Universidad de Santiago de ChileFacultad de Ciencia Departamento de Matemtica y Ciencias de la Computacin EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES NO LINEALESProfesor: Jaime lvarez Maldonado Ayudante: Rodrigo Torres AguirreEjercicios:1) Sea la ecuacin ! ), donde g satisface | (! )| ) * ) 1 + , , -., /0.a) Probar que tambin se cumple | ! 8 ) 9 ! : )| ; *| 8 9 : | + 8 , : , -., /0.b) Demostrar que si se cumple la condicin en !a), la ecuacin ! ), tiene alo mas, una solucin en el intervalo - 8 , : 0.

Sol:

Se tiene que ! ) !=>?/@AB. CA =DEF? GHI?), y que la funcin g!x) satisfacela condicin de | (! )| ) * ) 1 + , , -., /0.a) Del problema de punto fijo ! ) se desprende que: 8 ! 8 ) : ! : )Si se restan queda: | 8 9 : | | ! 8 ) 9 ! : )|Ocuparemos el T.V.M. !Teorema de Valor Medio), el cual est dado por:

(! ) O!PQ )RO!PS ) PQ RPS

| 8

9 :

|| (! )| | ! 8

) 9 ! : )|Se sabe por el enunciado que | (! )| ) *, por lo que podemos relacionar la resta entre2 problemas de punto fijo con el T.V.M., entonces se tendra que:| ! 8 ) 9 ! : )| | (! )|| 8 9 : | ) *| 8 9 : |Por lo tanto | ! 8 ) 9 ! : )| ) *| 8 9 : | + 8 , : , -., /0.Queda probado.b) Se desea demostrar que ! ) tiene 1 sola solucin en - 8 , : 0.Suponiendo que existen en g!x) 2 puntos fijos !o soluciones), entonces: ! 8 ) 8 ! : ) :Al ser restados queda:| ! 8 ) 9 ! : )| | 8 9 : | , ahora aplicamos TVM !| 8 9 : || (! )| | ! 8 ) 9 ! : )|).| 8 9 : || (! )| | 8 9 : | , y por el enunciado principal !| (! )| ) *), se tieneque:| 8 9 : | | (! )|| 8 9 : | ) *| 8 9 : || 8 9 : | ) *| 8 9 : |Siendo que L est entre -0,10, la ecuacin anterior resulta ser una contradiccin Entonces, se concluye que para g!x) existe un nico punto fijo en el intervalo - 8 , : 0,siempre y cuando se cumpla la condicin de que | (! )| ) * ) 1 + , , -., /0.

2) La ecuacin 2 Z [ 24 ] [ 61 : 9 16 [ 1 0 tiene dos races cerca de 0.1 (0.1213203436; 0.1231056256), encuntrelas mediante el mtodo de Newton- Raphson.Sol:El mtodo de N-R, es el mtodo iterativo que requiere de la funcin, su derivada y unpunto de inicio, la formula est dada por:

f(Pg)

g de8 d 9 fh (PEntonces:

; n 0, 1,2,.)

G( ) 2 Z [ 24 ] [ 61 : 9 16 [ 1Gj( ) 8 ] [ 72 : [ 122 9 16Con m 0.1Al reemplazar los datos, se obtiene:2 d Z [ 24 d ] [ 61 d : 9 16 d [ 1 de8 d 9

8 d

] [ 72 d

: [ 122 d

9 16

Entonces las iteraciones son: 0.1111328125

0.11664780053787

0.11936143263559

0.12064808476922

0.12117604663885

0.12131031004941

0.12132028783201

0.12132034355771 Aproximacin a la raz buscada (0.1213203436)

Ahora buscaremos la otra raz, tomando como punto de inicio m 0.13

0.1242900624559 0.12344358909839 0.12315206375549 0.123106774549 0.12310562635671 0.1231056256179 0.12616290927433

Aproximacin a la raz buscada (0.1231056256)3) Demuestre que al usar el mtodo de Newton-Raphson, para aproximar el reciprocode un numero S, S>0 se obtiene la formula iterativa ye8 y !2 9 z { y ), | 0,1 Calcular 8 usando el algoritmo.8}

ol:

El algoritmo de N-R, esta dado por 9 f !P ~ ) ye8 y fh !P~)El reciproco de un nmero S, es: 8

z 8 P

G! ) z 9 8 0P1Gj! ) :Ahora reemplazamos los datos en la ecuacin de N-RR Q ye8 y 9

~ Q ~S

ye8 y 9

! {P~ R 8)P~

{ P~ S

y y8

Entonces: ye8 y { !2 9 z { y )

y 9 !z { : 9 )

y 2 y 9 z { : y { !2 9 z { y )

Para calcular 1/17, por el algoritmo encontrado, se considera S 17, por lo tanto, la ecuacin quedara: ye8 y { !2 9 17 { y )Se sabe que 1/17 est entre 0 y 0.1.Por lo que consideraremos como punto de inicio m 0.05Las iteraciones queda igual a: 0.0575 0.05879375 0.058823514335938 0.058823529411764El error absoluto de es: ! ) | 9 | |0.05882352941176490.058823514335938| 1.5075826*10R ! ) 1.5075826*10R < 10R}Despus de 4 iteraciones se llego a 0.058823529411764 que es una aproximacinde 8 con un

< 10R .8}

f ! 0.058823529411764 ) 0 es raz de f!x) con S 174) Determine el intervalo de convergencia del mtodo de Newton-Raphson cuando seaplica a la funcin G! ) 2P 9 8 ]

S ol:

Para aplicar el algoritmo de Newton-Raphson, se tiene:1G! ) 2P 93Gj! ) 2P ln 2 !Derivada implcita)

:g::g RQEntonces: de8 d9 O!Pg)

!2Pg ln 2 { 2Pg ln 2 9 2P 9 1

{ 2P !ln 2):

d (! ) 1 9 3 2:Pg !ln 2):

1 9 8 ]{:Segn la propiedad | (! )| ) * ; 1Entonces: 1 9 8 ; 1]{:-91 ; 1 9 8 ; 1]{:

6 > 2RP >0 /*Lnln 6 > 9 { ln 2 > ln 0/*-1

9 :

; ; ln 0 , [9 , ] :Por lo tanto el intervalo de convergencia es [9 , ] :5) Encuentre el punto positivo donde la funcin G! ) P alcanza su valor mnimoPScalculando los ceros de Gj! ) con el mtodo de Newton-Raphson. Calcule dichovalor mnimo.Sol:

Se necesita saber la funcin a la cual se le aplicar el mtodo de N-R, su derivada y el punto de inicio del algoritmo !dentro de un intervalo, para disminuir la cantidad de iteraciones).

Entonces: G! ) P PSG (! ) 8 9 : P

Funcin buscada para aplicar el algoritmoPS ! P)S P

G (( ! ) P 9 Z [ : P

Derivada de la funcin a analizarP P ! P)S

PS ! P)

Ahora sustituimos los datos en la formula de N-R, la cual en nuestro casi es as:G ( ! ) de8 d 9 Gjj! )

de8 d 9

1 9 2 tan d d : (cos d ): d ] 6 tan d 9 4 [ 2 sin d d Z

d ] !cos d ):

d : !cos d )]

El intervalo !para obtener el punto de inicio del algoritmo) lo podemos obtener por medio de un barrido entre 0 y 2 !aplicando el TVI), de sugerencia [0.9; 1].Al tener el intervalo, elegimos algn punto que est en su interior, como m 0.9. Las iteraciones son: 0.94775114536635 = 0.94774713352959 = 0.94774713351695 = 0.94774713351695El error absoluto de es: ( ) = | 9 | = |0.94774713351695 9 0.94774713351695| 0 ( ) 0Despus de 4 iteraciones se llego a = 0.94774713351695 que es una aproximacin ala raz de G (( ), con un ( ) 0. Esta aproximacin es el punto mnimo de lafuncin G( ) = P.PSG (( = 0.94774713351695) = -1.7250028381586*10R8] 0G( = 0.94774713351695) = 1.5494400344836El valor mnimo de la funcin es 1.5494400344836.

6) Determinar algoritmos de punto fijo para obtener una solucin aproximada de la ecuacin !1 [ )AE! ) 1.Sol:Ordenamos la ecuacin G! ) AE! ) [ AE! ) 9 1 0Ahora le sumamos : en ambos lados de la ecuacin, quedando:AE! ) [ AE! ) 9 1 [ : :Despejando una de las x, para formar el algoritmo de punto fijo ! de8 ! d )) de8 AE! d ) [ d AE! d ) 9 1 [ d : Algoritmo de punto fijoEvaluamos la funcin en algunos puntos, para obtener un intervalo que contenga la razque buscamos.Por lo que nos queda un intervalo !despus del barrido), -2.85; 2.90.Elegimos un punto de inicio, m 2.875Las iteraciones del algoritmo son: 2.8786243631782 2.8809861083846 2.8800553193257 2.8809862372817 2.8806194966361 2.8809862880556 2.8808418107431 2.8809863080559 2.8809293947499 2.8809863159342 2.8809638968662 2.8809863190376 2.880977487889 2.88098632026 2.8809828415741 2.8809863207415 2.8809849504512 2.8809863209312 2.88098578116 2.8809863210059El error absoluto de es: ! ) | 9 | |2.8809863210059 9 2.8809863209312| 7.47*10R88 ! ) 7.47*10R88< 10R8mDespus de 20 iteraciones se llego a 2.8809863210059 que es una aproximacina la raz de G! ) AE! ) [ AE! ) 9 1, con un ! ) < 10R8mf ! 2.8809863210059) 1.697*10R8m 0 f ! ) 0La ecuacin es logQ 5, que es igual a !8)P 5,entonces G! ) !8)P 9 5. ] ]

Trabajamos un poco la ecuacin, para pasarla a un problema de punto fijo.

1 ! )P 5 /{

7) Obtener un algoritmo de punto fijo para calcular log8/] 5 .Sol:31 = 3 { 5

/[x

3 5 [ 9 1 Problema de punto fijo

de8 d d 3 g5 [ 9 1 ! ) Algoritmo de punto fijoPara aplicar el algoritmo, necesitamos un punto de inicio, este punto se obtiene de unintervalo, el cual responde al TVI. Este intervalo es [91.5; 91.4] !entre ms pequeomejor), y el punto de inicio ser m 91.45.Las iteraciones quedan: -1.4612807817018 = -1.464969925092 = -1.4640531867328 = -1.4649726215252 = -1.4647435586268 = -1.4649732958476 = -1.4649160238965 = -1.4649734644823 = -1.4649591426499 = -1.4649735066545El error absoluto de es: ( ) = | 9 | = | 9 1.4649735066545 9 91.4649734644823|=4.21722*10R ( ) = 4.21722*10R< =10R}Despus de 10 iteraciones se llego a = -1.4649735066545 que es unaaproximacin a la raz de la funcin, con un ( ) < =10R}f ( = -1.4649735066545)=-7.72512*10R 0 f ( ) 0 (La raz exacta es 9 ) ] = 9

ln 5ln 3

= 90.14649735207179 { 108 = -0.14649735066545*108Dgitos Significativos ( ) ) 0.5 { 10R| 90.14649735207179 { 108 + 0.14649735066545 { 108 ) 0.5 { 108R0.00000001406340.5

) 108R /{ @? @? m.mmmmmmm8Zm]Z ) 1 9 ) 8.55088 = 8 (8 dgitos significativos)m.

8) La ecuacin 2 ] [ 4 : 9 9 5 = 0 tiene una raz cercana a x 1. Obtener tres algoritmos iterativos de la forma ! ), siendo ! ) un radical, tales que converjan a la raz, comenzando con m 1.Encontrar la solucin indicando cual esel algoritmo que ms rpidamente converge.Sol:La funcin es G! ) 2 ] [ 4 : 9 9 5 0Tres problemas de punto fijo podran ser:

a) despejando : :PeR:P:

( )

Sb) despejando ] e:PRZP:

( )

c) Aplicamos N-R (es un tipo de problema de punto fijo)(2 ] [ 4 : 9 2 9 5) 9

(6 : [ 8 9 2)

= ( )

Las iteraciones para (a), son: = 1.1180339887499 = 1.0536819972868. = 1.0781625824823Las iteraciones para (b), son: = 1.1447142425533 = 1.0079279312584 = 1.1385995170201 = 1.015033461394 = 1.1330072625887Converge muy lentamenteLas iteraciones para (c), son: = 1.08333333333333 = 1.0781830462682 = 1.0781625876515 = 1.0781625873293 Este es el algoritmo que converge ms rpidamente a la raz de f(x).

Para poder usar un algoritmo de punto fijo, necesitamos pasar la ecuacin a algo ms trabajable, entonces:656112P 6P /{ ln !)

Pln 656112 Z ln 6P

{ ln 656112 { ln 64

G! ) P { ln 656112 9 { ln 6 0ZAhora hacemos un barrido para ver en que intervalo esta la raz de la funcin f!x).G!0) 0 x 0 es raz de la funcinG!3) 0.424531300494G!3.4) 0.08238673361G!3.5) 90.006647672497G!4) 90.469994484382El intervalo donde se encuentra la raz de f!x) es -3.4; 3.50, y el punto de inicio ser m 3.45.

9) Resolver 656112P 6P usando un algoritmo de punto fijo.Sol:

Z 3.4712265304214 3.4922489459813 3.4818887200483 3.4924162987635 3.4872320897908 3.4924999781619El problema de punto fijo con que se trabajara ser: de8 ! d )

Pg

{ 88:

3.4899068488881 3.4925418186131

3.4912449976811 3.4925627390267

3.4919142644745 3.4925731992805

El error absoluto de es: ! ) | 9 | |3.4925731992805 9 3.4925627390267| 1.04602538*10R ! ) 1.04602538*10R < 10RZDespus de 12 iteraciones se llego a 3.4925731992805 que es una aproximacina la raz de de la funcin, con un ! ) < 10RZf ! 3.4925731992805) 9.3711503*10R 0 f ! ) 010) Resolver . 9 . [ usando un algoritmo de punto fijo. Sol:Al ordenar la ecuacin !igualndola a 0), queda expresado de la siguiente forma:G! ) . 9 . [ 9 0 !la idea es obtener la raz de f!x))Para poder obtener esa raz, tomaremos la ecuacin inicial, como nuestro problema depunto fijo. El algoritmo de punto fijo queda: de8 . 9 . [ d

Y el punto de inicio ser: m .Las iteraciones quedan: 8 . 9 . [ . !Cantidad de a: 3) : . 9 . [ . 9 . [ . !Cantidad de a: 5)

]

. 9 . [ . 9 . [ . 9 . [ . !Cantidad de a: 7)

d

. 9 . [ .

. 9 . [ . 9 . [ . 9 . [ . !Cantidad de a:-2n[10)El error absoluto de d es: ! d ) | d 9 dR8 | 0Despus de n iteraciones se llego a que d es la raz de de la funcin G! ) . 9 . [ 9 , con un ! d ) 0G ! d ) 0Recomendacin: compruebe con a 3 !la raz es x 1), y con a 7 !la raz es x 2).

11) Cuando a>1 y 0