Práctica 4-5Práctica 4-5

Métodos Directos e Métodos Directos e Iterativos para Sistemas de Iterativos para Sistemas de

Ecuaciones LinealesEcuaciones Lineales

Sistemas de Ecuaciones Sistemas de Ecuaciones LinealesLineales

La Ecuación del CalorLa Ecuación del Calor

Métodos directosMétodos directosMétodo de Eliminación de Gauss Método de Eliminación de Gauss

Métodos iterativosMétodos iterativosMétodo de JacobiMétodo de Jacobi

Método de Gauss-SeidelMétodo de Gauss-Seidel

Método de SobrerrelajaciónMétodo de Sobrerrelajación

Ecuación del CalorEcuación del Calor

Modelo Modelo matemáticomatemático

Matriz asociadaMatriz asociada

)/2T(TT

)/2T(TT

)/2T(TT

)/2T(TT

1n+1-nn

423

312

201

)/2T(TT

)/2T(TT

)/2T(TT

)/2T(TT

1n+1-nn

423

312

201

21-

1-

21-

1-21-

1-2

21-

1-

21-

1-21-

1-2

T0 T1 T2 . . . Tn Tn+1T0 T1 T2 . . . Tn Tn+1

Teorema de Rouché-Teorema de Rouché-FrobeniusFrobeniusTeorema de Rouché-Teorema de Rouché-FrobeniusFrobenius

El sistema AEl sistema Amnmnx = b es x = b es compatiblecompatible si y sólo si si y sólo si

rango(A) = rango(A|b)rango(A) = rango(A|b)

Un sistema compatible es Un sistema compatible es determinadodeterminado sii sii

rango(A) = nrango(A) = n

Un sistema compatible Un sistema compatible indeterminadoindeterminado tiene tiene

n – rango(A) n – rango(A) variables libresvariables libres

SoluciónSolución x xcc = x = xpp + núcleo(A) + núcleo(A)

Eliminación de GaussEliminación de GaussOperaciones elementalesOperaciones elementalesEliminación de GaussEliminación de GaussOperaciones elementalesOperaciones elementales

Eliminar fila Eliminar fila ii tomando la fila tomando la fila k k como pivote como pivote llikik = a = aik ik / a/ akk kk , a, aijij = a = aijij l likik * a * akjkj

A(i,:) = A(i,:) - L(i,k)*A(k,:);A(i,:) = A(i,:) - L(i,k)*A(k,:);

Escalar fila Escalar fila ii dividiéndola por el pivote dividiéndola por el pivote aaiiii

aaijij = a = aij ij / a/ aiiii

A(i,:) = A(i,:)/A(i,i);A(i,:) = A(i,:)/A(i,i);

Permutar las filas Permutar las filas ii y y kk aaikik a akiki

A([i,k],:) = A([k,i],:);A([i,k],:) = A([k,i],:);

Sistema inicialSistema inicial

TriangularizaciónTriangularización

Sustitución regresivaSustitución regresiva

Fases de la eliminaciónFases de la eliminaciónFases de la eliminaciónFases de la eliminación

Ax = bAx = b

Ux = cUx = c

x = Ax = A–1–1bb

Temperatura en una barraTemperatura en una barra

NodosNodosn = 4n = 4

Condiciones Condiciones

de contornode contornoTT00=20=20

TT55=70=70

Sistema linealSistema lineal

)/207(TT

)/2T(TT

)/2T(TT

)/2T(20T

34

423

312

21

)/207(TT

)/2T(TT

)/2T(TT

)/2T(20T

34

423

312

21

20 T1 T2 T3 T4 7020 T1 T2 T3 T4 70

Resolución del sistemaResolución del sistema

70

0

0

20

T

T

T

T

2100

1210

0121

0012

4

3

2

1

70

0

0

20

T

T

T

T

2100

1210

0121

0012

4

3

2

1

Eliminación en sistemas Eliminación en sistemas lineales tridiagonales lineales tridiagonales Ax = bAx = b

n = length(b);n = length(b);

M = [A,b];M = [A,b];

for i=1:n-1for i=1:n-1

M(i,:) = M(i,:)/M(i,i);M(i,:) = M(i,:)/M(i,i);

M(i+1,:) = M(i+1,:)-M(i+1,:) = M(i+1,:)-

M(i+1,i)*M(i,:);M(i+1,i)*M(i,:);

endend

M(n,:) = M(n,:)/M(n,n);M(n,:) = M(n,:)/M(n,n);

Eliminación en sistemas Eliminación en sistemas lineales tridiagonales lineales tridiagonales Ax = bAx = b

for i = n-1:-1:1for i = n-1:-1:1

M(i,:) = M(i,:)-M(i,:) = M(i,:)-M(i,i+1)*M(i+1,:);M(i,i+1)*M(i+1,:);

endend

x = M(:,n+1);x = M(:,n+1);

Limitaciones de los Métodos Limitaciones de los Métodos DirectosDirectos

Acumulación del error de redondeoAcumulación del error de redondeo Coste de la eliminación: O(nCoste de la eliminación: O(n33))

Sensibilidad al error de redondeoSensibilidad al error de redondeo Sistemas mal o bien condicionadosSistemas mal o bien condicionados Número de condiciónNúmero de condición

Estrategia de Pivotación ParcialEstrategia de Pivotación ParcialLlenado de la matrizLlenado de la matriz

Matrices dispersasMatrices dispersas

Número de condición de una Número de condición de una matriz matriz Número de condición de una Número de condición de una matriz matriz

condcond mide el mal condicionamiento mide el mal condicionamiento cond(eye(n))=1 cond(eye(n))=1

cond(matsingular) = infcond(matsingular) = inf

rcondrcond mide el buen condicionamiento mide el buen condicionamiento rcond(eye(n))=1rcond(eye(n))=1

rcond(matsingular) = 0rcond(matsingular) = 0

rcondrcond y y detdet

Pivotación parcialPivotación parcialPivotación parcialPivotación parcial

Un algoritmo deficiente puede arruinar Un algoritmo deficiente puede arruinar

un sistema bien condicionado.un sistema bien condicionado.

Estrategia:Estrategia: Elegir como pivote el Elegir como pivote el

elemento de mayor valor absoluto del elemento de mayor valor absoluto del

resto de la columna.resto de la columna.

El operador El operador \\ para resolver Ax = b para resolver Ax = b

Métodos Iterativos para Métodos Iterativos para

Sistemas de Ecuaciones Sistemas de Ecuaciones

LinealesLineales

Métodos directos frente a Métodos directos frente a métodos iterativosmétodos iterativos

DIRECTOSDIRECTOS

Ax =bAx =b

x = A\x = A\ bb

Tamaño moderadoTamaño moderado

Producen llenado Producen llenado

Error de redondeoError de redondeo

ITERATIVOSITERATIVOS

Mx = (MMx = (MA)x + bA)x + b

MxMx(k+1)(k+1) = (M = (MA) xA) x(k)(k) + b + b

Tamaño grandeTamaño grande

Conservan los cerosConservan los ceros

Error de truncamientoError de truncamiento

Convergencia y número de Convergencia y número de operacionesoperaciones

Coste (para matrices densas)Coste (para matrices densas) Directos: nDirectos: n33 Iterativos: k.n Iterativos: k.n22

Convergencia Convergencia Criterio de paradaCriterio de parada

iter < maxiteriter < maxiter

inf...,,2,1ptol;xxp

(k))1(k+ inf...,,2,1ptol;xxp

(k))1(k+

Ecuación del Calor en un Ecuación del Calor en un rectángulorectángulo

TTCC = (T = (TWW + T + TNN + T + TSS + T + TEE)/4)/4

CC

NN

EEWW

SS

–1–1

–1–1

–1–1

44 –1–1

MoléculaMolécula

Generación de la matriz Generación de la matriz con MATLABcon MATLAB

function A = calor2D(n,m)function A = calor2D(n,m)

p = n*m;p = n*m;

v = ones(1,p-1);v = ones(1,p-1);

for k = n:n:p-n, v(k) = 0; endfor k = n:n:p-n, v(k) = 0; end

w = ones(1,p-n);w = ones(1,p-n);

A = 4*eye(p)...A = 4*eye(p)...

- diag(v,1) - diag(v,-1)... - diag(v,1) - diag(v,-1)... - diag(w,n) - diag(w,-n); - diag(w,n) - diag(w,-n);

Un lado calienteUn lado caliente

12

34

56

12

34

5

0

20

40

60

80

El método de JacobiEl método de Jacobi

Sistema de ecuaciones linealesSistema de ecuaciones lineales

a x

a x

a x

a x

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

b

b

b

b

11 1

21 1

31 1

n1 n

12 2 13 3 1n n

22 2 23 3 2n n

32 2 33 3 3n n

n2 2 n3 3 nn n

1

2

3

n

a x

a x

a x

a x

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

b

b

b

b

11 1

21 1

31 1

n1 n

12 2 13 3 1n n

22 2 23 3 2n n

32 2 33 3 3n n

n2 2 n3 3 nn n

1

2

3

n

Iteración de JacobiIteración de Jacobi

x (b

x (b

x (b

x (b

a x a x a x ) / a

a x a x a x ) / a

a x a x a x ) / a

a x a x a x ) / a

1(k+1)

1

2(k+1)

2

3(k+1)

3

n(k+1)

n

12 2(k)

13 3(k)

1n n(k)

11

21 1(k)

23 3(k)

2n n(k)

22

31 1(k)

32 2(k)

3n n(k)

33

n1 1(k)

n2 2(k)

n,n 1 n 1(k)

nn

x (b

x (b

x (b

x (b

a x a x a x ) / a

a x a x a x ) / a

a x a x a x ) / a

a x a x a x ) / a

1(k+1)

1

2(k+1)

2

3(k+1)

3

n(k+1)

n

12 2(k)

13 3(k)

1n n(k)

11

21 1(k)

23 3(k)

2n n(k)

22

31 1(k)

32 2(k)

3n n(k)

33

n1 1(k)

n2 2(k)

n,n 1 n 1(k)

nn

A = L + D + UA = L + D + UM = D, N = – (L + U)M = D, N = – (L + U)Mx = Nx + bMx = Nx + b

Expresión matricialExpresión matricial

»M = diag(diag(A))M = diag(diag(A))

»N = M-AN = M-A

»x = M\(Nxx = M\(Nx00+b)+b)

Algoritmo de JacobiAlgoritmo de Jacobi

DatosDatos Sistema lineal:Sistema lineal: Ax = bAx = b Estimación inicial: Estimación inicial: xx00

Proceso: mientras no converja, repetirProceso: mientras no converja, repetir Nueva estimación: Nueva estimación: x = Dx = D–1–1((D – A)x((D – A)x0 0 + b)+ b)

Incremento:Incremento: norm(x – xnorm(x – x00))

Actualizar:Actualizar: xx00 = x = x

ResultadoResultado Estimación final:Estimación final: xx

Iteración de Gauss-SeidelIteración de Gauss-Seidel

x (b

x (b

x (b

x (b

a x a x a x ) / a

a x a x a x ) / a

a x a x a x ) / a

a x a x a x ) / a

1(k+1)

1

2(k+1)

2

3(k+1)

3

n(k+1)

n

12 2(k)

13 3(k)

1n n(k)

11

21 1(k+1)

23 3(k)

2n n(k)

22

31 1(k+1)

32 2(k+1)

3n n(k)

33

n1 1(k+1)

n2 2(k+1)

n,n 1 n 1(k+1)

nn

x (b

x (b

x (b

x (b

a x a x a x ) / a

a x a x a x ) / a

a x a x a x ) / a

a x a x a x ) / a

1(k+1)

1

2(k+1)

2

3(k+1)

3

n(k+1)

n

12 2(k)

13 3(k)

1n n(k)

11

21 1(k+1)

23 3(k)

2n n(k)

22

31 1(k+1)

32 2(k+1)

3n n(k)

33

n1 1(k+1)

n2 2(k+1)

n,n 1 n 1(k+1)

nn

A = L + D + UA = L + D + U M = L + D, N = –UM = L + D, N = –U Mx = Nx + bMx = Nx + b

Expresión matricialExpresión matricial

»M = tril(A)M = tril(A)

»N = M - AN = M - A

»x = M\(N*xx = M\(N*x0 0 + b)+ b)

Gauss-SeidelGauss-Seidel

SobrerrelajaciónSobrerrelajación

Método de sobrerrelajaciónMétodo de sobrerrelajación

xik

zi xik+1

ik+1x

i(k)i

1)+(ki zxx ˆ i

(k)i

1)+(ki zxx ˆ

1)(ki

(k)i

1)+(ki x)x(1x ˆ 1)(k

i(k)i

1)+(ki x)x(1x ˆ

i(k)i

1)+(ki zxx i

(k)i

1)+(ki zxx

( L D)x (1 )Dx (b Ux(k+1) (k) (k) )( L D)x (1 )Dx (b Ux(k+1) (k) (k) )

( L D)x b ((1 )D U)x(k+1) (k) ( L D)x b ((1 )D U)x(k+1) (k)

bU)xD1

()xD

(L (k)1)+(k

bU)xD1

()xD

(L (k)1)+(k

Expresión matricialExpresión matricial

Algoritmo de sobrerrelajaciónAlgoritmo de sobrerrelajación

»D = diag(diag(A)) D = diag(diag(A))

»L = tril(A,-1)L = tril(A,-1)

»M = L + D/M = L + D/

»N = M - AN = M - A

»x = M\(N*xx = M\(N*x0 0 + b)+ b)

Condiciones de convergenciaCondiciones de convergencia

Para que un método iterativo converja, la matriz Para que un método iterativo converja, la matriz ha de cumplir ciertas condiciones.ha de cumplir ciertas condiciones.

El coste por iteración es O(nEl coste por iteración es O(n22) o menor si se ) o menor si se aprovecha la dispersidad.aprovecha la dispersidad.

Se espera que converjan en menos de n pasos.Se espera que converjan en menos de n pasos.

Los métodos iterativos se aplican a matrices Los métodos iterativos se aplican a matrices grandes y dispersas.grandes y dispersas.