Unidad-IV sistemas de ecuaciones lineales

7/23/2019 Unidad-IV sistemas de ecuaciones lineales

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Unidad IV: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

1 Teoría preliminar

4.1.1 Sistemas de EDL

Los problemas de la vida real pueden representarse de mejor manera con la ayuda de múltiples

variables. Por ejemplo, piensaen el conteo de la población representado con la ayuda de una

sola variable. Pero, esta depende del conteo de la población de depredadores así como también

de las condiciones climáticas y la disponibilidad de alimentos. Todas estas condiciones en sí

mismas forman una ecuación diferente definida en una variable separada.

Por lo tanto, para estudiar las relaciones complejas, requerimos de varias ecuaciones diferentes

para definir diferentes variables. Tal sistema es el sistema de ecuaciones diferenciales. n

sistema de ecuaciones diferenciales lineales se puede denotar como,

!quí "i #t$ es una variable en términos de tiempo y el valor de i % &, ', (, ), n. También ! es una

matri* que contiene todos los términos constantes, como +ai,j.



-ado que los coeficientes de la matri* constante ! no están definidos

e"plícitamente en términos de tiempo, por lo tanto, un sistema de ecuaciones

diferenciales lineales es llamadoa veces autónomo. La notación convencional

eneral para el sistema de ecuaciones diferenciales lineales es,

d"/ dt % f#t, ", y$

dy/ dt % #t, ", y$

0l sistema anterior de ecuaciones diferenciales tendrá numerosas funciones para

satisfacerla. 1ediante la modificación de la variable tiempo obtendremos un

conjunto de puntos que se encuentran en el plano de dos dimensiones "2y, los

cuales se denominan trayectoria. La velocidad con respecto a esta trayectoria, en

alún tiempo t es,

% #d"/ dt, dy/ dt$

n ejemplo de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es el siuiente,

d"&/ dt % 345& 6 '5'

d"'/ dt % 75& 6 3'5'

8on el fin de determinar el conjunto completo de fórmulas para la variable

dependiente de tiempo "i#t$ para todos los valores de i, es necesario obtener

primero los vectores propios y valores propios de la matri* constante !. 0n el caso

que la matri* constante ! posea un conjunto de valores propios repetidos para sus

componentes, sería necesarioun vector propio enerali*ado.

0ste es t, toma en cuenta que los vectores propios y valores propios de la matri*

constante puede ser un subconjunto de los números reales o también un

subconjunto de los números complejos.

La representación de la matri* del problema anterior es la siuiente, d"/ dt % ! 9 "



0n este caso, ! es la matri* constante que puedeserrepresentada como,

! %

: "#t$T es un vector de variables definidas en términos de tiempo, el cual es

representado como,

"#t$T %

d"/ dt %

0n caso de que el vector propio de la matri* constante ! sea un subconjunto de

los números reales para este ejemplo, podemos escribir,

! % ; 9 - 9 ;2&

!quí - es la matri* diaonal de la matri* de vectores propios de la matri*

constante ! y ; es la matri* que contiene los vectores propios en forma de

columnas, en el mismo orden como los valores propios se escriben en la matri*

diaonal -.

0n consecuencia, la forma de la matri* del ejemplo anterior se puede escribir

como,

d"/ dt % ! 9 "

d"&/ dt



d"'/ dt % 34 '

7 34

9 "&

"'

4.&.' Sistemas de EDL homogneos

;abemos que una ecuación diferencial lineal es de la forma,

;i esta misma ecuación se transforma en la forma,

<btenemos una ecuación diferencial lineal =omoénea. 0sta se da cuando la

función conocida no está presente en la ecuación diferencial lineal, entonces

se le llama una ecuación diferencial =omoénea. : si tenemos una ran

cantidad de tales ecuaciones juntas, de manera tal que dependen unas de las

otras, y definen colectivamente un problema común, entonces se les llama un

sistema de ecuaciones diferenciales lineal es =omoéneo.

Tales sistemas pueden ser resueltos de manera eficiente con la ayuda de las

matrices, las cuales son denominadas matri* fundamental. ;ean >&, >' ) >(

las soluciones de la matri* fundamental del sistema de entrada de ecuaciones

diferenciales =omoéneas, entonces puede representarse de manera

condensada como,



0n la ecuación anterior, las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales

están definidas en alún intervalo, diamos ? y la solución eneral del sistema deecuaciones diferenciales es este

0n la ecuación anterior, los términos que se mantienen dentro de los corc=etesson los vectores fila, donde >& % +"i&j, >' % +"i'j )>n % +"inj. 0stas son las

soluciones n fundamentales del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales

lineales =omoéneas para el intervalo dado ?. 0ntonces tenemos que la matri*

fundamental para el sistema =omoéneo de ecuaciones diferenciales lineales para

el intervalo dado como ? es,

Los pasos para resolver un sistema =omoéneo de ecuaciones diferenciales

lineales son los siuientes@

&. 8onstruye la matri* de coeficientes para las ecuaciones del sistema dado.

'.-etermina los valores propios de esta matri* de coeficientes del sistema dado de

ecuaciones diferenciales lineales =omoéneas.



(.!=ora, busca el vector propio inicial de este conjunto de valores propios y

nómbralo como 0A&.

4.-etermina la primera ecuación de este vector en términos de constantes B&, B'.

C.-espués de esto, determina el siuiente conjunto de valores propios, sus vectores

propios correspondientes y su ecuación.

D.!nota la solución eneral para las ecuaciones en términos de constantes B&, B'.

E.Por último, deriva la solución eneral para el sistema de ecuaciones.

!unque el procedimiento para solucionar el sistema de ecuaciones diferenciales

lineales =omoéneo es bastante fácil, se da un ejemplo ilustrativo que te ayudará

a =acer los conceptos más claros.

d"/ dt % '" 6 (y

dy/ dt % '" 6 y

Primero, escribamos la matri* constante para el sistema de ecuaciones

diferenciales =omoéneas dado. 0sto es,

La matri* columna de los valores propios construida a partir de esta matri* de

coeficientes es la siuiente,



0sto nos da & % 3& y ' % 4. ! partir de estos valores propios el vector propio

asociado se construye como,

8olocando el valor de & % 3& en luar, el valor e"acto de0A&se obtiene como,

0l determinante de este se obtiene como,

F 0A& F % 7.

La ecuación asociada de este vector propio es,

(B& 6 (B' % 7

'B& 6 'B' % 7

-e manera similar, la otra ecuación para el seundo vector propio es,

2'B& 6 (B' % 7

'B& 2 (B' % 7

8uando t % 7, c& % & y c' % &.

>& % e2t G&



-el mismo modo,

0sto nos da la solución eneral,

4.&.( Soluci!n general " soluci!n particular de sistemas

de EDL

;olución eneral de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y solución

particular de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales, es absolutamente

esencial conocer los conceptos de valor propio y vector propio. Para una matri* 1

dada, es llamadolos valores propios, si la condición es verdadera,

!quí " se llama vector propio de la matri* 1.



0s decir, los vectores propios son aquellos vectores que lueo de ser multiplicados

por la matri* de entrada permanecen proporcionales a la matri* de entrada o

resultan cero.

;ea ! la matri* que contiene los valores propios, como + &, ', ( ) n. !

continuación se indican los pasos para resolver un sistema de ecuaciones

diferenciales.

&. 8alcula las ecuaciones del sistema de ecuaciones diferenciales y construye la

matri* que contiene los coeficientes de todas las ecuaciones en el orden en que

aparecen en el sistema de entrada de la ecuación.

'. Los valores propios se obtienen de esta matri* que contiene los términos de los

coeficientes.

(. 8alcula todos los vectores propios de valores propios como los obtenidos en el

paso anterior. Hómbralos en la secuencia a medida que son determinados como

0A&, 0A', 0A( )0An.

4. 8alcula las ecuaciones correspondientes para cada uno de los conjuntos de

valores propios y los vectores propios asociados. Iepite este paso para cada par

de valores y vectores propios.

C. <btén la solución particular para un sistema de ecuaciones no =omoéneo como,

!quí >#t$ se define como,>#t$ % +"& "' "( ) "n

: en caso de que el sistema de entrada sea una ecuación diferencial =omoénea,

entonces la solución particular del sistema será dada de la forma,



La ecuación anterior nos da la relación,

0n la relación anterior, y son valores propios y vectores propios, respectivamente.

D. : la solución eneral para el sistema de ecuaciones diferenciales lineales es dada

de la forma,

0n eneral podemos decir que la solución de un sistema de ecuación diferencial

es llamada solución eneral si los valores de las constantes no se obtienen en la

solución final. La misma solución puede convertirse en una solución particular cuando tenemos el valor de las constantes determinadas. 0sto se =ace en el caso

que el sistema de entrada de la ecuación diferencial sea un problema de valor

inicial con las condiciones iniciales establecidas para la determinación de los

términos constantes.

0l ejemplo siuiente aclarará el procedimiento para resolver un sistema de

ecuaciones diferenciales lineales.

-etermina el conjunto de ecuaciones como "T#t$ % +#"&#t$, "'#t$ para el sistema de

ecuaciones d"/ dt % ! 9 " con las condiciones iniciales establecidas como "#7$ % "7

% #"7&, "7'$. 0l valor de la matri* ! estádada como,



La ecuación característica de la matri* de coeficientes

arriba es, f# $ % ' Jtrace#!$ 9 6 det#!$ % ' 6 4 6 4

: las raíces de esta ecuación nos dan repetidos valores propios de la matri*

como, & % ' % 3'.

0ntonces, el vector propio de la matri* es dado de la forma,

La matri* tiene un solo vector propio ya que ambos valores propios son los

mismos. Por lo tanto, la solución eneral del problema se da como,

Por consiuiente, un vector propio enerali*ado puede ser calculado como, v % vp

6s&9 v=& v& v' 3& 7 6s&9 & &

La solución particular de este problema sería vT#p$ % #3&, 7$ % v', el cual es el

valor propio enerali*ado de esta matri*, junto con los valores propios

repetidos y v= es la solución =omoénea dando el vector propiov&.



: la solución eneral del problema es,

0stonos da,

"&#7$ % c& e7 6 c' #7 J e7$ % c& J c' % "7&

"&#7$ % c& e7 6 c' #7$ % c& % "7'

4.' #todos de soluci!n para sistemas de EDL

n sistema de diferenciales lineales puede resolver las ecuaciones. !l iual que

e"isten varias técnicas para resolver una ecuación diferencial lineal, también las

=ay para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. 8omo el método de

eliminación de Kauss, método separable y reducible etc. ;ea un sistema de

ecuaciones diferenciales lineales representado como,



0ntonces, la representación de la matri* equivalente de este sistema de

ecuaciones diferenciales lineales será,

!=ora, la técnica más conveniente para resolver este sistema de ecuaciones

diferenciales lineales es recurrir al método de multiplicación de matrices. La

fórmula para resolverlo está dada de la forma,



!quí ! es la matri* que contiene los términos coeficientes de toda la ecuación del

sistema, 8, que es una matri* columna compuesta de elementos no =omoéneos

y, finalmente, la matri* > es la que contiene los elementos desconocidos. 8uando

la matri* 8 es iual a cero, entonces el sistema dado es un sistema =omoéneo

de ecuaciones diferenciales lineales.

Todo el mundo está familiari*ado con el =ec=o de que multiplicar unas cuantas

matrices es muc=o mejor que solucionar las ecuaciones alebraicas crípticas para

cuatro variables desconocidas. ;in embaro, la técnica anterior nos da la solución

en todo momento. Por lo tanto, tenemos que adoptar alunas otras técnicas para

resolver las ecuaciones.

-os sistemas de ecuaciones diferenciales lineales se llaman equivalentes en la

situación de que ambos produ*can las mismas soluciones para variables

desconocidas. ;in embaro, esto puede lorarse mediante aplicar alunas

operaciones elementales como la multiplicación con una constante,la reordenación

de las ecuaciones, etc.;ea un sistema de ecuaciones diferenciales lineales dado

como,

•

" 6 y 6 * % 7• " J 'y 6 '* % 4

• " 6 'y J * % '

4.'.& #todo de los operadores

n operador es un objeto matemático que convierte una función en otra, por

ejemplo, el operador derivada convierte una función en una función diferentellamada la función derivada. Podemos de nir el operador derivada

- que al actuar sobre una función diferenciable produce la derivada@

0f(x) = f(x) ; D1f(x) = f0(x) ; D2f(x) = f00(x) ; : : : ;Dnf(x) = f(n)

(x) :



0s posible construir la siuiente combinaci on lineal con los operadores

diferenciales@

P

#-$ % a7 6 a&- 6 a'-' 6 6 an-n an D% 7 @ #&$

4.'.' Utili$ando transformada de Laplace.

4.% &plicaciones

Los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales encuentran sus aplicaciones

en varios problemas que suren en el sistema del mundo real. !lunos de estos

problemas se discuten a continuación.

&. Problema mecánico del acoplamiento de los resortes@ -os cuerpos con masa

m&, m', respectivamente, yacen sobre una mesa. La mesa está libre de fricción.

Los dos cuerpos están conectados entre sí con la ayuda de un resorte.

0steresorte está en una posición no estirada. También cada uno de estos

cuerpos está conectado a una superficie estática con la ayuda de los resortes.

na ve* más, estos resortes no están estirados. La constante elástica de cada

uno de los resortes es B&, B', B(, respectivamente. La situación anterior puede

ilustrarse como,



!quí <& es la posición inicial del primer cuerpo y <' es la posición inicial del

seundo cuerpo. Los cuerpos pueden ser cambiados de su posición de

equilibrio mediante mover cualquiera delos cuerpos en cualquier dirección y

lueo soltarlos. nejemplo de estoes,

0n la fiura anterior, "& es la cantidad de distancia recorrida por el primer

cuerpo cuando este se mueve desde la posición de equilibrio y "' es la

cantidad de distancia recorrida por el seundo cuerpo cuando este se mueve

desde la posición de equilibrio. 0sto implica que el primer resorte se alara

desde la posición estática por una distancia de "& y el seundo resorte se

alara desde la posición estática por una distancia de "' J "&.0sto implica

que dos fuer*as restauradoras están actuando sobre el primer cuerpo, estas

son@

• La fuerza del primer resorte la cual actúa en dirección izquierda. Esta

fuerza por la ley de Hookes igual ak1×1.

• La fuerza del segundo resorte que actúa en dirección derecha. Esta

fuerza es igual a k2!2 " !1#.

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