Ejercicios resueltos sobre Sistemas Ecuaciones Lineales
51
1 Universidad Autónoma de Santo Domingo Facultad De Ciencias Escuela De Matemáticas Santo Domingo, D. N. Mayo , 2014 ALGEBRA SUPERIOR Ejercicios Resueltos sobre Sistemas de Ecuaciones Lineales Preparado por: Rosa Cristina De Peña Olivares
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Sistemas de ecuaciones lineales homogeneos y no homogeneos resueltos mediante varios metodos.
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1
Universidad Autónoma de Santo Domingo
Facultad De Ciencias
Escuela De Matemáticas
Santo Domingo, D. N.
Mayo , 2014
ALGEBRA SUPERIOR
Ejercicios Resueltos sobre
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Preparado por: Rosa Cristina De Peña Olivares
2
I. En los sistemas asignados debe:
A) Expresar en forma matricial
B) Resolver usando Gauss.
C) Cuando sea posible resolver usando Gauss-Jordan.
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible.
1)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[ ]
[
]
[
] [ ] [
]
3
B) Resolver usando Gauss.
Escalonando la [
]
[
]
[
]
(
)
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
Determinación de la solución del SEL:
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3 Sistema posee solución única
De la segunda ecuación: y = 4 -2(3) = 4- 6 = -2 = y
De la primera ecuación:
x = 3y + 8z-14 = 3(-2) + 8(3) -14= -6 + 24 -14 = 4
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 4,-2,3)
4
C) Seleccionar el sistema y resolver usando Gauss-Jordan.
Escalonando en forma reducida la
[
]
[
]
[
]
Sistema Equivalente: [
] [ ] [
]
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 4,-2,3)
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
Escalonando la
[
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 3
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución. Sistema compatible.
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3 Sistema posee solución única
Determinación de la solución del SEL:
Sistema Equivalente: [
] [ ] [
]
Determinación de la solución del SEL:
De la segunda ecuación: y = 4 -2(3) = 4- 6 = -2 = y
De la primera ecuación:
x = 3y + 8z-14 = 3(-2) + 8(3) -14= -6 + 24 -14 = 4
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 4,-2,3)
5
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible.
[
] [ ] [
]
Despejando las incógnitas: [ ] [
]
[ ]
Después de hallar la matriz inversa para la matriz de los coeficientes de las incógnitas
tenemos que:
[ ] [
] [
] [
]
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 4,-2,3)
6
2)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[
]
[
]
[
] [ ] [
]
7
B) Resolver usando Gauss.
[
]
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
Determinación de una solución del SEL:
Número de ecuaciones = 2
Número de incógnitas = 3
Sistema posee infinitas soluciones
Variables libres tenemos: 3-2 = 1 variable libre
De la segunda ecuación: Tomando z como variable libre, para : z = 0 y = 4-2z y = 4
De la primera ecuación:
x = -2y -3z + 9 = -2 (4) -3(0) + 9 = 1
Una solución de las infinitas es: (x,y,z) = ( 1,4,0)
C) Cuando sea posible resolver usando Gauss-Jordan. No aplica.
8
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
Escalonando la
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 2
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 2
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución. Sistema Compatible.
Número de ecuaciones = 2
Número de incógnitas = 3
Sistema posee infinitas soluciones
Variables libres tenemos: 3-2 = 1 variable libre
Determinación de una solución del SEL:
De la segunda ecuación: Tomando z como variable libre, para : z = 0 y = 4-2z y = 4
De la primera ecuación:
x = -2y -3z + 9 = -2 (4) -3(0) + 9 = 1
Una solución de las infinitas es: (x,y,z) = ( 1,4,0)
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible. No aplica.
9
3)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[
]
[
]
[
] [ ] [
]
10
B) Resolver usando Gauss.
[
]
[
]
(
)
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
(
)
Determinación de una solución del SEL:
Número de ecuaciones = 2
Número de incógnitas = 3
Sistema posee infinitas soluciones
Variables libres tenemos: 3-2 = 1 variable libre
De la segunda ecuación: Tomando z como variable libre, para : z = 0
(
) y = (
)z y = 0
De la primera ecuación:
x = -2y +2z + 3 = -2 (0) +2(0) + 3 = 3
Una solución de las infinitas es: (x,y,z) = ( 3,0,0)
C) Cuando sea posible resolver usando Gauss-Jordan. No aplica.
11
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
Escalonando la
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
(
)
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 2
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 2
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución. Compatible.
Número de ecuaciones = 2
Número de incógnitas = 3
Sistema posee infinitas soluciones
Variables libres tenemos: 3-2 = 1 variable libre
Determinación de una solución del SEL:
De la segunda ecuación: Tomando z como variable libre, para : z = 0
(
) y = (
)z y = 0
De la primera ecuación:
x = -2y +2z + 3 = -2 (0) +2(0) + 3 = 3
Una solución de las infinitas es: (x,y,z) = ( 3,0,0)
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible. No aplica.
12
4)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[
]
[
]
[
] [ ] [
]
13
B) Resolver usando Gauss.
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente: No tenemos. Sistema no posee solución
C) Cuando sea posible resolver usando Gauss-Jordan. No aplica.
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
Escalonando la
[
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 2
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) r(A’) Sistema no posee solución. Incompatible.
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible. No aplica.
14
5)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[
]
[
]
[
] [ ] [
]
15
B) Resolver usando Gauss.
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
(
)
Determinación de la solución del SEL:
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única
Como z = 1
De la segunda ecuación:
(
) y = (
) =
De la primera ecuación:
x = 2y -3z +11 = 2(-3) -3 (1) + 11 = 2
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 2,-3,1)
16
C) Seleccionar el sistema y resolver usando Gauss-Jordan.
Escalonando en forma reducida la
[
]
(
)
[
]
[
]
Sistema Equivalente: [
] [ ] [
]
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 2,-3,1)
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
Escalonando la
[
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 3
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución. Compatible.
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única
Determinación de la solución del SEL:
Como z = 1
De la segunda ecuación:
(
) y = (
) =
De la primera ecuación:
x = 2y -3z +11 = 2(-3) -3 (1) + 11 = 2
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 2,-3,1)
17
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible.
[
] [ ] [
]
Despejando las incógnitas: [ ] [
]
[
]
Después de hallar la matriz inversa para la matriz de los coeficientes de las incógnitas
tenemos que:
[ ] [
] [
] [
]
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 2,-3,1)
18
6)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[ ]
[
]
[
] [ ] [
]
19
B) Resolver usando Gauss.
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
(
)
Determinación de la solución del SEL:
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única
Como z = 14
De la segunda ecuación:
(
) y = (
) =
De la primera ecuación:
x = -y + z + 7 = -30 + 14 +7 = - 9
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( -9,30,14)
20
C) Seleccionar el sistema y resolver usando Gauss-Jordan.
Escalonando en forma reducida la
[
]
(
)
[
]
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( -9,30,14)
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
Escalonando la
[
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 3
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución. Es Compatible Determinado.
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única
Determinación de la solución del SEL:
Como z = 14
De la segunda ecuación:
(
) y = (
) =
De la primera ecuación:
x = -y + z + 7 = -30 + 14 +7 = - 9
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( -9,30,14)
21
E)Resuelva usando matriz inversa, si es posible.
[
] [ ] [
]
Despejando las incógnitas: [ ] [
]
[ ]
Después de hallar la matriz inversa para la matriz de los coeficientes de las incógnitas
tenemos que:
[ ] [
] [ ] [
]
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( -9, 30,14)
22
7)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[
]
[
]
[
] [ ] [
]
23
B) Resolver usando Gauss.
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
(
)
Determinación de la solución del SEL:
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única
Como z = 1
De la segunda ecuación:
(
) y = - (
) =
De la primera ecuación:
x = -2y -3 z + 14 = -2(3) -3(1) + 14 = 5
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 5,3,1)
24
C) Seleccionar el sistema y resolver usando Gauss-Jordan.
Escalonando en forma reducida la
[
]
(
)
[
] (
)
[
]
Sistema Equivalente:[
] [ ] [
]
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 5,3,1)
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
Escalonando la
[
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 3
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución. Compatible Determinado.
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única
Determinación de la solución del SEL:
Como z = 1
De la segunda ecuación:
(
) y = - (
) =
De la primera ecuación:
x = -2y -3 z + 14 = -2(3) -3(1) + 14 = 5
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 5,3,1)
25
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible.
[
] [ ] [
]
Despejando las incógnitas:
[ ] [
]
[
]
Después de hallar la matriz inversa para la matriz de los coeficientes de las incógnitas
tenemos que:
[ ] [
] [
] [ ]
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( 5, 3,1)
26
8)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[
]
[
]
[
] [ ] [
]
27
B) Resolver usando Gauss.
[
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
Determinación de una solución del SEL:
Número de ecuaciones = 2
Número de incógnitas = 3
Sistema posee infinitas soluciones
Variables libres tenemos: 3-2 = 1 variable libre
De la segunda ecuación: Tomando z como variable libre, para : z = 0 y = 2/3+ z y = 2/3
De la primera ecuación:
x = 2y - z + 2/3 = 2 (2/3) - 0 + 1 = 4/3+1 = 7/3
Una solución de las infinitas es: (x,y,z) = ( 7/3,2/3,0)
C) Cuando sea posible resolver usando Gauss-Jordan. No aplica.
28
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
[
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 2
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 2
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución. Compatible.
Número de ecuaciones = 2
Número de incógnitas = 3
Sistema posee infinitas soluciones
Variables libres tenemos: 3-2 = 1 variable libre
Determinación de una solución del SEL:
De la segunda ecuación: Tomando z como variable libre, para : z = 0 y = 2/3+ z y = 2/3
De la primera ecuación:
x = 2y - z + 2/3 = 2 (2/3) - 0 + 1 = 4/3+1 = 7/3
Una solución de las infinitas es: (x,y,z) = ( 7/3,2/3,0)
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible. No aplica.
29
9)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[ ]
[
]
[
] [ ] [
]
30
B) Resolver usando Gauss.
[
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
[
]
Sistema Equivalente: No tenemos. Sistema no posee solución
C) Cuando sea posible resolver usando Gauss-Jordan. No aplica.
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
[
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 2
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) r(A’) Sistema no posee solución. Incompatible.
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible. No aplica.
31
10)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[ ]
[
]
[
] [ ] [
]
32
B) Resolver usando Gauss.
[
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
Determinación de la solución del SEL:
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única.
De la segunda ecuación: y = 1- 4(3/22) = 1- 6/11 = 5/11 = y
De la primera ecuación:
x = -y + z = -5/11+ 3/22 = -7/22
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( -7/22, 5/11,3/22)
33
C) Seleccionar el sistema y resolver usando Gauss-Jordan.
Escalonando en forma reducida la
[
]
[
]
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( -7/22, 5/11,3/22)
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
Escalonando la
[
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 3
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución. Compatible.
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única
Determinación de la solución del SEL:
De la segunda ecuación: y = 1- 4(3/22) = 1- 6/11 = 5/11 = y
De la primera ecuación:
x = -y + z = -5/11+ 3/22 = -7/22
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( -7/22, 5/11,3/22)
34
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible.
[
] [ ] [
]
Despejando las incógnitas: [ ] [
]
[ ]
Después de hallar la matriz inversa para la matriz de los coeficientes de las incógnitas
tenemos que:
[ ] [
] [ ] [
]
Conjunto Solución: (x,y,z) = ( -7/22, 5/11,3/22)
35
11)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[ ]
[
]
[
] [ ] [
]
36
B) Resolver usando Gauss.
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
Determinación de la solución del SEL:
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única.
De la segunda ecuación: -7 y = -7 – z = - 7-11/10 = -81/10
De la primera ecuación:
x = y – z + 6 = -81/10 - 11/10 + 6 = - 46/5 + 6= -16/5
Conjunto Solución: (x,y,z) = (-16/5 ,-81/10,11/10)
37
C) Seleccionar el sistema y resolver usando Gauss-Jordan.
Escalonando en forma reducida la
[
]
[
]
[
]
Sistema Equivalente: [
] [ ] [
]
Conjunto Solución: (x,y,z) = (-16/5 ,-81/10,11/10)
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
Escalonando la
[
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 3
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución. Compatible.
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única
Determinación de la solución del SEL:
De la segunda ecuación: -7 y = -7 – z = - 7-11/10 = -81/10
De la primera ecuación:
x = y – z + 6 = -81/10 - 11/10 + 6 = - 46/5 + 6= -16/5
Conjunto Solución: (x,y,z) = (-16/5 ,-81/10,11/10)
38
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible.
[
] [ ] [
]
Despejando las incógnitas:
[ ] [
]
[ ]
Después de hallar la matriz inversa para la matriz de los coeficientes de las incógnitas
tenemos que:
[ ] [
] [
] [
]
Conjunto Solución: (x,y,z) = (-16/5 ,-81/10,11/10)
39
12)
A) Expresar en forma matricial
[
]
[ ]
[
]
[
]
[
] [ ] [
]
40
B) Resolver usando Gauss.
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente: No tenemos
C) Cuando sea posible resolver usando Gauss-Jordan. No aplica.
D) Analice la compatibilidad según Rouche Frobenius.
Si es compatible, halle al menos una solución.
[
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 2
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) r(A’) Sistema no posee solución. Incompatible.
E) Resuelva usando matriz inversa, si es posible. No aplica.
41
II. De los sistemas de ecuaciones homogéneos
1)
A) Determine si se presenta solución trivial.
B) Indique el caso donde se posea solución no trivial.
[
] [ ] [
]
[
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente: [
] [ ] [
]
(
)
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 2
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 2
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución trivial
Solución Trivial : (x,y,z) = (0 , 0, 0)
42
B) Indique el caso donde se posea solución no trivial.
Número de ecuaciones = 2
Número de incógnitas = 3
Sistema posee infinitas soluciones
Variables libres tenemos: 3-2 = 1 variable libre
Determinación de una solución no trivial del SEL:
(
)
Si asignamos a : z = 5 y = 9
Solución no trivial : (x ,y ,z) = (- 8 , 9, 5)
43
2)
A) Determine si se presenta solución trivial.
B) Indique el caso donde se posea solución no trivial.
[
] [ ] [
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 3
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única trivial
Solución Trivial : (x,y,z) = (0 , 0, 0)
44
3)
[
] [ ] [
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente: [
] [ ] [
]
(
)
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 2
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 2
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución trivial
Solución Trivial : (x,y,z) = (0 , 0, 0)
B) Indique el caso donde se posea solución no trivial. Número de ecuaciones = 2
Número de incógnitas = 3
Sistema posee infinitas soluciones
Variables libres tenemos: 3-2 = 1 variable libre
Determinación de una solución no trivial del SEL:
(
)
Si asignamos a : z = 9 y = 5
Solución no trivial : (x ,y ,z) = ( 8 , 5, 9)
45
4)
[
] [ ] [
]
[
]
=
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente: [
] [ ] [
]
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 2
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 2
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución trivial
Solución Trivial : (x,y,z) = (0 , 0, 0)
B) Indique el caso donde se posea solución no trivial. Número de ecuaciones = 2
Número de incógnitas = 3
Sistema posee infinitas soluciones
Variables libres tenemos: 3-2 = 1 variable libre
Determinación de una solución no trivial del SEL:
Si asignamos a : z = 1 y = -2
Solución no trivial : (x ,y ,z) = ( 7 , -2, 1)
46
5)
[
] [ ] [
]
[
]
=
[
]
(
)
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente: [
] [ ] [
]
(
)
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución trivial
Solución Trivial : (x,y,z) = (0 , 0, 0)
B) Indique el caso donde se posea solución no trivial. Número de ecuaciones = 2
Número de incógnitas = 3
Sistema posee infinitas soluciones
Variables libres tenemos: 3-2 = 1 variable libre
Determinación de una solución no trivial del SEL:
(
)
Si asignamos a : z = 9 y = 8
Solución no trivial : (x ,y ,z) = ( 2 , 8, 9)
47
6)
[
] [ ] [
]
[
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
(
)
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 3
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución) Sistema posee solución trivial
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única
Solución Trivial : (x,y,z) = (0 , 0, 0)
48
7)
[
] [ ] [
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente:
[
] [ ] [
]
(
)
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 3
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución
Número de ecuaciones = 3
Número de incógnitas = 3
Sistema posee solución única trivial
Solución Trivial : (x,y,z) = (0 , 0, 0)
49
8)
[
] [ ] [
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente: [
] [ ] [
]
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución trivial
Solución Trivial : (x,y,z) = (0 , 0, 0)
B) Indique el caso donde se posea solución no trivial. Número de ecuaciones = 2
Número de incógnitas = 3
Sistema posee infinitas soluciones
Variables libres tenemos: 3-2 = 1 variable libre
Determinación de una solución no trivial del SEL:
Si asignamos a : z = 2 y = -3
Solución no trivial : (x ,y ,z) = ( -2 , -3, 2)
50
9)
[
] [ ] [
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente: [
] [ ] [
]
(
)
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 3
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución trivial
Solución Trivial : (x,y,z) = (0 , 0, 0)
51
10)
[
] [ ] [
]
[
]
[
]
[
]
[
]
(
)
[
]
[
]
(
)
[
]
Sistema Equivalente: [
] [ ] [
]
(
)
Determinación de Rangos en la matriz ampliada y escalonada.
Rango de la matriz de coeficientes r(A) = 3
Rango de la matriz ampliada r (A’) = 3
Como r(A) = r(A’) Sistema posee solución trivial
Solución Trivial : (x,y,z) = (0 , 0, 0)
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