Métodos de solucion de ecuaciones no lineales

Deyser de Jesús Pérez Sarmiento

12 de noviembre de 2010

1. Método de bisección

2. Método de la Falsa posición

3. Método de la secante

4. Método del punto �jo

5. Método Newton-Raphson

6. Ejemplos resueltos

7. Codigo programas

Instituto Tecnológico de Tuxtla GutiérrezMétodos numéricos

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Método de BisecciónEl método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitady seleccionando el subintervalo que tiene la raíz. El método consiste en lo siguiente:

De antemano debemos estar seguros de la continuidad de la funcion F(X) en el [a,b] intervalo. Luegoveri�camos que F(a).F(b)<0. Calculamos el punto medio m del intervalo. A continuación calculamos F(m).En caso de que F(m) sea igual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada. En caso de que no lo sea,veri�camos si F(m) tiene signo opuesto con F(a) o con F(b). Se rede�ne el intervalo[a,b] como [a,m] o [m,b]según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un cambio de signo. Con este nuevo intervalose continúa sucesivamente encerrando la solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar laprecisión deseada. ver Fig 1

Figura 1: Método de bisección

En la primera iteración del algoritmo de bisección, es claro que la raíz p se halla a una distancia menor oigual que

b− a

2

pues con toda seguridad la raíz se encuentra en alguno de los dos intervalos de tamaño

b− a

2

contiguos al punto medio del intervalo [a,b]. En la segunda iteración, el nuevo intervalo mide

b− a

2

y de nuevo la distancia entre el nuevo punto medio py es menor o igual que

b−a2

2=

b− a

4

.

2

Método de la Falsa posiciónComo en el método de bisección, el método parte de un intervalo inicial [a0, b0] (y esto que signi�ca) que contieneal menos una solución de la ecuación F(x) = 0, a la cual se llama raíz de F. Es decir, parte de un intervalo conF (a0)yF (b0) de signos contrarios (véase el teorema de Bolzano). El algoritmo va obteniendo sucesivamente encada paso un intervalo [ak, bk] más pequeño que incluye una raíz de la función f. Para determinar a partir de unintervalo [ak, bk] el siguiente intervalo [ak+1, bk+1], lo que se hace es obtener el punto del interior del intervalodado por la fórmula:

Ck =F (bk)ak − F (ak)bkF (bk)− F (ak)

(a = k)

El punto se obtiene al hallar la intersección de la recta que pasa por los puntos(a, F (ak))y(b, F (bk)) con eleje de abscisas (igual a como se hace en el método de la secante). Una vez hallado este punto, se toma comosiguiente intervalo al intervalo que tiene de extremo al punto obtenido Ck y uno de los extremos del anteriorintervalo de forma que en el nuevo intervalo siga estando una de las raíces de la función F (Es decir, con elvalor de la función en los extremos del nuevo intervalo de signo contrario).

Se puede demostrar que bajo ciertas condiciones el método de la falsa posición tiene orden de convergencialineal, por lo que suele converger más lentamente a la solución de la ecuación que el método de la secante,aunque a diferencia de en el método de la secante el método de la falsa posición siempre converge a una soluciónde la ecuación.

El algoritmo tiene el inconveniente de que si la función es convexa o cóncava cerca de la solución, el extremodel intervalo más alejado de la solución queda �jo varíando únicamente el más cercano, convergiendo muylentamente. Para solucionarlo, se suele utilizar una variante del algoritmo, conocida como método de regulafalsi modi�cado, consistente en el caso de que el intervalo quede �jo por un extremo en ir dividiendo por dos elvalor de la función en dicho extremo hasta que el nuevo intervalo no contenga al extremo que se había quedado�jado.

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Método de la secanteEl Método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa. Donde envez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la de�nición de derivada,se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de laiteración anterior. Este método, a diferencia del de bisección y regla falsa, casi nunca falla ya que solo requierede 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando. Lo que hace básicamente es irtirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va chequeando la intersección deesas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca. ver Fig 2

Figura 2: Método de la secanteUna forma de evitar el cálculo de F'(x) consiste en considerar como aproximación a la derivada la recta quepasa por los valores de 2 iteraciones sucesivas (estima la tangente) es decir, la pendiente de la recta)

F ′(x0) =F (x1)− F (x0)

x1 − x0

Esta variante se conoce con el nombre de método de la Secante. Sustituyendo esta expresión en la ecuacióndel método de Newton, se obtiene la expresión del método de la secante que proporciona el siguiente punto deiteración: ver Fig 3

x2 = x1 −x1 − x0

F (x1)− F (x0)F (x1)

Figura 3: Reprecentación geométrica de las interacciones al aplicar el método de la secante

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La sucección queda expresada en término generales como:

xn = xn−1 −[

xn−1 − xn−2

F (xn−a)− F (xn−2)

]F (xn−1)

A partir de ciertos valores x0 y x1 dados. El algoritmo deberá parar cuando |xn+1 − xn| sea menor que laprecisión requerida. Obviamente, para poder arrancar el método se necesitan dos valores iniciales.

Método del punto �joEl método del punto �jo se aplica para resolver ecuaciones de la forma x=g(x), Si la ecuación es F(x)=0 ,entonces puede despejarse x ó bien sumar x en ambos lados de la ecuación para ponerla en la forma adecuada.Ejemplos:

1. La ecuación cos x- x=0 se pueden transformar en cos x=x.

2. La ecuacion tan x-e−x=0 se puede transformar en x+tan x-e−x=x.

Dada la aproximación xxi, la siguiente iteración se calcula con la fórmula: xi+1 = g(xi)Supongamos que la raíz verdadera xr es xr = g(xr) es decir, Restando las últimas ecuaciones obtenemos:xr − xi+1 = g(xr)− g(xi)Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que si g(x) es contínua en [a,b] y diferenciable en (a,b)entonces existe β tal que

g′(β) =g(b)− g(a)

a− b

En nuestro caso, existe β en le intervalo determinado por xi y xr tal que :

g′(β) =g(xr)− g(xi)

xr − xi

De aquí tenemos que : g(xr) − g(xi) = g′(β) ∗ (xr − xi) O bien, xr − xi+1 = g′(β) ∗ (xr − xi) Tomando valorabsoluto en ambos lados, |xr − xi+1| = |g′(β)| ∗ |xr − xi| Observe que el termino |xr − xi+1| es precisamente elerror absoluto en la (i+1)- ésima iteracción, mientras que el termino|xr − xi| corresponde al error absoluto enla i- ésima interación.

En resumen, el metodo de interacción del punto �jo converge a la raiz si |g′(x)| < 1 para x en un in-tervali [a,b] que contiene a la raiz y donde g(x) es continua y diferenciable, pero diverge si |g′(x)| > 1 en dichointervalo.

Método de Newton-RaphsonEl metodo de Newton-Raphson, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. Adiferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basasu fórmula en un proceso iterativo.

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Supongamos que tenemos la aproximación xi a la raíz xr de F(x)

Figura 4: Reprecentación geométrica del método de Newton-RaphsonTrazamos la recta tangente a la curva en el punto (xi, F (xi)); ésta cruza al eje x en un punto xi+1 queserá nuestra siguiente aproximación a la raíz xr. Para calcular el punto xi+1, calculamos primero la ecuaciónde la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente m = F ′(xi) Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

y − F (xi) = F ′(xi)(x− xi)

Hacemos : y=0

Y despejamos : x

x = xi −F (xi)

F ′(xi)

Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:

xi+1 = xi −F (xi)

F ′(xi), si F ′(xi)! = 0

Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos laraíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existenejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, enlos casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodospreferidos por excelencia.

También observe que en el caso de que F'(x)=0, el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geo-métricamente que esto signi�ca que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje x enningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso xi mismo es una raíz de F(x).

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EjemplosEncontrar la raiz de F (x) = 3x2 − 1 Con un error de 0.1 Tomando en cuenta x(0)=1 , x(1)=3

Figura 5: Método de Bisección

Figura 6: Método de la Secante

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Figura 7: Método de Newton-Raphson

Ejemplos 2Encontrar la raiz de F (x) = x10 − 1 Con un error de 0.01 Tomando en cuenta x(0)=0 , x(1)=1.3

Figura 8: Método de Bisección

Figura 9: Método de Punto �jo

Figura 10: Método de la Secante

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Ejemplos 3Encontrar la raiz de F (x) = 3x3 + 2x− 11 Con un error de 0.01 Tomando en cuenta x(0)=0 , x(1)=3

Figura 11: Método de Bisección

Figura 12: Método de la secante

Figura 13: Método de Newton-Raphson

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Ejemplos 4Encontrar la raiz de F (x) = e−x − In x Con un error de 1 Tomando en cuenta x(0)=1 , x(1)=1.5

Figura 14: Método de Bisección

Figura 15: Método de Punto �jo

Figura 16: Método de la Secante

Ejemplos 5Encontrar la raiz de F (x) = x3 − 7x2 + 14x− 6 Con un error de 0.1 Tomando en cuenta x(0)=1 , x(1)=3.2

Figura 17: Método de Bisección

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Figura 18: Método de la Secante

Figura 19: Método de Newton-Raphson

Ejemplos 6Encontrar la raiz de F (x) = e−x − 4x3 − 5 x Con un error de 1 Tomando en cuenta x(0)=0.1 , x(1)=2

Figura 20: Método de Bisección

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Figura 21: Método de Punto �jo

Figura 22: Método de la Secante

Ejemplos 7Encontrar la raiz de F (x) = sin(x)− x2 Con un error de 2 Tomando en cuenta x(0)=0.5 , x(1)=1

Figura 23: Método de Bisección

Figura 24: Método de la Secante

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Figura 25: Método de Newton-Raphson

Ejemplos 8

Encontrar la raiz de F (x) = cos(x)2 Con un error de 0.1 Tomando en cuenta x(0)=0.5 , x(1)=1

Figura 26: Método de Bisección

Figura 27: Método de Punto �jo

Figura 28: Método de la Secante

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Ejemplos 9 - 10 Método de la Falsa posición

Encontrar la raiz de F (x) = 3x2 − 1 Con un error de 0.1 Tomando en cuenta x(0)=1 , x(1)=3

Figura 29: Método de la Falsa posiciónEncontrar la raiz de F (x) = x10 − 1 Con un error de 0.1 Tomando en cuenta x(0)=0 , x(1)=1.2

Figura 30: Método de la Falsa posiciónEncontrar la raiz de F (x) = 3x3 + 2x− 11 Con un error de 0.01 Tomando en cuenta x(0)=0 , x(1)=3

Figura 31: Método de la Falsa posición

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Encontrar la raiz de F (x) = e−x − In x Con un error de 0.01 Tomando en cuenta x(0)=0.1 , x(1)=2

Figura 32: Método de BisecciónEncontrar la raiz de F (x) = x3 − 7x2 + 14x− 6 Con un error de 0.1 Tomando en cuenta x(0)=1 , x(1)=3.2

Figura 33: Método de BisecciónEncontrar la raiz de F (x) = e−x − 4x3 − 5 x Con un error de 1 Tomando en cuenta x(0)=0.1 , x(1)=2

Figura 34: Método de Bisección

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Método de la Falsa posición

Figura 35: Método de la Falsa posición

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Método de Bisección

Figura 36: Método de Bisección

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Método de la Secante

Figura 37: Método de la Secante

Método del Punto �jo

Figura 38: Método del punto �jo

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Método de Newton-Raphson

Figura 39: Método de Newton-Raphson

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