sistema de ecuaciones algrebraicas no lineales

8/16/2019 sistema de ecuaciones algrebraicas no lineales

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apitulo VI

Sistema de Ecuaciones

Algebraicas No Lineales

ING. CRISTIAN CASTRO P.


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Agenda• Planteamiento del problema

• Método de Punto Fijo• Método de Newton

• Variantes del método de Newton

• Evaluación diferida del jacobiano

• Aproximación por diferencias finitas

• Newton unidimensional

• Métodos cuasi-Newton (Broyden)


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Introduccion• Se pretende que al final de la exposición el estudiante pueda

reconocer los sistemas de ecuaciones no lineales y pueda

resolverlos por medio de adaptaciones a los métodos Newton-

Raphson e Iteración de Punto Fijo

0).,..........,(.

.

.

0).,..........,(

0).,..........,(

21

212

211

nn

n

n

x x x f

x x x f

x x x f

• La solución de este sistemaconsta de valores xi que

simultáneamente hacen que

todas las ecuaciones sean

iguales a cero


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Teoría de sistemas de Ecuaciones

No lineales• La forma general de un sistema de ecuaciones no lineales es:

f 1(x1, x2 x3, …, xn) = 0

f 2(x1, x2 x3, …, xn) = 0f 3(x1, x2 x3, …, xn) = 0

....................................

f n(x1, x2 x3, …, xn) = 0

Definiendo una función F

F(x1, x2 x3, …, xn) = [f 1(x1, x2 x3, …, xn),f 2(x1, x2 x3, …, xn),f 3(x1, x2 x3, …, xn) , f n(x1, x2 x3, …, xn)]

Usando una notacion vectorial para representar las variables X1,X2,…,Xn ).El sistema puede representarse por F(x)=0

La solución a este sistema es el vector X=[x1, x2 x3, …, xn]

que hace que simultaneamente todas las ecuaciones sean igual a 0.


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Teoría de sistemas de Ecuaciones

No linealesMétodos de Solución :

• Método de Iteración de Punto Fijo para sistemas deecuaciones no lineales (Método de punto fijo multi

variable).

• Método de Newton para sistemas de ecuaciones no

lineales.


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SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES


8/77


f(x, y)=0

g(x, y)=0

x

y

x*

y*


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SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES

-2

0

2

4

6

8

10

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

2x xy 10

2y 3xy 57 (2, 3)


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Notación

f x x xf x x x

f x x x

f IR IR

x x f x x

n

n

n n

i

n

n i n

1 1 2

2 1 2

1 2

1 1

00

0

( , ,..., )( , ,..., )

( , ,..., )

:

( ,..., ) ( ,..., )

F x F IR IR x x x f x f x

n n

n n

( ) :( , ... , ) ( ( ), ... ( ))

01 1

• Escalar

• Vectorial


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Resolución iterativa• x(0) estimación inicial de la solución

• Iteraciones: x(1), x(2), …, x(k)

• Criterio de convergencia

• | x(k+1) x(k) | < tol

• Criterio de parada

• k > maxiter


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Esquema del algoritmo• Entrada: f, x0, tol, maxiter

• Proceso• Inicializar incr, iter

• Mientras incr > tol & iter < maxiter

• Obtener x• incr = norm(x x0)

• Actualizar x0, iter

• Salida: x, iter, incr • Si incr > tol no converge


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Método de Iteración de Punto fijo para

Sistemas de Ecuaciones no Lineales

Anteriormente se desarrollo el método de iteración de punto fijo para resolver la ecuación f(x)=0 transfor-mando esta ecuación en una ecuación de la forma

x= g(x),

usando el criterio de convergencia

|g’(x)|


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Sistemas de Ecuaciones no LinealesPara el caso de un conjunto de Ecuaciones No lineales

utilizaremos un procedimiento similar extendiéndolo a

todas las ecuaciones, usando un criterio de convergencia:Una condición suficiente aunque no necesaria,para asegurar la convergencia es que

Para todos los puntos (x1,x2) de la región del

plano que contiene todos los valores (x1k, x2k )y la raíz buscada.

||

1

1

x g ;1||

1

2 M x g

||

2

1

x g ;1||

2

2 M x g


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Método de Punto Fijo• Punto fijo

• Estimación inicial

• Iteraciones

• Criterio de paradax G x

k k ( ) ( )

( )

1

x x xn( ) ( ) ( )( ,..., )0 10 0

x x tol

k k ( ) ( )

1

F x x G x( ) ( ) 0


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Algoritmo de Punto Fijofunction [x,iter,incr] = pfijo(g,x0,tol,

maxiter)

iter = 0;

incr = tol + 1;

while incr > tol & iter < maxiter

x = feval(g,x0);

incr = norm(x - x0);

iter = iter + 1;

x0 = x;

end

if incr > tol, disp(‘No converge’), end


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MÉTODO DE PUNTO FIJO EN


1. Considera la intersección de dos funciones no lineales f(x, y)

=0 y g(x, y)=0.2. La intersección de las curvas f(x, y)=0 y g(x, y)=0 nos da la

raiz (xr, yr).

3. El método consiste en obtener las funciones que tengan las

mismas raices (xr, yr):

x-F(x, y) = 0

y-G(x, y) = 0

4. Considerar un valor inicial (x0, y0), como aproximación a la

raíz, evaluar: x1=F(x0, y0) y1=G(x0, y0)

5. El proceso se repite n veces hasta tener valores muy cercano

s a las raíces.


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Ejemplo• Sistema no lineal

• Problema de Punto Fijo

3 081 01 106 0

20 10 3 1 0

1 2 31

2

1

2

2

2

3

31 2

x x xx x x

e xx x

cos( )( . ) sen( .

/

x x x

x x x

x e x x

1 2 31

6

21

9 1

2

3

31

20

3

106 01

1 61 2

cos( ) /

sen . .

( ) /


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x x x

x x x

x x x

k k k

k k k

k k k

1

1

2 31

6

2

1 1

9 1

1 2

3

3

1 120 1

1

2

1

3

1 06 0 1

1 6

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

cos( ) /

sen . .

exp /

• Punto Fijo con desplazamientos simultáneos

• Punto Fijo con desplazamientos sucesivos

x x x

x x x

x x x

k k k

k k k

k k k

1

1

2 31

6

2

1 19 1

2

3

3

1 120 1 2

3

106 01

1 6

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

cos( ) /

sen . .

exp /


20/77

Código de la función

function y=f(x)% Función para el método de punto

% fijo con desplazamientos simultáneos

y(1) = cos(x(2)*x(3))/3 + 1/6;

y(2) = sqrt(x(1)^2+sin(x(3))+1.06)/9-0.1;

y(3) = (1-exp(-x(1)*x(2)))/20 - pi/6;


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Ejemplo 1: Desp. simultáneos

Iter x1(k)

x2(k)

x3(k)

0 0.10000000 0.10000000 -0.10000000

1 0.49998333 0.00944115 -0.52310127

2 0.49999593 0.00002557 -0.52336331

3 0.5 0.00001234 -0.52359814

4 0.5 3.41679E8 -0.52359847

5 0.5 1.64870 E8 -0.52359877


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Código de la función

function y=f(x)% Función para el método de punto

% fijo con desplazamientos sucesivos

y(1) = cos(x(2)*x(3))/3 + 1/6;

y(2) = sqrt(y(1)^2+sin(x(3))+1.06)/9-0.1;

y(3) = (1-exp(-y(1)*y(2)))/20 - pi/6;


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Ejemplo 1: Desp. sucesivos

Iter x1(k) x2(k) x3(k)

0 0.10000000 0.10000000 -0.10000000

1 0.49998333 0.02222979 -0.523046132 0.49997747 0.00002815 -0.52359807

3 0.5 3.762202E-8 -0.52359877

4 0.5 5.028E-11 -0.5235987756


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MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN


iteració

nx

iy

i err i

1 1.5 3.5 ---

2 2.0000 3.4480 0.5027

3 1.8355 2.9875 0.4890

4 2.0734 3.1319 0.2782

5 1.9211 2.9428 0.2427

6 2.0559 3.0626 0.1803

7 1.9537 2.9572 0.1468

8 2.0363 3.0365 0.1145

9 1.9713 2.9721 0.0915

2x xy 10 2y 3xy 57

x = 2 y = 3

xn=10/(x+y)

yn=((57-y)/(3x))^(1/2)

err=sqrt((xn-x)^2+(yn-y)^2)


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iteració

nx

iy

i err i

1 1.5 3.5 ---

2 2.0000 2.9861 0.7170

3 2.0056 2.9962 0.0116

4 1.9993 3.0006 0.0077

5 2.0000 3.0000 0.0010

2x xy 10 2y 3xy 57

x = 2 y = 3

Variante Seidel

xn=10/(x+y)

yn=((57-y)/(3xn))^(1/2)

err=sqrt((xn-x)^2+(yn-y)^2)

Converge mas rápido!!!


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SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESSin embargo, con el método del punto fijo, la convergencia dependede la manera en que se formulen las ecuaciones de recurrencia y de haber elegido valores iniciales lo bastante cercanos a la solución

En las dos formulaciones siguientes el método diverge.

iteración xi

yi

1 1.5 3.5

2 1.45578231 5.166666667

3 0.64724246 5.413376566

iteración xi

yi

1 1.5 3.5

2 2.21428571 -24.375

3 -0.20910518 429.713648

x = (57 - y)/3y2 y = (10 - x2)/x

x = (10 - x2)/y y = 57 - 3xy2


27/77


sistemas de Ecuaciones no LinealesEjemplo

Encuentre una solución del sistema de ecuaciones no lineales

Solución

Con el despeje de X1 del termino (-10X1) en la primera ecuación y de X2del termino de (-10X2) en la segunda ecuación resulta.

X1=(X12+X22 + 8 )/ 10

X2=(X1X22+X1 + 8 ) / 10

0),(

0),(

810

810

212

21212

22121211

x x x x x x f

x x x x x f


28/77

Por medio de Iteración por desplazamientos simultáneos

x1k+1 = g1(x1k , x2k )

x2k+1 = g2(x1

k , x2k )

Con los valores iniciales x10 = 0 , x2

0 = 0 se inicia el proceso

Primera iteración

X11

=(02

+02

+ 8 ) / 1 0 = 0 . 8

X21=(0(0)2 + 0 + 8 ) / 10 = 0.8


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Segunda iteración

X12=((0.8)2+(0.8)2 + 8)/ 10 = 0.928

X22=(0.8(0.8)2 + 0.8 + 8 ) / 10 = 0.9312

Al continuar el proceso iterativo, se encuentra la siguient

e sucesión de valores

k

X1k X2

k

0 0.00000 0.00000

1 0.80000 0.80000

2 0.92800 0.93120


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k

X1k X2

k

3 0.97283 0.97327

4 0.98937 0.98944

5 0.99578 0.99579

6 0.99832 0.99832

7 0.99933 0.99933

8 0.99973 0.99973

9 0.99989 0.99989

10 0.99996 0.99996

11 0.99998 0.99998

12 0.99999 0.99999

13 1.00000 1.00000


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• Cualquiera que sea el sistema que se va a resolver

con este método, puede aumentarse la velocidad deconvergencia usando desplazamientos sucesivosen lugar de los desplazamientos simultáneos esdecir se itera mediante

x1k+1 = g1(x1

k , x2k )

x2k+1 = g2(x1

k+1 , x2k )

Como en el caso lineal (Jacobi y Gauss-Seidel), sila iteración por desplazamientos simultáneosdiverge generalmente el método por desplazamientos

sucesivos divergiría mas rápido; es decir se detectamas rapido la divergencia, por lo que en general se recomienda el uso de desplazamientos sucesivos enlugar de desplazamientos simultáneos .


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Un sistema de ecuaciones no lineales

con dos incógnitas “x” y “y”

0573),(

010),(

2

2

xy y y xv

xy x y xu

Así la solución de este sistema son los valores de ( x , y ) que

hacen a las funciones u y v iguales a cero.

Para resolver estas ecuaciones se utilizan extensiones de losmétodos abiertos antes vistos.


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Resolución del sistema de ecuaciones

no lineales• Utilizando la iteración de punto fijo.

La aproximación de la iteración de punto fijo, vista

anteriormente, se puede modificar para resolver dos

ecuaciones simultáneas no lineales

Las modificaciones y las desventajas de este métod

o se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo


34/77

Ejemplo

0573),(

010),(

2

2

xy y y xv

xy x y xu

Solución

i

ii

y

x x

2

1

10

Con base en los valores iniciales

21429.25.3

)5.1(10 2

x

2

1 357 iii y x y

37516.24)5.3()21429.2(357 2 y

La aproximación diverge, pero si se cambia la formulación,

los resultados difieren.

Sistema de ecuaciones no lineales.

Valores iniciales x=1.5 y=3.5.La solución es x=2 y=3


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98340.2

02046.23

04955.357

02046.204955.394053.110

º3

04955.394053.13

86051.257

94053.186051.217945.210

º2

86051.217945.23

5.357

17945.25.35.110

357

10

y

x

Iteración

y

x

Iteración

y

x

Evaluando

x y y

xy x

%22.2

%96.3

_

_

ya

xa

E

E

%55.0

%02.1

_

_

yt

xt

E

E

Como se observa en esta ocasión

la aproximación no diverge.


36/77

• Resuelva el sistema del ejemplo anterior utilizando

el método de punto fijo para sistemas no lineales

con desplazamientos sucesivos.

0),(

0),(

810

810

212

21212

221

21211

x x x x x x f

x x x x x f

Problema Propuesto


37/77




38/77




39/77

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON EN



40/77




41/77



Mét d d N t i t


42/77

Método de Newton para sistemas

de ecuaciones no lineales• Todas las ecuaciones deben de ser cero en las raíces

• Se define la matriz J(x) como:

1

,1

x

f i

2

,1

x

f i

n

i

x

f

,1

1

,2

x f i

2

,2

x f i

n

i

x f

,2

1

,

x f in

2

,

x f in

n

in

x f

,

..........

..........

..........

.................................

....................

J(x) =

Mét d d N t i t d


43/77

Método de Newton para sistemas de

ecuaciones no lineales• Entonces podemos escribir

F(x)+Xi J(x)=Xi+1 J(x)

• Dividiendo J(x) y reacomodando:

Xi+1= Xi-J(x)-1 F(x)

Esta es la Ecuación de Newton para sistemas No Lineales

Puesto que en cada iteración se tiene que calcular la inver

sa de la matriz J(x)y esto implica un considerable esfuerzode cálculo , para evitar este paso se utiliza el artificio de en

contrar un vector Y que satisfaga

J(x)Y= -F(x)

• Se establece un esquema iterativo donde cada nueva aproxi-mación se obtiene como:

X(k+1) = y +x(k)

Se resuelve el sistema tomando como valores iniciales


44/77

Método de Newton• Sistema de ecuaciones

• Aproximación por el plano tangente

• Paso de Newton

F xF IR IR

x x x f x f x

n n

n n

( ):

( , ... , ) ( ( ), ... ( ))

01 1

F x F x DF x x x( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0

x x DF x F x( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 0 0 1 0


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Algoritmo de Newtonfunction [x,iter,incr] = newton(f,x,tol, m

axiter)iter = 0; incr = tol+1;

while incr > tol & iter < maxiter

[fx,dfx] = feval(f,x);delta = - dfx \ fx;

incr = norm(delta);

iter = iter+1;x = x + delta;

end

if incr>tol, disp(‘No converge’), end

El archivo f.mevalúa la función

y el jacobiano

É


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u(x, y)

v(x, y)

x

yNo sepuedemostrar laimagen en estemomento.

x1

y1

É


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SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES• Este procedimiento corresponde, analíticamente, a extender

el uso de la derivada, ahora para calcular la intersección

entre dos funciones no lineales.

• Al igual que para una sola ecuación, el cálculo se basa en

la expansión de la serie de Taylor de primer orden, ahora de

múltiples variables, para considerar la contribución de más

de una variable independiente en la determinación de la raíz.

• Para dos variables, la serie de Taylor de primer orden se

escribe, para cada ecuación no lineal:

i i

i 1 i i 1 i i 1 i

i ii 1 i i 1 i i 1 i

u u

u u (x x ) (y y )x y

v vv v (x x ) (y y )

x y

É


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SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES• Pero ui+1 = vi+1 = 0 :

• Que reescribiendo en el orden conveniente:

i i i ii 1 i 1 i i i

i i i i

i 1 i 1 i i i

u u u ux y u x yx y x y

v v v vx y v x y

x y x y

i i i ii i 1 i i 1 i

i i i i

i i 1 i i 1 i

u u u uu x x y y 0x x y y

v v v vv x x y y 0

x x y y



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SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES• Y cuya solución es:

• Donde J es el determinante jacobiano del sistema es:

i i

i i

u v

x xJu v

y y

i ii i

i 1 i

v uu vy y

x xJ

i ii i

i 1 i

u vv ux xy y

J



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iteración xi yi ui vi ux uy vx vy Jacobiano

1 1.5 3.5 -2.5 1.625 6.5 1.5 36.75 32.5 156.125

2 2.03602882 2.8438751 -0.064374959 -4.756208497 6.915932746 2.036028823 24.26287675 35.74127004 197.7843034

3 1.99870061 3.002288563 -0.004519896 0.04957115 6.999689781 1.998700609 27.04120985 37.00405588 204.9696292

4 1.99999998 2.999999413 -1.28609E-06 -2.21399E-05 6.999999381 1.999999984 26.99998944 36.99999267 204.9999473

5 2 3 0 2.23821E-12 7 2 27 37 205

x2 + xy - 10 = 0 y + 3xy2 - 57 = 0

x = 2

y = 3



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SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESSistema de ecuaciones lineales por el método de Newton Raphson

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

1 2 3 4 5 6

convergencia

i t e r a c i o n e s

x

y

2x xy 10 2y 3xy 57


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Resolución del sistema de ecuaciones

no lineales

y

v y y

x

v x xvv

yu y y

xu x xuu

iii

iiiii

iiiiiiii

)()(

)()(

111

111

)(

)('1

i

i

ii x f

x f

x x

Utilizando Newton-Raphson.

Este cálculo se basa en la expansión de la serie de Taylorde primer orden y con ella se obtiene la ecuación para este

método.

La serie de Taylor de primer orden para el caso de dos variables.

)()()()( '

11 iiiii x f x x x f x f


53/77

x

v

y

u

y

v

x

u x

v

u x

u

v y y

x

v

y

u

y

v

x

u

y

uv

y

vu

x x

iiii

i

i

i

i

ii

iiii

ii

ii

ii

1

1

Por medio de manipulación matemática y la regla de Cramer.

El denominador de ambas ecuaciones es conocido como

el determinante Jacobiano del sistema.


54/77

0573),(

010),(

2

2

xy y y xv

xy x y xu

5.32)5.3)(5.1(6161

75.36)5.3(33

5.1

5.65.3)5.1(22

0

220

0

0

xy y

v

y x

v

x y

u

y x xu

Solución.

El Jacobiano para la primera iteración.

125.156)75.36)(5.1()5.32)(5.6(


55/77

Evaluando en las funciones.

84388.2125.156

)75.36)(5.2()5.6(625.15.3

03603.2125.156

)5.1(625.1)5.32(5.25.1

625.157)5.3)(5.1(35.3

5.210)5.3(5.1)5.1(

1

1

2

0

2

0

y

x

v

u

Iteración Variable Valor Error Aprox Error True

2

x 1,9986 1,87% 0,07%

y 3,0027 5,29% 0,09%

3

x 2 0,07% 0%

y 3 0,09% 0%


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Método de Newton. Ejemplo 2

• Sistema

• Estimación inicial

• Primera

iteración

x y

x ySol x y

2 2

2 2 12

12

34

1 0

0

: ,

x y0 01 3 ,

x

y

x

y

x y

x y

x y

x y

1

1

0

0

0 0

0 0

1 02

02

0

2

0

2 12

2 2

2 2

1

R lt d N t Ej l 2


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Resultados Newton Ejemplo 2

k x y

0 1 3

1 0.62500000000000 1.62500000000000

2 0.51250000000000 1.043269230769233 0.50015243902439 0.88108161999291

4 0.50000002323057 0.86615404660332

5 0.50000000000000 0.86602541333757

6 0.50000000000000 0.86602540378444

é d d j l


58/77

DF x

x x x x x x

x x x

x e x ex x x x( )

sen( ) sen( )

( . ) cos( )

3

2 162 01

20

3 2 3 2 2 3

1 2 3

2 11 2 1 2

Método de Newton. Ejemplo 3

• Sistema no lineal

• Jacobiana

3 081 0 1 1 06 0

20 10 3 1 0

1 2 3

1

2

1

2

2

2

3

31 2

x x xx x x

e xx x

cos( )( . ) sen( .

/

R lt d N t Ej l 3


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Resultados Newton. Ejemplo 3

k x1 x2 x30 0.10000000 0.10000000 0.100000001 0.49986967 0.01946685 0.52152047

2 0.50001423 0.00160764 0.523131663 0.50000012 1.48294E5 0.523558724 0.50000000 2.08910E8 0.523598405 0.50000000 2.792E11 0.523598786 0.50000000 4.E14 0.52359878

Variantes del Método de Newton


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Variantes del Método de Newton

Actualización periódica del

Jacobiano Aproximación del Jacobiano por

diferencias divididas

Newton con desplazamiento

unidimensional

Métodos cuasi Newton


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Métodos cuasi-Newton

• Idea de la secante

• No usa las derivadas

parciales

• Convergencia superlineal

• Formulación matricial

1

)1()1()2(

01

01

11

a

)x(f xx

xx

)x(f )x(f

a)x('f

)x(FAxx

A)x(DF)1(1

1

)1()2(

1

)1(

Mét d d B d


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Método de Broyden


63/77

Método de Broyden


64/77

Método de Broyden

Método de Broyden


65/77

Método de Broyden

Método de Broyden


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Método de Broyden

Método de Broyden


67/77

Método de Broyden

Método de Broyden


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Método de Broyden

1)(k (k)

k

1)(k (k)

k

T

k 2k

k 1k k

1k k

(k)1

k

(k)1)(k

xxs

)F(x)F(xy

ss

)sA(y

AA

)F(xAxx

Iterar

siendo

Actualización de la inversa


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Actualización de la inversa

A Ay A s

ss

A s A y s A

s A yk

k k k k k

k

k

k

k k k k k

k k k

1 1 12

1

1

1 11 11

1

1 12

( )

( ) , ,...

T

T

T

Algoritmo de Broyden


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Algoritmo de Broyden

• Entrada

• x0

,tol, maxiter

• Inicio

• M: Inversa del Jacobiano en x0

• x1 = x0

M*F(x0)• incr, iter

• Iteraciones: k = 1, 2, ...

• Actualizar M % Ak-1-1

Ak -1

• xk+1 = xk M*F(xk )


71/77

Algoritmo while incr > tol


72/77

g

de Broyden

% Inicio

v = F(x0)

M = inv(DF(x0))

% Inversa Jacobiano

s = M*v;

x = x0+s;

% Paso de Newton

incr = norm(s);

while incr > tol

w = v; % F(x(k 1))

v = F(x);

y = vw; % F(x(k)) F(x(k 1))

z = M*y; % inv(A(k 1))*y(k)

p = s' *z;

q = s' *M; % s(k)'*inv(A(k 1)

R = (s+z)*q/p;

M = M+R; % inversa de A(k)

s = M*v;

x = x+s; % Paso de Broyden

incr = norm(s);

end

Resultados de Broyden.


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Ejemplok x1 x2 x3

0 0.10000000 0.10000000 0.100000001 0.49986967 0.01946684 0.521520472 0.49998637 0.00873783 0.523174573 0.50000660 0.00086727 0.523572344 0.50000032 0.00003953 0.52359768

5 0.50000000 0.00000019 0.52359877

Alternativas al primer paso


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Alternativas al primer paso

• Estimar el Jacobiano por diferencias divididas

• Estimación unidimensional del Jacobiano

))xx/()).x(F)x(F((diagA 01010

Conclusiones


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• Una seria desventaja de la iteración es quela convergencia depende de la manera en

que se formula la ecuación

• El método Newton Raphson para dosecuaciones se puede generalizar para

resolver n ecuaciones simultáneas.


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77/77

Muchas Gracias

sistema de ecuaciones algrebraicas no lineales

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