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Contenido

Resolver ecuación de transporte conservativo y sistemas lineales

Resolver sistemas no linealesTeoríaAplicación de Newton-Raphson a especiaciónAplicación de Picard y Newton-Raphson a

transporte reactivoComparación entre dos métodos

Discretización especial (2D)Diferencias finitas

Ecuación de transporte para nudo i,j

Solución transporte conservativo (1)

i - 1 i i + 1

x

yj

j + 1

j - 1

x

cc

x

cc

x

c iiii

ji 2

11

,

21

21

2

11

11

,

2

2 2

x

ccc

xxcc

xcc

x

c iii

iiii

ji

y

cccD

x

cccD

y

ccq

x

ccq

y

cD

x

cD

y

cq

x

cq

t

c

jijiji

yy

iii

xx

jiji

y

jiji

x

yyxxyx

1,,1,11,11,,1,1

2

2

2

2

22


Elementos FinitosSe basa en interpolación entre

nudosSe especifica coordinadas de

nudos y los nudos de cada elementos

Se pueden mezclar tipos de elementos

Nudo Elemento

Valor (c)

SegmentoTriángulo

Cuadrilátero

Tetraedro PrismaMalla 2D de EF

TriánguloCuadrilátero

Segmento 1D


Para todos los nudos y en notación de matriz:

Discretización temporal por DF

Resolver ck+1 mediante:

aaa tg

cFcE

Matriz paraadv./dif./disp.

Matriz diagonal de almacenamiento

Vector de fuentes/sumideros

Vector de concentraciones para cada nudo

ttkk

ccc

1

akk

akka tg

ccFccE

1

1 1

ka

aaka

a ttc

FEgc

FE

11

Factor de ponderación temporal (entre 0 y 1)

Resolver sistema lineal

Métodos directosDescomposición en LU

Dos partes Descomposición: ‘prepara’ matriz A Solución: calcula x

La descomposición es más costosa que la soluciónSi cambia b pero no cambia A, se puede aprovechar la

descomposiciónEs un método robusto

bAx

Resolver sistema lineal (2)

Métodos iterativosEjemplos: Gradientes Conjugados, GMRESEmpiezan con una solución inicial, que se mejora

cada iteraciónPueden tener problemas de convergenciaRequieren una solución inicial y criterios de

convergencia, p.e.

Son mejores para mallas de 2D y 3D con muchos nudos

max

1 ii xx

max

1 bAxi

Contenido




Solución de las ec. de transporte reactivo

ProblemaMuchas ecuaciones/incógnitas: número de nudos

número de componentesEn general, ecuaciones muy no lineales

Para problemas no lineales hay dos métodos de resoluciónPicard (en transporte reactivo también llamado:

SIA (Sequential Iteration Approach), Two-step)Newton Raphson (en transporte reactivo también

llamado: DSA (Direct Substitution Approach), One-step, Global Implicit)

Picard, principio

Escribimos ecuación como Resolvemos iterativamente xi+1 un sistema

lineal hasta que converja:

Para 1 incógnita

x1 x2 x3

b(x)

A(x)x

A(x1)xA(x2)x

)()( xbxxA

)()( 1 iii xbxxA i = número de iteración

Criterios de convergencia

Error absoluto de la incógnita

Error relativo de la incógnita

Error de la ecuación

absxii

,max

1 xx

relxi

ii

,

max

1

1

x

xx

ecii

max

11 bAx

Picard, ejemplo

Dos incógnitas (x1 x2) y dos ecuaciones

23

12

221

31

21221

xxx

xxxx

2

1

3

2 21

2

1

121

2 xx

x

x

xx

x

Iter. 1 2 .. 8

x 0.00 0.50 .. 0.22

0.00 0.67 .. 0.65

b 1.00 0.67 .. 0.86

1.00 2.00 .. 2.00

A 2.00 0.00 2.00 0.67 .. 2.00 0.65

0.00 3.00 0.75 3.00 .. 0.27 3.00

Ax-b -1.00 0.78 .. 0.00

-2.00 0.38 .. 0.00

En lugar de converger (cada vez más cerca de la solución), puede divergir (cada vez más lejos de la solución)

Se puede solucionar refinando la descretización (disminuyendo x o sobre todo t)

Picard, divergencia

x1 x2x3

b(x)A(x)x

Newton-Raphson, principio

Escribimos ecuación como Resolvemos iterativamente xi+1 mediante un sistema

lineal hasta que converja:

Para 1 incógnita

0xf )(

iiii fxxJ 1

in

nin

in

in

ii

in

ii

ii

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

fx

f

x

f

x

f

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

x

fJ

f

x0x1x2

Jacabiano Residuo

x3

J0

J1

Newton Raphson, ejemplo

23

12

221

31

21221

xxx

xxxx

23

12

221

31

21221

xxx

xxxxf

323

22

121

122

xx

xxxJ

Iter. 1 2 .. 5

x 0.00 0.50 .. 0.22

0.00 0.67 .. 0.65

-f 1.00 -0.78 .. 0.00

2.00 -0.38 .. 0.00

J 2.00 0.00 2.67 1.83 .. 2.65 1.51

0.00 3.00 1.75 3.00 .. 0.58 3.00

xi+1-xi 0.50 -0.34 .. 0.00

0.67 0.08 .. 0.00

Newton-Raphson, divergencia

También Newton-Raphson puede divergir

También se puede solucionar refinando descretización

f

x0 x1 x2

No (siempre) se actualiza el jacobiano Requiere más iteraciones, pero se ahorra

tiempo de cálculo en el ensamblaje del jacobiano

Pseudo Newton-Raphson

f

x0x1x2x3

J0

Contenido




Si hay expresión explícita para química

Nc ecuaciones y Nc incógnitas (c1)

Newton-Raphson

1 *1 2 1

2 1

( ) 0( )

T

a a a a aa

cf U u c S c c u

c c

* *2 1log log loga a a c S c k

* 2

1 1

Ti aai i

cf

J I Sc c *2

1

ln

lna

ai

c

Sc

2, 2, 2,

1, 1, 1,

ln

lna j a j a j

k i k

c c c

c c c

11 1

i i i i J c c f

1 1 2 1 20 or ( ) 0prescrita prescritaa f c c f c c c

1: Se sabe la con-centración total (ua)

2: Se sabe la con-centración (cprescrita)

2

1

ori i ai

c

J I Jc

1:

2:

Ejemplo

Primarias: H+, CO3-2

Secundarias: HCO3-, CO2, OH-

Carbono total = 10-3, pH =7

-2 - 33 3 2

+ 7

0[CO ] [HCO ] [CO ] 10

0[H ] 10

f

-3

2 2-

12-3

2+

2

log[HCO ]

log log[CO ]

log[OH ]

1 1 loglog[CO ]

1 2 loglog[H ]

0 1 log

a

k

k

k

c

- -3 3

2- +3

2 2 22- +

1 3

-

+

[HCO ] [HCO ]

[CO ] [H ]

[CO ] [CO ]2

[CO ] [H ]

[OH ]0

[H ]

a

c

c- -3 32 2

2- 2- + +3 3

[HCO ] [HCO ][CO ] [CO ]1 2

[CO ] [CO ] [H ] [H ]

0 1

J

Si no hay expresión explícita para química

Ecuaciones químicas

¿Cómo calcular ca2 y ca2/c1?

O, montar Newton-Raphson con Ns incógnitas (c) y ecuaciones (componentes y químicas)

O, calcular ca2 y ca2/c1 iterativamente (i+1 = (ci))

*11

*22 loglogloglog aaaaa kγcSγc

bIIBa

IAz

i

ii

1log

2

i

ii zcI 221

12 2

2

j jca a c

a

fc c f

c2

2 1 1

c a c

a

f c f

c c c

Se itera Después de la última iteración Regla de la cadena

2

1 2 1 1

0c c cd

d

f f fc

c c c c

Contenido




Picard, aplicación a transporte reactivo

Escribimos ec. de transporte reactivo como:

Primer paso: transporteSe puede resolver para cada componente por

separado

Ecuación discretizada

bcrUSc

Uc

Uuu

)()( ktk

mm

ssa

a

ttL

t

Términos lineales Términos no lineales

iia

ia Lt

buu

)( 11

iccka

aa

cicka

aa tt

,,

1,1, 1 bu

FEgu

FE

= vector de conc. acuosas de componente c para todos los nudoscau

Picard, aplicación a transporte reactivo (2)

Segundo paso: químicaCálculo de bi+1 a partir de ua

i+1 para cada nudo por separado

Resolver c1 (Nc) y cm (Nm) aplicando Newton-Raphson (pequeño)

Calcular bi+1 a partir de c1 y cm

0uuucUcucu im

id

iammda

111 )()(

*1

* logloglog mmm kaS0a

))(()(

111 ccrUS

cU

ccUb k

tk

mm

ss

i

tt

Nc

Nm

Detalles ecuaciones químicas

)( 1ccUu ddd

*11

*22 loglogloglog aaaaa kγcSγc

bIIBa

IAz

i

ii

1log

2

0uuucUcucu im

id

iammda

111 )()(

)( 12

1

cc

cUu

aaa

*1


*11

* logloglog dadd kγcSc

ctesscU

Para componentes inmóviles, p.e.[XNa] + 2[X2Ca] = CEC

Ec. de transporte tratada como ec. química

i

ii zcI 221

Ejemplo

Reacciones en equilibrioR1: CO3

2- = HCO3- - H+

R2: X2Ca = 2XNa + Ca2+ - 2Na+

R3: H2O = H+ + OH-

R4: CaCO3(s) = Ca2+ + CO32-

Componentes:Ca2+, HCO3

-, Na+, XNa (CEC), H+, OH-

Tratar como ecuación 'química'

Ejemplo, paso de transporte

Resolver las concentraciones acuosas

iCaCaka

aa

CaiCaka

aa tt

,,

1,1, 1 bu

FEgu

FE

iHCOHCOka

aa

HCOiHCOka

aa tt

,,

1,1,

3333 1 buF

EguF

E

iNaNaka

aa

NaiNaka

aa tt

,,

1,1, 1 bu

FEgu

FE

iHHka

aa

HiHka

aa tt

,,

1,1, 1 bu

FEgu

FE

iOHOHka

aa

OHiOHka

aa tt

,,

1,1, 1 bu

FEgu

FE

Ejemplo, paso químico

Resolver Ca2+, HCO3-, Na+, H+, OH-, XNa, CaCO3

0]CaCO[]Na[

]Ca[]XNa[]Ca[ ,

1,,

1,1,

1,32

2

222

iCa

kmiCakd

iCaka uuu

K

0]CaCO[]H[

]HCO[]HCO[ ,

1,,

1,1,

1,31

-3-

3333

iHCOkm

iHCOkd

iHCOka uuu

K

0]Na[

]Ca[]XNa[2]Na[ ,

1,,

1,1,

1,2

2

22

iNa

kmiNa

kdiNa

ka uuuK

0]Na[

]Ca[]XNa[2]XNa[

22

22

CECK

0]CaCO[]H[

]HCO[]OH][H[]H[ ,

1,,

1,1,1,3

1

-3

3

iH

kmiHkd

iHka uuu

KK

0]OH][H[

]OH[ ,1,

,1,

1,1,

1

iOH

kmiOH

kdiOH

ka uuuK

0]H[

]HCO][Ca[4

-3

2

K

Picard, variantes

Utilizar u en lugar de ua como variablePaso de transporte

Paso químico

SNIA (Sequential Non Iterative Approach)Lo mismo que SIA pero sin iterar

iik

tk

imm

idd

ii

LLLt

bcrUScUcUuu

)()()()( 11

0ucUcucu 111 )()( i

mmda

*1


Valores iniciales

Paso de transporte: utilizar el valor del tiempo anterior

Paso químico: utilizar el valor de la iteración de transporte anterior

ka

ika uu 1,1

1,11

1,,11

ikjik cc

i = iteración de transportej = iteración química

Picard y eliminación de minerales

La presencia de minerales puede depender del espacio E y EU dependen del espacio

Se pierde la ventaja de calcular el paso de transporte para cada componente por separado

La eliminación de minerales sólo se puede incorporar a Picard, si la presencia de minerales no depende del espacio.

Newton-Raphson, aplicación a trans. react.

Escribimos ecuación de transp. react. como

Hace faltaDiscretizarJacobiano

Si las conc. secundarias se escriben explícitamente en función de las primarias, p.e.se pueden escribir las ec. de transporte en función de conc. primarias

0ccrEUSccEUcc

EUf

))(())((

)(1.11.1

1.1k

tkoo

oot L

t

*1

*2 logloglog kcSc

Newton-Raphson, sustitución ec. químicas

Si ecuaciones químicas no son explícitas

Aplicar Newton-Raphson a ecuación de transporte

Newton-Raphson pequeño para química

0),(

0),(

21

21

ccf

ccf

c

t(Nc-Np) ecuaciones de transporte

(Nr) ecuaciones químicas

tiitt fcc

c

c

c

f

c

f

11

11

2

21

cjjc fcc

c

f

21

22 11

2

2 c

f

c

c

c

f

cc

Se itera Después de la última iteración

Valores iniciales

Para el valor inicial utilizar el valor del tiempo anterior

kik1.1

1,11.1 cc

Contenido




Comparación teórica

Picard, SIA Newton-Raphson, DSA

Resuelve transporte y química por separado

Resuelve transporte y química simultáneamente

Requiere menos memoria de ordenador

Requiere más memoria de ordenador

Más fácil de programar Más difícil de programar

Se usa mucho Se usa poco

Convergencia lineal Convergencia cuadrática

Más rígido Más robusto

Comparación mediante ejemplos

MetodologíaCalcular ejemplos

mediante los dos métodos

Usar gestión automática de t

Comparar número de incrementos de tiempo, número de iteraciones y tiempo de CPU

niter

dt > dtm ax

nexttim estep

niter < thrm in niter > thrm ax

thrm in < n iter < thrm ax

dt = dt*fi

calcu-la tions

dt = dt/fd

dt = dtm ax

dt = dt/fd

yes no

fa iled toconverge

successfulconvergence

Ejemplo CAL

Disolución de CALcita

C AL-E

C AL-0

C AL-1

C AL-3

C AL-2

C AL-4

= 0.1= 10 m

Basic grid : 20 1D elem entsof equal lengthq = 2 m /yr

pH profiles a fter 5 yrs

5

6

7

8

9

10

pH

0 50 100Distance (m)

3 componentes7 acuosas1 mineral21 nudos1.0 volumen poros lavados

tránsitode tiempo

simulado tiempo

poros devolumen

lidoentrado/sa agua devolumen

Ejemplo WAD

Intercambio iónico en el ‘WADdenzee’

6 componentes9 acuosas3 adsorbidas1 mineral21 nudos37.5 vol.por.lav.

C O 3

N a

M g

C a

C l

C O 3N a

C O 3

M g

C a

N aC l

N aC O 3

=

0.3

= 0

.1 m

Bas

ic g

rid:

20

1D e

lem

ents

of e

qual

leng

th

q = 15 m m /yr

CE

C =

61

me

q/l

B reakthrough curves at2 m for case w ithoutca lcite (W AD -0)

B reakthrough curves at2 m for case w ith calcitein equilibrium (W AD -E)

0 400 800 1200 1600

Time (years)

1E-007

1E-006

1E-005

1E-004

1E-003

1E-002

1E-001

1E+000

To

tal a

qu

eou

s co

nc.

(m

ol/l

)

1E-007

1E-006

1E-005

1E-004

1E-003

1E-002

1E-001

1E+000

To

tal a

qu

eou

s co

nc.

(m

ol/l

)

2

1

0

Dep

th (

m)

Ejemplo DEDO

DEDOlimitación cerca de una fractura

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

X (m)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

X (m)

0.000

0.005

0.010

Y (

m)

0.000

0.005

0.010

Y (

m)

0.000

0.005

0.010

Y (

m)

Fracture:w idth = 0.1 m m

= 0.1= 0.1 m

q = 450 m /yr

q = 4.5 m /yr

M atrix:

D (m ol. d if.) = 0.01 m 2/yr

1.0

0.0

0.0

0.9

Basic grid :15x15 = 225 nodes392 e lem ents

Volum e fraction of dolom iteafter 200 years for k ineticcase (D ED O -K)

Volum e fraction of dolom iteafter 200 years for equilibriumcase (D ED O -E)

Volum e fraction of ca lc iteafter 200 years for equilibriumcase (D ED O -E)

= 0.9= 0.1 m

D (m ol.d if.) = 0.01 m 2/yr

Volum e fraction of ca lc iteafter 200 years for k ineticcase (D ED O -K)

7 componentes15 acuosas2 mineral225 nudos22 705 vol.por.lav.

Ejemplo OSA

Meteorización en una mina de Uranio de OSAmu Utsumi (Poços de Caldas, Brasil)

13 componentes42 acuosas8 mineral101 nudos40 000 vol.por.lav.

Resultados

0

2

4

6

8

10

CAL-0

CAL-1

CAL-2

CAL-3

CAL-4

CAL-E

WAD-0

WAD-1

WAD-2

WAD-3

WAD-4

WAD-E

DEDO-K

DEDO-EOSA

Lo

g n

um

be

r o

f ti

me

ste

ps

SIA

DSA

0

2

4

6

8

10

12

CAL-0

CAL-1

CAL-2

CAL-3

CAL-4

CAL-E

WAD-0

WAD-1

WAD-2

WAD-3

WAD-4

WAD-E

DEDO-K

DEDO-EOSA

Lo

g n

um

be

r o

f it

era

tio

ns

0

2

4

6

8

10

12

CAL-0

CAL-1

CAL-2

CAL-3

CAL-4

CAL-E

WAD-0

WAD-1

WAD-2

WAD-3

WAD-4

WAD-E

DEDO-K

DEDO-EOSA

Lo

g C

PU

tim

e (

s)

Influencia malla

¿Qué pasa con mallas finas y de más dimensiones?Cambiar las mallas 1D en 2DVariar el número de nudos

G rid w ith sm allernum ber of nodes

G rid w ith largernum ber of nodes

Resultados

0

4

8

12

log

tie

mp

o d

e cá

lcu

lo (

s)

1 2 3 4 5log número de nudos


0

4

8

12

log

tie

mp

o d

e cá

lcu

lo (

s)


1 2 3 4 5

D S A ca lcu lado

D S A m edido

S IA ca lcu lado

S IA m ed ido

C A L-3

C A L-E W A D -E

W A D -3

D E D O -E

D E D O -K

O SA

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