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Sistemas de Ecuaciones Lineales - Métodos Directos -

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Sistemas de Ecuaciones Lineales- Métodos Directos -

Contenido

• Solución de Sistemas de Ecuaciones• Sistema de Ecuaciones• Método de la Matriz Inversa• Método de Cramer• Método de Gauss-Jordan• Método de Montante• FR para resolver Sistemas de Ec. Lineales por Métodos Directos

Solución de Sistemas de Ecuaciones

• Los métodos utilizados para la solución de sistemas de ecuaciones son los siguientes:

• Métodos Directos:• Método de la Matrix Inversa• Método de Cramer• Método de Gauss-Jordan• Método de Montante

• Métodos Iterativos:• Jacobi• Gauss-Seidel

Sistema de Ecuaciones

• Representación de un sistema de ecuaciones por matrices:

Método de la Matriz Inversa

• Ejemplo:• Resolver el sistema de ecuaciones por el método de la matriz inversa:

Método de la Matriz Inversa

• Solución:

• Del ejemplo:

Método de Cramer

• Sean dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, la solución utilizando el método de Cramer es:

Método de Cramer

• Sean tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, la solución utilizando el método de Cramer es:

El método de Cramerse puede generalizar para un sistema lineal de n x n

Método de Cramer

• Ejemplo:

Método de Gauss-Jordan

• Matriz ampliada (aumentada)• Para representar un sistema lineal puede usarse una matriz de 𝒏𝒏 × (𝒏𝒏 + 𝟏𝟏)

• construyendo primero

Método de Gauss-Jordan

• y luego combinando estas matrices para formar la matriz aumentada:

Método de Gauss-Jordan

• Para una matriz de orden 𝒏𝒏 el método consta de 𝒏𝒏 etapas de cálculo. La 𝒌𝒌-esima etapa de cálculo consta de dos tipos de operaciones de renglón:

1. Normalizar el renglón 𝒌𝒌 con respecto al elemento 𝒂𝒂𝒌𝒌𝒌𝒌⇒ multiplicar el renglón 𝒌𝒌 por 𝟏𝟏

𝒂𝒂𝒌𝒌𝒌𝒌

⇒ 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝑬𝑬𝒌𝒌𝟏𝟏𝒂𝒂𝒌𝒌𝒌𝒌

𝑨𝑨𝒌𝒌−𝟏𝟏

Método de Gauss-Jordan

2) Hacer ceros la columna 𝒌𝒌, exceptuando al elemento 𝒂𝒂𝒌𝒌𝒌𝒌⇒ 𝑨𝑨𝑘𝑘 = 𝑬𝑬𝑖𝑖𝑘𝑘 −𝑎𝑎𝑖𝑖𝑘𝑘 𝑨𝑨𝑘𝑘−1 para toda 𝒊𝒊 ≠ 𝒌𝒌

• Nota. En la 𝒌𝒌-esima etapa de cálculo, antes de normalizar, se buscará hacia abajo (𝒊𝒊 > 𝒌𝒌) un elemento 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒌𝒌 que sea mayor que todos los de esa columna y que también sea mayor al 𝒂𝒂𝒌𝒌𝒌𝒌 (en valor absoluto). Si dicho elemento existe en un renglón 𝒊𝒊, entonces se intercambian los renglones 𝒊𝒊y 𝒌𝒌.

• Si el último 𝒂𝒂𝒌𝒌𝒌𝒌 = 𝟎𝟎, entonces la matriz es igual a cero y no tiene solución. Éste tipo de sistema de ecuaciones se conoce como inconsistente. En los casos en los que el sistema tiene solución, se conoce como sistema de ecuaciones consistente.

Método de Gauss-Jordan

• Ejemplo:• Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones por el método de Gauss-Jordan

Método de Gauss-Jordan

• Solución:

Método de Montante

• Es un método cerrado que consta de 𝒏𝒏 etapas de cálculo y cada etapa de cálculo consta de 4 operaciones. La 𝒌𝒌-esima etapa de cálculo consta de:a) El renglón 𝒌𝒌 no se modifica:

b) Igualar los elementos de la diagonal principal al elemento 𝒂𝒂𝒌𝒌𝒌𝒌𝒌𝒌 , pero con la siguiente restricción:

Nota. El método fue descubierto en 1973 por René Mario Pardo Montante, graduado de la facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (UANL).

Método de Montante

c) Hacer ceros los elementos de la columna 𝒌𝒌, excepto el 𝒂𝒂𝒌𝒌𝒌𝒌

d) Los elementos restantes se evalúan con la siguiente fórmula recursiva:

Método de Montante

• Ejemplo• Resolver el siguiente sistemas de ecuaciones por el método Montante

Método de Montante

FR para resolver Sistemas de Ec. Lineales por Métodos Directos• Método de la Matriz Inversa

1) Obtener la Matriz inversa de la matriz de coeficientes. Utilizar la FR de Matriz Inversa.

2) Multiplicar la matriz inversa por la matriz de las constantes para obtener los valores de la matriz de variables. Usar la FR de la multiplicación de matrices.

𝑿𝑿 = 𝑨𝑨−1 × 𝑩𝑩

FR para resolver Sistemas de Ec. Lineales por Métodos Directos• Método de Cramer

1) Obtener el determinante de la matriz de coeficientes |𝑨𝑨|. Utilizar la FR para obtener determinantes.

2) Sustituir la columna 1 por los valores de las constantes y obtener su determinante |𝑨𝑨1|.

3) Obtener el valor de la primer variable.

4) Sustituir la columna 2 por los valores de las constantes y obtener su determinantes |𝑨𝑨2|.

5) Obtener el valor de la segunda variable

Repetir el procedimiento para el resto de las variables.

FR para resolver Sistemas de Ec. Lineales por Métodos Directos• Método de Gauss-Jordan

Haciendo uso de operaciones de renglón, las FR's de cada etapa 𝒌𝒌 (𝒌𝒌 =𝟏𝟏,𝒏𝒏) son:

Note que el rango de j puede ser (𝒌𝒌,𝒏𝒏 + 𝟏𝟏) en lugar del rango (𝟏𝟏,𝒏𝒏 +𝟏𝟏) porque 𝒂𝒂𝒌𝒌𝒌𝒌𝒌𝒌 = 𝟎𝟎 cuando 𝒌𝒌 < 𝒌𝒌. Este cambio de rangos ahorra tiempo en el cálculo por no recalcular los elementos que se hicieron cero en las etapas anteriores.

FR para resolver Sistemas de Ec. Lineales por Métodos Directos• Método de Montante

Observar las FR de la sección donde se explica el procedimiento de este método.

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