sistema de ecuaciones tiene una solución única; a veces puede tener infinitas soluciones o no tener ninguna solución.

Volviendo a los sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, ya sabemos por el método gráfico que se pueden representar como dos rectas en el plano. Y las posiciones relativas que pueden adoptar dos rectas en el plano son:

• Secantes: Se cortan en un punto

• Paralelas y coincidentes: Comparten todos sus puntos

• Paralelas y disjuntas: No tienen puntos en común.

3 x + 5 y = 26 −2 x + y = 0

x = 2

y = 4

2 x − 3 y = −11 x + 5 y = 14

x = −1

y = 3

x = −3

y = −1

z = 2

b) a)

x + 2 y = − 5

2 x − 3 y + z = − 1

− x + y + z = 4

2) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por determinantes:

Para Practicar 1) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, por todos los métodos analíticos y verificar gráficamente.

Finalmente, las incógnitas serán:

x 45x 1

45

∆= = = ⇒

∆

y 90y 2

45

∆= = = ⇒

∆

z 135z 3

45

∆= = = ⇒

∆

y = 2

x = 1

z = 3

Solución = {(1; 2; 3)}

La solución es una terna ordenada. Gráficamente

correspondería a un punto en un espacio tridimensional.



Estas tres posibilidades llevan directamente a los tres tipos de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

Sistemas Compatibles

Sistema Incompatible

Determinado (Solución única)

Indeterminado (Infinitas soluciones) (Admiten al menos una solución)

(No tiene solución)

Dado el sistema: a1 x + b1 y = c1

a2 x + b2 y = c2

y = m1 x + n1

y = m2 x + n2

1 1 1

2 2 2

a b c

a b c= ≠

1 1 1

2 2 2

a b c

a b c= =

1 1

2 2

a b

a b≠

m1 ≠ m2

m1 = m2 n1 = n2

m1 = m2 n1 ≠ n2

∆ ≠ 0

∆ = ∆x = ∆y = 0

∆ = 0 ∆x ≠ 0 ∆y ≠ 0

x

y

x

x

y

y

y

x

El tipo de solución del sistema, se pueden determinar:

Analizando los coeficientes del sistema ordenados

Por las pendientes y ordenadas al origen de las rectas del sistema

Por los determinantes del sistema



Como vemos en el cuadro precedente, existen tres criterios que podemos emplear a fin de determinar el tipo de solución que tiene el sistema de ecuaciones:

� A través del análisis de los coeficientes del sistema: (Recuadros en rojo). Es la forma más práctica de operar, y nos permite saber el tipo de soluciones de un sistema sin siquiera intentar la resolución del mismo.

� Por la comparación entre las pendientes y ordenadas al origen de las dos rectas: En este caso hay que despejar la "y" de las dos ecuaciones y comparar pendientes y ordenadas al origen. Así sabremos si las rectas se cortan o son paralelas coincidentes o disjuntas.

� Hallando los tres determinantes del sistema: Se obtienen los valores de los determinantes y según sean iguales o distintos de cero, se puede saber el tipo de solución que tiene el sistema.

A continuación justificaremos las fórmulas del cuadro anterior.

SISTEMA COMPATIBLE DETERMI�ADO

El sistema compatible determinado tiene solución única. Para que esto sea posible, las dos rectas que representan a las ecuaciones deben ser secantes y cortarse en un solo punto.

El único requisito para ello es que las rectas tengan distintas pendientes.


a2 x + b2 y = c2

y = m1 x + n1

y = m2 x + n2

a1 x + b1 y = c1

b1 y = c1 − a1 x

1 1

1 1

a cy = x

b b− +

a2 x + b2 y = c2

b2 y = c2 − a2 x

2 2

2 2

a cy = x

b b− +

Hallaremos la forma explícita de las dos rectas:

1 1

2 2

a b

a b≠ m1 ≠ m2

m1 m2

1 2

1 2

a a

b b− ≠ −

Única condición para que el sistema sea Compatible Determinado



SISTEMA COMPATIBLE I�DETERMI�ADO

El sistema compatible indeterminado tiene infinitas soluciones. Para que se presente esta situación las dos rectas que representan a las ecuaciones deben ser paralelas y coincidentes.

Ello ocurrirá cuando las rectas tengan iguales pendientes y ordenadas al origen.

1 1

1 1

a cy = x

b b− + 2 2

2 2

a cy = x

b b− +


a2 x + b2 y = c2

y = m1 x + n1

y = m2 x + n2

La forma explícita de las dos rectas es:

1 1

2 2

a b

a b=

1 2

1 2

a a

b b− = −

Condición para que el sistema sea Compatible

Indeterminado

m1 = m2 n1 = n2

m1 = m2

n1 = n2

1 1

2 2

c b

c b=

1 2

1 2

c c

b b=

1 1 1

2 2 2

a b c

a b c= =

Si se hace el análisis por determinantes, el determinante principal es:

1 11 2 1 2

2 2

a ba b b a

a b∆ = = − = ∆

1 11 2 1 2

2 2

a ba b b a

a b≠ ⇒ ≠

1 2 1 2a b b a 0− ≠

Sabemos que, para que el sistema tenga solución única debe cumplirse:

∆ ≠ 0

Para que el sistema sea Compatible Determinado, el determinante

principal debe ser distinto de cero



SISTEMA I�COMPATIBLE

Un sistema es incompatible cuando no tiene solución. Gráficamente las dos rectas que representan al sistema son paralelas y disjuntas, y no tienen puntos de contacto. Para ello las rectas deben tener igual pendiente y distinta ordenada al origen.

Si se hace el análisis por determinantes, los determinantes del sistema son:

1 11 2 1 2

2 2

a ba b b a

a b∆ = = − = ∆

1 11 2 1 2

2 2

a ba b b a

a b= ⇒ =

1 2 1 2a b b a 0− =

Para que el sistema tenga infinitas soluciones debe cumplirse:

Para que el sistema sea Compatible Indeterminado, todos los determinantes

deben ser iguales a cero.

1 1x 1 2 1 2 x

2 2

c bc b b c

c b∆ = = − = ∆

1 1y 1 2 1 2 y

2 2

a ca c c a

a c∆ = = − = ∆

1 11 2 1 2

2 2

c bc b b c

c b= ⇒ =

1 2 1 2c b b c 0− =

1 11 2 1 2

2 2

a ca c c a

a c= ⇒ =

1 2 1 2a c c a 0− =

∆ = ∆x = ∆y = 0

1 1

1 1

a cy = x

b b− + 2 2

2 2

a cy = x

b b− +


a2 x + b2 y = c2

y = m1 x + n1

y = m2 x + n2

La forma explícita de las dos rectas es: n1 ≠ n2

m1 = m2

1 1

2 2

a b

a b=

1 2

1 2

a a

b b− = −

m1 = m2

1 2

1 2

c c

b b≠

n1 ≠ n2

1 1

1 2

c b

c b≠ 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c= ≠

Condición para que el sistema sea Incompatible



Al darse esta situación, cuando se quieren calcular las incógnitas, se encuentra que hay una división por cero de números distintos de cero (los determinantes sustitutos) lo cual es irresoluble e indica incompatibilidad.

En el caso anterior de sistemas compatibles indeterminados, todos los determinantes son cero; con lo cual en el cálculo de las incógnitas aparecen fracciones cero sobre cero, que es considerada una indeterminación y no un error matemático. El sistema es compatible pero indeterminado.

Para Practicar 1) Hallar el (o los) valores de "k" para que el siguiente sistema tenga solución única.

− 2 k x − 6 y = 7

3 x + k y = 0 (k ≠ ± 3)

2) Hallar el (o los) valores de "m" para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones.

3 m x − 4 y = 1

12 x + 8 y = m (m = − 2)

3) Hallar el (o los) valores de "k" para que el siguiente sistema sea incompatible.

3 x − 9 y = 2 k

− 4 x + 12 y = 7

(k ≠ − 21/8)

Si se hace el análisis por determinantes, los determinantes del sistema son:

1 11 2 1 2

2 2

a ba b b a

a b∆ = = − = ∆

1 11 2 1 2

2 2

a ba b b a

a b= ⇒ =

1 2 1 2a b b a 0− =

Para que el sistema no tenga solucion debe cumplirse:

Para que el sistema sea Incompatible el determinante principal debe ser cero y

los determinantes sustitutos distintos de cero.

1 1x 1 2 1 2 x

2 2

c bc b b c

c b∆ = = − = ∆

1 1y 1 2 1 2 y

2 2

a ca c c a

a c∆ = = − = ∆

1 11 2 1 2

2 2

c bc b b c

c b≠ ⇒ ≠

1 2 1 2c b b c 0− ≠

1 11 2 1 2

2 2

a ca c c a

a c≠ ⇒ ≠

1 2 1 2a c c a 0− ≠

∆ = 0

∆x ≠ 0 ∆y ≠ 0



PROBLEMAS CO� SISTEMAS DE ECUACIO�ES

Dado un problema en forma coloquial o hablada, se debe saber expresarlo en forma simbólica, a través de ecuaciones que representen a dicho problema.

Si bien no hay una receta que se pueda aplicar a todos los problemas, en forma general se debe proceder así:

1) Buscar la pregunta del problema e identificar bien claramente cuales serán las incógnitas del sistema. De lo contrario, si no están bien identificadas las incógnitas pueden cometerse errores al escribir las ecuaciones.

2) Luego proceder a escribir cada ecuación relacionando dichas incógnitas. Prestar atención a los signos de puntuación, como el punto y seguido o punto y coma que pueden servir para separar dos frases y con ello separar las dos ecuaciones.

3) En cada ecuación debe existir el signo igual (=), de lo contrario es una simple expresión en lugar de una ecuación. Las expresiones coloquiales que señalan la presencia del igual pueden ser: "se obtiene", "da como resultado", "da", "es", "resulta", etc.

4) A veces las dos ecuaciones son de distinta naturaleza. Por ejemplo en la primera ecuación se cuentan unidades de dos tipos de productos dando por resultado el número total de los mismos; y en la segunda ecuación se toman en cuenta los precios de dichos productos dando por resultado el costo total de la mercadería. En ese caso en la primera ecuación se suman artículos más artículos, resultando unidades y en la segunda ecuación se suman pesos más pesos dando por resultado pesos totales.

5) Por último se procede a resolver el sistema de ecuaciones hallado por cualquiera de los métodos ya vistos.

Por ejemplo:

Una empresa de venta de DVD's ofrece cada película de su catálogo a $ 20 y además como promoción especial 2 películas por $ 32. Al terminar el primer mes de la promoción ha recaudado $ 5 120. Si en total despachó 288 filmes. ¿Cuántas películas vendió "solas" y cuántos fueron los pares promocionados?

4) Hallar los valores de "a" y "b" para que el siguiente sistema tenga por solución a S = {(−3; 2)}.

(a = − 1)

(b = 5)

3 a x − 2 y = b

5 x + 2 b y = −5 a



Definimos las incógnitas:

x = número de películas "solas" que se vendieron durante el mes.

y = número de "pares" de películas que se vendieron por la promoción.

Observamos que hay una información que hace referencia a los precios de la oferta y otra que trata directamente sobre las cantidades de películas vendidas. Esto permite armar dos ecuaciones: una con los valores económicos y otra con las cantidades.

$ 20 x + $ 32 y = $ 5 120 ⇒ "pesos + pesos = pesos"

x + 2 y = 288 ⇒ "cantidades + cantidades = cantidades "

Resolviendo por cualquier método llegamos a: x = 128

y = 80

Se vendieron 128 películas "solas" y 80 paquetes promocionales de 2 películas cada uno.

Otro ejemplo: Hace seis años Luís tenía la tercera parte de la edad de su padre. ¿Cuáles son las edades actuales de ambos, si dentro de nueve años Luís tendrá la mitad de la edad de su padre?


x = Edad actual de Luís.

y = Edad actual del padre.

Hace seis años la edad de ambos era, respectivamente: x − 6

y − 6

Dentro de nueve años la edad de ambos será, respectivamente: x + 9

y + 9

x − 6 = 1

3(y − 6)

Ecuación de tiempo pasado Ecuación de tiempo futuro

x + 9 = 1

2(y + 9)

Se opera para ordenar las ecuaciones y se resuelve dando: x = 21

y = 51

La edad actual de Luís es 21 años y la de su padre 51 años.



I�ECUACIO�ES CO� DOS I�CÓG�ITAS

Hemos visto anteriormente las inecuaciones con una sola incógnita (x), cómo se resuelven y se halla el conjunto solución, que es un intervalo de la recta real en ese caso.

Pero ahora veremos qué es una inecuación con dos incógnitas (x e y) y cómo resolverla hallando el conjunto solución en forma gráfica.

Para Practicar

1) En un garaje de estacionamiento hay 19 rodados entre automóviles y motocicletas. Si en total se contabilizan 62 ruedas: ¿Cuántos automóviles y motocicletas hay estacionados? (12 automóviles y 7 motocicletas)

2) Una compañía de turismo ofrece un viaje a cierto destino, a razón de $ 240 por persona sola y $ 400 por pareja. Si en total vende 79 boletos y recauda un total de $ 16 400. ¿Cuántas personas solas y parejas realizarán el viaje?

(15 personas solas y 32 3) Una empresa que elabora aceite comestible "mezcla", utiliza para el mismo aceite de girasol con un costo de $ 4 el litro y aceite de soja con un costo de $ 2 por litro. Si el costo por litro del aceite mezcla debe ser de $ 3,25 y se producirán 320 litros de dicho aceite. ¿Cuáles serán las cantidades de aceite de girasol y de soja utilizados? (girasol: 200 litros, soja: 120 litros)

4) Dos números son entre sí como 5 es a 3. Si su suma es 32. ¿Cuáles son dichos números? (x = 20; y = 12)

5) La cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble de la cifra de las unidades, y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta de invertir el orden de sus cifras. ¿Cuál es dicho número? (63)

a x + b y ≥ c El signo desigual puede ser

cualquiera de los ya conocidos: > , < , ≥ , ≤ o ≠

Para resolverla hay que despejar la "y":

Por ejemplo:

− 2 x + 3 y ≥ 3

3 y ≥ 2 x + 3

y ≥ 2x 3

3

+

2y x 1

3≥ +

La solución gráfica de una inecuación con dos incógnitas es un semiplano que

puede o no incluir a la recta borde (en este caso sí la incluye)

��



Para representar gráficamente al conjunto solución, se comienza con la

gráfica de la recta borde, que es la que surge al convertir la inecuación explícita

hallada en �� en ecuación, colocando el signo igual en vez del desigual, ��.

Si en la inecuación inicial se permite el igual (hay ≥ o ≤) la recta borde se dibuja con trazo continuo, lo cual significa que todos sus puntos también estarán incluidos en el conjunto solución de la inecuación.

Si en la inecuación inicial no se permite el igual (hay > o <) la recta borde se dibuja con línea de trazos discontinuos, lo cual significa que sus puntos no estarán incluidos en el conjunto solución de la inecuación.

Luego hay que sombrear un semiplano, el cual consistirá en el conjunto solución de la inecuación.

Toda recta incluida en un plano divide al mismo en dos semiplanos. Para saber cuál semiplano sombrear, se procede de la siguiente manera:

1) Si la recta borde es una función lineal (recta horizontal u oblicua, pero no vertical), y la desigualdad es y > f(x) se sombrea el semiplano superior a la recta borde; y si la desigualdad es y < f(x) se hace lo propio con el semiplano inferior a dicha recta.

2) Si la recta borde es una recta vertical (de ecuación x = k), entonces si la desigualdad es x > k, se sombrea el semiplano de la derecha que corresponde, como es obvio, a valores de "x" mayores que "k". Si la desigualdad es x < k, se sombrea el semiplano de la izquierda donde los valores de "x" son menores que "k".

Otro método, que permite saber cuál semiplano debe sombrearse, es a través de un punto de prueba. Se toma un punto cualquiera del plano que no pertenezca a la recta borde, de coordenadas P(x1; y1).

Recta borde 2

y x 13

≥ +

2y x 1

3= + ��

P(x1; y1) Punto de prueba: No satisface

3

1

Conjunto Solución

5

y



Se reemplazan "x" e "y" de la inecuación dada (en su forma inicial o la explícita) por estos valores "x1" e "y1" (coordenadas del punto de prueba):

Si se satisface la desigualdad, se procede a sombrear todo el semiplano que incluye al punto de prueba.

Si no se satisface la desigualdad, se procede a sombrear todo el semiplano que no incluye al punto de prueba.

Otro ejemplo:

En este caso la recta borde es vertical, y se sombrea el semiplano hacia la

derecha, pues es de la forma x > k. Pero la recta borde no está incluida en el conjunto solución, dado que x es estrictamente mayor que k, por lo que se grafica en línea de trazos discontinuos.

SISTEMAS DE I�ECUACIO�ES CO� DOS I�CÓG�ITAS

También existen sistemas de inecuaciones con dos incógnitas. Pueden ser sistemas de dos inecuaciones o aún más de dos.

El conjunto solución se halla gráficamente; cada inecuación con dos incógnitas se resuelve en forma gráfica como hemos visto anteriormente, en un mismo gráfico.

La solución del sistema es la intersección de los dos semiplanos, o sea la zona que tiene un doble sombreado.

También hay que analizar si la rectas bordes del sector de plano que se obtiene están incluidas en el conjunto solución o no, indicándose como hemos visto a través de líneas continuas o de trazos discontinuos.

Por último, el punto donde se cortan estas dos líneas también podría estar incluido en la solución o no. El conjunto solución podría ser una zona de área infinita o una figura plana de superficie limitada.

3

y

x

Conjunto Solución

x > 3 Recta borde

x = 3

2

5

P(x1; y1)

Punto de prueba: satisface



Por ejemplo:

Del sistema dado, la primera inecuación ya la hemos analizado antes y la

hemos resuelto gráficamente. Nos queda hacer lo mismo con la segunda.

El punto de intersección de las rectas borde no está incluido en el conjunto

solución, pues hay una recta borde que no pertenece al mismo. Por último, el conjunto solución lo hemos resaltado con fondo amarillo.

A continuación veremos un ejemplo de un sistema de inecuaciones con dos incógnitas compuesto por tres inecuaciones:

Hallaremos la solución gráficamente, comenzando por sombrear la solución de la primera inecuación, que plantea dos rectas verticales y el valor de "x" acotado entre 2 y 4. Luego, para cumplir la segunda inecuación, tomamos desde la recta horizontal y = 1 hacia arriba. Por último, debe cumplirse la tercera inecuación, que se satisface para todos los puntos que

están por debajo de la recta oblicua y = − x + 6. Todo esto siempre teniendo en cuenta si las rectas bordes van de trazo continuo o discontinuo.

x + 2 y < 6

2 y < − x + 6

y < x 6

2

− +

1y x 3

2< − +

Para resolverla hay que despejar la "y":

El menor estricto significa que la recta borde se dibuja en trazos discontinuos,

y se sombrea la parte inferior.

− 2 x + 3 y ≥ 3

x + 2 y < 6

x

y

Conjunto Solución

5

3

2y x 1

3≥ +

y < − ½ x + 3

2 < x ≤ 4

y ≥ 1

y < − x + 6



PROBLEMAS CO� SISTEMAS DE I�ECUACIO�ES

Por medio de un ejemplo demostraremos cómo se resuelve una situación problemática que involucra a un sistema de inecuaciones lineales.

Una institución educativa privada tiene posibilidad de incorporar al inicio del año una cantidad de alumnos de hasta 250. Los alumnos se dividirán en dos grupos: los que paguen la matrícula y quienes resulten becados que quedarán eximidos de esta obligación. Es política de la institución que haya como máximo 1 alumno becado cada 3 alumnos que paguen su matrícula. Plantear el problema y mostrar gráficamente las situaciones que se pueden dar.

y [alumnos becados]

100 200 300

100

200

300

x [alumnos de pago]


x = alumnos que pagan

y = alumnos becados

Las inecuaciones serán:

x + y ≤ 250

y ≤ 1

3x

Conjunto Solución

62

Conjunto Solución

2 < x ≤ 4

y ≥ 1

y < − x + 6



La zona sombreada representa las situaciones que se pueden dar en un año determinado. Se llega a esta zona despejando la "y" de las dos inecuaciones, e interceptando los semiplanos. Se toman valores sólo del primer cuadrante pues no tendría un significado práctico que algún número de alumnos sea negativo.

Además quiere conocerse cuál sería el número máximo de alumnos que podrían ser becados:

Para ello encontramos la intersección de las rectas bordes, cuya ordenada es el mayor valor que puede tomar "y":

Para Practicar

1) Resolver gráficamente los siguientes sistemas de inecuaciones lineales:

a) x + y ≤ 4

y > x b)

x + 2y < 6

y ≥ 0 c)

y < 5

x − y ≤ 1 x ≥ 1

x < 5

2) En una fábrica de muebles se construyen mesas y sillas a partir de grandes planchas de madera. Las mesas necesitan 4 m2 de madera y las sillas 3 m2. El fabricante necesita construir al menos 3 mesas y como mínimo el doble de sillas que de mesas. La cantidad total de madera disponible es de 60 m2. Sea "x" el número de mesas e "y" el de sillas que se fabrican. Plantea el sistema de inecuaciones al que dan lugar las restricciones del problema y representa la región.

x + y = 250

y = 1

3x

x + y = 250 + − x + 3 y = 0

3 y = x

− x + 3 y = 0 4 y = 250

y = 250

4= 62,5 ⇒ y = 62 alumnos

Máximo de alumnos a becar



Trabajo Práctico �º 13 : "Sistemas de Ecuaciones"

13.3) Hallar el (o los) valores de "k" para que el siguiente sistema sea compatible determinado.

k x − 9 y = 7

− 4 x + k y = 0

3 x + 5 m y = 9/2

− 2 x + 10 y = m

2 x + 5 n y = 1

− 6 x + 3 y = − n

13.4) Hallar el (o los) valores de "m" para que el siguiente sistema sea compatible indeterminado.

13.5) Hallar el (o los) valores de "n" para que el siguiente sistema no tenga solución.

13.6) Hallar el (o los) valores de "k" para que el siguiente sistema tenga solución única.

−2 k x + 7 y = 7

3 x − 4 y = − k

b) a)

2 x + y − 5 z = 0

x − 2 y + z = − 5

−3 x − y + 6 z = 1

13.2) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por determinantes:

13.1) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, por todos los métodos analíticos y verificar gráficamente.

−5 x + 3 y = 9 4 x + 2 y = − 16

− x + 2 y = − 10 3 x − 7 y = 35

d) c) 3 x − 5 y = 23 x + 2 y = − 7

5 x + y = − 6 − 3 x + 4 y = 22

− x + 3 z = 10

− 5 x + 2 y − z = − 20

2 x − y + 5 z = 27

b) a)



13.11) Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. En total hay 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?

13.12) En una tienda de anticuario hay 12 candelabros de 2 y 3 brazos. Si para utilizarlos se necesitan 31 velas, ¿cuántos candelabros hay de cada tipo?

13.13) Un padre quiere repartir el dinero que lleva en el bolsillo entre sus hijos. Si a cada hijo le da $ 70 le sobran $ 20, pero si le da a cada uno $ 80, le faltan $ 20. ¿Cuánto dinero lleva en el bolsillo y cuántos hijos tiene?

13.14) Hoy la edad de un hijo es 1 año menos que 1/3 de la de su madre. Si dentro de 5 años, la edad de la madre será 10 años mayor que el doble de la de su hijo, ¿qué edades tienen?

13.15) Una evaluación consta de 16 ejercicios. El profesor suma 5 puntos por cada respuesta correcta y resta 3 puntos por cada ejercicio no contestado o mal contestado. Si un alumno ha obtenido 32 puntos en la evaluación, ¿Cuántos ejercicios ha contestado correctamente?

13.10) Hallar los valores de "a" y "b" para que el siguiente sistema tenga por solución a S = {(−1; −2)}.

a x + 3 y = 5 a − 7 b + 41

−2 b x − 2 a y = 3 b − 13

13.9) Hallar los valores de "a" y "b" para que el siguiente sistema tenga por solución a S = {(3; −1)}.

− 3 x − 2 a y = 2 b − 7

5 b x − 2 y = − a + 35

13.8) Hallar el (o los) valores de "m" para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones.

13.7) Hallar el (o los) valores de "k" para que el siguiente sistema sea incompatible.

6 x − 3 y = 7 k

− 4 x + 2 y = − 5

− 3m x + 4 y = m

6 x − 2 m y = 3



13.21) Resolver gráficamente los siguientes sistemas de inecuaciones lineales:

a) 2 x + 3 y < 6

x ≥ 2 b)

x − 4 y > − 12

y ≥ 0

c) x + y < 5

2 x − y ≤ 1

x ≥ 0

5 x + 4 y ≤ 20

13.16) Un comerciante compró dos relojes distintos por $ 300 y los vendió por $ 348. ¿Cuánto pagó por cada reloj si en la venta del primero ganó un 30 % y en la del segundo perdió un 5 %?

13.17) Dos líquidos de densidades 0,7 kg/l y 1,3 kg/l se mezclan obteniéndose un líquido de densidad 0,9 kg/l. Halla la cantidad de líquido que hay que tomar de cada clase para obtener una mezcla de 30 litros.

13.18) Se desea realizar una mezcla entre dos tipos de café. Para ello se emplean 15 kg de la variedad "A" y 10 kg de la variedad "B", obteniéndose una mezcla que vale $ 10,20 el kilogramo. Se sabe además que el precio de la calidad "A" es tres cuartas partes del de la calidad "B". ¿Cuáles son dichos precios unitarios?

13.19) La razón entre dos números es 2/3. Si se añaden 20 unidades al más pequeño y 5 al más grande la razón se invierte. ¿De qué números se trata?

13.20) Se disponen de bolillas blancas y bolillas negras. Todas las bolillas de un mismo color pesan lo mismo. Inicialmente en el platillo de la izquierda de una balanza hay 3 bolillas blancas y dos negras que se equilibran con tres bolillas negras en el platillo de la derecha.

Si se sacan dos bolillas blancas del platillo de la izquierda y se depositan en el de la derecha, hay que agregar una pesa de 200 g en el platillo de la izquierda para restablecer el equilibrio.

¿Cuál es el peso de cada bolilla blanca y de cada bolilla negra?

13.22) La Cámara de Senadores de la Nación tiene 72 senadores que representan a las provincias. Al menos la tercera parte del total deben ser mujeres por la ley del cupo femenino. En una determinada sesión hay más de 20 senadores varones.

Representar las posibilidades de la conformación de la cámara entre senadores (x) y senadoras (y).



13.23) Dado el siguiente conjunto solución, hallar el sistema de inecuaciones del cual proviene.



Respuestas del trabajo Práctico �º 13 "Sistemas de Ecuaciones"

13.1) a) S = {(−3; −2)} b) S = {(0; −5)} c) S = {(1; −4)} d) S = {(−2; 4)} 13.2) a) S = {(−1; 2; 0)} b) S = {(2; −3; 4)}

13.3) k ≠ ± 6

13.4) m = − 3

13.5) n = − 1/5

13.6) k ≠ 21/8

13.7) k ≠ 15/14

13.8) m = ∅

13.9) (a = 3; b = 2)

13.10) (a = −2; b = 5)

13.11) 37 habitaciones dobles y 13 habitaciones sencillas.

13.12) 5 candelabros de 2 brazos y 7 candelabros de 3 brazos.

13.13) $ 300 y 4 hijos.

13.14) Edad del hijo: 12 años; Edad de la madre: 39 años

13.15) contestados correctamente: 10 ejercicios.

13.16) Por el primero pagó $ 180 y por el segundo pagó $ 120.

13.17) 20 litros del primer líquido y 10 litros del segundo.

13.18) Precio calidad "A": 9 $/kg ; Precio calidad "B": 12 $/kg.

13.19) 10 y 15.

13.20) Peso de cada bolilla blanca: 50 g. Peso de cada bolilla negra: 150 g.

13.21) a)



13.22)

13.23)

x ≥ − 2

y > x

1 ≤ y < 5

13.21) b) 13.21) c)

13) Sistemas de Ecuaciones Lineales

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