Sistemas de ecuaciones lineales -...

MB0001_M2AA1L2_Sistema Versión: 0ctubre de 2012 Revisor: Emilio González Olguín

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Sistemas de ecuaciones lineales Por: Oliverio Ramírez Juárez

De acuerdo con Lay y Murrieta (2007), “un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal) es una colección de una o más ecuaciones lineales que involucran las mismas variables” (p. 3), el cual puede adoptar la siguiente forma:

𝑎!!𝑥! + 𝑎!"𝑥! +⋯+ 𝑎!!𝑥! = 𝑏!𝑎!"𝑥! + 𝑎!!𝑥! +⋯+ 𝑎!!𝑥! = 𝑏!… … … … …

𝑎!!𝑥! + 𝑎!!𝑥! +⋯+ 𝑎!"𝑥! = 𝑏!

Este caso, tenemos 𝑚 ecuaciones con 𝑛 incógnitas.

Sistema de ecuaciones de dos variables

Centremos nuestra atención en un sistema de ecuaciones más simple, que involucra únicamente dos variables y dos ecuaciones lineales, llamado Sistema de ecuaciones de dos variables. Como mencionan Estrada, Moreno, y Novoa (2005, p. 62) “un sistema de ecuaciones lineales con dos variables 𝑥 y 𝑦 consiste en tener dos ecuaciones de la forma:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2”.

En este momento te has de estar preguntando: ¿Y cómo se pueden encontrar los valores de las incógnitas en un sistema de ecuaciones?

Es importante observar que para que un sistema de ecuaciones tenga solución, es decir, para que nosotros podamos saber el valor de las incógnitas, el sistema de ecuaciones debe tener el mismo número de incógnitas y de ecuaciones.



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Cuando nos piden resolver un sistema de ecuaciones, lo que nos están diciendo es que encontremos el valor de las incógnitas pertenecientes al sistema. Existen varios métodos para resolver los sistemas de ecuaciones, y en esta lectura veremos tres:

• Método de sustitución. • Método de igualación. • Método gráfico.

Es importante que sepas que sin importar cuál de los tres métodos apliques, obtendrás los mismos resultados.

Método de sustitución Cuellar (2008) nos presenta los siguientes pasos para la solución de ecuaciones lineales por el método de sustitución:

1. Despeja x o y en una de las ecuaciones. 2. Sustituye la variable despejada en la otra ecuación. 3. Resuelve la ecuación lineal generada y obtén el valor de la variable. 4. Sustituye el valor de la variable en una de las ecuaciones originales y resuélvela para obtener el valor de la otra variable. 5. Comprueba la solución sustituyendo los valores numéricos en ambas ecuaciones.

Por ejemplo, resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

𝑥 + 𝑦 = 8 (Ecuación 1). 2𝑥 − 3𝑦 = −9 (Ecuación 2).

Solución

Paso 1. Despejas en la ecuación (1).

𝑥 = 8 − 𝑦



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Paso 2. Sustituyes el valor de en la ecuación (2).

2𝑥 − 3𝑦 = −9

2 8 − 𝑦 − 3𝑦 = −9

Paso 3. Resuelves la nueva ecuación. 16 − 2𝑦 − 3𝑦 = −9

−5𝑦 = −9 − 16

−5𝑦 = −25

𝑦 =−25−5

𝑦 = 5

Paso 4. Sustituyes el valor de y en la ecuación (1).

𝑥 + 5 = 8

𝑥 = 8 − 5

𝑥 = 3

Paso 5. Compruebas la solución.

Ecuación 1 Ecuación 2 𝑥 + 𝑦 = 8

3 + 5 = 8

8 = 8

2 3 − 3 5 = −9

6 − 15 = −9

−9 = −9

Por lo tanto, la solución de la ecuación es:

𝐱 = 𝟑 𝐲 = 𝟓



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Método de igualación

El método de igualación consta de los siguientes pasos:

1. Despejar una variable (ya sea 𝑥 o 𝑦) de las ecuaciones. 2. Se igualan las ecuaciones. 3. Se despeja la variable. 4. Se sustituye el valor de la variable encontrada en el paso 3, en cualquiera de las ecuaciones.

Por ejemplo: Solución el sistema de ecuaciones anterior, por el método de igualación:

𝑥 + 𝑦 = 8 (Ecuación 1) 2𝑥 − 3𝑦 = −9 (Ecuación 2)

1. Despejamos la variable 𝒙 tanto de la ecuación 1 como de la ecuación 2: Para la ecuación 1 𝑥 = 8 − 𝑦. Para la ecuación 2 𝑥 = !!!!!

!.

2. Se igualan las ecuaciones 1 y 2.

8 − 𝑦 =−9 + 3𝑦

2

3. Despejamos la variable 𝒚.

2 8 − 𝑦 = −9 + 3𝑦

16 − 2𝑦 = −9 + 3𝑦

16 + 9 = 3𝑦 + 2𝑦 25 = 5𝑦

255= 𝑦

𝑦 = 5



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4. Sustituimos en la ecuación 1.

𝑥 = 8 − 5 𝑥 = 3

Por lo tanto, la solución de la ecuación es:

𝐱 = 𝟑 𝐲 = 𝟓

Método gráfico

Las ecuaciones y funciones algebraicas las puedes mostrar en un diagrama conocido como plano cartesiano, el cual se utiliza para representar gráficamente puntos, líneas o espacios geométricos en general, mediante un sistema de coordenadas rectangulares. Este sistema está formado por dos líneas rectas perpendiculares entre sí que se cortan y está dividido en cuatro cuadrantes.

Figura 2. Ejemplo de un plano cartesiano.

La recta horizontal de la figura se llama eje x o eje de las abscisas, la recta vertical se llama eje y o eje de las ordenadas. El punto donde se cruzan los ejes se llama origen de coordenadas.

El sistema de coordenadas rectangulares también es llamado sistema de coordenadas cartesianas en honor al célebre matemático y filósofo francés René Descartes, fundador de la geometría analítica.

Cada punto del plano está determinado por un par de números llamados coordenadas del punto en cuestión, por ejemplo, la figura A muestra cuatro puntos (en los diferentes cuadrantes) denotados con P1, P2, P3 y P4.

En la figura B, observarás que cada uno de los puntos anteriores se conecta a los ejes mediante líneas punteadas perpendiculares a los mismos, esas líneas nos llevan hasta la abscisa (o coordenada x) y la ordenada, (o coordenada y) de cada punto.



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.

Figura 3. Representación gráfica de dos ecuaciones.

Así

• El punto P1 tiene por coordenadas al par ordenado (1,2), • El punto P2 tiene por coordenadas al par ordenado (-3,1), • Las coordenadas de P3 son (-2,-2) y • Las coordenadas de P4 son (3,-1).

Funciones a partir de ecuaciones

En una ecuación que tiene dos variables, se despeja la variable 𝑦, decimos que:

𝒚 está en función de 𝒙. Esto lo escribimos en la forma

𝒚 = 𝒇(𝒙) Esta forma de representar una ecuación se le llama función. Llamamos variable dependiente a la 𝑦 variable independiente a la 𝑥, porque los valores de 𝑦 dependen de los valores que tome 𝑥.



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Para representar una ecuación en forma de función, sólo tenemos que despejar una variable, la cual será llamada dependiente. Los valores que tome ésta serán representados en el eje 𝑦. En la tabla 1 se muestra la representación de dos ecuaciones en forma de función.

Ecuaciones Funciones

4𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 𝑦 =4𝑥 + 12

3𝑥! − 4𝑥 − 5𝑦 + 2 = 0 𝑦 =3𝑥! − 4𝑥 + 2

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Tabla 1. Representación de dos ecuaciones en forma de función.

Si te fijas, para representar una ecuación en forma de función lo único que se hace es despejar la variable 𝒚.

No todas las ecuaciones pueden ser representadas como funciones, ya que no en todos los casos es posible despejar 𝒚.

Procedimiento método gráfico

Con el método de gráfico nosotros podemos encontrar el punto donde se interceptan las gráficas de las dos ecuaciones (que en este caso serán dos líneas rectas). Ese punto será la solución del sistema de ecuaciones. Los pasos para el método gráfico son:

1. Poner una variable en función de otra. 2. Darle diferentes valores a la variable dependiente y obtener el valor de la variable

independiente. 3. Graficar los puntos de los valores obtenidos. 4. Identificar el punto donde se interceptan las líneas.

Por ejemplo, el sistema de ecuaciones anterior:



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𝑥 + 𝑦 = 8 (Ecuación 1) 2𝑥 − 3𝑦 = −9 (Ecuación 2),

se resolverá de la siguiente manera por el método gráfico. 1. Representamos la ecuación en forma de función, por lo que se despejamos una variable, en este caso la variable y: Para la ecuación 1

𝑦 = 8 − 𝑥 Para la ecuación 2

𝑦 =−9 − 2𝑥−3

=−1 9 + 2𝑥

−3=9 + 2𝑥3

𝑦 =9 + 2𝑥3

2. Damos diferentes valores a 𝒙 y obtenemos el valor de que le corresponde a 𝒚. Vamos a tomar en este caso valores 𝑥 de 0, 1, 2, 3, 4, 5. En la tabla 2, se muestran los valores de 𝑦 de la ecuación 1 para los diferentes valores de 𝑥:

𝑥 0 1 2 3 4 𝑦 =8-0 =8 =8-1 = 7 =8-2 = 6 = 8-3 =5 =8-4 =4

Tabla 2. Valores de y para la ecuación 1.

En la siguiente tabla se muestra los valores de 𝑦 de la ecuación 2, para los diferentes valores de 𝑥:

𝑥 0 1 2 3 4 𝑦

=9 + 2 0

3= 3 =

9+ 2 13

= 3.6 =9+ 2 2

3= 4.3 =

9+ 2 33

= 5 =9+ 2 4

3= 5.6

Tabla 3. Valores de y para la ecuación 2.

3. Graficamos los puntos de los valores obtenidos.



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Figura 4. Gráfica de los valores obtenidos.

4. Identificamos el punto donde se interceptan las líneas.

Figura 5. Intercepción de dos líneas en una gráfica.

Por lo que la solución es:

𝐱 = 𝟑 𝐲 = 𝟓

En este punto: x=3

y y=5



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Referencias

Cuéllar, J. A. (2006). Matemáticas I, Álgebra (2ª. edición). México: McGraw-Hill.

Estrada, W., Moreno, V., & Novoa, J. F. (2005). Espiral 9. Bogotá: Editorial Norma. [Versión en línea]. Recuperado el 27 de junio de 2012, de http://books.google.com.mx/books?id=usLmD8-TLgYC&pg=PT1&dq=Estrada+Garc%C3%ADa,+Moreno+Guti%C3%A9rrez+y+Novoa+Ram%C3%ADrez&hl=es&sa=X&ei=ok3tT-qjDfSA2AXi6vmpCg&ved=0CC4Q6AEwAA#v=onepage&q=un%20sistema%20de%20ecuaciones%20lineales%20con%20dos%20variables%20x%20y%20y%20consiste%20en%20tener%20dos%20ecuaciones%20de%20la%20forma%20&f=false

Lay, D. C., & Murrieta, J. (2007). Álgebra lineal y sus aplicaciones. México: Pearson Educación. [Versión en línea]. Recuperado el 27 de junio de 2012, de http://books.google.com.mx/books?id=lTIVrKT9CMIC&pg=PA3&dq=lay+murrieta+%22un+sistema+de+ecuaciones+lineales+%28o+sistema+lineal%29%22&hl=es&sa=X&ei=ZFvtT4iJCai42QXkn5jhCg&ved=0CDMQ6AEwAA#v=onepage&q&f=false

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