Métodos para resolver ecuaciones lineales

Método Eliminación Gaussiana

Método de Gauss Jordan

Método de Gauss Seidel

Método de Eliminación Gaussiana

Ejemplo de Matriz 3x3

Sistema de Ecuaciones

•Multiplicar la ecuación normalizada por el coeficiente de la primera incógnita de la tercera ecuación : -x1-2x2-3x3 -12x4=-2

•Restar la tercera ecuación de la ecuación normalizada, eliminando la primera incógnita de la tercera ecuación.

-x1-6x2+2x3-1x4=+3+x1+2x2+3x3+12x4=+2

0 -4x2+5x3-12x4=+5

•Multiplicar por -1: -x1-2x2-3x3 -12x4=-2

•Restar-x1-3x2-11x3 +1x4=-3

+x1+2x2+3x3 + 12x4=+20 -1x2 -8x3+32x4= -1

Multiplicar

0 0 -13x3-72x4=+13

•Restar la cuarta ecuación de la ecuación normalizada, eliminando la tercera incógnita de la cuarta ecuación

Método de eliminación Gauss-Jordan

Es un algoritmo del álgebra lineal para determinar lassoluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Es untipo especial de procedimiento de eliminación, llamadaasí debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan.Comienza con el sistema original de ecuaciones m x n ylo transforma, mediante operaciones de renglón, en unsistema equivalente. Se realiza hasta obtener unamatriz diagonal unitaria.

Sistema General de Ecuaciones

Matriz B del sistema

Ejemplo#1

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordan.

a – b = -6

b + c = 3

c + 2d =4

2a - 3d = 5

Desarrollo

Ejemplo#2

Resolveremos este sistema de ecuaciones

Aumentamos la matriz

Nuestra solución es x= 1, y= -1 y z= 2

Método de Gauss Seidel

• En honor a Carl Friedrich Gauss y PhilippLudwig von Seidel

• Es un método iterativo para resolversistemas de ecuaciones lineales

• para que exista solución única, el sistemadebe tener tantas ecuaciones comoincógnitas

Método de Gauss Seidel

• Partiendo de (x = 1, y = 2, z = 0) aplique dos iteraciones del metodo de Gauss-Seidel para resolver el sistema:

• 10 x + 0y − z = −1

• 4 x + 12y − 4z = 8

• 4 x + 4y + 10z = 4

10 x + 0y − z = −14 x + 12y − 4z = 84 x + 4y + 10z = 4

x = −0.10 + 0.00 x + 0.00y + 0.10zy = 0.66 − 0.33 x + 0.00y + 0.33zz = 0.40 − 0.40 x − 0.40y + 0.00z

x1 = −0.10 + 0.00(1.00) + 0.00 (2.00) + 0.10 (0.00) = −0.1y1 = 0.66 − 0.33(−0.10) + 0.00 (2.00) + 0.33 (0.00) = 0.70z1 = 0.40 − 0.40(−0.10) − 0.40 (0.70) + 0.00 (0.00) = 0.16

Despejar de la ecuacion la incognitacorrespondiente

Aplicamos la primera iteracion partiendo de x0 = 1.00, y0 = 2.00, y z = 0.00

x1 = −0.10 + 0.00(−0.10) + 0.00 (0.70) + 0.10 (0.16) = −0.084y1 = 0.66 − 0.33(−0.084) + 0.00 (0.70) + 0.33 (0.16) = 0.748z1 = 0.40 − 0.40(−0.084) − 0.40 (0.748) + 0.00 (0.16) = 0.134

x1 = −0.10 + 0.00(−0.084) + 0.00 (0.748) + 0.10 (0.134) = −0.086y1 = 0.66 − 0.33(−0.086) + 0.00 (0.748) + 0.33 (0.134) = 0.740z1 = 0.40 − 0.40(−0.086) − 0.40 (0.740) + 0.00 (0.134) = 0.138

Aplicamos la segunda iteracion partiendo de x1 = −0.10 y y1 = 0.70 y z1 = 0.16

Aplicamos la tercera iteracion partiendo de x1 = −0.084 y y1 = 0.748 y z1 = 0.134

Preguntas?Dudas??

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