Resolución de Sistemas Lineales

Métodos directos

Generalidades

Cbx

AC

bAx

bAx

)2

)1

estable) poco (caro, Algoritmo1

1

Sistemas fáciles de resolver

Matrices diagonalesMatrices triangulares inferioresMatrices triangulares superiores

Métodos Directos: Eliminación de Gauss

Triangularización

operaciones elementales

Sustitución hacia atrás

bxU

bxA

Fase de Reducción

1443

1332

1221

3:

:

2:

48140

10120

43210

43121

81423

33241

43452

43121

fffP

fffP

fffP

Reducción para EG

610057

57

10

21

21

23

1

45

554

59

00

57

57

10

21

21

23

1

2

812057

57

10

21

21

23

1

58120

775021

21

23

1

2

4

7212

5511421

21

23

1

27212

55114

1132

722

55114

132

33233

22133

1221

1

321

321

321

fffff

fffff

ffff

f

xxx

xxx

xxx

Eliminación de Gauss

)()1()1()()1()1(

)()1()()1(

)()(

)()()1(

1

)(

)(

)()()()1(

)1()()(

10

0

1

0

001

,...1,

nk

nnn

nk

nnn

nk

n

kkik

ki

ki

nk

kk

k

kkk

kik

ikkkjik

kij

kij

kkk

bLLxALL

bLxAL

bxA

bmbb

m

m

L

a

amnkjiamaa

ALA

Resolver todo por reducción

213

10672

13

12000

10030067

0010

213

0001

48140

10120

43210

43121

484

12

432

432

432

32

432

4321

x

xxx

xx

xxx

xxxx

Pivoteo

Permutar filas (equivale a premultiplicar A por una matriz P)

fila pivote p Dividir por números

pequeños también puede amplificar los errores numéricos

Guardar un vector de permutación

1

max

0

)(

)(

)()(

)(

kpk

kik

ik

kik

nik

kpk

kkk

a

am

aa

a

Ejemplo: necesidad de pivoteo en EG

3005

2004

0

997.1

6006

4001

0

5000

0

0

5092:500000

300520040

32001.0

60064001.00

300520040

32001.0

3

2

001.0

1000

623.4

712.3

1

3005

2004

0

1997.10

010

001

102000

011000

001

643.5072.12

623.4712.31

32001.0

23233

12

1

2

121221

fmff

VV

AMM

AM

M

fmffM

A

Conclusión

Se hubiera obtenido lo mismo partiendo de:

pivoteo!

~

612

541

32001.0~

yx

byA

bAx

A

Normalización (escalado)

ijnj

i

i

ad

ddiagD

DbDAx

bAx

1max

1

Método de Gauss-Jordan

2

13

106

72

13

12000

1003006

70010

2

130001

12000

763003

21010

53001

4:

2:

2:

2020900

76300

43210

129301

48140

10120

43210

43121

2443

2332

2111

x

fffP

fffP

fffP

Alternativas: EG – desc LU

yUx

bLy

Lyb

LybLL

ybLUx

bLUx

bAx

Resolver3)

Resolver2)

LUA Factorear1)

:Algoritmo

1

1

Factorización LU

iu

il

nnn

n

aaa

aaa

aaa

u

uu

uuu

lll

ll

l

ii

ii

1Crout

1Doolittle

:de Métodos

libertad de grados incógnitas

ecuaciones

00

00

00

2

2

333231

232221

131211

33

2322

131211

333231

2221

11

Ejemplo

2000

4200

6930

6422

12

3

3

2

2

1

0112

5

0012

30001

71111

17185

15363

6422

1000

2100

2310

3211

2321

0235

0033

0002

71111

17185

15363

6422

Algoritmo de factorización LU

jsuisl

ulula

u

uu

uu

uuu

llll

lll

ll

l

sjis

ji

ssjis

n

ssjisij

nn

knkk

n

n

nnnknkn

kkkk

00

000

0

0

0

0

00

),min(

11

222

11211

11

21

2221

11

kkik

k

sskis

k

sskisik

kk

kjkk

k

ssjks

k

ssjkskj

kk

kkkk

k

sskks

k

sskkskk

ji

ssjisij

ululula

uki

ululula

lkj

ululula

ula

1

11

1

11

1

11

),min(

1

0

0

Método de Factorización QR

A=QR Q: ortogonal R: triangular superior

Q-1 = QT

A x = b

QR x = b

Q y = b => y = QT b

R x = y ¿Cómo efectuar la descomposición QR?

Características de Q

Las columnas de Q forman un conjunto ortogonal de vectores

Un conjunto de vectores es ortogonal si y sólo si cada par u,v tal que uv verifica que (u,v) = 0

CM: Encontrar la solución de:

yQRx

yQRRxR

yQRQRxQR

yQRxQRQR

yAAxA

yAx

T

TTT

TTTT

TT

TT

)()()(

Calculo de inversas

1-

22

11

2121

1

AIIA

:práctican Disposició

nn

nn

eAx

eAx

eAx

eeexxxA

AXIAX

Sistemas lineales especiales

1000

7100

6510

4321

4000

0300

0020

0001

1764

0153

0012

0001

4000

21300

121020

4321

1764

0153

0012

0001

23993204

9362163

201662

4321

TLDLA

Factorización de Choleski

TT

M

T MMLDLDLDLA 2

1

2

1

Factorización de Choleski

Esto es posible siempre que A sea: Simétrica Definida positivaEs decir:

00

xAxx

AAT

T

Teorema: factorización de Choleski

0con inferior r triangulaMcon MMA Además,

0con Dy

diagonal laen unoscon inferior r triangulaes L donde LDLAen

pivoteosin EG usando afactorizadser puedeA Entonces

positiva. definiday simétrica Sea

T

T

ii

iiii

nxn

m

dd

A

Cálculo de los elementos de M

! 0 exige

0

00

000

cálculo deOrden

00

000

00

2122222

222

21222

11

111111

11

1212121112

11111121111

222

11211

21

2212

11

mammma

ma

mmma

ma

mmma

aamma

m

mm

mmm

mmm

mm

m

MMA

nnnn

nn

n

n

nnnn

T

Evaluación de determinantes

Teorema: sobre cómo afectan al determinante las operaciones elementales entre filas

Teorema

det(A))Adet(

A de cualquiera fila otra aA de fila una de múltiploun a

adicionar de resulta que matriz la es A Si a)

det(A)-)Adet(

A de filas dos

ar intercambi de resulta que matriz la es A Si b)

det(A)k)Adet(

k constante lapor A de fila una

r multiplica de resulta que matriz la es A Si a)

A Sea mxn

Ejemplo

165)det(

100

510

321

)55(3

5500

510

321

310

5100

510

321

32

162

510

321

3

162

510

963

162

963

510

)det(

162

963

510

1

233

133

A

fff

fff

A

A

Observar:

0

8411

5193

0000

4231

)det(

2

8411

5193

8462

4231

122

A

fff

A

Lectura obligatoria

Gerald págs 104-144