1TERCERO DE SECUNDARIA

I.E. “ANTONIO RAIMONDI“-UÑA DE GATO PROF. ALICIA E. GIRÓN REYES

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON TRES

VARIABLES

PROF. ALICIA E. GIRÓN REYES

I.E. “ANTONIO RAIMONDI“-UÑA DE GATO

TERCER GRADO DE SECUNDARIA

ZARUMILLA - PERÚ

{

⇒

α

∫

Ʃ

2TERCERO DE SECUNDARIA

HistoriaLos sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin que tuvieran relación con problemas de medida.

Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:

1/4 anchura + longitud = 7 manos

longitud + anchura = 10 manos

Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía ser: anchura = 20, longitud = 30. Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de eliminación. En notación, sería:

y + 4x = 28

y + x = 10

Restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18, es decir: x = 6 e y = 4 .

También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática. Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas.

Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal. Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Utilizó ya un álgebra sincopada como hemos señalado anteriormente. Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la resolución de ecuaciones por Diophante es que carece de un método general y utiliza en cada problema métodos a veces excesivamente ingeniosos. Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones.

El libro "El arte matemático", de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.

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3TERCERO DE SECUNDARIA

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON TRES VARIABLES

Un sistema de ecuaciones lineales con tres variables tiene la forma general siguiente:

{a1 x+b1 y+c1 z=d1

a2 x+b2 y+c2 z=d2

a3 x+b3 y+c3 z=d3

donde:

La solución de este sistema es la terna ordenada (x , y , z) de números reales. Puede ser resuelto por los siguientes métodos: a) Por reducciónb) Por

sustitución

c) Por igualaciónd)Por determinantes o por el método de

Cramer

MÉTODO DE REDUCCIÓNSe elimina una de las incógnitas tomando de dos en dos las ecuaciones. Esto nos permite formar un sistema de dos ecuaciones con las otras incógnitas que se resuelve por cualquier de los métodos conocidos. Ejemplo:

1. Resolver el sistema: x+2 y+z=02 x+ y−z=−33 x− y−z=0

Solución:

Enumeramos cada ecuación:

x+2 y+z=0 … (1)2 x+ y−z=−3 … (2)3 x− y−z=0 … (3)

Sumo las ecuaciones (1) y (2), para eliminar z:

3 x+3 y=−3x+ y=−1 (a)

Sumo las ecuaciones (1) y (3), para eliminar z:

4 x+ y=5 (b)

Se resuelve el sistema formado por las ecuaciones (a) y (b):

x+ y=−1 .(−1)4 x+ y=5−x− y=14 x+ y=5 3 x=6 x=2

Reemplazando en (a):

2+ y=−1→ y=−3

Reemplazando en (1):

2+2 (−3 )+z=0→ z=4

Luego, la solución es (2 ;−3 ; 4 ) Rpta.

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a1 , a2 , a3 , son los coeficientes de x

b1 , b2 , b3 , son los coeficientes dey

c1 , c2 , c3 , son los coeficientesde z

Recuerd

Según sean las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, este puede ser:

I) INCOMPATIBLESi no admite solución.

II) COMPATIBLESi admite solución (o soluciones). En este caso distinguiremos: Determinado: Si tiene solución única.

Indeterminado: Si tiene infinitas soluciones.

¡Ahora te toca a ti!

4TERCERO DE SECUNDARIA

2. Resolver:x+2 y+z=02 x+ y−z=−33 x− y−z=0

3. Resolver:3 x+2 y−z=124 x−3 y+3 z=192 x+4 y+4 z=20

4. Resolver:x+2 y+z=02 x+ y−z=−33 x− y−z=0

5. Resolver:2 x+ y−z=5x+2 y+z=4x− y=1

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5TERCERO DE SECUNDARIA

6. Resolver:x−2 y−z=0x+2 y−2 z=33 x−4 y+z=2

7. Resolver:x+ y+z=32 x− y−4 z=−55 x−2 y−3 z=7

MÉTODO DE SUSTITUCIÓNSe despeja una incógnita de una de las ecuaciones y se sustituyen en los otros dos para obtener un sistema de dos ecuaciones con las otras incógnitas que se resuelve por cualquiera de los métodos conocidos. Ejemplo:

1. Resolver:2 x−3 y+z=11 ……(1)5 x− y−2 z=−10 ……(2)2 y+3 z=6 ……(3)

Solución:

De la ecuación (3), despejamos “y”.2 y+3 z=6 →2 y=6−3 z

∴ y=6−3 z2

…………..(4)

Sustituimos el valor de (4) en (1):

2 x−3( 6−3 z2 )+z=11

4 x−(18−9 z )+2 z=22 4 x−18+9 z+2 z=22

11 z+4 x=40 ...(5)

Sustituimos el valor de (4) en (2):

5 x−( 6−3 z2 )−2 z=−10

10 x−(6−3 z )−2 z=−20 10 x−6+3 z−4 z=−20

10 x−z=−14 ...(6)

Despejamos “z” de la ecuación (6):

10 x−z=−14→ 10 x+14=z

∴ z=10 x+14 ….(7)

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6TERCERO DE SECUNDARIA

Reemplazamos (7) en (5):

11 (10 x+14 )+4 x=40→ 114 x+154=40→ 114 x=−114

∴ x=−1

Reemplazamos el valor de “x” hallado en la ecuación (7):

z=10 (−1 )+14∴ z=4

Reemplazamos el valor de “z” hallado en la ecuación (4):

y=6−3(4)

2∴ y=−3

El conjunto solución del sistema es: (−1 ;−3 ; 4 )

2. Resolver:x+ y+z=6x+ y−z=2x− y−z=−2

3. Resolver:3 x+2 y−z=74 x+ y+2 z=64 x−2 y+ z=0

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Ahora te toca a ti

7TERCERO DE SECUNDARIA

4. Resolver:3 x+2 y+z=167 x+2 y+z=24x+2 y+3 z=20

5. Resolver:x+ y=10x+z=5y+z=9

6. Resolver:x+2 y+3 z=94 x+5 y+6 z=243 x+ y−3 z=4

7. Resolver:x+ y−z=22 x+2 y−2 z=3−x− y+z=4

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8TERCERO DE SECUNDARIA

MÉTODO DE IGUALACIÓNSe despeja una incógnita de las tres ecuaciones y se igualan sus valores dos a dos, quedando un sistema de ecuaciones con dos incógnitas. Ejemplo:

1. Resolver el sistema:

2 x+ y+z=1 ……(1)3 x+2 y+2 z=1 ……(2)x−2 y−z=0 ……(3)

Solución:

En cada una de las ecuaciones dadas, despejamos la incógnita “x”

2 x+ y+z=1→ x=1− y−z2

……….( I )

3 x+2 y+2 z=1→ x=1−2 y−2 z3

… …….(II)

x−2 y+z=0 → x=1− y−z2

…… …. (III )

Igualamos las ecuaciones (I) y (III):1− y−z

2=2 y+z

→ 1− y−z=4 y+2 z

→ 1=5 y+3 z ……..(a)

Igualamos las ecuaciones (II) y (III):1−2 y−2 z

3=2 y+z

→ 1−2 y−2 z=6 y+3 z

→ 1=8 y+5 z ……..(b)

Igualamos las ecuaciones (I) y (II):1− y−z

2=1−2 y−2 z

3→ 3−3 y−3 z=2−4 y−4 z

→ y=−z−1 ……..(c)

Sustituimos el valor de “y” en la ecuación (a):1=5 (−z−1 )+3 z→ 1=−2 z−5→ 2 z=−6 ∴ z=−3

Reemplazamos el valor de “z” en la ecuación (a):→ 1=5 y+3 (−3 )→ 10=5 y ∴ z=2

Reemplazamos los valores de “y” y “z” en la ecuación (1):2 x+2+ (−3 )=1→ 2 x=2∴ x=1

Luego el conjunto solución del sistema es:S= {(1;2 ;−3 ) }

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9TERCERO DE SECUNDARIA

2. Resolver:2 x+3 y+z=−11x+ y+z=−63 x− y+z=−4

3. Resolver:x+ y+z=4−x− y+z=02 x+ y+z=5

4. Resolver:2 x+3 y=−52 y+3 z=−54 x+z=−5

5. Resolver:3 x+2 y+z=11x+ y+2 z=9−x−2 y+z=−1

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Ahora te toca a ti

10TERCERO DE SECUNDARIA

6. Resolver:2 x+3 y−2 z=145 x−2 y+5 z=−15−2 x+ y+2 z=−14

7. Resolver:x+4 y+3 z=−12 x−3 y−2 z=1−x+2 y+4 z=2

Se desarrolla aplicando la regla de Sarrus que consiste en repetir las dos primeras filas debajo de la tercera fila o las dos primeras columnas a la derecha de la tercera columna, para luego operar como se indica en los ejemplos siguientes:

1. En este ejemplo vamos a repetir las dos primeras filas.

(-4)(6)(1) = -24

(-1)(2)(5) = -10

|A|=¿ (-3)(3)(4) = -36

-70

(5)(6)(-3) = -90

(4)(2)(-4) = -32

(1)(3)(-1) = -3

-125

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RECORDEMOS EL DESARROLLO DEL DETERMINANTE DE TERCER ORDEN

Luego se resta: resultado inferior – resultado superior

|A|=−125−(−70 )=−125+70=−55

∴|A|=−55

11TERCERO DE SECUNDARIA

2. En este ejemplo vamos a repetir las dos primeras columnas.

(1)(6)(-4) = -24 (2)(-1)(5) = -10 (-3)(4)(3) = -36

5 3 -70|A|=¿ 4 6 1 2

(-4)(4)(2) = -32 (3)(-1)(1) = -3 (5)(6)(-3) = -90 -125

MÉTODO DE DETERMINANTES O POR EL MÉTODO DE CRAMERSupongamos el sistema de ecuaciones lineales con coeficientes literales.

{a1 x+b1 y+c1 z=d1

a2 x+b2 y+c2 z=d2

a3 x+b3 y+c3 z=d3

Por determinantes obtenemos:

x = |d1 b1 c1

d2 b2 c2

d3 b3 c3|

|a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3| ; y =

|a1 d1 c1

a2 d2 c2

a3 d3 c3|

|a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3|; z =

|a1 b1 d1

a2 b2 d2

a3 b3 d3|

|a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3|

Ejemplo:

1. Resolver:2 x+ y+z=13 x+2 y+2 z=1x−2 y−z=0

Solución:

Por el método de Cramer obtenemos: (recuerda que debemos aplicar el método de Sarrus en el numerador y el denominador)

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Luego se resta: resultado inferior – resultado

12TERCERO DE SECUNDARIA

A) x=|1 1 11 2 20 −2 −1||2 1 13 2 21 −2 −1|

, luego:

- Para el numerador: = (−2 )+(−2 )+( 0 )−(0 )−(−4 )−(−1)=1

- Para el denominador: ¿ (−4 )+(−6 )+ (2 )−(2 )− (−8 )−(−3)=1

Luego: x=11=1∴ x=1

B) y=|2 1 13 1 21 0 −1|

|2 1 13 2 21 −2 −1|

, luego:

- Para el numerador:

= (−2 )+(0 )+ (2 )−(1 )−( 0 )−(−3)=2

- Para el denominador, se utiliza el mismo valor encontrado con anterioridad (1)

Luego: y=21=2∴ y=2

C) z=|2 1 13 2 11 −2 0|

|2 1 13 2 21 −2 −1|

, luego:

- Para el numerador:

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13TERCERO DE SECUNDARIA

= (0 )+ (−6 )+(1 )−(2 )−(−4 )−(0 )=−3

- Para el denominador, se utiliza el mismo valor encontrado con anterioridad (1)

Luego: z=−31

=−3∴ z=−3

Finalmente el conjunto solución del sistema es: S= {(1;2 ;−3 ) }

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14TERCERO DE SECUNDARIA

2. Resolver:3 x+2 y+z=15 x+3 y+4 z=2x+ y−z=1

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AHORA TE TOCA A TI

15TERCERO DE SECUNDARIA

3. Resolver:5 x−3 y−z=1x+4 y−6 z=−12x+3 y+4 z=9

4. Resolver:

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16TERCERO DE SECUNDARIA

2 x− y+2 z=63 x+2 y−z=44 x+3 y−3 z=1

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17TERCERO DE SECUNDARIA

PROBLEMAS CON SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON TRES VARIABLES

1. La suma de tres números es 19, la suma de los dos primeros es 16 y la suma de los dos últimos es 12. Hallar los números.Solución:Sean los tres números: x, y, z.Del enunciado, obtenemos:

{ x+ y+z=19 …… (1)x+ y=16 ……… ..(2)y+z=12 … ..……(3)

Sumamos miembro a miembro las ecuaciones (2) y (3):( x+ y )+( y+z )=28ó ( x+ y+z )+ y=28……….(4)

Reemplazamos (1) en (4):19+ y=28∴ y=9

Reemplazamos el valor de “y” en (2):x+9=16∴ x=7

Reemplazamos el valor de “y” en (3):9+z=12∴ z=3

Los números pedidos son: {(7 ;9 ;3 ) }

2. La suma de tres números es 32, la suma de los dos primeros es igual al tercero y la semisuma del primero con el tercero es igual al segundo aumentado en 1. ¿Cuáles son los números?Solución:

Sean los tres números: a, b, cDel enunciado, obtenemos:

{ x+ y+z=32 ………… ..(1)x+ y=z ………………. …(2)x+z

2= y+1…………….(3)

Reemplazamos (2) en (1):x+ y+z=32 z+z=32 →∴ z=2

De la ecuación (3) obtenemos:

Reemplazamos el valor de z→ x+16=2 y+2∴ x=2 y+14 …….. ( 4 )

Reemplazamos (4) en (2):x+ y=z → (2 y−14 )+ y=163 y=30∴ y=10

Reemplazamos los valores de “y”, “z” en (1):x+10+16=32∴ x=6

Los números pedidos son:{(6 ;10 ;16 ) }

3. La suma de los tres dígitos de un número es 12. La suma del dígito de las centenas y el dígito de las decenas exceden al dígito de las unidades en 4 y la suma del dígito de las centenas y el dígito de las unidades exceden al dígito de las decenas en 4. Hallar el número.Solución:Sea el número de tres dígitos = cdu, donde:u = unidadesd = decenasc = centenasDel enunciado, planteamos las siguientes ecuaciones:

{c+d+u=12 …………… ……..(1)(c+d )−u=4 ………………. …(2)(c+u )−d=4 ………………….(3)

Sumamos miembro a miembro las ecuaciones (2) y (3):

c+d−u=4 ………………. …(2)c+u−d=4 ………………….(3)

2 c=8 → c=4

Reemplazamos los valores de “c” en (2):(4+d )−u=4∴d=u

Reemplazamos los valores de “c” y “d” en (1): 4+u+u=12→ 2 u=8∴u=4 ; también :d=4

El número pedido es: cdu=444

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18TERCERO DE SECUNDARIA

x+z2

= y+1→ x+z=2 y+2

PROBLEMAS propuestos

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19TERCERO DE SECUNDARIA

Nivel 1Resolver por el método de reducción:

1. {2x+2 y+2 z=8x+ y=2y+z=5

a. {(−1 ;2 ;4 ) }b. {(2 ;1 ;5 ) }c. {(−1 ;3 ;2 ) }d. {(1 ;1;1 ) }e. {(−1 ;0 ;3 ) }

2. {3x+3 y+3 z=21x+ y=6y+z=5

a. {(2 ;4 ;1 ) }b. {(1 ;3 ;2 ) }c. {(2 ;3 ;4 ) }d. {(2 ;−1; 4 ) }e. {(−4 ;1 ;3 ) }

3. {3 x+2 y−z=64 x− y+ z=3

x−3 y+z=−4

a. {(2 ;2 ;−2 ) }b. {(1 ;2 ;1 ) }c. {(2 ;1 ;3 ) }d. {(1 ;2 ;3 ) }e. {(3 ;2 ;1 ) }

Resolver por el método de sustitución:

4. { x−2 y+3 z=82x+2 y−z=−53 x−2 y+2 z=3

a. {(1 ;2 ;3 ) }b. {(1 ;2 ;1 ) }c. {(−1 ;3 ;4 ) }d. {(−1 ;2 ;3 ) }e. {(−1 ;0 ;3 ) }

5. {2 x− y+3 z=−123 x−3 y+3 z=−9

x+2 y−3 z=0

a. {(2 ;1 ;2 ) }b. {(−3 ;−3 ;−3 ) }c. {(−2 ;−2;−3 ) }d. {(3 ;3 ;3 ) }e. {(2 ;2 ;2 ) }

6. { 10 x+3 y−z=19 x−3 y−3 z=−12

7 x+3 y−2 z=6

a. {(−1 ;3 ;2 ) }b. {(1 ;2 ;3 ) }c. {(−1 ;3 ;−2 ) }d. {(1 ;2 ;4 ) }e. {(−1 ;−2;−3 ) }

Resolver por el método de igualación:

7. {x+3 y=13y+3 z=6

3 x+z=13

a. {( 4 ;3 ;2 ) }b. {(5 ;4 ;2 ) }c. {(2 ;2 ;3 ) }d. {( 4 ;3 ;1 ) }e. {(2 ;4 ;3 ) }

8. { 2 x+3 y=42 y+3 z=4

3 x+2 z=−3

a. {(−1 ;2 ;0 ) }b. {(0 ;0 ;0 ) }c. {(−1 ;−1;−1 ) }d. {(−1 ;0 ;−2 ) }e. {(3 ;5 ;1 ) }

9. { 3 x+ y+z=8x+3 y+z=10x+ y+3 z=12

a. {(1 ;2 ;0 ) }b. {(3 ;2 ;1 ) }c. {(1 ;3 ;5 ) }d. {(1 ;2 ;3 ) }e. {(1 ;2 ;1 ) }

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20TERCERO DE SECUNDARIA

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21TERCERO DE SECUNDARIA

Nivel 2

Resolver por el método de Cramer:

10.{ 2 x+ y−z=0x+3 y+2 z=5x− y+4 z=9

a. {(1 ;2 ;0 ) }b. {(1 ;0 ;1 ) }c. {(1 ;0 ;5 ) }d. {(1 ;0 ;2 ) }e. {(1 ;2 ;1 ) }

11.{ x+ y−z=2x+3 y+2 z=4x− y+4 z=0

a. {(1 ;1; 0 ) }b. {(1 ;1;1 ) }c. {(1 ;0 ;2 ) }d. {(2 ;0 ;2 ) }e. {(0 ;2 ;1 ) }

12.{ x−2 y+z=3−x+ y−2 z=12 x−3 y+z=2

a. {(−4 ;−2; 0 ) }b. {(−5 ;0 ;0 ) }c. {(−5 ;0 ;−4 ) }d. {(−5 ;−4 ;0 ) }e. {(0 ;−2 ;−3 ) }

13.Si: { x+ y+z=−82 x− y−z=−1

x+2 y+3 z=−13El valor de x2− y2−z2 , es:

a. −30b. −20c. 14d. −16e. −8

El valor de 3√ ( x+ y−z )2, es:a. 4b. 8c. 2d. −4e. −2

15.Si: {x+1x+2

=5+zz+6

z−3z−4

= 2− y4− y

z+1z+2

=x−1x+2

El conjunto solución, es:a. {( 4 ;0 ;−4 ) }b. {(−4 ;0 ;4 ) }c. {( 4 ;−4 ;0 ) }d. {(0 ; 4 ;−4 ) }e. {(−4 ;4 ;0 ) }

16.Si: {x+ y8

= y+z9

= x+z5

3 x+ y+2 z=18

El valor de x2+ y2+z2 , es:

a. 49b. 36c. 41d. 53e. 61

Nivel 3

17.La suma de tres números es 36, la suma de los dos primeros es 21 y la suma de los dos últimos es 24. Hallar el doble del mayor de dichos números.

a. 24b. 18c. 30d. 36e. 28

18.Luisa tiene S/.1560 en 36 billetes de S/.20; S/.50 y S/.100. Si el número de billetes de S/.50 es el doble del

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22TERCERO DE SECUNDARIA

14.Si: { x+ y+ z=2x+2 y−z=−12

2x+3 y−z=−15

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número de billetes de S/.100, ¿cuántos billetes de S/.20 tiene Luisa?

a. 6b. 16c. 12d. 24e. 18

1. De los tres ángulos de un triángulo ABC, el ángulo A excede en 30° al ángulo B, y este excede en 30° al ángulo C. ¿Qué clase de triángulo es el triángulo ABC?

a. Isóscelesb. Isósceles rectánguloc. Rectángulod. Equiláteroe. Escaleno

2. Alicia repartió 20 soles entre 20 niños, de modo que el que tenía 3 años recibió 3 soles, el que tenía dos años recibió 2 soles y el que tenía medio año, 0,5 soles. La diferencia entre el número de niños de 2 años y el número de niños de 3 años es:a. 2 b. 3 c. 4d. 5 e. -1

23TERCERO DE SECUNDARIA

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24TERCERO DE SECUNDARIA

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