UNIDAD DIDÁCTICA MÉTODO

GRÁFICO PARA RESOLVER

SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES 2X2http://

gemad.uniandes.edu.co/

PERFILES

Bernal, Mónica Liliana; Castro, Diana Paola; Pinzón, Álvaro Andrés; Torres, Yerly Fernando; Romero, Isabel (2012). Método gráfico para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2. En Gómez, Pedro (Ed.), Diseño, implementación y evaluación de unidades didácticas matemáticas en MAD 1 (pp. 200-260). Bogotá: Universidad de los Andes.

Licenciados en Matemáticas – U. Distrital Magísteres en Educación – U. de los

Andes

Mónica BernalIED Los Alpes

Paola Castro

IED Gral. Santander

Fernando TorresColegio

San Lucas

Andrés Pinzón

Fundación Compartir

Isabel María RomeroLicenciada y doctora en Matemáticas por la

Universidad de GranadaProfesora titular de la U. de Almería (España)

Grado 9°Estándar curricular

Identifica diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones

lineales. Contenidos

Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales: eliminación, sustitución, igualación, gráfico.

¿Por qué el método gráfico ?

ANÁLISIS DIDÁCTICO

Análisis de Contenido:

Estructura conceptualSistemas de Representación

Fenomenología

Análisis Cognitivo:Expectativas:

Competencias, Objetivos, Capacidades.

Limitaciones: Dificultades y ErroresTareas

Análisis de Instrucción:

Elaboración de recursos y materiales

Tarea problemaActuaciones, Interacción

Niveles de complejidad de las tareas

Análisis de Actuación:

Act. diagnóstica y Examen final

Parrillas de ObservaciónDiarios

Rúbricas de las tareas

S1 S2 S3 S7 S8 S9 S10S4 S5 S6 S11

APLICAR COMPRENDER

SECUENCIA DIDÁCTICA DISEÑADA

MODELAR

Reorganización de Objetivos

Comprender la noción de

solución de un sistema Lineal relacionandola con la posición relativa de las

rectas en el plano.

Modelar gráficamente situaciones no rutinarias.

Aplicar el

método

gráfico para

obtener

puntos de

corte entre

rectas.

Objetivos

S1 S2 S3 S7 S8 S9 S10S4 S5 S6 S11

FR SE RP ER BC COHE

APLICAR COMPRENDER

SECUENCIA DIDÁCTICA DISEÑADA

MODELAR

FR: figuras con 3 rectas; SE: sistemas equivalentes; RP: rectas en el plano; ER: encontrando rectas; BC: bus y carro; CO: copias; HE: Heladería.

Una tarea de transición entre los objetivos Aplicar y Comprender

Sistemas equivalentes

SISTEMA A SISTEMA B SISTEMA C y= x-1 y= 3x +1 3y= x -5y = -x -3 y= 0,5 x – 1,5 y= x-3

a) ¿Cuáles son las gráficas que representan cada sistema?b) Si los sistemas A y B son equivalentes, ¿qué propiedad gráfica cumplen?, ¿qué se debe modificar en la ecuación y gráfica del sistema C para que los tres sean equivalentes? Explique su respuesta.

Representaciones algebraicas

Sistema de representación

simbólico

Sistema de representación

gráfico

Subestructura Relación funcional

Contexto Igualación

Situación Científica

APORTE DE TAREAS A EXPECTATIVAS

CAPACIDADES OBJETIVOS TAREAS

Algebraicas

Gráficas

Transversales

Aplicar...Figuras con tres rectas

Sistemas Equivalentes

Comprender... Rectas en el plano

Encontrando rectas (Geogebra)

Modelar...

Bus y carro (Acetatos superpuestos)Copias (ParamExcel)

Heladería

Expectativas y Limitaciones de Aprendizaje

C2 Despeja incógnitas en una ecuación

C15 Determina la posición relativa de dos rectas en el plano

C22 Identifica las variables que intervienen en una situación

TIPO DE DIFICULTAD DIFICULTADES ERRORES ACTUACIONES DEL

PROFESOR

Complejidad objetos

matemáticos.

Para representar SEL en el plano cartesiano.

E1 – E6

A1. Ayuda de un compañero.A2. Preguntas para discusión.A3. Preguntas para verificar procesos.A4. Orientaciones de carácter procedimental.

Para establecer solución de un SEL.

E7 – E13, E20 – E22

Procesos propios de pensamiento

matemático.

Para representar situaciones no rutinarias con SEL.

E14 – E19

Expectativas y Limitaciones de Aprendizaje

E1. Confunde los parámetros de la ecuación de una recta en su forma estándar y = mx + b al representar sin hacer tabulaciónE7. Relaciona incorrectamente el valor de las pendientes de dos rectas con su posición relativa en el plano

E14 Reduce un problema de dos variables a una sola variable.

Espina de pescado

Tarea RECTAS EN EL PLANO

Objetivo: COMPRENDER

C23

C21

C15

E13

C12

C20

C26

E4 E14

E5 E12

E13. Confunde en un par ordenado las ordenadas con las abscisas

C23. Elabora e interpretar tablas de valores.

C21. Identifica las coordenadas de puntos pertenecientes a una recta.

C15. Determina la posición relativa de dos rectas en el plano.

Materiales y recursos

Materiales y recursos para la enseñanza y aprendizaje del

MÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS

INCÓGNITAS

MATERIALES(Estructurados)

MANIPULATIVO

(Construido por el grupo)

SOFTWARE DIDÁCTICO (Identificado)

RECURSOS(No

estructurados)

SOFTWARE Y MANIPULATIVO CONVENCIONAL

Una tarea de transición entre los objetivos Comprender y Modelar

Encontrando rectas

Haciendo uso de Geogebra: - Represente dos sistemas de ecuaciones lineales (dos pares de rectas) que se intercepten en (-3,-4).

Complete la siguiente información con las ecuaciones de cada sistema:SISTEMA DE ECUACIONES AEcuación 1:____________________ Ecuación 2: ____________________

SISTEMA DE ECUACIONES BEcuación 3:____________________ Ecuación 4: ____________________

- ¿Forman las ecuaciones 1 y 3 un sistema equivalente al que se forma con las ecuaciones 2 y 4?

S1 S2 S3 S7 S8 S9 S10S4 S5 S6 S11

FR SE RP ER BC COHE

APLICAR COMPRENDER

Motiva

ciónp1/p2 p2 p3 p3 p3 p3p2 p2/

p3 p3

GRAN PREMIO DE BRASIL

GP

SECUENCIA DIDÁCTICA DISEÑADA

MODELAR

FR: figuras con 3 rectas; SE: sistemas equivalente; RP: rectas en el plano; ER: encontrando rectas; BC: bus y carro; CO: copias; HE: Heladería; GP: Gran premio de Brasil (tarea transversal).

Tarea transversalGran premio de Brasil F1

Encontrar una estimación de la vuelta y tiempo que transcurrió cuando un piloto pudo sobrepasar al menos una vez a otro piloto.

P1: Planteamiento P2: Ejecución P3: Resolución

¿Por qué estas tareas?

TRANSICIÓN Alcance de Objetivos

TRANSVERSAL

Apropiación de

contenidos

Tarea del objetivo Modelar: Bus y carro

a) El bus parte de un paradero y cuando ha recorrido 40 km el automóvil inicia su recorrido desde el paradero en la misma dirección del bus. ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en alcanzar el bus?, ¿qué distancia ha recorrido cada vehículo cuando el automóvil alcanza al bus?

Dos aficionados a la Fórmula 1 se trasladan hacia la pista de Interlagos para observar la carrera del Gran Premio de Brasil. Los acetatos muestran la gráfica de la velocidad constante del bus y el automóvil en los que se trasladan los aficionados a 30 km/h y 50 km/h, respectivamente.

Utilizando la superposición de los acetatos resuelve:

Bus y

carro

Componentes

Meta Modelar una situación de velocidad con SEL.

Recursos/ Operacione

s

Acetatos con plano; cuadrícula; papel y lápiz.

Manipular representaciones, hallar punto de corte.

ContenidoRectas en el plano, método gráfico

para resolver SEL, velocidad, función afín.

Situación Aprendizaj

eMóviles. Situación Pública.

Complejidad

Problema. Respuesta cerrada.Potencialidad: Desarrollo de

raciocinio matemático.

Condiciones

Presentación

Instrucciones verbales y entrega de tarea escrita.

Comunicación

Profesor entrega material y actividad a cada estudiante, organiza grupos

y dirige puesta en común. Agrupamie

nto Individual, parejas y gran grupo.

Análisis de la tarea

Un establecimiento en Bogotá quiere transmitir en directo el evento Gran Premio de Brasil de la Fórmula 1; en un local de copiado ofrecen dos planes a los organizadores para multicopiar volantes con la publicidad:

Plan1: $50 por copia.

Plan2: Cuota diaria de $4000 más $40 por copia.

¿Para qué cantidad de copias los planes representan igual costo?

Tarea del objetivo Modelar: Copias

Plantilla ParamExcel

S1 S2 S3 S7 S8 S9 S10S4 S5 S6 S11

FR SE RP ER BC COHE

APLICAR COMPRENDER

Motiva

ciónp1/p2 p2 p3 p3 p3 p3p2 p2/

p3 p3

GRAN PREMIO DE BRASIL

GP

SECUENCIA DIDÁCTICA DISEÑADA

MODELAR

FR: figuras con 3 rectas; SE: sistemas equivalente; RP: rectas en el plano; ER: encontrando rectas; BC: bus y carro; CO: copias; HE: Heladería; GP: Gran premio de Brasil (tarea transversal).

Examen

Cierre de la secuencia

PRESENTACIÓN ESTUDIANTES EXAMEN ESCRITO ECUACARTAS

Diario del Profesor

Diario del Estudiante

Autoevaluación

Instrumentos de Recolección de Datos

Parrillas de Observación

C28 C26 C21 C12

E13 E21

Ej. RefuerzoComparar procesos

Ej. RefuerzoComparar procesos?verificar procesos

Ver relación ecu. y graf.A. compañero.

Comparar procesosParámetros en gráfica.

?verificar procesos

Ver relación ecu. y graf.A. compañero.

Comparar procesos

Erro

res

y ac

tuac

ione

s no

pre

vist

asA

ctua

cion

esEr

rore

s pr

evis

tos

Cam

ino

prev

isto

Tarea: SISTEMAS EQUIVALENTES Parte b.

C4 C27

E13 E4 E11

Instrumentos de Recolección de Datos

ASPECTO A EVALUARPORCENTAJE DE LA NOTA

FINALMIS NOTAS

Tareas propuestas en cada sesión de clase. 40%

Participación 5%

Actividades extraclase(Diario del estudiante y refuerzos) 5%

AutoevaluaciónValoración de un compañero. 5%

Compromiso, puntualidad, disciplina, durante las sesiones. 5%

Examen final 15%

Resolución de la tarea Gran Premio de Brasil 25%

Sistema de evaluación

INSTRUMENTOS DE SEGUIMIENTO

Diario del estudiante

Diario del profesor

Rúbricas de tareasAutoevalua- ción

Evaluación al compañero

Examen final

Los estudiantes consideraron valioso generar espacios de participación en los cuales

expresan los aspectos pedidos en este instrumento; se observó poco interés en

escribir y mayor intención en participar.

Permitió reconstruir todos los aspectos modificados de la

Unidad Didáctica, complementó en gran

medida la información que no fue registrada en las

parrillas de observación, es el instrumento que más información aportó en

cuanto a la implementación de la secuencia.

Establecieron los parámetros para la valoración de las

capacidades de los estudiantes y el

alcance de objetivos y competencias.

Complementa la evaluación que hace el docente del trabajo de cada estudiante, permitió que fuera un agente activo en su proceso de evaluación identificando sus propios logros.

Complementa la evaluación que hace el docente del trabajo de cada estudiante. La valoración que realizaron los estudiantes ayudó a diferenciar el nivel en el que se encuentra cada uno respecto a su compañero.

Permitió reflexionar sobre la relación que debe tener con la secuencia de tareas y consecución de objetivos de acuerdo a unos niveles de complejidad, complementó la información para determinar el nivel de desempeño en el que se encuentran los estudiantes.

RESULTADOS

Se alcanzó el

desarrollo de

capacidades

matemáticas

El desarrollo

de las tareas

comprometió a

estudiantes y al

docente

El foco de contenido adquirió

valor por sí mismo.

El trabajo con la

secuencia logró la

comprensión de los

conceptos.

La tarea transversalfavoreció el desarrollo

de la competencia Modelar.

RESULTADOS

100% de los grupos identificó las variables que intervienen en la tarea

del Gran Premio de Brasil F1.

40% logro proponer unos sistemas de ecuaciones a partir de la información recogida. Y de ellos el 50% lo hace de

forma estándar.

80% asocia la pendiente de la recta con la velocidad de los autos.40% sustituyó valores en las

ecuaciones para formar una tabla.

40% de los grupos uso el método gráfico para solucionar la tarea y de

ellos el 20% usó adecuadamente escalas numéricas para representar las

velocidades de los autos.

Ejemplo de presentación de estudiantes

Ejemplo de presentación de estudiantes

Ejemplo de presentación de estudiantes

CONCLUSIONES

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GRÁFICO PARA RESOLVER

SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES 2X2

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