7/23/2019 Ecuaciones No Lineales Newton-Raphson

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Sistemas de ecuaciones

no linealesMtodo de Newton-Raphson

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Mtodo de Newton-Raphson

El mtodo de Newton-Raphsonse utiliz empleando la derivada

(al evaluar, es la pendiente de larecta tangente) de una funcin,para calcular su interseccin conel ee de la varia!leindependiente" esto es, la ra#z(figura $%&)% 'icho clculo se!as en la epansin de la seriede *a+lor de primer ordenf(xi + 1) = f(xi) + (xi+1 xi) (xi)

Xi+1 Xi

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dondexies el valor inicial de la raz y xi+1es el valor en el cual la recta tangente

intersecta el eex.En esta interseccin f(xi + 1) es !or

definicin igual a cero y la ecuacinse

reordena para tener

ue es la forma para el mtodo deNewton-Raphson para una sola ecuacin

)('

)(1

i

iii

xf

xfxx =

+

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a forma para m.ltiples ecuaciones se o!tieneen forma idntica% /in em!argo, se de!e usar

una serie de *a+lor de m.ltiples varia!les paratomar en cuenta el hecho de 0ue ms de unavaria!le independiente contri!u+e a ladeterminacin de la ra#z%

En el caso de dos varia!les, una serie de *a+lorde primer orden se escri!e para cada ecuacinno lineal como1

y

uyy

x

uxxuu iii

iiiii

+

+=

+++ )()( 111

y

vyy

x

vxxvv iii

iiiii

+

+=

+++ )()( 111

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'e la misma manera como en la versinpara una sola ecuacin, la ra#z aproimada

corresponde a los valores dex y y dondeui+1y vi+1son iguales a cero. En talsituacin se reordena la ecuacin como1

yuy

xuxuy

xux

xu iiiiiiiii

+

+=

+

++ 11

y

vy

x

vxvy

x

vx

x

v ii

iiii

ii

i

+

+=

+

++ 11

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'e!ido a 0ue se conocen todos los valores consu!#ndice i (corres!onden al "lti#o valor

estimado), las .nicas incgnitas sonxi+1y yi+1.Entonces la ecuacin ($.%&) es un con'untode dos ecuaciones lineales con dos incgnitas%En consecuencia, se pueden usar

manipulaciones alge!raicas (por eemplo, laregla de 2ramer) para resolverlo1

x

v

y

u

y

v

x

uy

uv

y

vu

xxiiii

ii

ii

ii

=+1

x

v

y

u

y

v

x

ux

vu

x

uv

yyiiii

ii

ii

ii

=+1

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2on el mtodo de Newton-Raphson param.ltiples ecuaciones determine las ra#ces

de las ecuaciones del eemplo $%3$%

Recuerde 0ue un par de valores correctosde las ra#ces esx = % y y = .

010),( 2 =+= xyxyxu 0573),( 2

=+= xyyyxv

Ejemplo

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Ejemplo

se co#o valores inicialesx = 1.* y y = .*.

4rimero calcule las derivadas parciales +eval.elas con los valores iniciales dex y

y

5.65.3)5.1(220 =+=+=

yx

x

u

75.36)5.3(33 220 ===

y

xv

5.10 ==

x

y

u

5.32)5.3(5.1(61610 =+=+=

xy

yv

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5s#, el determinante aco!iano para la primeraiteracin es1

$%&(67%&) 8 3%&(6$%9&) : 3&$%37&os valores de las funciones se eval.an con los

valores iniciales como1u&= (1.*)%+ 1.*(.*) 1& = %.*

v&= .* + (1.*)(.*)%

*, = 1.$%*Estos valores se sustitu+en en la ecuacin ($%73)1

03603.2125.156

)5.1(625.1)5.32(5.25.1 =

=x

84388.2125.156

)75.36)(5.2()5.6(625.15.3 =

=y

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5s#, los resultados estn convergiendo a losvalores verdaderosx = % y y = . -os

clculos se repiten hasta 0ue se o!tenga unaprecisin acepta!le%/egunda iteracin1

91594.6843.2)036.2(220

=+=+=

yxx

u

26296.24)843.2(33 220 ===

y

x

v036.20 ==

x

y

u

2744.41)843.2)(036.2(61610 =+=+=

xy

y

v

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Segunda iteracin

os nuevos determinantes ;aco!ianos son7