Sistemas de ecuaciones lineales

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  • 1. Unidad IVSistemas de Ecuaciones Lineales

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES : U-IV.-
CONTENIDOS
1.- Ecuacin de la Recta.-
2.-Ecuacin Punto Pendiente de la recta.-
3.-Pendiente de una recta.-
3.1. Rectas horizontales y verticales.-
3.2. Ecuacin de la recta horizontal.-
3.3. Ecuacin de la recta vertical.-
4.- Ecuaciones de una recta.-
4.1. Ecuacin principal, general y cannica.-
5.- Sistemas de Ecuaciones lineales.-
6.- Resolucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales.-
6.1. Mtodo de Sustitucin, De igualacin y reduccin.-
7.- Regla de CRAMER.-
8.- Sistemas ySoluciones.-
3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES : U-IV.-
1.- Ecuacin de la recta.-
Definicin:
Se llama Ecuacin de una recta a la ecuacin asociada a una
funcin afn. Todos los puntos que pertenecen a la recta asociada
a dicha funcin satisfacen su ecuacin , es decir, si se reemplazan
en ella los valores de la abscisa y la ordenada de un punto que
pertenece a ella , se obtiene la igualdad. O sea ,
Ejemplos:
4. En la figura n 1 , se puede observar una Ecuacin de la recta graficada en el plano cartesiano.-
5. Por lo tanto , se dice que un punto satisface una ecuacin si, al reemplazar en ella sus variables x e y por los valores de la abscisa y la ordenada del punto , se obtiene una igualdad.- En el ejemplo anterior, el punto P satisface la ecuacin y = 2x-1 , mientras que los puntos Q y R no la satisfacen
6. Por lo tanto, solo los puntos A y C pertenecen a la recta, o sea , satisfacen la Ecuacin .-
7. 1.1. Propiedades de laEcuacin de la recta:
Como se grafica en el plano cartesiano la Ecuacin de una recta?
Sea la Ecuacin de la recta de la forma
1.1.1.- Caractersticas de la Ecuacin de la recta:
m : Pendiente de la recta.-
n :Coeficiente de Posicin.-
PENDIENTE DE LA RECTA (m )
La pendiente de una recta es el ngulo de inclinacin que tiene esta ,
respecto al eje de las abscisas, medido en sentido contrario a las agujas
del reloj.- Se puede obtener la pendiente de unarectaen el plano cartesiano teniendo presente solo dos puntos cualquiera de la recta,
o sea :
8. 9. 10. Cual es la pendiente de la recta de la figura n1 ?
11. Conceptualmente, la pendiente se conoce como el resultado del
cuocienteentre la diferencia de cada par de puntos asociada a su
Ordenada y a su Abscisas ( diferencia del valor de las abscisas), o sea:
12. 2.- Ecuacinde la recta conocida su pendiente un punto de ella:
La ecuacin de una recta que pasa por el puntoy cuya
Pendiente es m es:
13. 14. Observacin: No es posible determinar la ecuacin de una recta conociendo solo un punto de ella, ya que por un punto se pueden trazar infinitas rectas .-
15. Ejercicios : Pgina 241 del libro taller de Matemticas.-
1.- NO 2.-S3.- S4.- S5.- NO
6.- NO
16. 17. ACTIVIDAD.-
1.-Realiza los ejercicios de la pgina 74 y 75 del libro Taller de
Matemticas .- Desdeel ejercicio1 al 42.-
_______________________________________________________
PUNTOS COLINEALES
Tres o mas puntos se dicen Colineales si pertenecen a la misma
recta .- Para verificar si tres o ms puntos,
y, son colineales , es decir pertenecen a la misma
recta , basta verificar solamenteque la pendiente de PQ , QR y
RP sean iguales, es decir:
18. 3.- PENDIENTE DE UNA ECUACIN DE RECTA:
19. 20. 21. 3.1.-Rectas Horizontales y Verticales.-
Para determinar la ecuacin de una recta horizontal o vertical ,
se considerarn las rectas de la figura n1 :
Donde el punto A es un punto dado fijo.-
A ( 6,2)
22. 3.2.-Ecuacin de la recta horizontal.-
23. 24. 3.2.-Ecuacin de la recta Vertical.-
En general,la ecuacin de una recta vertical se representa
mediante la siguiente expresin:
25. 26. 27. 28. Yla pregunta es la siguiente, Estoy en condiciones de graficar una Ecuacin de una Recta ?
1.- Construimos un plano cartesiano.-
2.- Tomamos un valor cualquiera para x, y lo reemplazamos en la ecuacin de la recta a graficar.- Por lo tanto , ya tenemos un primer punto de la recta.-
3.- Tomamos un segundo valor punto para x, y lo reemplazamos en la ecuacin de la recta a graficar.- Por lo tanto, tenemos un segundo punto de la recta , distinto del primero.-
4.- Ahora ubico los puntos en el plano cartesiano y trazo una lnea recta por los puntos.-
5.- La grafica obtenida es la ecuacin de la rectatrazada en el plano cartesiano.-
Como saber donde la ecuacin de la recta corta al eje de la abscisas ?
29. Como graficar la Ecuacin de la siguiente recta ?
30. Ejercicios : Pgina 243 del libro de Matemticas.-
31. 32. 4.-Ecuaciones de una recta.-
4.1. Ecuacin Principal:
La ecuacin de la recta representada por la siguiente expresin
recibe el nombre de Ecuacin Principal, dondem representa el
valor de la pendiente ynel coeficiente de posicin ( corte en el eje
de las ordenadas).-
Ejemplos
33. 34. 4.2. Ecuacin General:
La ecuacin de la recta representada por la siguiente expresin
Con A, B y CconstantesyB distinto de cero , recibe el nombre de
EcuacinGeneral de la Recta .-
Observacin:
35. Ejemplos :
36. 4.3. Ecuacin Cannica:
Ejemplo:
37. 38. Ejercicios.-
39. Preparando la P.S.U.-
40. En Resumen:
Ejercicios
41. Ejercicios
42. ACTIVIDAD1.-Realizar los ejercicios de la pgina 75 y 76 del libro Taller de Matemticas .- Desdeel ejercicio 43 al 68.-
43. Distancia entre un punto y una recta recta del plano
44. Desarrollo:
45. 5.- Sistemas de Ecuaciones lineales o Ecuaciones de primer grado con dos incgnitas:
Definicin:
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o ms ecuaciones
con varias incgnitas.- Una solucin al sistema corresponde a un
valor para cada incgnita, de modo que al reemplazarlas en las
ecuaciones se satisface la igualdad.-
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas, x e y ,
tiene las siguientes representaciones :
46. Ejemplos:
Observacin: Las soluciones del sistema de expresan como pares ordenados( x , y )
47. Actividad con Nota Acumulativa.-
1.- Libro Taller de Matemticas Pg. 76 - 77 Desde el ejercicio 85 105.-
48. Geomtricamente ..
49. 6.- Resolucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales: Mtodo de Sustitucin
Ejemplo:
50. Desarrollo:
51. Ejercicios:
52. 53. Actividad con nota Acumulativa:
1.- Libro ; Taller de Matemticas Pg. 78 Desde el ejercicio 115 al 142.-
54. 6.- Resolucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales: Mtodo de Igualacin
Ejemplo:
55. Mtodo de Igualacin
56. Mtodo de IgualacinEjemplo:
57. Ejercicios:
58. 59. Actividad con nota Acumulativa:
1.- Libro ; Taller de Matemticas Pg. 79 Desde el ejercicio 143 al 168.-
60. 6.- Resolucin de Sistemas de Ecuaciones Lineales: Mtodo de Reduccin
Ejemplo:
61. Geomtricamente..
62. 63. Ejercicios:
64. 65. Actividad con nota Acumulativa:
1.- Libro ; Taller de Matemticas Pg. 80-81 Desde el ejercicio 169 al 197.-
66. Mtodo de Cramer
Gabriel Cramer- (31 de julio de 1704 - 4 de enero de 1752) fue un matemtico suizo nacido en Ginebra.-
Dado el siguiente Sistema de Ecuacin lineales ,
La regla de cramer utiliza determinantes para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado con igual nmero de ecuaciones y de incgnitas. Para calcular el determinante principalse utiliza la siguiente expresin:
67. Mtodo de Cramer
1.- Calcular el determinante principal del sistema:
2.- Se calculan los determinantes de la incgnitasque se obtienen a a partir del determinante principal , remplazando los coeficientes de la incgnita correspondiente por los trminos libres del sistema, es decir :
3.-Encontrar la solucin del sistema mediante la siguiente expresin :
68. 69.Soluciones y Grficos