CÓMO RESOLVER ECUACIONESDIFERENCIALES LINEALES ORDI-NARIAS CON EL MÉTODO DEL

FACTOR INTEGRANTE. MÉTODODE 4 PASOS.

Al terminar este artículo podrás resolver todas las ecuaciones diferencialeslineales de primer orden y entenderás con exactitud, de una vez por todas,de donde sale la la estrategia para resolver una Ecuación Diferencial Ordinaria(EDO) lineal. Dicha estrategia es de donde se deriva el método de 4 pasosque utilizamos en este blog para resolver las EDO’s lineales de 1er orden.

Como se cita en «Métodología activa» -un articulo que podemos encontrar enla red-, es importante para el aprendizaje, de cualquier materia, contar con unametodología ordenada que nos permita sistematizar los pasos y las técnicasnecesarios para llevar a cabo el proceso de dicho aprendizaje. Es por esto que tepropongo este método.

Además, el aprender haciendo, que es la filosofía que en este blog fomentamos,es el enfoque para la enseñanza, llamado constructivista, que más aceptaciónactualmente tiene por su alta efectividad, este enfoque también es conocidocomo aprendizaje basado en competencias, pues desarrolla conocimientos yhabilidades entre otras cosas. Ver «Metodología del aprendizaje, Ministerio deEducación de Guatemala», que es un estudio del Ministerio de Educación deGuatemala que se encuentra en formato PDF en la red.

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Para aprender a resolver ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con el métodode 4 pasos, utilizaremos la siguiente metodología:

1.- Partiremos de la exposición de los 4 pasos mencionados para resolver ecua-ciones diferenciales lineales ordinarias.

2.- Explicaremos el por qué de cada paso, su origen y su relación entre si.

3.- Utilizaremos el razonamiento deductivo para comprender de donde sale lasformulas usadas para construir la solución de una ecuación diferencial lineal de1er orden, las cuales son:

Función complementaria (solución del sistema homegéneo asociado)

yc=Ce−

∫P (x)dx

Función particular (solución del sistema no homogeneo)

yp=1

e∫P (x)dx

∫

e∫P (x)dx

f(x)dx

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METODO DE 4 PASOS PARA RESOLVERECUACIONES DIFERENCIALES LINEALESDE PRIMER ORDEN

El metodo consiste de los siguietes 4 pasos:

1. Escribir la Ecuacion Diferencial Lineal en su forma estandardy

dx+P (x)y= f(x)

2. Calcular el Factor Integrante

e∫P (x)dx

Forma de la solucion:

3. yc=Ce−

∫P (x)dx

4. yp=1

e

∫P (x)dx

∫

e∫P (x)dx

f(x)dx

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Explicación del porque de cada uno de los pasos anteriores, su origen ysu relación mutua

Paso 1. Forma Estandar de una Ecuación Diferencial Lineal de 1er orden

dy

dx+P (x)y= f(x) (1)

Para poder resolver una Ecuación Diferencial de cualquier tipo, debido a lagran variedad de formas en las que se pueden presentar, es importante poderidentificar si ésta es una Ecuación Diferencial Lineal y el orden de la misma.Este paso permite poder aplicar los métodos conocidos para resolver la ED’s.En el caso de una Ecuación Diferencial ordinaria (EDO) lineal de primer orden,vasta con redistribuir los términos de la ED estudiada para comprobar si tienela forma de un ED lineal; recordando que esta forma implica las siguietes condi-ciones de linealidad de un ED.Condiciones para establecer la linealidad de una Ecuación Diferencial deprimer orden:

La variable dependiente (y o culaquier otra) y su derivada (y ′) son de primergrado, es decir estan elevadas a la potencia 1.

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El coeficiente P (x), como la notación lo indica, debe de depender solo de lavaraible independiente (para este caso es x).IMPORTANTE. A veces una Ecuación Diferencial de primer orden no eslineal en x pero si lo es en y, como en el ejemplo:

dy

dx=

1

x+ y3(2)

es lineal en x pero no en y es decir, si despejamos para una u otra variableveremos que:dx

dy=x+ y3 ⇒

dx

dy−x= y3 si es lineal mientras (2) no lo es.

En general, es importante checar cuando es no lineal, una ED en una variablepero es lineal en la otra variable.

Un ejemplo de como acomodar los terminos de una ED para ver si es lineal sedesarrolla a continuacion:

x2y ′+x(x+2)y= ex ⇒ xy ′+(x+2)y=ex

x

⇒ xdy

dx+(x+2)y=

ex

x

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⇒dy

dx+

(x+2)

xy=

ex

x2(3)

Donde (3) tiene la forma estándar (1). La solución de esta ecuación la puedesver dando click al siguiente link: Solución de la Ecuación Diferencial (2).

La forma estandar de una Ecuación Diferencial nos indica que podemos utilizarun factor integrante para resolverla, al corroborar su linealidad.

Paso 2. Factor integrante

e∫P (x)dx (4)

El Factor Integrante es el factor que permite que una ecuación Diferencial sepueda integrar mediante las fórmulas conocidas del cálculo integral o diferencial.

Su origen se puede entender si comparamos una de las formas estandar utilizadaspara derivar funciones (La Regla del Producto) con la forma estándar de unaEcuación Diferencial Lineal y deducimos, a partir de sus similitudes, el factorfaltante para que la Forma Estándar para al Ecuación Diferencial Lineal pueda

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ser igual a la forma estándar de la ecuación utilizada para desarrollar la derivadade un producto de funciones, conocida como «La Regla del Producto». A con-tinuación desarrollamnos dicha comparación:

udv+ vdu = d(uv) (5)

y ′+P (x)y = f(x)

Haciendo

v = y

dv = y ′

d(uv) = f(x)

Vemos que solo faltaria la u, por lo que si multiplicamos la u en la FormaEstandar de la Ecuacion Diferencial Lineal (1) y despejamos u, podemos obtenerun factor que nos permita integrar la Forma Estandar de la ED, ya que ese factoral multiplicarlo por la forma estandar nos daria la forma facilmente integrable de

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la Ecuacion para la derivada de un producto de funciones (5), conocida como,Regla del Producto. Es decir:

y ′+P (x)y= f(x) ⇒ uy ′+uP (x)y=uf(x) (6)

Donde comparando (6) con (5), tenemos que u′ es igual a:

u′=uP (x)dx (7)

E integrando esta última ecuacion tenemos:

u= e∫P (x)dx

Ahora, si multiplicamos este resultado en la Forma Estandar de una EcuacionDiferencial:

y ′+P (x)y= f(x)

Tenemos:

e∫P (x)dxy ′+ e

∫P (x)dxP (x)y= e

∫P (x)dxf(x) (8)

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La cual se convierte en la forma de la Regla del Producto, donde el primer

miembro de (8) es igual a la derivada del producto de las funciones: e∫P (x)dx y

y y se puede escribir en la forma reducida que sugiere el segundo miembro de laecuación (5), es decir:

d(

e∫P (x)dxy

)

= e∫P (x)dxf(x) (9)

Esto hace fácilmente integrable la ecuación diferencial, al menos en el primermiembro, pues desconocemos el valor de f(x).

Obviamente la solución de nuestra Ecuacion Diferencial Lineal al integrar (9),será:

e∫P (x)dxy=C +

∫

e∫P (x)dxf(x)dx (10)

De donde podemos ver que es fácilmente despejable y (como lo haremos másadelante). Con esto podemos ver el por qué de la utilización de este factor(factor integrante) e inclusive su relación con la solución yp, si despejamos y dela ecuación anterior (10).

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Una explicación más detallada del origen del Factor Integrante, la puedes encon-trar dando click aquí.

FORMA DE LA SOLUCIÓN

La forma de la solución de una ecución diferenciale de primer orden:

y= yc+ yp

Nos dice que podemos encontrar DOS soluciones que se complementan alsumarse matemáticamente para formar una solución general de la Ecuación Dife-rencial.El porque de esta forma para la solución se puede entender si ejemplificamos unaED con un circuito electrico donde están conectados en serie 3 componentes,digamos un inductor, una resistencia y una fuente de alimentación de corrinteelectrica, la Ecuación Diferencial que representa dicha conexión es:

Ldi

dt+ iR=E(t)

donde:

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L: es el inductorR: es la resistenciaE(t): es la fuente de alimentación de corrienteSi observas la corriente i, es la varaible dependiente, que es la que se desco-noce.Esta corriente será al calcularla muy diferente si la fuente de alimentaciónse desconecta, es decir si su valor es cero (0), o si la fuente de alimentacióntiene un valor constante (k) o si la fuiente de alimentación varía con el tiempo(E(t)).

Para el primer caso habrá que resolver la ecuación: Ldi

dt+ iR=0

Para el segundo caso habría que resolver la ecuación Ldi

dt+ iR=K

Para el tercer caso habrá que resolver la ecuación: Ldi

dt+ iR=E(t)

Podría parecer ilógico que exista un valor para la corriente i(t) en un circuitosi una fuente de alimentación, pero no lo es. Los indutores (y no se digan loscapacitores) son elemnetos que almacenan corriente y en un circuito comoel del ejemplo las corrientes circulantes no solo dependen de la alimentaciónde corriente sino de lo almacenado en sus elementos.

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Por esa razon cuando recien se cierra un interruptor de un circuito ocurreuna variación de corriente antes de que se estabilice.

De acuerdo a esto es necesario para conocer la corriente total de un circuitoeléctrico, calcular su corriente en el instante en que se cierra el interruptor ysumarla a la coriente que resulta despues de que pase un tiempo y se estabilicela misma en el circuito, si este tiene una fuente de alimentación constante ovariable.

Un ejemplo de el cálculo de un circuito conectado en serie tipo RL lo puedenver en el artículo: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas a circuitos (da clickaquí).

De esta forma, tal como en los circuitos eléctricos, los sistemas dinamicos o cual-quiera sistema que se represente mediante una ED lineal tendrá como solucióngeneral a la suma de dos soluiciones.

Una obtenida de la Ecuación Diferencial igualada a cero, o mejor conocida comosolución del sistema homogeneo asociado:

dy

dx+P (x)y=0 (11)

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que se escribe como: ycMas otra solución obtenida del la ecuación no homegénea (en este caso escritaigual que la forma estándar):

dy

dx+P (x)y= f(x) (12)

que se escribe como: yp.

Paso 3. yc=Ce−∫P (x)dx

El origen específico de esta solución se obtiene al resolver el sistema homogeneoasociado de la ecuación (11).Su solución es muy sencilla pues se trata de una Ecuación Diferencial separable.Acontinuación resolvemos la ecuación (11):

dy

dx+P (x)y = 0

dy

dx= −P (x)y

dy

y= −P (x)dx

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∫

dy

y= −

∫

P (x)dx+ k

ln (y) = −

∫

P (x)dx+ k

eln (y) = e−∫P (x)dx+k

yc = e−∫P (x)dxek

yc = Ce−∫P (x)dx

Donde el subíndice c se lo colocamos a la y para saber que esa solución provienedel sistema homogeneo asociado.

Paso 4. yp=1

e

∫P (x)dx

∫

e∫P (x)dx

f(x)dx

La solución particular del sistema no homogéneo:dy

dx+P (x)y= f(x), se obtiene

precisamente siguiendo la lógica de igualar ésta forma de la Ecuacion Diferenciala resolver con alguna forma de integración o derivación conocida que podamosfácilmente integrar posteriormente.

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El desarrollo seguido en la justificación del por que utilizar un Factor Integrante,que hemos hecho más arriba, en realidad resuelve este sistema no homogeneo.

Es decir, si encontramos un facor que multiplicado por la ecuacióndy

dx+P (x)y=

f(x), nos dé la forma de la Regla del Producto, podremos integrar facilmente laecuación y encontrar el valor de la variable dependiente y (o yp).

Por tanto, si seguimos los pasos hechos para la optención de las ecuaciones

(8),(9) y(10), utilizando el factor integrante µ(x)= e∫P (x)dx, tenemos:

Sistema No Homogéneo:

dy

dx+P (x)y= f(x)

Multiplicandolo por el factor integrante: µ(x)= e∫P (x)dx.

µ(x)y ′+ µ(x)P (x)y = µ(x)f(x)

Esto implica que la ecuación tiene la forma de la derivada de un producto defunciones en su primer miembro, la cual se puede anotar como d(µ(x)y) y solo

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restaría integrar ambos miembros, del siguiente modo:

d(µ(x)y) = µ(x)f(x)dx∫

d(µ(x)y) =

∫

µ(x)f(x)dx+C

µ(x)y =

∫

µ(x)f(x)dx+C

y =1

µ(x)

(∫

µ(x)f(x)dx+C

)

Y sustituyendo este resultado con el Factor Integrante encontrado, tenemos:

yp =C

e∫P (x)dx

+

∫

e∫P (x)dxf(x)dx

= Ce−∫P (x)dx+

∫

e∫P (x)dxf(x)dx

La cual es la fórmula utilizada para encontrar la solución particular yp.

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