Práctica Tema 3: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones no ...

Índice Punto fijo Bipartición Regula Falsi Newton Secante Convergencia

Práctica Tema 3: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones nolineales

Rogelio Ortigosa MartínezSilvestre Paredes Hernández

Departamento de Matemática Aplicada y Estadística, UPCT

Cálculo numérico (Práctica Tema 2: Sistemas de ecuaciones lineales)


Índice

1 Método punto fijo

2 Método de Bipartición

3 Regula Falsi

4 Método de Newton

5 Método de la Secante

6 Análisis de resultados-convergencia



Punto fijo

• Resolución de la ecuación escalar f (x) = x2 − e(−x) = 0, convirtiéndola enx = g(x), con g(x) = e(−x/2), a través de método de punto fijo:



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3 Regula Falsi

4 Método de Newton





Bipartición

• Haciendo uso del teorema de Bolzano, se resuelve la ecuación escalar f (x) = 0.

• Conocer gráficamente la función nos puede dar una idea aproximada de lasolución del problema.ezplot(@(x) x - cos(x), [1,2]);

• Por ejemplo, vamos a dibujar la función f (x) = x − cos(x) en el intervalo [0, 1].

• Usaremos ahora la función biparticion.m para resolver el problemax − cos(x) = 0.biparticion(@(x) x - cos(x), 0, 1, 0.001, 100);



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3 Regula Falsi

4 Método de Newton





Regula Falsi

• En el método de la Regula Falsi también se hace uso del teorema de Bolzano.

• En cada paso se calcula un nuevo punto dado por la ecuación

c =a · f (b)− b · f (a)

f (b)− f (a)

y se elige el nuevo punto según se produzca el cambio de signo.



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3 Regula Falsi

4 Método de Newton





Newton

• Resolución de la ecuación escalar f (x) = x2 − e(−x) = 0 con método de Newton:



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3 Regula Falsi

4 Método de Newton





Secante

• Resolución de la ecuación escalar f (x) = x2 − e(−x) = 0 con método de Secante:Se debe cambiar la derivada de la función en xk por una aproximación a la misma

xn+1 =xn−1f (xn)− xnf (xn−1)

f (xn)− f (xn−1)

Para los puntos iniciales podemos tomar x0 y x0 +∆x0, para que estén próximosentre sí.



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3 Regula Falsi

4 Método de Newton





Convergencia

• Evolución del residuo:

1 Rn = xn − g(xn) para método de punto fijo

2 Rn = f (xn) para método de Newton

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

iter

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0lo

g1

0(R

es)

Punto Fijo

Newton

• Velocidad de convergencia:

1 Lineal para método de punto fijo

2 Cuadrática para método de Newton



Convergencia (II)

• Si nos equivocamos calculando la derivada en método de Newton qué sucede?

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

iter

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

log

10

(Re

s)

Punto Fijo

Newton

Newton derivada equivocada


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