NUEVA FORMA DE RESOLVER ECUACIONES LINEALES

Click here to load reader

  • date post

    22-Feb-2016
  • Category

    Documents

  • view

    220
  • download

    1

Embed Size (px)

description

MATE,MATICAS-ECUACIONES

Transcript of NUEVA FORMA DE RESOLVER ECUACIONES LINEALES

  • PDF generado usando el kit de herramientas de fuente abierta mwlib. Ver http://code.pediapress.com/ para mayor informacin.PDF generated at: Sat, 17 Dec 2011 18:31:34 UTC

    NUEVA FORMA DERESOLVER ECUACIONESLINEALESTEORIAS Y PROBLEMAS

  • ContenidosArtculosECUACIONES LINEALES 1

    Ecuacin 1Ecuacin de primer grado 8Matemticas 11

    ReferenciasFuentes y contribuyentes del artculo 18Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 19

    Licencias de artculosLicencia 20

  • 1ECUACIONES LINEALES

    EcuacinEn matemticas, una ecuacin es una igualdad[1] entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en lasque aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incgnitas, relacionados mediante operacionesmatemticas. Los valores conocidos pueden ser nmeros, coeficientes o constantes; y tambin variables cuyamagnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incgnitas, representadas generalmente porletras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuacin:

    la variable representa la incgnita, mientras que el coeficiente 3 y los nmeros 1 y 9 son constantes conocidas. Laigualdad planteada por una ecuacin ser cierta o falsa dependiendo de los valores numricos que tomen ambosmiembros; se puede afirmar entonces que una ecuacin es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores delas variables la hacen cierta.Se llama solucin de una ecuacin a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el casodado, la solucin es:

    Resolver una ecuacin es encontrar su dominio solucin, que es el conjunto de valores de las incgnitas para loscuales la igualdad se cumple. Todo problema matemtico puede expresarse en forma de una o ms ecuaciones; sinembargo no todas las ecuaciones tienen solucin, ya que es posible que no exista ningn valor de la incgnita quehaga cierta una igualdad dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuacin ser vaco y decimos que laecuacin no es resoluble. De igual modo, puede tener un nico valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendocada uno de ellos una solucin particular de la ecuacin. Si cualquier valor de la incgnita hace cumplir la igualdad(esto es, no existe ningn valor para el cual no se cumpla) la expresin se llama identidad.[2]

    IntroduccinDe manera ms general, una ecuacin tendr la forma

    donde F, G son operadores y a, b pueden ser valores numricos, variables o funciones (en este ltimo caso tendremosuna ecuacin funcional). Por ejemplo, la ecuacin

    tiene por soluciones o races el conjunto infinito de valores

    Uso de ecuacionesLa ciencia utiliza ecuaciones para enunciar de forma precisa leyes; estas ecuaciones expresan relaciones entrevariables. As, en fsica, la ecuacin de la dinmica de Newton relaciona las variables fuerza F, aceleracin a y masam: F = ma. Los valores que son solucin de la ecuacin anterior cumplen al primera ley de la mecnica de Newton.Por ejemplo, si establecemos una masa m = 1 Kg y una aceleracin a = 1 m/s, la nica solucin de la ecuacin es F =1 Kgm/s = 1 Newton, que es el nico valor para la fuerza permitida por la ley.

  • Ecuacin 2

    El campo de aplicacin de las ecuaciones es inmenso, y por ello hay una gran cantidad de investigadores dedicados asu estudio.

    Historia

    AntigedadYa en el siglo XVI aC. los egipcios resolvan problemas cotidianos que tenan que ver con la reparticin de vveres,de cosechas y de materiales que eran equivalentes a resolver ecuaciones algebraicas simples de primer grado; comola notacin algebraica no exista usaban un mtodo iterativo aproximado llamado el "mtodo de la falsa posicin".Los matemticos chinos de principios de nuestra era escribieron el libro "El Arte del clculo" en el que plantearondiversos mtodos para resolver ecuaciones algebraicas de primero y segundo grado, as como sistemas de dosecuaciones con dos incgnitas.El matemtico griego Diofanto de Alejandra public su Aritmtica en el siglo III tratando las ecuaciones de primery segundo grado; fue uno de los pioneros en utilizar smbolos para representar las ecuaciones. Tambin plante lasecuaciones con soluciones enteras, llamadas en su honor ecuaciones diofnticas.[3]

    Siglos XV - XVIPasada la edad oscura medieval, el estudio de las ecuaciones algebraicas experimenta un gran impulso. En el sigloXV estaban a la orden del da los desafos matemticos pblicos, con premios al vencedor; as, un desafo famosoenfrent a dos matemticos a resolver ecuaciones de tercer grado, el vencedor fue Niccol Fontana Tartaglia, expertoalgebrista.Sobre mediados del siglo XVI los matemticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli descubrieron que parapoder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado el uso de los nmeros imaginarios eraindispensable. Cardano, enemigo acrrimo de Tartaglia, tambin hall mtodos de resolucin de ecuaciones decuarto grado.En el mismo siglo el matemtico francs Ren Descartes populariz la notacin algebraica moderna, en la cual lasconstantes estn representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b, c, y las variables o incgnitas por lasltimas, x, y, z. En esta poca se enuncian problemas de ecuaciones que slo han sido resueltos actualmente, algunosque slo recientemente se han resuelto; entre ellos tenemos el ltimo teorema de Fermat, uno de los teoremas msfamosos de la matemtica, que no fue demostrado hasta 1995 por Andrew Wiles y Richard Taylor.

    Siglos XVII-XVIIIEn el siglo XVII Newton y Leibniz publican los primeros mtodos de resolucin de las ecuaciones diferenciales queaparecen en los problemas de la dinmica. Probablemente el primer libro sobre estas ecuaciones fue Sobre lasconstrucciones de ecuaciones diferenciales de primer grado de Gabriele Manfredi (1707). Durante el siglo XVIIImatemticos ilustres como Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Joseph Lagrange y Pierre Laplace publican resultadossobre ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales.

    poca modernaA pesar de todos los esfuerzos de las pocas anteriores, las ecuaciones algebraicas de quinto grado y superiores seresistieron a ser resueltas; slo se consigui en casos particulares, pero no se encontraba una solucin general. Aprincipios del siglo XIX Niels Henrik Abel demostr que hay ecuaciones no resolubles; en particular mostr que noexiste una frmula general para resolver la ecuacin de quinto grado; acto seguido variste Galois demostr,utilizando su teora de grupos, que lo mismo puede afirmarse de toda ecuacin de grado igual o superior a cinco.

  • Ecuacin 3

    Durante el siglo XIX las ciencias fsicas utilizan en su formulacin ecuaciones diferenciales en derivadas parcialesy/o ecuaciones integrales, como es el caso de la electrodinmica de James Clerk Maxwell, la mecnica hamiltonianao la mecnica de fluidos. El uso habitual de estas ecuaciones y de los mtodos de solucin lleva a la creacin de unanueva especialidad, la Fsica Matemtica.Ya en el siglo XX la Fsica Matemtica sigue ampliando su campo de accin; Schrdinger, Pauli y Dirac formulanecuaciones diferenciales con funciones complejas para la mecnica cuntica. Einstein utiliza ecuaciones tensorialespara su Relatividad General. Las ecuaciones diferenciales tienen tambin un amplio campo de aplicacin en teoraeconmica.Debido a que la mayora de ecuaciones que se presentan en la prctica son muy difciles o incluso imposibles deresolver analticamente, es habitual utilizar mtodos numricos para encontrar races aproximadas. El desarrollo dela informtica posibilita actualmente resolver en tiempos razonables ecuaciones de miles e incluso millones devariables usando algoritmos numricos.

    Definicin generalDada una aplicacin y un elemento del conjunto , resolver una ecuacin consiste en encontrartodos los elementos que verifican la expresin: . Al elemento se le llama incgnita. Unasolucin de la ecuacin es cualquier elemento que verifique .El estudio de las ecuaciones depende de las caractersticas de los conjuntos y la aplicacin; por ejemplo, en el casode las ecuaciones diferenciales, los elementos del conjunto son funciones y la aplicacin debe incluir algunade las derivadas del argumento. En las ecuaciones matriciales, la incgnita es una matriz.La definicin que hemos dado incluye las ecuaciones de la forma , pues, si es un grupo basta condefinir la aplicacin y la ecuacin se transforma en .

    Conjunto de soluciones

    Dada la ecuacin , el conjunto de soluciones de la ecuacin viene dado por , donde es la imagen inversa de . Si es el conjunto vaco, la ecuacin no tiene solucin. Hay otras dos posibilidades:

    puede tener un slo elemento, en cuyo caso la ecuacin tiene solucin nica; si tiene ms de un elemento,todos ellos son soluciones de la ecuacin.En la teora de ecuaciones diferenciales, no se trata slo de averiguar la expresin explcita de las soluciones, sinodeterminar si una ecuacin determinada tiene solucin y esta es nica. Otro caso en los que se investiga la existenciay unicidad de soluciones es en los sistemas de ecuaciones lineales.

    Casos particulares

    Una ecuacin diofntica es aquella cuya solucin slo puede ser un nmero entero, es decir, en este caso .Una ecuacin funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmentenmeros sino funciones; y si en la ecuacin aparece algn operador diferencial se llama ecuacin diferencial.Cuando es un cuerpo y un polinomio, hablamos de ecuacin algebraica.En un sistema de ecuaciones lineales, el conjunto es un conjunto de vectores reales y la funcin es un operadorlineal.

  • Ecuacin 4

    Existencia de solucionesEn muchos casos -por ejemplo en las ecuaciones diferenciales-, una de las cuestiones ms importantes es determinarsi existe alguna solucin, es decir demostrar que el conjunto de soluciones no es el conjunto vaco. Uno de losmtodos ms corrientes para lograrlo consiste en aprovechar que el conjunto tiene alguna topologa. No es elnico: en lo