MTODOS NUMRICOS

Ecuaciones No Lineales de una Variable

RACES DE ECUACIONES

EJEMPLOS DE APLICACIN EN INGENIERA

DEFINICIN

ECUACIONES ALGEBRAICASSolucin de una ecuacin algebraica de primer gradoes solucin de:

Solucin de una ecuacin algebraica de segundo grado

es solucin de:

Solucin de una ecuacin trascendente

es solucin de:

BSQUEDA DE UNA RAZ

MTODOS GRFICOSComo auxiliares en la comprensin visual de los mtodos numricos tantos cerrados como abiertos, para identificar el nmero de posibles races y la identificacin de casos en los que los mtodos abiertos no funcionan.

MTODO GRFICOf(x)xVisualxr

MTODO GRFICO

Grfico1

0.9012294245

0.804837418

0.7107079764

0.6187307531

0.5288007831

0.4408182207

0.3546880897

0.270320046

0.1876281516

0.1065306597

0.0269498104

-0.0511883639

-0.1279542232

-0.2034146962

-0.2776334473

-0.3506710359

-0.4225850681

-0.4934303403

-0.5632589765

-0.6321205588

@ 0.57

F(x)= e**(-x) - X

Funcin

Funcin:f(X) = e**(-x) - XXr =0.567143

xf(x)

01

0.050.9012294245

0.10.804837418

0.150.7107079764

0.20.6187307531

0.250.5288007831

0.30.4408182207

0.350.3546880897

0.40.270320046

0.450.1876281516

0.50.1065306597

0.550.0269498104

0.6-0.0511883639

0.65-0.1279542232

0.7-0.2034146962

0.75-0.2776334473

0.8-0.3506710359

0.85-0.4225850681

0.9-0.4934303403

0.95-0.5632589765

1-0.6321205588

Mtodo de biseccin

Funcin:f(X) = e**(-x) - XXr =0.567143

iteracinXiXsf(xi)f(Xs)Xrf(Xr)e(%)e*(%)

1011-0.63212055880.50.106530659711.84

20.510.1065306597-0.63212055880.75-0.277633447332.2433.33

30.50.750.1065306597-0.27763344730.625-0.089738571510.220.00

40.50.6250.1065306597-0.08973857150.56250.00728282470.8211.11

50.56250.6250.0072828247-0.08973857150.59375-0.04149754984.695.26

60.56250.593750.0072828247-0.04149754980.578125-0.01717583921.942.70

70.56250.5781250.0072828247-0.01717583920.5703125-0.00496376040.561.37

80.56250.57031250.0072828247-0.00496376040.566406250.0011552020.130.69

90.566406250.57031250.001155202-0.00496376040.568359375-0.00190535960.210.34

100.566406250.5683593750.001155202-0.00190535960.5673828125-0.00037534920.040.17

110.566406250.56738281250.001155202-0.00037534920.56689453120.00038985880.040.09

120.56689453120.56738281250.0003898588-0.00037534920.56713867190.000007237900.04

130.56713867190.56738281250.0000072379-0.00037534920.5672607422-0.00018405990.020.02

140.56713867190.56726074220.0000072379-0.00018405990.567199707-0.0000884120.010.01

Decisines

Funcin

Recurrencia

Mtodo de la regla falsa

Funcin:f(X) = e**(-x) - XXr =0.567143

iteracinXiXsf(xi)f(Xs)Xrf(Xr)e(%)e*(%)

1011-0.63212055880.6126998368-0.07081394798.03

200.61269983681-0.07081394790.30634991840.429779070945.98100.00

30.30634991840.61269983680.4297790709-0.07081394790.45952487760.172058776218.9833.33

40.45952487760.61269983680.1720587762-0.07081394790.53611235720.04890582175.4714.29

50.53611235720.61269983680.0489058217-0.07081394790.574406097-0.01136693681.286.67

60.53611235720.5744060970.0489058217-0.01136693680.55525922710.01866423832.13.45

70.55525922710.5744060970.0186642383-0.01136693680.5648326620.00362260090.411.69

80.5648326620.5744060970.0036226009-0.01136693680.5696193795-0.00387864930.440.84

90.5648326620.56961937950.0036226009-0.00387864930.5672260208-0.00012964840.010.42

100.5648326620.56722602080.0036226009-0.00012964840.56602934140.00174606970.20.21

110.56602934140.56722602080.0017460697-0.00012964840.56662768110.00080810910.090.11

120.56662768110.56722602080.0008081091-0.00012964840.56692685090.0003392050.040.05

130.56692685090.56722602080.000339205-0.00012964840.56707643580.00010477190.010.03

140.56707643580.56722602080.0001047719-0.00012964840.5671512283-0.000012439800.01

Decisines

Funcin

Recurrencia

Mtodo del punto fijo

Funcin:f(X) = e**(-x) - XXr =0.567143

iteracinXif(Xi)g(Xi)e(%)e*(%)

1011100.00

21-0.63212055880.367879441276.32100.00

30.36787944120.32432118640.692200627635.13171.83

40.6922006276-0.1917271270.500473500622.0546.85

50.50047350060.10577003450.606243535111.7638.31

60.6062435351-0.06084774910.5453957866.8917.45

70.5453957860.03421654950.57961233553.8311.16

80.5796123355-0.01949687410.56011546142.205.90

90.56011546140.01102765370.57114311511.243.48

100.5711431151-0.00626376770.56487934740.711.93

110.56487934740.00354937760.5684287250.401.11

120.568428725-0.00201399190.56641473310.230.62

130.56641473310.00114190420.56755663730.130.36

140.5675566373-0.00064772540.56690891190.070.20

150.56690891190.00036732030.56727623220.040.11

160.5672762322-0.00020833380.56706789840.020.06

170.56706789840.00011815170.56718605010.010.04

180.5671860501-0.000067010.56711904010.010.02

190.56711904010.00003800390.5671570440.000.01

200.567157044-0.00002155380.56713549020.000.01

Decisines

Funcin

Recurrencia

Restriccin

Mtodo de Newton Raphson

Funcin:f(X) = e**(-x) - XDerivada:f'(X)= -e**(-x) -1Xr =0.567143

iteracinXif(Xi)f''(Xi)e(%)e*(%)

101-2100.00

20.50.1065306597-1.606530659711.84100.00

30.56631100320.0013045098-1.5676155130.1511.71

40.5671431650.0000001965-1.56714336150.000.15

50.56714329040-1.56714329040.000.00

Decisines

Funcin

Recurrencia

MTODO DE BISECCINf(x)x

MTODO DE BISECCINConsiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz.

MTODO DE BISECCINxixsf(x)xf(xi)f(xs)

MTODO DE BISECCINConsiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz. El segmento se bisecta, tomando el punto de biseccin xr como aproximacin de la raz buscada.

MTODO DE BISECCINxixsxrf(x)xf(xi)f(xs)f(xr)

MTODO DE BISECCINLa frmula de recurrencia para el mtodo de biseccin es el promedio de los valores inferior y superior de los extremos del intervalo:

MTODO DE BISECCINConsiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz. El segmento se bisecta, tomando el punto de biseccin xr como aproximacin de la raz buscada.Se identifica luego en cul de los dos intervalos est la raz.

MTODO DE BISECCINxixsxif(x)xf(xi)f(xs)f(xr)

MTODO DE BISECCINConsiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz. El segmento se bisecta, tomando el punto de biseccin xr como aproximacin de la raz buscada.Se identifica luego en cul de los dos intervalos est la raz.El proceso se repite n veces, hasta que el punto de biseccin xr coincide prcticamente con el valor exacto de la raz.

MTODO DE BISECCINxsxif(x)xf(xs)f(xr)xr

MTODO DE BISECCINDecisionesFuncinRecurrenciaXr = 0.567143

IteracinXiXsf(xi)f(Xs)Xrf(Xr)e1011-0.632120560.50.106530660.520.510.10653066-0.632120560.75-0.277633450.2530.50.750.10653066-0.277633450.625-0.089738570.12540.50.6250.10653066-0.089738570.56250.007282820.062550.56250.6250.00728282-0.089738570.59375-0.041497550.0312560.56250.593750.00728282-0.041497550.578125-0.017175840.01562570.56250.5781250.00728282-0.017175840.5703125-0.004963760.007812580.56250.57031250.00728282-0.004963760.566406250.00115520.0039062590.566406250.57031250.0011552-0.004963760.56835938-0.001905360.00195313100.566406250.568359380.0011552-0.001905360.56738281-0.000375350.00097656110.566406250.567382810.0011552-0.000375350.566894530.000389860.00048828120.566894530.567382810.00038986-0.000375350.567138677.2379E-060.00024414130.567138670.567382817.2379E-06-0.000375350.56726074-0.000184060.00012207140.567138670.567260747.2379E-06-0.000184060.56719971-8.8412E-050.000061035

MTODO DE BISECCIN 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.59375 0.578125 0.56640625 0.5703125 0.56714301

MTODO DE LA REGLA FALSAf(x)x

MTODO DE LA REGLA FALSAConsiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz.

MTODO DE LA REGLA FALSAxixsf(x)xf(xi)f(xs)

MTODO DE LA REGLA FALSAConsiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz.Se traza una recta que une los puntos [xi, f(xi)], [xs, f(xs)].

MTODO DE LA REGLA FALSAxixsf(x)xf(xi)f(xs)

MTODO DE LA REGLA FALSAConsiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz.Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs, f(xs)).Se obtiene el punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0) y se toma xr como aproximacin de la raz buscada.

MTODO DE LA REGLA FALSAxixsxrf(x)xf(xi)f(xs)f(xr)O mtodo de interpolacin lineal

MTODO DE LA REGLA FALSALa frmula de recurrencia para el mtodo de la regla falsa se obtiene de comparar dos tringulos semejantes:

MTODO DE LA REGLA FALSAConsiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz.Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs, f(xs))Se obtiene el punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr como aproximacin de la raz buscada.Se identifica luego en cul de los dos intervalos est la raz.

xrMTODO DE LA REGLA FALSAxixsxsf(x)xf(xi)f(xs)f(xs)

MTODO DE LA REGLA FALSAConsiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz.Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs, f(xs))Se obtiene el punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr como aproximacin de la raz buscada.Se identifica luego en cul de los dos intervalos est la raz.El proceso se repite n veces, hasta que el punto de interseccin xr coincide prcticamente con el valor exacto de la raz.

MTODO DE LA REGLA FALSAxixsf(x)xf(xi)f(xs)

MTODO DE LA REGLA FALSADecisionesFuncinRecurrenciaXr = 0.567143

iteracinXiXsf(xi)f(Xs)Xrf(Xr)e1011-0.632120560.61269984-0.07081395200.612699841-0.070813950.306349920.429779070.3063499230.306349920.612699840.42977907-0.070813950.459524880.172058780.1531749640.459524880.612699840.17205878-0.070813950.536112360.048905820.0765874850.536112360.612699840.04890582-0.070813950.5744061-0.011366940.0382937460.536112360.57440610.04890582-0.011366940.555259230.018664240.0191468770.555259230.57440610.01866424-0.011366940.564832660.00362260.0095734380.564832660.57440610.0036226-0.011366940.56961938-0.003878650.0047867290.564832660.569619380.0036226-0.003878650.56722602-0.000129650.00239336100.564832660.567226020.0036226-0.000129650.566029340.001746070.00119668110.566029340.567226020.00174607-0.000129650.566627680.000808110.00059834120.566627680.567226020.00080811-0.000129650.566926850.00033920.00029917130.566926850.567226020.0003392-0.000129650.567076440.000104770.00014959140.567076440.567226020.00010477-0.000129650.56715123-1.244E-050.00007479

MTODO DE LA REGLA FALSAf(x)xCaso de convergencia lenta

MTODO DE LA REGLA FALSA MODIFICADOLas funciones con curvatura significativa hacen que el mtodo de la regla falsa converja muy lentamente.Esto se debe a que con interpolacin lineal, uno de los valores extremos se queda estancado.Para tales casos, se ha encontrado un remedio: el mtodo de la regla falsa modificado, que reduce a la mitad el valor de la funcin en el punto extremo que se repita dos veces, con lo que la convergencia se acelera significativamente.

MTODO DE LA REGLA FALSA MODIFICADOf(x)xf(xi)f(xi)/2f(xi)/4

PRECAUCIONES EN EL USODE MTODOS CERRADOSxixsf(x)xf(xi)f(xs)3 races(o 5, o 7 o )hay una razhay un nmero impar de races

PRECAUCIONES EN EL USODE MTODOS CERRADOSxixsf(x)xf(xi)f(xs)3 races(1 simple y 1 doble)hay una razhay un nmero impar de races

PRECAUCIONES EN EL USODE MTODOS CERRADOSxixsf(x)xf(xi)f(xs)2 races(o 4, o 6 o )no hay razhay un nmero par de races

PRECAUCIONES EN EL USODE MTODOS CERRADOSxixsf(x)xf(xi)f(xs)1 raz dobleno hay razhay un nmero par de races

PRECAUCIONES EN EL USODE MTODOS CERRADOSLos mtodos cerrados siempre convergen, aunque lentamente.En la mayora de los problemas el mtodo de la regla falsa converge ms rpido que el de biseccin.Conviene utilizar la calculadora graficadora o una computadora para graficar la funcin y realizar los acercamientos necesarios hasta tener claridad sobre su comportamiento.

MTODO DEL PUNTO FIJOf(x)x

MTODO DEL PUNTO FIJOConsidera la descomposicin de la funcin f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la funcin x: f(x) = g(x) - x.

MTODO DEL PUNTO FIJOf(x)x

MTODO DEL PUNTO FIJOConsidera la descomposicin de la funcin f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la funcin x: f(x) = g(x) - x.La raz de la funcin f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) x = 0, cuando g(x) = x.

MTODO DEL PUNTO FIJOLa frmula de recurrencia para el mtodo del punto fijo se obtiene de considerar una funcin que el resultado de sumar la funcin f con la funcin identidad:

MTODO DEL PUNTO FIJOf(x)xxrxg(x)f(x)

MTODO DEL PUNTO FIJOConsidera la descomposicin de la funcin f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la funcin x: f(x) = g(x) - x.La raz de la funcin f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) x = 0, por lo que g(x) = x.El punto de interseccin de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raz.

MTODO DEL PUNTO FIJOf(x)xxrLas funciones x y g(x) se cortanexactamente en la raz xrxg(x)f(x)

MTODO DEL PUNTO FIJOConsidera la descomposicin de la funcin f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la funcin x: f(x) = g(x) - x.La raz de la funcin f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) x = 0, por lo que g(x) = x.El punto de interseccin de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raz.El mtodo consiste en considerar un valor inicial x0, como aproximacin a la raz, evaluar el valor de esta funcin g(x0), considerando ste como segunda aproximacin de la raz, x1.

MTODO DEL PUNTO FIJOf(x)xx0x1g(x0)

MTODO DEL PUNTO FIJOConsidera la descomposicin de la funcin f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la funcin x: f(x) = g(x) - x.La raz de la funcin f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) x = 0, por lo que g(x) = x.El punto de interseccin de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raz.El mtodo consiste en considerar un valor inicial x0, como aproximacin a la raz, evaluar el valor de esta funcin g(x0), considerando ste como segunda aproximacin de la raz.El proceso se repite n veces hasta que g(x) coincide prcticamente con x.

MTODO DEL PUNTO FIJOf(x)xx0x3x2x1Requisito para convergencia

MTODO DEL PUNTO FIJOSlo hay convergencia si la magnitud de la pendiente de g(x) es menor que la pendiente de la recta f(x) = x.La ecuacin de recurrencia es:

Si x* es el verdadero valor de la raz:

Y por el teorema del valor medio:

Si , los errores disminuyen en cada iteracinSi , los errores crecen en cada iteracin

MTODO DEL PUNTO FIJOConvergenciaDivergencia

MTODO DEL PUNTO FIJODecisionesFuncinRecurrenciaXr = 0.567143

iteracinXif(Xi)g(Xi)e101121-0.632120560.36787944130.367879440.324321190.692200630.6321205640.69220063-0.191727130.50047350.3243211950.50047350.105770030.606243540.1917271360.60624354-0.060847750.545395790.1057700470.545395790.034216550.579612340.0608477580.57961234-0.019496870.560115460.0342165590.560115460.011027650.571143120.01949688100.57114312-0.006263770.564879350.01102766110.564879350.003549380.568428730.00626377120.56842873-0.002013990.566414730.00354938130.566414730.00114190.567556640.002014140.56755664-0.000647730.566908910.00114191150.566908910.000367320.567276230.00064773160.56727623-0.000208330.56706790.00036732170.56706790.000118150.567186050.00020833

MTODO DE NEWTON RAPHSONf(x)x

MTODO DE NEWTON RAPHSONConsiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximacin de la raz y obtener el valor de la funcin por ese punto.

MTODO DE NEWTON RAPHSONx1f(x)xf(x1)

MTODO DE NEWTON RAPHSONConsiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximacin de la raz y obtener el valor de la funcin por ese punto.Trazar una recta tangente a la funcin por ese punto.

MTODO DE NEWTON RAPHSONx1f(x)xf(x1)f '(x1)O mtodo de la tangente

MTODO DE NEWTON RAPHSONConsiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximacin de la raz.Obtener el valor de la funcin por ese punto y trazar una recta tangente a la funcin por ese punto.El punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas (x2, 0), constituye una segunda aproximacin de la raz.

MTODO DE NEWTON RAPHSONx1f(x)xf(x1)x2f(x2)

MTODO DE NEWTON RAPHSONEl mtodo de Newton Raphson se puede deducir a partir de la interpretacin geomtrica que supone que el punto donde la tangente cruza al eje x es una interpretacin mejorada de la raz.

MTODO DE NEWTON RAPHSONEn realidad, el mtodo de Newton Raphson, que supone la obtencin de la raz de f(x), se obtiene a partir de su desarrollo en serie de Taylor, la cual se puede escribir:

donde, al despreciar el residuo R2, la serie de Taylor truncada a dos trminos, queda:

Y realizando manipulaciones algebraicas:

MTODO DE NEWTON RAPHSONConsiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como aproximacin de la raz.Obtener el valor de la funcin por ese punto y trazar una recta tangente a la funcin por ese punto.El punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas (x2, 0), constituye una segunda aproximacin de la raz.El proceso se repite n veces hasta que el punto de interseccin xn coincide prcticamente con el valor exacto de la raz.

MTODO DE NEWTON RAPHSONx1f(x)xf(x1)x2f(x2)f(x3)x3

MTODO DE NEWTON RAPHSONEn ocasiones resulta difcil o imposible obtener la primera derivada de la funcin. En tal caso, se puede hacer una aproximacin suficientemente buena de su valor en xi, por diferencias finitas hacia delante:

o por diferencias finitas hacia atrs:

con h = 0.001, por ejemplo.Si la funcin no tiene singularidades en la vecindad de la raz, ambas aproximaciones por diferencias funcionan bien.

MTODO DE NEWTON RAPHSONEl mtodo de Newton Raphson converge muy rpidamente, pues el error es proporcional al cuadrado del error anterior:La velocidad de convergencia cuadrtica se explica tericamente por la expansin en serie de Taylor, con la expresin:El nmero de cifras significativas de precisin se duplica aproximadamente en cada iteracin

MTODO DE NEWTON RAPHSONDerivadaFuncinRecurrenciaXr = 0.567143

iteracinXif(Xi)f'(Xi)e101-220.50.10653066-1.606530660.530.5663110030.00130451-1.5676155130.06631100340.5671431651.9648E-07-1.5671433620.00083216250.567143294.4409E-15-1.567143290.000000125

MTODO DE NEWTON RAPHSONf(x)xLa velocidad de convergencia es muy sensible al valor inicial elegidolentorpido

MTODO DE NEWTON RAPHSONAunque el mtodo trabaja bien, no existe garanta de convergencia.xx3x1x2x0f(x)

MTODO DE NEWTON RAPHSONAunque el mtodo trabaja bien, no existe garanta de convergencia.xx1x2x0f(x)x3x4

MTODO DE LA SECANTEf(x)x

MTODO DE LA SECANTEConsiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los cuales se evalan los valores de la funcin: f(x0) y f(x1)

MTODO DE LA SECANTEx0x1f(x)xf(x0)f(x1)

MTODO DE LA SECANTEConsiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los cuales se evalan los valores de la funcin: f(x0) y f(x1)Se traza una recta secante a la funcin por esos dos puntos.

MTODO DE LA SECANTEx0x1f(x)xf(x0)f(x1)

MTODO DE LA SECANTEConsiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los cuales se evalan los valores de la funcin: f(x0) y f(x1)Se traza una recta secante a la funcin por esos dos puntos.El punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas (x2, 0) constituye una segunda aproximacin de la raz.

MTODO DE LA SECANTEx0x1f(x)xf(x0)f(x1)x2f(x2)

MTODO DE LA SECANTEConsiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los cuales se evalan los valores de la funcin: f(x0) y f(x1)Se traza una recta secante a la funcin por esos dos puntos.El punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas (x2, 0) constituye una segunda aproximacin de la raz.Se reemplazan los subndices: xi = xi+1, de manera que x1 pasa a ser x0 y x2 pasa a ser x1.

MTODO DE LA SECANTEx0x1f(x)xf(x0)f(x1)x2f(x2)x0x1f(x0)f(x1)

MTODO DE LA SECANTEConsiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los cuales se evalan los valores de la funcin: f(x0) y f(x1)Se traza una recta secante a la funcin por esos dos puntos.El punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas (x2, 0) constituye una segunda aproximacin de la raz.Se reemplazan los subndices: xi = xi+1, de manera que x1 pasa a ser x0 y x2 pasa a ser x1.Se traza una segunda secante por los nuevos puntos x0 , x1.

MTODO DE LA SECANTEx0f(x)xf(x0)x1f(x1)x2

MTODO DE LA SECANTEConsiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los cuales se evalan los valores de la funcin: f(x0) y f(x1)Se traza una recta secante a la funcin por esos dos puntos.El punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas (x2, 0) constituye una segunda aproximacin de la raz.Se reemplazan los subndices: xi = xi+1, de manera que x1 pasa a ser x0 y x2 pasa a ser x1.Se traza una segunda secante por los nuevos puntos x0, x1, obteniendo una segunda aproximacin con x2.El proceso se repite n veces hasta que el punto de interseccin x2 coincide prcticamente con el valor exacto de la raz.

MTODO DE LAS SECANTESx0f(x)xf(x0)x1f(x1)x2f(x2)

MTODO DE LA SECANTEDerivadaFuncinRecurrenciaXr = 0.567143

iteracinX0X1f(X0)f(X1)X2f(X2)e100.410.270320050.548185540.0298120720.40.548185540.270320050.029812070.566553820.000923880.0183682830.548185540.566553820.029812070.000923880.567141263.1783E-060.0005874440.566553820.567141260.000923883.1783E-060.567143293.3904E-100.00000203

COMPARATIVO DE LOS ERRORES RELATIVOS ESTIMADOS, POR DIFERENTES MTODOS

Grfico1

33.331001001003.24

2033.33171.8311.710.1

11.1114.2946.850.150.01

5.266.6738.310.015

2.73.4517.4566

1.371.6911.1677

0.690.845.988

0.340.423.4899

0.170.211.931010

0.090.111.111111

0.040.050.621212

0.020.030.361313

0.010.010.21414

15150.111515

16160.061616

17170.041717

Biseccin

Regla falsa

Punto fijo

Newton-Raphson

Secante

iteraciones

Error relativo estimado porcentual

Hoja1

Funcin:

iteracine*(%)e*(%)e*(%)e*(%)e*(%)

1

233.331001001003.24

320.0033.33171.8311.710.1

411.1114.2946.850.150.01

55.266.6738.310.01

62.703.4517.45

71.371.6911.16

80.690.845.9

90.340.423.48

100.170.211.93

110.090.111.11

120.040.050.62

130.020.030.36

140.010.010.2

150.11

160.06

170.04

Hoja2

Hoja3

COMPARATIVO DE LOS ERRORES RELATIVOS ESTIMADOS, POR DIFERENTES MTODOSLos mtodos de biseccin, de regla falsa y de punto fijo convergen linealmente al valor verdadero de la raz.El error relativo verdadero es proporcional y menor que el error correspondiente de la iteracin anterior.En biseccin y regla falsa, la convergencia est garantizada.En punto fijo, la convergencia depende de que la pendiente de la tangente no sobrepase el 1, en positivo o en negativo.Los mtodos de Newton Raphson y de la secante convergen cuadrticamente al valor verdadero de la raz.El error relativo verdadero es proporcional al cuadrado del error correspondiente de la iteracin anterior.Cuando el error relativo en una iteracin es menor que 1 (inferior al 100%), la convergencia est garantizada.Cuando el error relativo en una iteracin es mayor que 1, la divergencia est garantizada.

MTODOS NUMRICOS

Sistemas de ecuaciones no lineales

SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESf(x, y)=0g(x, y)=0xyx*y*

SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES(2, 3)

Grfico1

0.9012294245

0.804837418

0.7107079764

0.6187307531

0.5288007831

0.4408182207

0.3546880897

0.270320046

0.1876281516

0.1065306597

0.0269498104

-0.0511883639

-0.1279542232

-0.2034146962

-0.2776334473

-0.3506710359

-0.4225850681

-0.4934303403

-0.5632589765

-0.6321205588

@ 0.57

F(x)= e-x - X

Funcin

Funcin:f(X) = e**(-x) - XXr =0.567143

f(X) = e-x - X

xf(x)

01

0.050.9012294245

0.10.804837418

0.150.7107079764

0.20.6187307531

0.250.5288007831

0.30.4408182207

0.350.3546880897

0.40.270320046

0.450.1876281516

0.50.1065306597

0.550.0269498104

0.6-0.0511883639

0.65-0.1279542232

0.7-0.2034146962

0.75-0.2776334473

0.8-0.3506710359

0.85-0.4225850681

0.9-0.4934303403

0.95-0.5632589765

1-0.6321205588

Mtodo de biseccin

Funcin:f(X) = e-x - XXr =0.567143

iteracinXiXsf(Xi)f(Xs)Xrf(Xr)e(%)e*(%)

1011-0.63212055880.50.106530659711.84

20.510.1065306597-0.63212055880.75-0.277633447332.2433.33

30.50.750.1065306597-0.27763344730.625-0.089738571510.220.00

40.50.6250.1065306597-0.08973857150.56250.00728282470.8211.11

50.56250.6250.0072828247-0.08973857150.59375-0.04149754984.695.26

60.56250.593750.0072828247-0.04149754980.578125-0.01717583921.942.70

70.56250.5781250.0072828247-0.01717583920.5703125-0.00496376040.561.37

80.56250.57031250.0072828247-0.00496376040.566406250.0011552020.130.69

90.566406250.57031250.001155202-0.00496376040.568359375-0.00190535960.210.34

100.566406250.5683593750.001155202-0.00190535960.5673828125-0.00037534920.040.17

110.566406250.56738281250.001155202-0.00037534920.56689453120.00038985880.040.09

120.56689453120.56738281250.0003898588-0.00037534920.56713867190.000007237900.04

130.56713867190.56738281250.0000072379-0.00037534920.5672607422-0.00018405990.020.02

140.56713867190.56726074220.0000072379-0.00018405990.567199707-0.0000884120.010.01

DecisionesFuncinRecurrencia

Mtodo de la regla falsa

Funcin:f(X) = e-x - XXr =0.567143

iteracinXiXsf(Xi)f(Xs)Xrf(Xr)e(%)e*(%)

1011-0.63212055880.6126998368-0.07081394798.03

200.61269983681-0.07081394790.30634991840.429779070945.98100.00

30.30634991840.61269983680.4297790709-0.07081394790.45952487760.172058776218.9833.33

40.45952487760.61269983680.1720587762-0.07081394790.53611235720.04890582175.4714.29

50.53611235720.61269983680.0489058217-0.07081394790.574406097-0.01136693681.286.67

60.53611235720.5744060970.0489058217-0.01136693680.55525922710.01866423832.13.45

70.55525922710.5744060970.0186642383-0.01136693680.5648326620.00362260090.411.69

80.5648326620.5744060970.0036226009-0.01136693680.5696193795-0.00387864930.440.84

90.5648326620.56961937950.0036226009-0.00387864930.5672260208-0.00012964840.010.42

100.5648326620.56722602080.0036226009-0.00012964840.56602934140.00174606970.20.21

110.56602934140.56722602080.0017460697-0.00012964840.56662768110.00080810910.090.11

120.56662768110.56722602080.0008081091-0.00012964840.56692685090.0003392050.040.05

130.56692685090.56722602080.000339205-0.00012964840.56707643580.00010477190.010.03

140.56707643580.56722602080.0001047719-0.00012964840.5671512283-0.000012439800.01

DecisionesFuncinRecurrencia

Mtodo del punto fijo

Funcin:f(X) = e-x - XXr =0.567143|g'(x)| < 1

iteracinXif(Xi)g(Xi)e(%)e*(%)

1011100.00

21-0.63212055880.367879441276.32100.00

30.36787944120.32432118640.692200627635.13171.83

40.6922006276-0.1917271270.500473500622.0546.85

50.50047350060.10577003450.606243535111.7638.31

60.6062435351-0.06084774910.5453957866.8917.45

70.5453957860.03421654950.57961233553.8311.16

80.5796123355-0.01949687410.56011546142.205.90

90.56011546140.01102765370.57114311511.243.48

100.5711431151-0.00626376770.56487934740.711.93

110.56487934740.00354937760.5684287250.401.11

120.568428725-0.00201399190.56641473310.230.62

130.56641473310.00114190420.56755663730.130.36

140.5675566373-0.00064772540.56690891190.070.20

150.56690891190.00036732030.56727623220.040.11

160.5672762322-0.00020833380.56706789840.020.06

170.56706789840.00011815170.56718605010.010.04

DecisionesFuncinRecurrenciaRestriccin

Mtodo de Newton Raphson

Funcin:f(X) = e-x - XDerivada:f'(X)= -e-x -1Xr =0.567143

iteracinXif(Xi)f'(Xi)e(%)e*(%)

101-2100.00

20.50.1065306597-1.606530659711.84100.00

30.56631100320.0013045098-1.5676155130.1511.71

40.5671431650.0000001965-1.56714336150.000.15

50.56714329040-1.56714329040.000.00

RecurrenciaFuncinDecisiones

Convergencia lenta

-1

-0.9999999999

-0.9999998976

-0.9999940951

-0.9998951424

-0.9990234375

-0.9939533824

-0.9717524751

-0.8926258176

-0.6513215599

0

1.5937424601

5.1917364224

&A

Page &P

f(x) = x10 - 1

f(x)=x10-1

Xif(Xi)

0-1

0.1-0.9999999999

0.2-0.9999998976

0.3-0.9999940951

0.4-0.9998951424

0.5-0.9990234375

0.6-0.9939533824

0.7-0.9717524751

0.8-0.8926258176

0.9-0.6513215599

10

1.11.5937424601

1.25.1917364224

Seleccin punto inicial

Funcin:f(X) = X**10 - 1Derivada:f'(X)= 10X**9Xr =0.567143

iteracinXif(Xi)f''(Xi)e(%)e*(%)

10.8-0.89262581761.3421772841.06

21.465058059744.5562911183310.952121091158.3245.39

31.321768182915.2761968942123.1395724663133.0610.84

41.19771223095.074700143550.7191960379111.1810.36

51.09765740861.539031741323.131367959993.549.12

61.03112300640.358641165613.176324814881.816.45

71.00390440250.039737212510.356934483877.012.71

81.00006762890.000676495110.006088249676.330.38

91.00000002060.000000205810.000001851976.320.01

10101076.320.00

11101076.320.00

12101076.320.00

13101076.320.00

14101076.320.00

15101076.320.00

16101076.320.00

17101076.320.00

18101076.320.00

19101076.320.00

20101076.320.00

21101076.320.00

22101076.320.00

23101076.320.00

24101076.320.00

25101076.320.00

26101076.320.00

27101076.320.00

28101076.320.00

29101076.320.00

30101076.320.00

31101076.320.00

32101076.320.00

33101076.320.00

34101076.320.00

35101076.320.00

36101076.320.00

37101076.320.00

38101076.320.00

39101076.320.00

40101076.320.00

41101076.320.00

42101076.320.00

43101076.320.00

RecurrenciaFuncinDecisiones

Divergencia

-1.2599210499

-1.2385623296

-1.2164403991

-1.1934831919

-1.1696070953

-1.1447142426

-1.1186889421

-1.0913928831

-1.0626585692

-1.0322801155

-1

-0.9654893846

-0.9283177667

-0.8879040017

-0.8434326653

-0.793700526

-0.7368062997

-0.6694329501

-0.5848035476

-0.4641588834

0

0.4641588834

0.5848035476

0.6694329501

0.7368062997

0.793700526

0.8434326653

0.8879040017

0.9283177667

0.9654893846

1

1.0322801155

1.0626585692

1.0913928831

1.1186889421

1.1447142426

1.1696070953

1.1934831919

1.2164403991

1.2385623296

1.2599210499

&A

Page &P

f(x) = 3x

Raz cbica(x)

Xif(Xi)

-2-1.2599210499

-1.9-1.2385623296

-1.8-1.2164403991

-1.7-1.1934831919

-1.6-1.1696070953

-1.5-1.1447142426

-1.4-1.1186889421

-1.3-1.0913928831

-1.2-1.0626585692

-1.1-1.0322801155

-1-1

-0.9-0.9654893846

-0.8-0.9283177667

-0.7-0.8879040017

-0.6-0.8434326653

-0.5-0.793700526

-0.4-0.7368062997

-0.3-0.6694329501

-0.2-0.5848035476

-0.1-0.4641588834

00

0.10.4641588834

0.20.5848035476

0.30.6694329501

0.40.7368062997

0.50.793700526

0.60.8434326653

0.70.8879040017

0.80.9283177667

0.90.9654893846

11

1.11.0322801155

1.21.0626585692

1.31.0913928831

1.41.1186889421

1.51.1447142426

1.61.1696070953

1.71.1934831919

1.81.2164403991

1.91.2385623296

21.2599210499

Siempre diverge

Funcin:f(X)=Razcbica(X)Derivada:f'(x)=1/3*(x**-2/3)Xr =0.567143

iteracinXif(Xi)f''(Xi)e(%)e*(%)

10.20.58480354760.974672579464.74

2-0.4-0.73680629970.6140052498170.53150.00

30.80.92831776670.386799069541.06150.00

4-1.6-1.16960709530.2436681449382.12150.00

53.21.47361259950.1535013124464.23150.00

6-6.4-1.85663553340.09669976741228.46150.00

712.82.33921419060.06091703622156.93150.00

8-25.6-2.94722519890.03837532814613.85150.00

951.23.71327106690.02417494188927.71150.00

10-102.4-4.67842838110.015229259118155.41150.00

Mtodo de la secante

Funcin:f(X) = e-x - XXr =0.567143

iteracinX0X1f(X0)f(X1)X2f(X2)e(%)e*(%)

100.410.2703200460.54818554060.02981207223.34

20.40.54818554060.2703200460.02981207220.56655382150.00092388080.13.24

30.54818554060.56655382150.02981207220.00092388080.56714126230.000003178300.10

40.56655382150.56714126230.00092388080.00000317830.56714329020.000000000300.00

DecisinesFuncinRecurrencia

Grfico comparativo

33.331001001003.24

2033.33171.8311.710.1

11.1114.2946.850.150.01

5.266.6738.310.015

2.73.4517.4566

1.371.6911.1677

0.690.845.988

0.340.423.4899

0.170.211.931010

0.090.111.111111

0.040.050.621212

0.020.030.361313

0.010.010.21414

15150.111515

16160.061616

17170.041717

Biseccin

Regla falsa

Punto fijo

Newton-Raphson

Secante

iteraciones

error relativo estimado

Comparativo

Funcin:f(X) = e-x - X

iteracinBiseccinRegla falsaPunto fijoNewton RaphsonSecante

1

233.331001001003.24

320.0033.33171.8311.710.1

411.1114.2946.850.150.01

55.266.6738.310.01

62.703.4517.45

71.371.6911.16

80.690.845.9

90.340.423.48

100.170.211.93

110.090.111.11

120.040.050.62

130.020.030.36

140.010.010.2

150.11

160.06

170.04

Incrementos 0.50

-1.899161886

-0.9037195975

1.5889671192

1.4458241878

-1.0220627666

&A

Page &P

Incrementos 0.20

-1.899161886

-0.4332611746

-0.1851829659

-1.1861087599

0.6898594451

1.5889671192

0.0829130376

0.8235858827

1.2326032256

-1.0280720175

-1.0220627666

&A

Page &P

Incrementos 0.10

-1.899161886

-1.3962629708

-0.4332611746

0.1107207075

-0.1851829659

-0.9037195975

-1.1861087599

-0.5393021065

0.6898594451

1.6113917249

1.5889671192

0.8061099491

0.0829130376

0.1130852955

0.8235858827

1.4458241878

1.2326032256

0.1607315075

-1.0280720175

-1.4873370393

-1.0220627666

&A

Page &P

Incrementos 0.05

-1.899161886

-1.7556127074

-1.3962629708

-0.9157074855

-0.4332611746

-0.0637093804

0.1107207075

0.0603068152

-0.1851829659

-0.5441697743

-0.9037195975

-1.1477558356

-1.1861087599

-0.9772754006

-0.5393021065

0.0538908504

0.6898594451

1.2444297189

1.6113917249

1.7278393893

1.5889671192

1.24871402

0.8061099491

0.3806764248

0.0829130376

-0.0128990561

0.1130852955

0.4214975938

0.8235858827

1.2032417067

1.4458241878

1.4667151743

1.2326032256

0.7702726494

0.1607315075

-0.4798991418

-1.0280720175

-1.3823144207

-1.4873370393

-1.3468645903

-1.0220627666

&A

Page &P

Detalle

0.0829130376

0.0461016752

0.0179030184

-0.0014226045

-0.011711668

-0.0128990561

-0.0050186794

0.0117969049

0.037317866

0.0712194516

0.1130852955

&A

Page &P

Bsqueda incremental

xf(x)

3.00-1.899161886

3.05-1.7556127074

3.10-1.3962629708

3.15-0.9157074855

3.20-0.4332611746

3.25-0.0637093804

3.300.1107207075

3.350.0603068152

3.40-0.1851829659

3.45-0.5441697743

3.50-0.9037195975

3.55-1.1477558356

3.60-1.1861087599

3.65-0.9772754006

3.70-0.5393021065

3.750.0538908504

3.800.6898594451

3.851.2444297189

3.901.6113917249

3.951.7278393893

4.001.5889671192

4.051.24871402

4.100.8061099491

4.150.3806764248

4.200.0829130376

4.25-0.0128990561

4.300.1130852955

4.350.4214975938

4.400.8235858827

4.451.2032417067

4.501.4458241878

4.551.4667151743

4.601.2326032256

4.650.7702726494

4.700.1607315075

4.75-0.4798991418

4.80-1.0280720175

4.85-1.3823144207

4.90-1.4873370393

4.95-1.3468645903

5.00-1.0220627666

xf(x)

3.00-1.899161886

3.10-1.3962629708

3.20-0.4332611746

3.300.1107207075

3.40-0.1851829659

3.50-0.9037195975

3.60-1.1861087599

3.70-0.5393021065

3.800.6898594451

3.901.6113917249

4.001.5889671192

4.100.8061099491

4.200.0829130376

4.300.1130852955

4.400.8235858827

4.501.4458241878

4.601.2326032256

4.700.1607315075

4.80-1.0280720175

4.90-1.4873370393

5.00-1.0220627666

xf(x)

3.00-1.899161886

3.20-0.4332611746

3.40-0.1851829659

3.60-1.1861087599

3.800.6898594451

4.001.5889671192

4.200.0829130376

4.400.8235858827

4.601.2326032256

4.80-1.0280720175

5.00-1.0220627666

xf(x)

3.00-1.899161886

3.50-0.9037195975

4.001.5889671192

4.501.4458241878

5.00-1.0220627666

xf(x)

4.200.0829130376

4.210.0461016752

4.220.0179030184

4.23-0.0014226045

4.24-0.011711668

4.25-0.0128990561

4.26-0.0050186794

4.270.0117969049

4.280.037317866

4.290.0712194516

4.300.1130852955

Triple raz

3

1.4336

0.5616

0.1536

0.0176

0

-0.0144

-0.1024

-0.3024

-0.6144

-1

-1.3824

-1.6464

-1.6384

-1.1664

0

2.1296

5.5296

&A

Page &P

f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3

triple raz

Races multiples

Xif(Xi)

03

0.21.4336

0.40.5616

0.60.1536

0.80.0176

10

1.2-0.0144

1.4-0.1024

1.6-0.3024

1.8-0.6144

2-1

2.2-1.3824

2.4-1.6464

2.6-1.6384

2.8-1.1664

30

3.22.1296

3.45.5296

Newton Raphson modificado

Funcin:f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3f'(x) = 4x3 - 18x2 + 24x -10xr =1

f"(x) = 12x2 - 36x + 24

iteracinXif(Xi)f''(Xi)f'"(Xi)m(Xi)m'(Xi)e(%)e*(%)

103-1024-0.30.28100.00

21.0714285714-0.0007028322-0.029154519-0.79591836730.02410714290.3418757.14100.00

31.0009140768-0.0000000015-0.0000050102-0.0109588950.00030473880.33343478180.097.05

41.00000013850-0-0.0000016623010.000.09

51.00000013850-0-0.0000016623010.000.00

RecurrenciaFuncin

Funcin:f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 -10x + 3f'(x) = 4x3 - 18x2 + 24x -10xr =1

iteracinXif(Xi)f'(Xi)e(%)e*(%)

103-10100.00

20.30.9261-4.31270.00100.00

30.51477272730.2839237481-1.869651360648.5241.72

40.6666319210.0864480676-0.815000137333.3422.78

50.77270315170.026155218-0.356955271222.7313.73

60.84597624810.0078707041-0.156955713615.408.66

70.89612226620.0023582394-0.06922710710.395.60

80.93018752670.0007042552-0.03060369156.983.66

90.95319962690.0002098087-0.01355167224.682.41

100.9686817510.000062398-0.00600786823.131.60

110.97906779110.0000185352-0.00266563062.091.06

120.9860211870.0000055013-0.00118336951.400.71

130.99067003560.0000016319-0.0005255380.930.47

140.99377521760.0000004839-0.00023345230.620.31

150.99584800130.0000001435-0.00010372090.420.21

160.99723104580.0000000425-0.00004608760.280.14

170.99815360530.0000000126-0.00002048020.180.09

180.99876888110.0000000037-0.00000910140.120.06

190.99917917010.0000000011-0.00000404480.080.04

200.99945274240.0000000003-0.00000179760.050.03

210.9996351450.0000000001-0.00000079890.040.02

220.99975675480-0.00000035510.020.01

RecurrenciaFuncin

Funcin:f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 -10x + 3f'(x) = 4x3 - 18x2 + 24x -10xr =3

iteracinXif(Xi)f'(Xi)e(%)e*(%)

13.45.529620.736240.00

23.13333333331.294538271611.5294814815213.338.51

33.02105263160.17379579358.5132783205202.113.72

43.00063795850.00510855378.0153183317200.060.68

53.00000060970.00000487778.000014633200.000.02

6308200.000.00

Funcin:f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3f'(x) = 4x3 - 18x2 + 24x -10xr =3

f"(x) = 12x2 - 36x + 24

iteracinXif(Xi)f''(Xi)f'"(Xi)m(Xi)m'(Xi)e(%)e*(%)

13.45.529620.73640.320.26666666670.4814814815240.00

22.8461538462-0.96803333224.719162494318.7455621302-0.20512820511.8148148148184.6219.46

32.9591836735-0.30694415997.05012367322.550603915-0.0435374151.1392592593195.923.82

42.9973992198-0.02072517877.937702957123.9064530803-0.00261097941.0078636422199.741.27

52.9999898275-0.00008137867.999755862523.9996337922-0.00001017261.0000305184200.000.09

62.9999999998-0.00000000127.999999996323.9999999944-0.00000000021.0000000005200.000.00

RecurrenciaFuncin

Cruce de curvas

9

7.9909090909

7.1333333333

6.3923076923

5.7428571429

5.1666666667

4.65

4.1823529412

3.7555555556

3.3631578947

3

2.6619047619

2.3454545455

2.047826087

1.7666666667

1.5

1.2461538462

1.0037037037

0.7714285714

0.5482758621

0.3333333333

0.1258064516

-0.075

-0.2696969697

-0.4588235294

-0.6428571429

-0.8222222222

-0.9972972973

-1.1684210526

-1.3358974359

-1.5

Sistema no lineal

xyxy

194.58333333332

1.17.99090909094.14965986392.1

1.27.13333333333.77410468322.2

1.36.39230769233.44675488342.3

1.45.74285714293.15972222222.4

1.55.16666666672.90666666672.5

1.64.652.68244575942.6

1.74.18235294122.48285322362.7

1.83.75555555562.30442176872.8

1.93.36315789472.14427269122.9

2323

2.12.66190476191.86958029833.1

2.22.34545454551.75130208333.2

2.32.0478260871.64370982553.3

2.41.76666666671.54555940023.4

2.51.51.45578231293.5

2.61.24615384621.37345679013.6

2.71.00370370371.29778427083.7

2.80.77142857141.22807017543.8

2.90.54827586211.16370808683.9

30.33333333331.10416666674

3.10.1258064516

3.2-0.075

3.3-0.2696969697

3.4-0.4588235294

3.5-0.6428571429

3.6-0.8222222222

3.7-0.9972972973

3.8-1.1684210526

3.9-1.3358974359

4-1.5

Punto fijo sistema

Funciones:x2 + xy =10 ;y + 3xy2 = 57x = 10 - xyy = (57-y)/3xx=2

y=3

iteracinxiyie(%)e*(%)e(%)e*(%)

11.53.525.0016.67

22.17944947182.86050598818.9731.184.6522.36

31.94053387893.04955067322.9712.311.656.20

42.02045628592.98340474671.023.960.552.22

51.99302812983.00570436260.351.380.190.74

62.00238524162.99805430310.120.470.060.26

71.99918491143.0006655610.040.160.020.09

82.00027865212.99977254620.010.050.010.03

91.99990475143.00007775730.000.020.000.01

102.00003255942.99997342090.000.010.000.00

MTODO DE PUNTO FIJO ENSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESConsidera la interseccin de dos funciones no lineales f(x, y)=0 y g(x, y)=0.La interseccin de las curvas f(x, y)=0 y g(x, y)=0 nos da la raiz (xr, yr).El mtodo consiste en obtener las funciones que tengan las mismas raices (xr, yr):x-F(x, y) = 0y-G(x, y) = 04.Considerar un valor inicial (x0, y0), como aproximacin a la raz, evaluar: x1=F(x0, y0) y1=G(x0, y0)5. El proceso se repite n veces hasta tener valores muy cercanos a las races.

MTODO DEL PUNTO FIJO ENSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESx = 2y = 3xn=10/(x+y)yn=((57-y)/(3x))^(1/2)err=sqrt((xn-x)^2+(yn-y)^2)

iteracinxiyierri11.53.5---2 2.00003.44800.502731.83552.98750.48904 2.07343.13190.27825 1.92112.94280.24276 2.05593.06260.18037 1.95372.95720.14688 2.03633.03650.11459 1.97132.97210.0915

MTODO DEL PUNTO FIJO ENSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESx = 2y = 3Variante Seidelxn=10/(x+y)yn=((57-y)/(3xn))^(1/2)err=sqrt((xn-x)^2+(yn-y)^2)

Converge mas rpido!!!

iteracinxiyierri11.53.5---22.00002.98610.71703 2.00562.99620.011641.99933.00060.007752.00003.00000.0010

MTODO DEL PUNTO FIJO ENSISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESSin embargo, con el mtodo del punto fijo, la convergencia depende de la manera en que se formulen las ecuaciones de recurrencia y de haber elegido valores iniciales lo bastante cercanos a la solucin. En las dos formulaciones siguientes el mtodo diverge.x = (57 - y)/3y2y = (10 - x2)/xx = (10 - x2)/yy = 57 - 3xy2

iteracinxiyi11.53.521.455782315.16666666730.647242465.413376566

iteracinxiyi11.53.522.21428571-24.3753-0.20910518429.713648

MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESu(x, y)v(x, y)xyx1y1

MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESEste procedimiento corresponde, analticamente, a extender el uso de la derivada, ahora para calcular la interseccin entre dos funciones no lineales.Al igual que para una sola ecuacin, el clculo se basa en la expansin de la serie de Taylor de primer orden, ahora de mltiples variables, para considerar la contribucin de ms de una variable independiente en la determinacin de la raz.Para dos variables, la serie de Taylor de primer orden se escribe, para cada ecuacin no lineal:

MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESPero ui+1 = vi+1 = 0 :

Que reescribiendo en el orden conveniente:

MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESY cuya solucin es:

Donde J es el determinante jacobiano del sistema es:

MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESx2 + xy - 10 = 0y + 3xy2 - 57 = 0x = 2y = 3

iteracinxiyiuiviu/xu/yv/xv/yJacobiano11.53.5-2.51.6256.51.536.7532.5156.12522.036028822.8438751-0.064374959-4.7562084976.9159327462.03602882324.2628767535.74127004197.784303431.998700613.002288563-0.0045198960.049571156.9996897811.99870060927.0412098537.00405588204.969629241.999999982.999999413-1.28609E-06-2.21399E-056.9999993811.99999998426.9999894436.99999267204.999947352302.23821E-12722737205

MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESxy

**Definicin

Raz de una ecuacin (o cero de una ecuacin) es el valor de la variable para el cual la funcin se anula.*Ecuacionesalgebraicas

Generalmente las que se pueden expresar a travs de polinomios*Mtodosgrficos

Como auxiliares en la comprensin visual de los mtodos numricos tantos cerrados como abiertos, para identificar el nmero de posibles races y la identificacin de casos en los que los mtodos abiertos no funcionan. *