ECUACIONESECUACIONES• Identidad: expresión en la que aparece una igualdad que se cumple siempre.

- Numérica: sólo aparecen números.

4 + 3 = 7

- Algebraica: aparecen números y letras.

x + y = y + x

• Ecuación: expresión en la que aparecen números y letras en una igualdad que se cumple sólo para ciertos valores de las letras.

x + 5 = 7Incógnita

• Soluciones de una ecuación son los valores que tiene que Soluciones de una ecuación son los valores que tiene que tomar la incógnita para que se verifique la igualdad.tomar la incógnita para que se verifique la igualdad.

• Las ecuaciones que tienen solución se llaman Las ecuaciones que tienen solución se llaman compatibles.compatibles.

x + 2 = 5x + 2 = 5

• Las ecuaciones que no tienen solución se llamanLas ecuaciones que no tienen solución se llaman incompatiblesincompatibles..

x + 5 = x - 1x + 5 = x - 1

¿Un número que al sumarle 2

salga 5?

3

No hay ningún número que al sumarle 5 y restarle 1 salga lo

mismo

SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN

ECUACIONES EQUIVALENTESECUACIONES EQUIVALENTES Regla de la suma: si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta los mismos Regla de la suma: si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta los mismos

números o letras, se obtiene una ecuación equivalente.números o letras, se obtiene una ecuación equivalente.

6x – 1 = 2x + 86x – 1 = 2x + 8

Resto 2x: Resto 2x: 6x – 1 – 2x = 2x + 8 – 2x 6x – 1 – 2x = 2x + 8 – 2x

4x – 1 = 84x – 1 = 8

Sumo 1:Sumo 1: 4x – 1 + 1 = 8 + 14x – 1 + 1 = 8 + 1

4x = 94x = 9

Objetivo: dejar la x sola a un lado de la igualdad

ECUACIONES EQUIVALENTESECUACIONES EQUIVALENTES Regla del producto: si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por un Regla del producto: si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o divide por un

mismo números distinto de 0, se obtiene otra ecuación equivalente.mismo números distinto de 0, se obtiene otra ecuación equivalente.

4x + 12 = 164x + 12 = 16

Divido entre 4: Divido entre 4: 4x + 12 16 4x + 12 16

4 44 4

x + 3 = 4x + 3 = 4

Resto 3:Resto 3: x + 3 – 3 = 4 – 3 x + 3 – 3 = 4 – 3

x = 1x = 1

Solución de la ecuación

RESOLUCIÓN DE ECUACIONESRESOLUCIÓN DE ECUACIONES Para solucionar una ecuación hemos de despejar la incógnita Para solucionar una ecuación hemos de despejar la incógnita

utilizando las dos reglas anteriores, aunque habitualmente utilizando las dos reglas anteriores, aunque habitualmente hacemos dos pasos en uno: pasamos términos de un hacemos dos pasos en uno: pasamos términos de un miembro a otro haciendo la operación contraria.miembro a otro haciendo la operación contraria.- Si algo suma se pasa restando y viceversa.- Si algo multiplica se pasa dividiendo y viceversa.

23

x + 2 = 8 –6 *182

9

El “2” que está sumando pasa

restando

El “3” que está dividiendo pasa multiplicando

El “2” que está multiplicando pasa

dividiendo

Ahí está la solución

EJEMPLOS (I)EJEMPLOS (I)

2

322

3

1 xx

2

3262

3

16 xx

912122 xx

x1021

10

21x

EJEMPLOS (II)EJEMPLOS (II)

2

34

5

2 xx

2

3410

5

210 xx

1540410 xx

x5019

50

19x

PROBLEMAS (I)PROBLEMAS (I)

¿Cuál es el mayor cuadrado que puede inscribirse en un círculo de radio 10 cm?

2 r

l

SISTEMAS DE ECUACIONESSISTEMAS DE ECUACIONESUn sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son dos ecuaciones en las que las incógnitas representan los mismos valores.

La solución del sistema es el conjunto de valores que verifica ambas ecuaciones simultáneamente.

Al igual que las ecuaciones, los sistemas pueden ser compatibles (tienen solución) o incompatibles (no tienen solución).

cybxa

cbyax

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS:RESOLUCIÓN DE SISTEMAS:MÉTODO DE SUSTITUCIÓNMÉTODO DE SUSTITUCIÓN

• Regla de sustitución: si en una ecuación de un sistema se sustituye una incógnita por la expresión que se obtiene al despejarla de otra ecuación, resulta otro sistema equivalente.

• Método de sustitución:

xy 24

1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.2º Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación.

6243 xx

63

42

yx

yx

3º Se resuelve la ecuación resultante.

25

46

x

4º Se calcula la otra incógnita, sustituyendo en la ecuación despejada el valor obtenido.

0)2(24 ySolución del sistema:x = -2 , y = 0

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS:RESOLUCIÓN DE SISTEMAS:MÉTODO DE REDUCCIÓNMÉTODO DE REDUCCIÓN

• Regla de reducción: si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, se obtiene un sistema equivalente.

• Método de reducción :1º Se igualan los coeficientes (salvo el signo) de una incógnita.

354

743

yx

yx

91512

281612

yx

yxx 4

x 3

91512

281612

yx

yx

2º Se suman o restan las dos ecuaciones, según convenga, para eliminar esa incógnita.

19y

3º Se resuelve la ecuación resultante.

19yEn este caso sale automáticamente

4º Se calcula la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones, o bien aplicando el método de reducción de nuevo.

743 yx 7)19(43 x 23x

PROBLEMAS (I)PROBLEMAS (I)

Las dos cifras de un número suman 9. Si se invierte el orden de las cifras el número disminuye en 9. ¿De qué número se trata?

PROBLEMAS (II)PROBLEMAS (II)

Se quiere distribuir un lote de libros entre varias personas. Si a cada una se le dan 3 , sobran 17 libros, y si a cada una se le asignan 4, faltan 8 libros. ¿Cuántas personas y cuántos libros hay?

PROBLEMAS (III)PROBLEMAS (III)

Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 60 y cuya altura es 2 unidades mayor que la base.

PROBLEMAS (IV)PROBLEMAS (IV)

Un tren parte de la estación “A” a las 9 horas con una velocidad de 30 km/h, y otro tren parte dos horas más tarde de la misma estación y con el mismo itinerario a una velocidad de 40 km/h. Halla la hora de encuentro y la distancia de A a la que se produce.

11:00

9:0030 km/h

40 km/h