1. ECUACIONES NO LINEALES

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  • 1.
    • CONCEPTOS BASICOS:
    • Linealidady no linealidad
    • Sistemas lineales y no lineales
    • Ecuaciones no lineales

2.

  • La linealidad de un sistema permite a los investigadores hacer ciertas suposiciones matemticas y aproximaciones, permitiendo un clculo ms sencillo de los resultados.
  • los sistemas no lineales representan sistemas cuyo comportamiento no es expresable como la suma de los comportamientos de sus descriptores. El comportamiento de sistemas no lineales no est sujeto al principio de superposicin, como lo es un sistema lineal.

3.

  • una funcin lineal es aquella que satisface las siguientes propiedades.
  • Aditividad:
  • Homogeneidad:
  • Estas dos reglas tomadas en conjunto se conocen como Principio de Superposicin.
  • Una ecuacin no lineal es una ecuacin de la forma: F (u)=0, Para algn valor desconocido de u.
  • Para poder resolver cualquier ecuacin se necesita decidir en qu espacio matemtico se encuentra la solucinu . Podra ser queues un nmero real, un vector o, tal vez, una funcin con algunas propiedades.

4.

  • Entre las ecuaciones diferenciales lineales y no lineales hay varias diferencias importantes. Ya es conocido que las ecuaciones lineales no homogneas de orden dos o superior tienen la propiedad de que una combinacin lineal de soluciones tambin es una solucin. Las ecuaciones no lineales no poseen esta propiedad de superposicin.

5.

  • Hay grandes clases de ecuaciones diferenciales y sistemas que tienen solucin en algn intervalo. Sin embargo si una ecuacin es no lineal, entonces generalmente no hay manera de hallar su solucin. Por esta razn es necesario buscar mtodos para describir la naturaleza de una solucin sin resolver la ecuacin explcitamente.

6. 7. 8. 9.

  • Por lo tanto queremos comparar las soluciones de la ecu.(1) con aquellas de la ecuacin lineal.
  • Cuya solucin general es:
  • La ecuacin no lineal (1) puede resolverse por separacin de variables
  • Usando fracciones parciales tenemos:

10. 11. 12.

  • Lorenz deriv este sistema tridimensional de ecuaciones diferenciales no-lineales, sistema que es un modelo matemtico simplificado de la recirculacin por conveccin que aparece en la atmsfera.
  • Las ecuaciones de Lorenz son:

13.

  • Soluciones numricas del sistema son mostradas a continuacin, como ejemplo usandosigma =10, b=8/3, r=28. Una maravillosa estructura emerge si la solucin es visualizada como una trayectoria en el espacio (x(t), y(t), z(t)). Aqu se muestra el patrn tipo mariposa.

14. 15.

  • Sirve para representar problemas de tipo cualitativo, en este caso ha se representara el modelo de crecimiento de cierta poblacin.
  • La hiptesis que la tasa con que crece o decrece una poblacin slo depende del nmero presente y no de mecanismos dependientes del tiempo, como los fenmenos estacionales

16.

  • Supngase que un medio es capaz de sostener, como mximo, una cantidadKdeterminada de individuos en una poblacin.
  • Dicha cantidad se llamacapacidad de sustento,o de sustentacin, del ambiente.
  • Entoncesf(k)=0para la funcinfen la ecuacin anteriory se escribe tambinf(0) = r.En la figura vemos tres funciones que satisfacen estas dos condiciones.

17.

  • La ecuacin dP/dt=kP diferencialno es un modelo muy fiel de la poblacin cuando sta es muy grande.
  • Cuando las condiciones son de sobrepoblacin, se presentan efectos negativos sobre el ambiente (como contaminacin y exceso de demanda de alimentos y combustible).
  • Est acotada cuandot-> Si se rearregla esa ecuacin en la forma
  • ,el trmino no lineal -bP ,se puede interpretar como un trmino de inhibicin o competencia. Asimismo, en la mayor parte de las aplicaciones la constante positivaaes mucho mayor queb.

18. SOLUCIN 19. TENEMOS 20.

  • La forma bsica de la grfica de la funcin logsticaP(f)se puede conocer sin mucha dificultad. Aunque la variable t suele representar al tiempo -y casi no nos ocupamos de aplicaciones en que t < 0, tiene cierto inters incluir ese intervalo al presentar las diversas grficas

21. 22. Reacciones Qumicas de Segundo Orden 23. SUSTANCIAASUSTANCIAB a b SUSTANCIAC Se necesitan Mpartes de AyNpartes de B Gramos de A y B en cualquier momento 24. Factor izamos en el primer producto Factor izamos en el segundo producto 25. En las que 26. 27.

  • Cuando se combinan dos sustancias, A y B, se forma un compuesto C.La reaccin entre ambas es tal que, por cada gramo de A se usan 4 gramos de B.Se observa que a los 10 minutos se han formado 30 gramos del producto C.Calcula la cantidad de C en funcin del tiempo si la velocidad de la reaccin es proporcional a las cantidades de A y B que quedan y al principio hay 50 gramos de A y 32 gramos de B.Qu cantidad de compuesto C hay a los 15 minutos? Interprete la solucin cuando

28.

  • los gramos del compuesto C presentes cuando el tiempo est.esta claro que

Si, por ejemplo, hay dos gramos del producto C, hemos debido usar,agramos de A ybgramos de B, de tal modo que a+b=2y b=4a Por consiguiente debemos emplear Sustancia A Sustancia B 29. Entonces, la cantidad de A y B en cualquier momento son, respectivamente Sabemos que la rapidez de formacin del compuesto C est definida por 30. Separando variables Al integrar obtenemos 31.

  • t=0, X=0, en consecuencia:
  • X=30grcuandot=10

DespejandoX 32. En la figura de a continuacin se muestra el comportamiento deXen funcin del tiempo.Segn la tabla de la figura y la ecuacin obtenida anteriormente, esta claro que cuandoEsto quiere decir que se forman 40 gramos de lasustancia Cy que quedan 33.

  • Se trata de un conjunto deecuaciones en derivadas parcialesno lineales que describen el movimiento de unfluido .
  • Estas ecuaciones gobiernan laatmsferaterrestre, las corrientes ocenicas y el flujo alrededor de vehculos o proyectiles y, en general, cualquier fenmeno en todo tipo defluidos .

34. 35.

  • Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservacin de lamecnicay latermodinmicaa un volumen fluido.
  • y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solucin analtica; por lo que en muchas ocasiones hemos de recurrir alanlisis numricopara determinar una solucin.

36. Esta expresin representa el principio deconservacin del momento linealaplicada a un fluido general. 37.

  • Lano-linealidadde las ecuaciones se debe precisamente al trmino relacionado con la derivada total. Cuando es uniforme sobre todo el fluido las ecuaciones de fluido se simplifican de la manera siguiente:

38.

  • La ecuacin de Clairaut, llamada as por su inventor, el fsico francs Alexis-Claude Clairaut, es una ecuacin diferencial de la forma:
  • Donde f(x) es una funcin continuamente diferenciable. El inters que presenta este tipo de ecuacin se debe al hecho de que tiene como solucin a una familia de rectas. Adems, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes estn dadas por la familia, tambin es solucin, en este caso una solucin singular, de la ecuacin de Clairaut. sta fue una de las primeras ocasiones en la historia en que este tipo de solucin (la solucin singular) se puso de relieve.