Unidad 5solución de Sistema de Ecuaciones Lineales

8/16/2019 Unidad 5solución de Sistema de Ecuaciones Lineales

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Unidad 5SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Gran número de problemas prácticos de ingeniería se reduce al problema deresolver un sistema de ecuaciones lineales por ejemplo pueden citarse la soluciónde ecuaciones no lineales

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, tambiénconocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es unconjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en dondecada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anilloconmutativo !n ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente"

Eliminación de gaussiana

El método de eliminación Gaussiana para la solución de sistemas de ecuacioneslineales consiste en convertir a través de operaciones básicas llamadasoperaciones de renglón un sistema en otro e#uivalente más sencillo cuyarespuesta pueda leerse de manera directa El método de eliminación Gaussianaes el mismo para sistemas de ecuaciones $%$, &%&, '%' y así sucesivamentesiempre y cuando se respete la relación de al menos una ecuación por cadavariable

ntes de ilustrar el método con un ejemplo, es necesario primeramente conocer las operaciones básicas de renglón las cuales son presentas a continuación"

mbos miembros de una ecuación pueden multiplicarse por una constantediferente de cero

$ *os múltiplos diferentes de cero de una ecuación pueden sumarse a otraecuación

& El orden de las ecuaciones es intercambiable

!na ve+ conocidas las operaciones #ue en mi afán por resolver un sistema deecuaciones puedo reali+ar procedo a ilustrar el método con un ejemplo"

esolver el siguiente sistema de ecuaciones"

- . $y . &+ /

'- . 0y . 1+/ 2$

3- . 4y . 5+ / 0

https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuacioneshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_linealhttps://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuacioneshttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1tica)https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas


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6onde cada ecuación representa un renglón y las variables iguales de las &ecuaciones representan las columnas , $ y & respectivamente

!sando el método de eliminación Gaussiana

7olución"

8ara simplificar las operaciones se retiran las variables y se mantienene-clusivamente los coeficientes de cada una, el signo de igual también eseliminado pero se mantienen los datos del lado derec9o de la ecuación

:uedando como sigue"

6iagonal principal

*a diagonal principal de la matri+ busca #uede conformada por solo unidades ()la parte inferior a la diagonal debe #uedar en ceros Esto se 9ace utili+ando lasoperaciones básicas de renglón para las ecuaciones, de arriba 9acia abajo y dei+#uierda a derec9a

;ultiplico la ecuación por 2' y al resto de la ecuación $, de igual forma lamultiplico por 23 y al resto de la & obteniendo

6espués divido la ecuación $ (renglón $) entre 2& para 9acer el componente de ladiagonal principal #uedando como sigue"

;ultiplico la ecuación $ (renglón $) por 1 y lo sumo a la ecuación & (renglón &)

!na ve+ lograda la diagonal principal formada por unidades y los datos por debajode la diagonal principal ceros reintegro las variables en cada ecuación y también elsigno igual de las ecuaciones obteniendo"

6onde el valor de +/ 5 y al sustituir este valor en la ecuación resultante $,tendríamos

y . $+ / $ al sustituir el valor de + obtenemos #ue"

y . $(5) / $

y . $5 / $

y / $< $5


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y / 24

l sustituir estos valores en la ecuación resultante se tiene"

- . $y . &+ /

7i +/ 5 y y/24, entonces el valor de - será"

- . $y . &+ /

- . $(24) . &(5)/

- = &1 . &5 /

- = 1 /

- / . 1

- / 3 *a solución del sistema de ecuaciones sería -/ 3, y/ 24, y +/ 5

El sistema de eliminación gaussiana es el mismo no importando si es un sistemade ecuaciones lineales del tipo $%$, &%&, '%' etc siempre y cuando se respete larelación de al menos tener el mismo número de ecuaciones #ue de variables

Método de gauss-o!d"n

Este método debe su nombre a >arl ?riedric9 Gauss y a @il9elm Aordán 7e tratade una serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los resultados de unsistema de ecuaciones lineales y así 9allar matrices e inversas El sistema deGauss se utili+a para resolver un sistema de ecuaciones y obtener las solucionespor medio de la reducción del sistema dado a otro #ue sea e#uivalente en el cualcada una de las ecuaciones tendrá una incógnita menos #ue la anterior *a matri+#ue resulta de este proceso lleva el nombre #ue se conoce como formaescalonadaEste método, permite resolver 9asta $5 ecuaciones simultáneas *o #ue lodiferencia del método Gaussiano es #ue cuando es eliminada una incógnita, seeliminará de todas las ecuaciones restantes, o sea, las #ue anteceden a laecuación principal así como de las #ue la siguen a continuación 6e esta manerael paso de eliminación forma una matri+ identidad en ve+ de una matri+ triangularBo es necesario entonces utili+ar la sustitución 9acia atrás para conseguir lasolución.


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8ara resolver sistemas de ecuaciones lineales con el método Gauss Aordán,debemos en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema deecuaciones lineales con la notación matricial, por ejemplo"

Cambién se le llama matri+ aumentada.*uego de reali+ado lo anterior procederemos a transformar dic9a matri+ en unamatri+ identidad, o sea una matri+ e#uivalente a la inicial, de la forma"

*ogramos esto aplicando a las distintas columnas y filas de las matrices, restas,sumas, multiplicaciones y divisiones 6ebemos tener en cuenta #ue lasoperaciones utili+adas se aplicarán en todos los elementos de la filaEn dic9a matri+ identidad no vemos los términos independientes Esto sucede ya#ue cuando la matri+ original alcance la matri+ identidad, los términos serán la

solución del sistema y verificarán la igualdad para cada variable #ue secorresponderán de la forma siguiente"D d / -D d$ / yD d& / +


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Método #auss-Seidel

El método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas suministrasoluciones suficientemente precisas 9asta para 0 o $5 ecuaciones El númeroe-acto depende de las ecuaciones de #ue se trate, del número de dígitos #ue seconservan en el resultado de las operaciones aritméticas, y del procedimiento deredondeo !tili+ando ecuaciones de error, el número de ecuaciones #ue sepueden manejar se puede incrementar considerablemente a más de 0 o $5, peroeste método también es impráctico cuando se presentan, por ejemplo, cientos deecuaciones #ue se deben resolver simultáneamente El método de inversión de

matrices tiene limitaciones similares cuando se trabaja con números muy grandesde ecuaciones simultáneas

7in embargo, e-isten varias técnicas #ue se pueden utili+ar, para resolver grandes números de ecuaciones simultáneas !na de las técnicas más útiles esel método de Gauss-Seidel Binguno de los procedimientos alternos es totalmentesatisfactorio, y el método de Gauss


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se pueden asignar valores seleccionados a!&it!a!iamente *os valoresiniciales utili+ados no afectarán la convergencia como tal, pero afectarán elnúmero de iteraciones re#ueridas para dic9a convergencia

$ '% 8artiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la

incógnita #ue tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utili+andopara las otras incógnitas los valores supuestos

& (% 8asar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita#ue tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utili+ando el valor calculado para la incógnita del paso $ y los valores supuestos para lasincógnitas restantes

' )% >ontinuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la incógnita #ue tiene el coeficiente más grande en cadaecuación particular, y utili+ando siempre los últimos valores calculados para

las otras incógnitas de la ecuación (6urante la primera iteración, se debenutili+ar los valores supuestos para las incógnitas 9asta #ue se obtenga unvalor calculado) >uando la ecuación final 9a sido resuelta, proporcionandoun valor para la única incógnita, se dice #ue se 9a completado unaiteración

0 5% >ontinuar iterando 9asta #ue el valor de cada incógnita, determinado enuna iteración particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa, en

una cantidad menor #ue cierto seleccionado arbitrariamente Elprocedimiento #ueda entonces completo

efiriéndonos al paso 0, mientras menor sea la magnitud del seleccionado,mayor será la precisión de la solución 7in embargo, la magnitud del epsilonnoespecifica el error #ue puede e-istir en los valores obtenidos para las incógnitas,ya #ue ésta es una función de la velocidad de convergencia ;ientras mayor seala velocidad de convergencia, mayor será la precisión obtenida en los valores de

las incógnitas para un dado

EEM*LO

esolver el siguiente sistema de ecuación por el método Gauss


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&5 < 5 $ < 5$ & / 340

5 . 35 $ < 5& & /


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>omparando los valores calculados entre la primera y la segunda iteración

>omo podemos observar, no se cumple la condición

Entonces tomamos los valores calculados en la última iteración y se toman comosupuestos para la siguiente iteración 7e repite entonces el proceso"

>omparando de nuevo los valores obtenidos

>omo se observa todavía no se cumple la condición

sí #ue 9acemos otra iteración


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>omparando los valores obtenidos

6ado #ue se cumple la condición, el resultado es"

X1 = 3.0

X2 = -2.5

X3 = 7.0

Uso de ,e!!amientas comutacionales

esolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales y valorar su aplicación endiversos campos de la ciencia y la técnica >onocer varias técnicas y suconfiabilidad, así como sus ventajas y desventajas Entender la importancia delmétodo de Gauss 7eidel para grandes sistemas de ecuaciones dispersos>omprender el valor de la diagonal dominante de un sistema Entender elfundamento de la relajación y cuando es apropiada su aplicación 6esarrollar unsoftare para implementar el método de Gauss = 7eidel

7e introduce el uso de la computadora Esta permite la resolución de grandesconjuntos de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas *os sistemas deecuaciones lineales simultáneas surgen de sistemas físicos o en diferentesconte-tos de problemas matemáticos Estos resultan cuando se re#uiere defunciones matemáticas #ue satisfagan varias condiciones en forma simultánea>ada condición resulta en una ecuación #ue contiene coeficientes conocidos yvariables desconocidas Es posible considerar dos tipos de sistemas #ue semodelan mediante ecuaciones algebraicas lineales


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!so de más cifras significativas" Es la manera más simple para el malcondicionamiento de los sistemas 7i se utili+a precisión e-tendida se reduce elproblema 7e paga un precio en cálculo y memoria

$) 8ivoteo" ntes de normali+ar es conveniente determinar el coeficiente másgrande disponible en la columna debajo del pivote 7i los renglones seintercambian se reali+a pivoteo parcial

&) Escalamiento" ;inimi+a los errores de redondeo, en a#uellos casos #ue ciertoscoeficientes de la ecuación son muc9o más grandes #ue otros 8or ej Escalar lasecuaciones de forma tal #ue el elemento má-imo en cual#uier renglón sea igual a

) 7istemas singulares" !n sistema de ecu 8uede estar mal condicionado cuandodos o más de las ecu 7on casi idénticas En tales casos se pierde un grado delibertad y se daría un caso imposible de n


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Unidad . solución de sistemas de ecuaciones no lineales

1.6Solución de sistemas de ecuaciones no lineales Puesto que, como se acaba

de señalar, los métodos que abordaremos serán de tipo iterativo y en ellos se

generara una sucesión de vectores que, en el mejor de los casos, se vayanaproximando hacia un vector solución, conviene comenzar recordando algunos

conceptos sobre sucesiones. En este sentido, en primer lugar, nos ubicaremos

en conjuntos sobre los que se haya de finido una forma de medir la distancia

entre sus elementos (esto es en un espacio métrico (E, d)). En este espacio

métrico comenzamos recordando la siguiente definición: Dada una sucesión

infinita de elementos {xi}∞i=1del espacio métrico (E, d) se dice que la sucesión

es convergente hacia el elemento x∗∈E, si para cualquier valor ε > 0 siempre

se puede encontrar un numero natural N tal que para todo ́índice n > N severifica que d(xn,x∗) < ε. Al elemento x∗ anterior se le denomina, si existe,

límite de la sucesión {xi}∞i=1Dada una sucesión infinita de elementos {xi}∞i=1

del espacio métrico (E, d) se dice que la sucesión es una sucesión de Cauchy,

si para cualquier valor ε > 0 siempre se puede encontrar un número natural N

El método de /aco&i

El método de Aacobi consiste en reali+ar una secuencia de transformaciones

ortogonales, cada transformación se denomina Hrotación de AacobiIJ y correspondea una rotación cuyo objetivo es eliminar a un elemento de la matri+ 7e va rotandosucesivamente la matri+ 9asta #ue el error es pe#ueKo para ser considerada unamatri+ diagonal !n concepto fundamental de este método es #ue, al rotar lamatri+ para eliminar un elemento #ue ya sea cero, se modifican varios elementossituados en la fila y la columna del elemento #ue se rota, #ue podían valer cero y9asta 9aber rotado con anterioridad >ada ve+ #ue se rota un elemento, todos los


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elementos #ue se insertan son función de la cantidad #ue se elimina ponderadapor una función trigonométrica, por lo #ue el valor absoluto de los elementosdistintos de la diagonal se reduce 9asta #ue se considera #ue son cero *acomposición de las rotaciones genera autovectores, en donde los elementos de ladiagonal principal corresponden a los autovalores *os métodos directos e

indirectos en general tienen con los redondeos, truncamientos y apro-imaciones ala solución real *os métodos iterativos representan una alternativa potente parasolucionar este inconveniente, ya #ue se acercan más a la solución real a medida#ue se itera, de manera #ue la calidad de la apro-imación depende de la cantidadde iteraciones #ue se efectúa El planteamiento empie+a en suponer un valor inicial y enseguida se usar un método sistemático para obtener una estimaciónmás refinada de la solución El ;étodo de Aacobi es uno de los métodos iterativosmás conocidos 7upóngase #ue se tiene un sistema (&-&) de ecuaciones 7i loselementos de la diagonal no son todos cero, la primera ecuación se resuelve para-, la segunda para -$ y la tercera para -&, para obtener"

8ara un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones con n incógnitas, el

;étodo de Aacobi para encontrar un valor L de una variable - utili+a la siguienteecuación iterativa"

El procedimiento consiste en asignar valores iniciales a las variables, usualmente

se escogen los valores triviales, M5M por simplicidad, de manera #ue para generarla siguiente iteración se sustituyen los valores en la ecuación iterativa, con lo #uese obtiene"


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Método de #auss-seidel

;NCO6O 6E G!77


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de muc9os problemas de ingeniería, son del tipo en el cual e-isten siemprecoeficientes dominantes *a secuencia de pasos #ue constituyen el método deGauss


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Método de ne0ton-!a,son

Este uno de los más utili+ados para locali+ar raíces ya #ue en general es muyeficiente y siempre converge para una función polinomial

7e re#uiere #ue las funciones sean diferenciables, y por tanto, continuas, parapoder aplicar este método

7e debe partir de un valor inicial para la raí+" -i este puede ser cual#uier valor, elmétodo convergirá a la raí+ más cercana

7i se e-tiende una tangente desde el punto, el punto donde esta tangente cru+a aleje - representa una apro-imación mejorada de la raí+

*a fórmula de Beton


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Qay #ue determinar un número má-imo de iteraciones

Bormalmente esto se 9ace considerando una HtoleranciaI, esto es"

El valor absoluto de la diferencia de la debe ser menor #ue la

tolerancia o el resultado de alguna fórmula de error debe ser menor #ue latolerancia dada

!na de las fórmulas de error más útiles es la del error relativo porcentualapro-imado"

55 R

El método de Betonuando el método de Beton


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Uso de ,e!!amientas comutacionales

*as áreas #ue abarca son basados en agentes computacionales demodelado,$ modelado computacional de dinámica de sistemas macroeconómicosy los costos de transacción, otras aplicaciones en economía matemática,& laeconometría computacional y la estadística,' las finan+as computacionales,9erramientas computacionales para el diseKo de los mercados de Pnternetautomáticos, 9erramientas de programación diseKado específicamente para laeconomía computacional y 9erramientas pedagógicas para la enseKan+a de la

economía computacional lgunas de estas áreas son e-clusivas de la economíacomputacional, mientras #ue otras se e-tienden las áreas tradicionales de laeconomía mediante la resolución de problemas #ue son difíciles de estudiar, sin eluso de computadoras0 Pnvestigadores economía computacional uso de9erramientas computacionales, tanto para el modelado computacional yeconómica para la solución de cómputo de manera analítica y estadísticaformulado los problemas económicos !n ejemplo importante es la economíabasada en agentes computacionales (>E) es el estudio computacional de losprocesos económicos modelados como sistemas dinámicos de los agentes #ueinteractúan #uí SMagenteSM se refiere en general a un conjunto de datos y losmétodos de comportamiento #ue representa una entidad #ue forman parte de un

mundo construido de cómputo *os agentes pueden representar a entidadessociales, biológicos y T o física partir de las condiciones iniciales determinadaspor el modelador, un modelo de >E se desarrolla a través del tiempo impulsadoúnicamente por las interacciones agente Qerramientas computacionales para lasolución incluye softare de ejemplo para llevar a cabo diversas operaciones de lamatri+ (por ejemplo, la inversión de la matri+) y para resolver sistemas deecuaciones lineales y no lineales En un repositorio de dominio público las9erramientas computacionales solución,
https://es.wikipedia.org/wiki/Econom%C3%ADa_computacional#cite_note-2https://es.wikipedia.org/wiki/Econom%C3%ADa_computacional#cite_note-Page2008-3https://es.wikipedia.org/wiki/Econom%C3%ADa_computacional#cite_note-4https://es.wikipedia.org/wiki/Econom%C3%ADa_computacional#cite_note-5https://es.wikipedia.org/wiki/Econom%C3%ADa_computacional#cite_note-2https://es.wikipedia.org/wiki/Econom%C3%ADa_computacional#cite_note-Page2008-3https://es.wikipedia.org/wiki/Econom%C3%ADa_computacional#cite_note-4https://es.wikipedia.org/wiki/Econom%C3%ADa_computacional#cite_note-5

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