CONCEPTOS BASICOS:Linealidad y no linealidad

Sistemas lineales y no linealesEcuaciones no lineales

La linealidad de un sistema permite a los investigadores hacer ciertas suposiciones matemáticas y aproximaciones, permitiendo un cálculo más sencillo de los resultados.

los sistemas no lineales representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. El comportamiento de sistemas no lineales no está sujeto al principio de superposición, como lo es un sistema lineal.

una función lineal es aquella que satisface las siguientes propiedades.

Aditividad: Homogeneidad: Estas dos reglas tomadas en conjunto se conocen

como Principio de Superposición. Una ecuación no lineal es una ecuación de la

forma: F(u) =0, Para algún valor desconocido de u. Para poder resolver cualquier ecuación se necesita

decidir en qué espacio matemático se encuentra la solución u. Podría ser que u es un número real, un vector o, tal vez, una función con algunas propiedades.

Entre las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales hay varias diferencias importantes. Ya es conocido que las ecuaciones lineales no homogéneas de orden dos o superior tienen la propiedad de que una combinación lineal de soluciones también es una solución. Las ecuaciones no lineales no poseen esta propiedad de superposición.

Hay grandes clases de ecuaciones diferenciales y sistemas que tienen solución en algún intervalo. Sin embargo si una ecuación es no lineal, entonces generalmente no hay manera de hallar su solución. Por esta razón es necesario buscar métodos para describir la naturaleza de una solución sin resolver la ecuación explícitamente.

Por lo tanto queremos comparar las soluciones de la ecu.(1) con aquellas de la ecuación lineal.

Cuya solución general es:

La ecuación no lineal (1) puede resolverse por separación de variables

Usando fracciones parciales tenemos:

Lorenz derivó este sistema tridimensional de ecuaciones diferenciales no-lineales, sistema que es un modelo matemático simplificado de la recirculación por convección que aparece en la atmósfera.

Las ecuaciones de Lorenz son:

Soluciones numéricas del sistema son mostradas a continuación, como ejemplo usando sigma=10, b=8/3, r=28. Una maravillosa estructura emerge si la solución es visualizada como una trayectoria en el espacio (x(t), y(t), z(t)). Aquí se muestra el patrón tipo mariposa.

Sirve para representar problemas de tipo cualitativo, en este caso ha se representara el modelo de crecimiento de cierta población.

La hipótesis que la tasa con que crece o decrece una población sólo depende del número presente y no de mecanismos dependientes del tiempo, como los fenómenos estacionales

Supóngase que un medio es capaz de sostener, como máximo, una cantidad K determinada de individuos en una población.

Dicha cantidad se llama capacidad de sustento, o de sustentación, del ambiente.

Entonces f(k)=0 para la función f en la ecuación anterior y se escribe también f(0) = r. En la figura vemos tres funciones que satisfacen estas dos condiciones.

La ecuación dP/dt=kP diferencial no es un modelo muy fiel de la población cuando ésta es muy grande.

Cuando las condiciones son de sobrepoblación, se presentan efectos negativos sobre el ambiente (como contaminación y exceso de demanda de alimentos y combustible).

Está acotada cuando t→∞ Si se rearregla esa ecuación en la forma

, el término no lineal -bP², se puede interpretar como un término de “inhibición” o “competencia.” Asimismo, en la mayor parte de las aplicaciones la constante positiva a es mucho mayor que b.

SOLUCIÓN

TENEMOS

La forma básica de la gráfica de la función logística P(f) se puede conocer sin mucha dificultad. Aunque la variable t suele representar al tiempo -y casi no nos ocupamos de aplicaciones en que t < 0, tiene cierto interés incluir ese intervalo al presentar las diversas gráficas

Reacciones Químicas de Segundo Orden

SUSTANCIA A SUSTANCIA B

a bSUSTANCIA C

Se necesitan

M partes de A y N partes de B

Gramos de A y B en cualquier momento

Factor izamos en el primer

producto

Factor izamos en el segundo

producto

En las que

Cuando se combinan dos sustancias, A y B, se forma un compuesto C. La reacción entre ambas es tal que, por cada gramo de A se usan 4 gramos de B. Se observa que a los 10 minutos se han formado 30 gramos del producto C. Calcula la cantidad de C en función del tiempo si la velocidad de la reacción es proporcional a las cantidades de A y B que quedan y al principio hay 50 gramos de A y 32 gramos de B. ¿Qué cantidad de compuesto C hay a los 15 minutos? Interprete la solución cuando

los gramos del compuesto C presentes cuando el tiempo es t. esta claro que

Si, por ejemplo, hay dos gramos del producto C, hemos debido usar, a gramos de A y b gramos de B, de tal modo que

a+b=2 y b=4aPor consiguiente debemos emplear

Sustancia A Sustancia B

Entonces, la cantidad de A y B en cualquier momento son, respectivamente

Sabemos que la rapidez de formación del compuesto C está definida por

Separando variables

Al integrar obtenemos

t=0, X=0, en consecuencia:

X=30gr cuando t=10

Despejando X

En la figura de a continuación se muestra el comportamiento de X en función del tiempo. Según la tabla de la figura y la ecuación obtenida anteriormente, esta claro que cuando Esto quiere decir que se forman 40 gramos de la sustancia C y que quedan

• Se trata de un conjunto de ecuaciones en Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. el movimiento de un fluido.

• Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en todo tipo de general, cualquier fenómeno en todo tipo de fluidos.fluidos.

• Estas ecuaciones se obtienen aplicando Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un mecánica y la termodinámica a un volumen fluido.volumen fluido.

• y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una muy concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas solución analítica; por lo que en muchas ocasiones hemos de recurrir al análisis ocasiones hemos de recurrir al análisis numérico para determinar una solución. numérico para determinar una solución.

Esta expresión representa el principio Esta expresión representa el principio de conservación del momento lineal de conservación del momento lineal aplicada a un fluido general.aplicada a un fluido general.

• La La no-linealidadno-linealidad de las ecuaciones se de las ecuaciones se debe precisamente al término relacionado debe precisamente al término relacionado con la derivada total. Cuando μ es con la derivada total. Cuando μ es uniforme sobre todo el fluido las uniforme sobre todo el fluido las ecuaciones de fluido se simplifican de la ecuaciones de fluido se simplifican de la manera siguiente:manera siguiente:

La ecuación de Clairaut, llamada así por su inventor, el físico francés Alexis-Claude Clairaut, es una ecuación diferencial de la forma:

 Donde f(x) es una función continuamente diferenciable.El interés que presenta este tipo de ecuación se debe al hecho de que tiene como solución a una familia de rectas. Además, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes están dadas por la familia, también es solución, en este caso una solución singular, de la ecuación de Clairaut. Ésta fue una de las primeras ocasiones en la historia en que este tipo de solución (la solución singular) se puso de relieve.