Metodos Para Resolver Ecuaciones Lineales Completo

Presentacin de PowerPoint

Resolver un sistema de ecuaciones lineales es encontrar todas sus soluciones.Los mtodos de igualacin, sustitucin y reduccin consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incgnitas.A estas ecuaciones, con solo una incgnita, se llega a travs de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incgnitas que las ecuaciones previas.Los mtodos de igualacin, sustitucin, reduccin y Gauss se pueden utilizar para resolver sistemas de ecuaciones compatibles determinados e indeterminados.Estos mismos mtodos tambin pueden utilizarse para comprobar si un sistema de ecuaciones es compatible o no. La utilizacin de cualquiera de ellos conducira, en el caso de que el sistema fuese incompatible, a una igualdad que es falsa, por ejemplo:2=3

INTRODUCCINMTODO DE REDUCCINConsiste en multiplicar ecuaciones por nmeros y sumarlas para reducir el nmero de incgnitas hasta llegar a a ecuaciones con solo una incgnita.Sumar dos ecuaciones consiste en obtener una nueva ecuacin cuyo miembro derecho (izquierdo) es la suma de los miembros derechos (izquierdos) de las ecuaciones que se suman por algo que sabe venom.

El mtodo de reduccin se compone de los siguientes pasos:e mtodo, conocido tambin como de eliminacin por adicin y sustraccin, consiste en igualar los coeficientes de una misma incgnita en ambas ecuaciones, para restar las mismas y obtener el valor de la primera incgnita; luego utilizar ese valor y determinar el valor de la otra restante.

3MTODO DE REDUCCINPASOS:

Se preparan las dos ecuaciones, multiplicndolas por los nmeros que convenga.La restamos, y desaparece una de las incgnitas.Se resuelve la ecuacin resultante.El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.e mtodo, conocido tambin como de eliminacin por adicin y sustraccin, consiste en igualar los coeficientes de una misma incgnita en ambas ecuaciones, para restar las mismas y obtener el valor de la primera incgnita; luego utilizar ese valor y determinar el valor de la otra restante.

4MTODO DE REDUCCINEjemplo 1:

3x 4y= -62x + 4y= 16

En este caso lo ms fcil sera suprimir la y, de este modo no tendramos que preparar las ecuaciones ; pero optaremos por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.3x 4y= -62x + 4y= 16x2X(-3)

6x 8y= -12-6x 12y= -48e mtodo, conocido tambin como de eliminacin por adicin y sustraccin, consiste en igualar los coeficientes de una misma incgnita en ambas ecuaciones, para restar las mismas y obtener el valor de la primera incgnita; luego utilizar ese valor y determinar el valor de la otra restante.

5MTODO DE REDUCCINRestamos y resolvemos la ecuacin:6x 8y= -12-6x 12y= -48-20y = -60y = -60/-20y= 3Sustituimos el valor de y y en la segunda ecuacin inicial.2x + 43= 162x + 12= 162x= 4x= 2Solucin:x=2y= 3e mtodo, conocido tambin como de eliminacin por adicin y sustraccin, consiste en igualar los coeficientes de una misma incgnita en ambas ecuaciones, para restar las mismas y obtener el valor de la primera incgnita; luego utilizar ese valor y determinar el valor de la otra restante.

6MTODO DE REDUCCINEjemplo 2:

2x + 7y = 123x + 5y= 7

El primer paso consiste en multiplicar cada ecuacin por un nmero conveniente para que quede despus una variable multiplicada por el mismo nmero cambiado de signo.Debemos elegir que variable queremos eliminar.e mtodo, conocido tambin como de eliminacin por adicin y sustraccin, consiste en igualar los coeficientes de una misma incgnita en ambas ecuaciones, para restar las mismas y obtener el valor de la primera incgnita; luego utilizar ese valor y determinar el valor de la otra restante.

7MTODO DE REDUCCINPaso 1:2x + 7y = 123x + 5y= 7(-3)2Multiplicamos la primera ecuacin por -3 y la segunda por 2.Paso 2:6x - 21y = -366x + 10y= 14Sumamos trmino a trmino.

Nos queda una ecuacin con una sola incgnita.-11y= -22e mtodo, conocido tambin como de eliminacin por adicin y sustraccin, consiste en igualar los coeficientes de una misma incgnita en ambas ecuaciones, para restar las mismas y obtener el valor de la primera incgnita; luego utilizar ese valor y determinar el valor de la otra restante.

8MTODO DE REDUCCINPaso 3:Resolvemos la ecuacin y tenemos la solucin de una de las incgnitas.Paso 4:Sustituimos en una de las dos ecuaciones iniciales.-11y= -22y=-22-11= 2En 2x + 7y= 12 sustituimos y por 2 y resolvemos:2x + 14= 122x=12-14= -2Luego x= -1Por tanto la solucin del sistema es:X= -1Y= 2e mtodo, conocido tambin como de eliminacin por adicin y sustraccin, consiste en igualar los coeficientes de una misma incgnita en ambas ecuaciones, para restar las mismas y obtener el valor de la primera incgnita; luego utilizar ese valor y determinar el valor de la otra restante.

9MTODO DE SUSTITUCINPASOS:

Se despeja una de las incgnitas en una de las ecuaciones.Se sustituye la expresin de esta incgnita en la otra ecuacin, obteniendo una ecuacin con una sola incgnita (esto en el caso de ser un sistema de ecuaciones con dos incgnitas), si el sistema posee mas de dos incgnitas se va despejando una incgnita diferente por ecuacin y luego se va sustituyendo sucesivamente a fin de que la ecuacin final posea una sola incgnita.Se resuelve la ecuacin resultante, despejando la incgnita existente.El valor obtenido se sustituye en la ecuacin en la que aparece la incgnita despejada.Los valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.

Ejemplo 1:

3x 4y= -62x + 4y= 16Paso N 01: Despejamos una de las incgnitas en una de las dos ecuaciones que conforman el sistema, por lo general tiende a despejarse la incgnita que tenga coeficiente numrico mas bajo, mas sin embargo es una opinin y este criterio no es limitativo.En nuestro caso se decidi despejar de la segunda ecuacin (2x + 4y = 16) la variable x, quedando de la siguiente manera:MTODO DE SUSTITUCINx= (-4y+ 16)/2x= 8- 2yPaso N 02: Sustituimos en la otra ecuacin que conforma el sistema, la variable x por el valor obtenido del paso N 01 (x = 8 2y).

3x 4y = 6 3(8 2y) 4y = 6 24 6y 4y = 6 24 10y = 6

Paso N 03: Resolvemos la ecuacin obtenida a fin de despejar la incgnita.

24 10y = 6 y=(-6 -24)/10 y = 3

Paso N 04: Sustituimos el valor obtenido (Paso N 03) en la variable despejada (Paso N 01).

x = 8 2y; con y = 3 implica que: x = 8 2(3) x = 8 6 x = 2MTODO DE SUSTITUCINPaso N 05: Los valores que constituyen la solucin del sistema son: x=2 y=3.

Comprobando los resultados en una de las ecuaciones que conforman el sistema nos queda;3x 4y = 6 3(2) 4 (3) = 6 6 12 = 6 6 = 6 ok.MTODO DE SUSTITUCINProcedimiento a seguir:

1.- Se despeja la misma incgnita en ambas ecuaciones (en caso de ser un sistema con dos ecuaciones).2.- Se igualan las expresiones, con lo que se obtiene una ecuacin con una incgnita.3.- Se resuelve la ecuacin a fin de conocer la incgnita.4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones que conforman el sistema, en las que apareca despejada la otra incgnita.5.- Los valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el mtodo de IGUALACIN.

3x 4y = -62x + 4y = 16MTODO DE IGUALACINPaso N 01: Despejamos la misma incgnita en ambas ecuaciones, en este caso despejaremos la variable x.

Paso N 02: Se igualan ambas expresiones despejadas (obtenidas en el paso N 01).

Paso N 03: Se resuelve la ecuacin a fin de obtener la incgnita.

MTODO DE IGUALACIN3x 4y= -62x + 4y= 16x =4/3y 2x= 8 2y8 2y = 4/3y 2y = 38 2y = 4/3y 2Multiplicamos la ecuacin por 3 24 6y = 4y 64y + 6y = 24 6Paso N 04: El valor obtenido se sustituye en cual quiera de las ecuaciones despejadas en el paso N 01 a fin de conocer la incgnita restante.

x= 8 2y x= 8 2(3) x = 2

Paso N 05: Los valores que constituyen la solucin del sistema son: x=2 y=3.Comprobando los resultados en una de las ecuaciones que conforman el sistema nos queda;

3x 4y = 6 3(2) 4 (3) = 6 6 12 = 6 6 = 6 ok.MTODO DE IGUALACINCRAMEREl mtodo de Cramer es un teorema del lgebra lineal que da la solucin de un sistema lineal de ecuaciones en trminos de determinantes.

Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:

El nmero de ecuaciones es igual al nmero de incgnitas.

El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer.

e mtodo, conocido tambin como de eliminacin por adicin y sustraccin, consiste en igualar los coeficientes de una misma incgnita en ambas ecuaciones, para restar las mismas y obtener el valor de la primera incgnita; luego utilizar ese valor y determinar el valor de la otra restante.

17CRAMER1 1 -14 -1 5 2 -3 1 -14 -1 5DSe coloca las cantidades que representan cada incgnita: x, y, z.Los valores de las dos primeras lneas se vuelven colocar por debajo del ultimo rengln. Los valores que estn debajo de cada lnea roja se multiplicara y se sumara o restara a los valores de las otras lneas rojas obteniendo un resultado.As mismo se efectuara el paso 3 a las lneas verdes restndoselo al valor rojo.

NOTA: SI DA 0 SIGNIFICA QUE EL SISTEMA TIENE INFINITAS SOLUCIONES O NO TIENE.e mtodo, conocido tambin como de eliminacin por adicin y sustraccin, consiste en igualar los coeficientes de una misma incgnita en ambas ecuaciones, para restar las mismas y obtener el valor de la primera incgnita; luego utilizar ese valor y determinar el valor de la otra restante.

18CRAMER7 1 -14 -1 50 2 -37 1 -14 -1 5Se colocan los valores del resultado en la primera columna.Los valores de y, z en la segunda y tercer columna. Aplicamos la regla de cramer, cruzamos lneas y obtenemos el resultado.e mtodo, conocido tambin como de eliminacin por adicin y sustraccin, consiste en igualar los coeficientes de una misma incgnita en ambas ecuaciones, para restar las mismas y obtener el valor de la primera incgnita; luego utilizar ese valor y determinar el valor de la otra restante.

19CRAMER1 7 -14 4 52 0 -31 7 -14 4 5Se colocan los valores de la primera incgnita en la primer columna, En la siguiente columna los valores del resultado y en la ultima los valores del la ultima incognita.Aplicamos la regla de cramer, cruzamos lneas y obtenemos el resultado.e mtodo, conocido tambin como de eliminacin por adicin y sustraccin, consiste en igualar los coeficientes de una misma incgnita en ambas ecuaciones, para restar las mismas y obtener el valor de la primera incgnita; luego utilizar ese valor y determinar el valor de la otra restante.

20CRAMER1 1 74 -1 42 2 01 1 74 -1 4Se colocan los valores de la primera incgnita en la primer columna. En la siguiente columna los valores de la segunda incognita y en la ultima los valores del resultado.Aplicamos la regla de cramer, cruzamos lneas y obtenemos el resultado.e mtodo, conocido tambin como de eliminacin por adicin y sustraccin, consiste en igualar los coeficientes de una misma incgnita en ambas ecuaciones, para restar las mismas y obtener el valor de la primera incgnita; luego utilizar ese valor y determinar el valor de la otra restante.

21CRAMERAhora bien, los valores de las determinantes vamos a utilizar para encontrar la equivalencia de las incgnitas en el sistema de ecuacin.e mtodo, conocido tambin como de eliminacin por adicin y sustraccin, consiste en igualar los coeficientes de una misma incgnita en ambas ecuaciones, para restar las mismas y obtener el valor de la primera incgnita; luego utilizar ese valor y determinar el valor de la otra restante.

22MTODO DE GAUSSEl mtodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones es, en cierta forma, una generalizacin del tradicional mtodo de reduccin.

Consiste en trabajar directamente con los coeficientes del sistema escritos en un cuadro, es decir, una matriz, de forma que cada fila contiene los coeficientes de las incgnitas y del trmino independiente de cada ecuacin.

Para utilizar el mtodo de Gauss se realizan unas transformaciones en las filas de esa matriz hasta que conseguimos que los elementos por debajo de la diagonal principal sean todos nulos.

MTODO DE GAUSS11162-11531-29F1F2F311160-3-1-731-29F1F2F3F2=> -2F1+F2-2-2-2-122-1150-3-1-711160-3-1-70-2-5-9F1F2F3F3> -2F2+(-3)F3-3-3-3-1831-290-2-5-911160-3-1-70 01313F1F2F30-6-2-14061527001313F3> -3F1+F3MTODO DE GAUSS11160-3-1-70 01313F1F2F3MTODO DE GAUSS-JORDAN.Este mtodo debe su nombre a Carl Friedrich Gauss y a Wilhelm jordan. Se trata de una serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los resultados de un sistema de ecuaciones lineales y as hallar matrices e inversas. El sistema de Gauss se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones y obtener las soluciones por medio de la reduccin del sistema dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las ecuaciones tendr una incgnita menos que la anterior. La matriz que resulta de este proceso lleva el nombre que se conoce como forma escalonada.e mtodo, conocido tambin como de eliminacin por adicin y sustraccin, consiste en igualar los coeficientes de una misma incgnita en ambas ecuaciones, para restar las mismas y obtener el valor de la primera incgnita; luego utilizar ese valor y determinar el valor de la otra restante.

26MTODO DE GAUSS-JORDAN.

Este mtodo, permite resolver hasta 20 ecuaciones simultneas. Lo que lo diferencia del mtodo Gaussiano es que cuando es eliminada una incgnita, se eliminar de todas las ecuaciones restantes, o sea, las que anteceden a la ecuacin principal as como de las que la siguen a continuacin. e mtodo, conocido tambin como de eliminacin por adicin y sustraccin, consiste en igualar los coeficientes de una misma incgnita en ambas ecuaciones, para restar las mismas y obtener el valor de la primera incgnita; luego utilizar ese valor y determinar el valor de la otra restante.

27MTODO DE GAUSS-JORDAN.De esta manera el paso de eliminacin forma una matriz identidad en vez de una matriz triangular. No es necesario entonces utilizar la sustitucin hacia atrs para conseguir la solucin.


28MTODO DE GAUSS-JORDAN.Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el mtodo Gauss Jordan, debemos en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales con la notacin matricial, por ejemplo:


29MTODO DE GAUSS-JORDAN.Luego de realizado lo anterior procederemos a transformar dicha matriz en una matriz identidad, o sea una matriz equivalente a la inicial, de la forma:


30MTODO DE GAUSS-JORDAN.Logramos esto aplicando a las distintas columnas y filas de las matrices, restas, sumas, multiplicaciones y divisiones. Debemos tener en cuenta que las operaciones utilizadas se aplicarn en todos los elementos de la fila.


31MTODO DE GAUSS-JORDAN.En dicha matriz identidad no vemos los trminos independientes. Esto sucede ya que cuando la matriz original alcance la matriz identidad, los trminos sern la solucin del sistema y verificarn la igualdad para cada variable que se correspondern de la forma siguiente:d1 = xd2 = yd3 = z

Ahora teniendo clara esta base, analicemos detalladamente este mtodo con un ejemplo concreto.


32

Metodos Para Resolver Ecuaciones Lineales Completo

Documents

Transcript of Metodos Para Resolver Ecuaciones Lineales Completo