sistemas de ecuaciones algebraicas lineales metodos iterativos

7/26/2019 sistemas de ecuaciones algebraicas lineales metodos iterativos

1/129

CATEDRA 0

8

METODOSNUMERICOS

Ingeniera Civil

ING. CRISTIAN CASTRO P.

Facultad de Ingeniera de Minas, Geologa y CivilDepartamento acadmico de ingeniera de minas y civil

1


2/129

apitulo VI

Sistema de Ecuaciones

Algebraicas Lineales

Mtodos Iterativos

ING. CRISTIAN CASTRO P.2


3/129

3

IntroduccinIntroduccin

MTODO ESTABILIDAD PRECISINRANGO DE

APLICACINCOMPLEJIDAD DE

LA PROGRAMACIN COMENTARIOS

GRFICO --- Pobre Limitado ---

Puede tomar mstiempo que el mtodo

numrico

Regla de Cramer ---Afectado por errores

de redondeo Limitado ---

Escesiva complejidadde clculo para msde tres ecuaciones

Eliminacin de Gauss(con pivoteo paracial) ---

Afectado por erroresde redondeo General Moderada

Descomposicin LU ---Afectado por errores

de redondeo General Moderada

Mtodo de eliminacin

preferido; permite elclculo de la matriz

inversa

Gauss_Seidel

Puede no converger sino es diagonalmente

dominante EXCELENTE

Apropiado solo parasistemas

diagonalmentedominantes FCIL

TABLA No. 1: Comparacin de las caractersticas de diversos mtodos alternativos para encontrar soluciones de ecuaciones algebraicaslineales simultneas

MTODOS ITERATIVOS DE SOLUCIN


4/129

4

Comparacin de Mtodos Directos e Iterativos apartir de la cantidad de operaciones matemticas



5/129

5


Debemos resaltar que lo mtodos vistos hasta laactualidad para solucionar sistemas de ecuaciones

algebraicas lineales son muy caros

computacionalmente.

Estos mtodos exigen una memoria de mquinaproporcional al cuadrado del orden de la matriz decoeficiente A.

De igual manera se producen grandes errores deredondeo como consecuencia del nmero de

operaciones.


6/129

6


Debemos mencionar que en estos mtodos necesitantener una aproximacin inicial de la solucin y no

esperamos tener una solucin exacta aun cuando

todas las operaciones se realicen utilizando una

aritmtica exacta.

Pero podemos decir que en muchos casos son mas

efectivos que los mtodos directos por requerir mucho

menos esfuerzo computacional y sus errores se

reducen, esto es cierta cuando la matriz es dispersaes decir cuando la matriz tienen un alto porcentaje de

elementos nulos


7/129

7

AplicacionesAplicaciones Rara vez para resolver sistemas lineales de dimensin

pequea.

Tiempo requerido mayor para lograr la precisin

Los mtodos directos son suficientemente exactos.

Utilidad para la resolucin de los sistemas de ecuacionesdiferenciales en aplicaciones de:

Todas las ramas de ingeniera

Ciencias sociales

Economa

Estos mtodos son tiles en la prediccin del clima,

anlisis matricial de estructuras, donde el volumen devariables amerita el uso de extensas matrices.



8/129

Estos mtodos en mencin son ms efectivos que losvistos anteriormente y han permitido solucionar

sistemas de hasta 1000 ecuaciones y variables a unms, sistemas que se presentan en la solucin numrica

de ecuaciones diferenciales parciales (EDP).

Supongamos que tenemos el sistema

Ax= b (1)

Luego podemos escribir como:

Ax b = 0 (2)

Que es una ecuacin vectorial que se puede escribir as:

f(x) = 0 (3)

8



9/129

El propsito es buscar una matriz B y su vector C de tal

forma que la ecuacin vectorial es la siguiente:

x= B x+ C (4)

Sea un arreglo de la ecuacin (1) ie que la solucin de

una ecuacin sea tambin solucin de la otra ecuacin,luego se propone lo siguiente:

Primero: Proponer un vector inicial x(0) como la primera

aproximacin al vector solucin x

Segundo: calcular la sucesin de vectores que son

soluciones aproximadas

9


solucinvectorxxxxx ,.....,,,, )4()3()2()1(


10/129

Usando:

Donde:

10


,.....2,1,0,)()1( RCBxx RR

TRnRRR xxxx ,......,, 21)(


11/129

Observacin:

1. Para que la sucesin de soluciones converja a x

vector solucin es necesario que seaproxime al vector decir

sean menores que un valor pequeo fijado

previamente y que se mantengan menores para

todos los vectores siguientes de la iteracin.

Es decir:

2. La forma como llegar a la ecuacin x = B x + C se

define al algoritmo y su convergencia.

11


njxm

j 1,njx j 1, njxx j

m

j 1,

njxx jm

jm

1,lim


12/129

. Sea dada el sistema

Con a11 0, a22 0, a33 0

De tenemos que:

(5)

12


3

2

1

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

1

3

11

132

11

12

11

11 xa

ax

a

a

a

bx

2

33

32

1

33

31

33

3

3

3

22

23

1

22

21

22

2

2

xa

ax

a

a

a

bx

xa

ax

a

a

a

bx


13/129

(6)

13


CBxx

a

ba

b

a

b

x

x

x

a

a

a

aa

a

a

a

a

a

a

a

x

x

x

33

3

22

2

11

1

3

2

1

33

32

33

31

22

23

22

21

11

13

11

12

3

2

1

0

0

0


14/129

Una vez que es determinada la ecuacin (6) se

propone un vector inicial x(0) que puede ser x(0) = 0

cero o algn otro vector que sea aproximado alvector solucin x.

Para determinar la sucesin buscada de solucin

iterativo tenemos los siguientes mtodos numricos:

Mtodo de Jacobi (Desplazamiento simultaneo)

Mtodo de Gauss Seidel (Desplazamiento sucesivo)

Mtodo de Sobrerelajacin (Succesive-Over-Relaxations)

14



15/129

15

Convergencia Este criterio tambin se aplica a las ecuaciones lineales que se

resuelven con el mtodo de Gauss-Seidel. Por tanto, al aplicar este

criterio sobre las ecuaciones de Gauss-Seidel y evaluando conrespecto a cada una de las incgnitas, obtenemos la expresin

siguiente:

En otras palabras, el valor absoluto de las pendientes en laecuacin, deben ser menor que la unidad para asegurar la

convergencia.

Esto es, el elemento diagonal debe ser mayor que el elemento fuerade la diagonal para cada regln de ecuaciones. La generalizacin del

criterio anterior para un sistema de n ecuaciones es:

122

21 a

a1

11

12 a

a

2122 aa 1211 aa

n

jiii aa1

,



16/129

16

Convergencia

Resultado de las iteracionesutilizando las ecuaciones sinordenar

Divergencia Seidel

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

-20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70

X1

X2

Divergencia Jacobi

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

-60 -40 -20 0 20 40 60 80

X1

X2

X1 X2

0.00 0.00

26.00 0.00

26.00 20.78

1.44 20.78

1.44 -9.23

36.91 -9.23

36.91 34.12

-14.32 34.12

-14.32 -28.50

59.68 -28.50

59.68 61.95

-47.21 61.95

-47.21 -68.70107.19 -68.70

107.19 120.01

-115.83 120.01

-115.83 -152.57

Divergencia Seidel

X1 X2

0.00 0.0026.00 -11.00

39.00 20.78

1.44 36.67

-17.33 -9.23

36.91 -32.19

64.04 34.12

-14.32 67.27

-53.50 -28.5059.68 -76.39

Divergencia Jacobi

99911:

2861311:

21

21

xxv

xxu



17/129

17

Convergencia Resultado de las iteraciones

utilizando previamente el criterio

de diagonal dominante

Convergencia Seidel

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 5 10 15 20 25X1

X2

Convergencia Jacobi

-5

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25 30

X1

X2

X1 X2

0.00 0.00

9.00 0.00

9.00 14.38

20.77 14.38

20.77 4.43

12.62 4.43

12.62 11.32

18.26 11.32

18.26 6.5514.36 6.55

14.36 9.85

17.06 9.85

17.06 7.56

15.19 7.56

15.19 9.15

16.48 9.15

16.48 8.0515.59 8.05

15.59 8.81

Convergencia Seidel

X1 X20.00 0.009.00 22.0027.00 14.3820.77 -0.858.31 4.4312.62 14.9721.25 11.3218.26 4.0212.29 6.5514.36 11.6018.49 9.8517.06 6.3514.20 7.5615.19 9.9917.17 9.15

16.48 7.4715.11 8.05

Convergencia Jacobi

2861311:

99911:

21

21

xxu

xxv



18/129

18

Mtodos

Iterativos

Mtodos

IterativosJacobi, Gauss Seidel, Relajacin


19/129

19

Mtodo de Jacobi


20/129

MTODO DE DESPLAZAMIENTO SIMULTNEO DEJACOBI

Si es el vector de aproximacin a la

solucin x despus de R iteraciones, entonces,

tendremos la siguiente aproximacin

20


R

R

R

R

x

xx

x

3

2

1

)(

)(1

)(1

)(1

2321313

33

3231212

22

3132121

11

1

3

1

2

1

11

RR

RR

RR

R

R

R

R

xaxab

a

xaxaba

xaxaba

x

x

x

x


21/129

Fenmeno que se puede generalizar para necuaciones

21


nixabax

n

ijj

R

jjii

ii

R

i ,.....,2,1,

1

1

1


22/129

22

Mtodo de Jacobi Este mtodo se puede ilustrar usando las siguientes ecuaciones:

(1)

1313212111 bxaxaxa

2323222121 bxaxaxa

3333232131 bxaxaxa



23/129

23

Mtodo de Jacobi

El mtodo comienza resolviendo la ec. 1 parax1

, x2

y x3

e

introduciendo el ndice k que se utilizara para indicar el nmero de

iteraciones, se obtiene:

(2)

11

)(

313

)(

2121)1(

1

a

xaxabx

kkk

22

)(

323

)(

1212)1(

2a

xaxabx

kkk

33

)(

232

)(

1313)1(

3a

xaxabx

kkk



24/129

24

Mtodo de Jacobi Adems se requiere de un vector inicial

xi= (x

1

(k), x2

(k), x3

(k))

el cual representa la primera aproximacin de la solucin del

sistema, con lo que se produce x k+1.

Este vector si no se conoce se puede asumir como:

x0= (0 (0), 0 (0), 0 (0))

Con estos valores y las frmulas de las ecuaciones (2) se vancalculando los nuevos valores de xi

El proceso se continua hasta que | xi+1 xi| ea.



25/129

25

Mtodo de JacobiEjemplo 1:

Resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones por el Mtodo de

Jacobi, para un a= 5% :

17 X1 2 X2 3 X3= 500

-5 X1 + 21 X2 2 X3= 200

-5 X1 5 X2+ 22 X3= 30

Las siguientes frmulas las utilizamos para encontrar

X1, X2y X3en cada una de las iteraciones

11

31321211

a

xaxabx

22

3231212

2a

xaxabx

33

23213133

axaxabx



26/129

26

Para la primera iteracin el valor de X1, X2y X3a sustituir en cadauna se asumir como cero.

Aplicando (2) se obtiene:

41176,29

170302500

1

1

11

31321211

x

x

a

xaxabx

41176,29

170302500

1

1

11

31321211

x

x

a

xaxabx

52381,9

210205200

2

2

22

32312122

x

x

a

xaxabx

52381,9

210205200

2

2

22

32312122

x

x

a

xaxabx

36364,1

22

050530

3

3

33

23213133

x

x

axaxabx

36364,1

22

050530

3

3

33

23213133

x

x

axaxabx

Mtodo de Jacobi



27/129

27

Mtodo de Jacobi Para la segunda iteracin el valor de X1, X2y X3 sern los calculados

anteriormente.

Aplicando (2) se obtiene:

77285,30

17

36364,1352381,92500

1

1

11

31321211

x

x

a

xaxabx

77285,30

17

36364,1352381,92500

1

1

11

31321211

x

x

a

xaxabx

65648,16

2136364,1241176,295200

2

2

22

32312122

x

x

a

xaxabx

65648,16

2136364,1241176,295200

2

2

22

32312122

x

x

a

xaxabx

21263,10

22

52381,9541176,29530

3

3

33

2321313

3

x

x

a

xaxabx

21263,10

22

52381,9541176,29530

3

3

33

2321313

3

x

x

a

xaxabx



28/129

28

Mtodo de Jacobi Una vez obtenidos estos resultados se debe calcular el error

aproximado porcentual para cada uno de los resultados, para ello

utilizamos la siguiente frmula:

Dado que no se cumple con el a se debe continuar iterando.

%100

nuevo

r

anterior

r

nuevo

ra

x

xx

%5%423,4

%10077285,30

41176,2977285,30

1

1

ax

ax

%5%423,4

%10077285,30

41176,2977285,30

1

1

ax

ax

%5%822,42

%10065648,16

52381,965648,16

2

2

ax

ax

%5%822,42

%10065648,16

52381,965648,16

2

2

ax

ax

%5%648,86

%10021263,10

36364,121263,10

3

3

ax

ax

%5%648,86

%10021263,10

36364,121263,10

3

3

ax

ax



29/129

29

Mtodo de Jacobi Siguiendo el mismo procedimiento, se obtiene el siguiente cuadro de

resultados:

Se resaltan los datos donde los errores obtenidos son menores que 5%, se

logra un error aproximado porcentual menor en las tres incgnitas hasta

la quinta iteracin.

Iteracin x

x

x

3

a

x

a

x

a

x

3

0 0,00000 0,00000 0,00000

1 29,41176 9,52381 1,36364

2 30,77285 16,65648 10,21263 4,423% 42,822% 86,648%

3 33,17358 17,82331 12,14303 7,237% 6,547% 15,897%

4 33,65151 18,57876 12,95384 1,420% 4,066% 6,259%

5 33,88347 18,76977 13,23415 0,685% 1,018% 2,118%



30/129

30

Mtodo de Jacobi Si sustituimos estos valores en las ecuaciones originales para verificar los

resultados se obtiene:

17 *(33,88347) 2 *(18,76977) 3 *(13,23415) = 498,77703

-5 *(33,88347) + 21 *(18,76977) 2 *(13,23415) = 198,27957

-5 *(33,88347) 5 *(18,76977) + 22 *(13,23415) = 27,88513

Al calcular los porcentajes de error de estos resultados se obtiene:

0,88%%10030

27,88513-30Error

0,10%%100200

198,27957-200Error

0,03%%100500

498,77703-500Error

EC3

EC2

EC1

0,88%%10030

27,88513-30Error

0,10%%100200

198,27957-200Error

0,03%%100500

498,77703-500Error

EC3

EC2

EC1



31/129

Ejemplo:

Solucin:

31


1400

140104

1004

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxxxxxx

xxxx

CxBx

xx

x

x

xx

x

x

xx

xxx

xxx

xx

4/14/1

4/1

4/1

04/1004/104/10

04/104/1

004/10

44

1444

1

444

14

1

4

4

3

2

1

4

3

2

1

3

4

423

31

2

2

1


32/129

Valor Inicial

Cuando no tenemos una aproximacin inicial del vector

solucin, se usa como vector inicial el vector cero, ie

Mtodo de Jacobi

Para determinar x(1) reemplazamos x(0) en el sistema dado

ie

32


T

x 0,0,0,00


33/129

Para determinar x(1) reemplazamos x(0) en el sistema dado

ie

33


T

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

4

1,

4

1,

4

1,

4

1

4

14

141

4

1

4

0

4

1 4

0

4

0

4

141

40

40

4

1

4

)1(

4

3

2

1

1

4

1

3

1

2

21

1


34/129

Determinandox(2)

34


T

x

xx

xx

xx

xxx

16

5,

16

5,

16

5,

16

5

16

5

6

5

4

1

4

114

1

16

6

4

6

4

1

4

1

4

111

4

1

166

46

41

411

4141

41

16

5

4

11

4

101

4

1

)2(

3

4

2

4

3

3

2

3

32

22

3

1

2

2

2

1


35/129

35


R

0 0.0000 0.0000 0.0000 0.00001 0.2500 0.2500 0.2500 0.2500

2 0.3125 0.3750 0.3750 0.3125

3 0.3438 0.4219

4 0.3555 0.4414

5 0.3604 0.4492

6 0.3223 0.4524

7 0.3631 0.4537

8 0.3634 0.4542

9 0.3635 0.4544

10 0.3636 0.4545 0.4545 0.3636

Rx1Rx 2

Rx3Rx4


36/129

36

Mtodo Gauss-Seidel



37/129

MTODO GAUSS SEIDEL DESPLAZAMIENTO SUCESIVO

Este mtodo se diferencia del anterior en que los valores

que se van calculando en la (R + 1) sima iteracin seusan para calcular los valores restantes de esa misma

interaccin.

37


nixaxaba

x

xaxaba

xaxaba

xaxaba

x

x

x

x

i

ijj

R

ji

Rn

Iiij

jii

ii

R

i

RR

RR

RR

R

R

R

R

1,1

)(

1

)(1

)(1

1

1

1

1

1

1

232

1

131333

323

1

1212

22

3122121

11

1

3

1

2

1

1

1



38/129

38

Este mtodo en general converge mas rpidamente que el mtodo deJacobi.

Supone que una mejor aproximacin a la solucin, se obtienesustituyendo los valores parciales calculados, en lugar de asumir una

aproximacin inicial.

Utilizando las ecuaciones de (1):

1313212111 bxaxaxa

2323222121 bxaxaxa

3333232131 bxaxaxa

Mtodo de Gauss-Seidel




39/129

39

Y despejando para x1, x2 y x3y adicionando los valores ya obtenidos,esta se puede expresar como:

El valor de x1se calcula con los valores asumidos de x2y x3.

Posteriormente el valor de x1 obtenido y x3 asumido, se usan para

calcular x2. Y finalmente el nuevo valor de x3 sale de los valores

calculados x1 y x2.

33

)1(232

)1(1313)1(

3a

xaxabx

kkk

33

)1(232

)1(1313)1(

3a

xaxabx

kkk

22

)(323

)1(1212)1(

2a

xaxabx

kkk

22

)(323

)1(1212)1(

2a

xaxabx

kkk

11

)(

313

)(

2121)1(

1a

xaxabx

kkk

11

)(

313

)(

2121)1(

1a

xaxabx

kkk





40/129

40

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones por el

Mtodo de Gauss Seidel, para un a= 5% :17 X1 2 X2 3 X3= 500

-5 X1 + 21 X2 2 X3= 200

-5 X1 5 X2+ 22 X3= 30

Las siguientes frmulas las utilizamos para encontrar

X1, X2y X3en cada una de las iteraciones

11

31321211

axaxabx

11

31321211

axaxabx

22

32312122

axaxabx

22

32312122

axaxabx

33

23213133

a

xaxabx

33

23213133

a

xaxabx




41/129

41

El valor de x1se calcula con los valores asumidos de x2y x3 que en principioes cero. Posteriormente el valor de x1obtenido y x3asumido (0), se usan

para calcular x2. Y finalmente el nuevo valor de x3 sale de los valorescalculados x1 y x2.

41176,29

17

0302500

1

1

11

31321211

x

x

a

xaxabx

41176,29

17

0302500

1

1

11

31321211

x

x

a

xaxabx

52661,16

21

0241176,295200

2

2

22

32312122

x

x

a

xaxabx

52661,16

21

0241176,295200

2

2

22

32312122

x

x

a

xaxabx

80418,11

22

52661,16541176,29530

3

3

33

23213133

x

x

a

xaxabx

80418,11

22

52661,16541176,29530

3

3

33

23213133

x

x

a

xaxabx





42/129

42

Para la segunda iteracin, en el clculo de X1el valor de X2y X3sern loscalculados anteriormente. Entonces para X1:

Para X2se utiliza el valor de X3de la primera iteracin y el de X1de lasegunda iteracin:

43916,33

17

80418,11352661,162500

1

1

11

31321211

x

x

a

xaxabx

43916,33

17

80418,11352661,162500

1

1

11

31321211

x

x

a

xaxabx

60972,18

21

80418,11243916,335200

2

2

22

32312122

x

x

axaxabx

60972,18

21

80418,11243916,335200

2

2

22

32312122

x

x

axaxabx





43/129

43

Una vez obtenidos estos resultados,se debe calcular el error aproximado

porcentual para cada uno de los

resultados, con la frmula:

19293,13

22

60972,18543916,33530

3

3

33

23213133

x

x

axaxabx

19293,13

22

60972,18543916,33530

3

3

33

23213133

x

x

axaxabx

%100

nuevor

anterior

r

nuevo

ra

xxx %100

nuevo

r

anterior

r

nuevo

ra

xxx

Para X3 se utiliza el valor de X1 y X2 calculados en la segunda iteracin:





44/129

44

Una vez aplicado el clculo de error se determina que los valores sonsuperiores a la premisa inicial (

a = 5%), determinndose que se

deben continuar las iteraciones hasta que se cumpla el criterio.

Se resaltan los datos donde los errores obtenidos son menores que5%, se logra un error aproximado porcentual menor en las tresincgnitas en la tercera iteracin

Iteracin x1 x2 x3 ax1 ax2 ax3

0 0,00000

1 29,41176 16,52661 11,80418

2 33,43916 18,60972 13,19293 12,044% 11,194% 10,526%

3 33,92931 18,85869 13,36091 1,445% 1,320% 1,257%





45/129

45

Si sustituimos estos valores en las ecuaciones originales para verificar losresultados se obtiene:

17 *(33,92931) 2 *(18,85869) 3 *(13,36091) = 498,99813

-5 *(33,92931) + 21*(18,85869) 2 *(13,36091) = 199,66404

-5 *(33,92931) 5 *(18,85869) +22 *(13,36091) = 30,00000


Los resultados obtenidos son una aproximacin muy buena de los valoresverdaderos.

0,00%%10030

30-30Error

0,17%%100200

199,66404-200Error

0,20%%100500

498,99813-500Error

EC3

EC2

EC1

0,00%%10030

30-30Error

0,17%%100200

199,66404-200Error

0,20%%100500

498,99813-500Error

EC3

EC2

EC1





46/129

Mtodo de Gauss Seidel

46


1

332

1

1313

33

4

12

323

1

121222

414313121

11

1

4

13

1

2

1

1

1

1

1

1

RR

RR

RRR

R

R

R

R

R

xaxaba

xxaxaba

xaxaxaba

x

x

x

x

x



47/129

Determinacin del

47


134312421141444

)1( 1 RRR xaxaxaba

x

256

89,

64

25,

12

5,

4

1

256

89)14/25001(

4

1 64

25))16/5(1)4/1(11(

4

116

5))0(1)4/1(11(

4

1 4

1)0)0(1(

4

1

1

1

4

1

4

1

3

1

3

1

2

1

2

1

1

1

1

x

xx

xx

xx

xx



48/129

Observacin:

La sucesin de vectores converge o sealeja del vector solucin

Cuando se detendr el proceso iterativo

Rpta: Si la sucesin converge a la solucin x casoesperado que los componentes de x(R) converjan a suselementos

48


,....,....,,, )()3()2()1( Rxxxx

Tnxxxxx ,.....,,, 321



49/129

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema con el mtodo de Gauss

Seidel con E = 10-2 aplicando a |xK+1 xK|

49


32

2

15489

10253

4321

42

4321

4321

xxxx

xx

xxxx

xxxx



50/129

Resolviendo: x1de (1) x2 de (2) x3de (4) y x4 de (3)

50

M TO OS IT RATIVOS SO UCIN

2

322

915

9

4

9

8

9

10253

24

43213

4312

4321

xx

xxxxx

xxxx

xxxx



51/129

Six0 = (0, 0, 0, 0)T : determinamos:

51

05.143971.1680.11082.1701.6313

0.15917.202.121172.189889.672

62.177778.0222.147778.20000.101

000000

|| 14321

KKKKKK xxxxxxK



52/129

El proceso diverge: Luego podemos arreglar las ecuaciones

para despejar los diferentes x y, que despejadas

sean distintas, para aplicar el teorema se debe tener soloen cuenta una aproximacin pues caso contrario son raros

en donde se encontrara tales sistemas

52

2

5

10

5

2

5

3

5

9

15

9

4

9

8

9

23

222

24

421

3

431

2

4321

xx

xxxx

xxxx

xxxx

n

K

n

K

K

xx

xx

xx

22

11

Caso contrario se

alejan



53/129

Los valores absolutos

que sean todos menores de nmeropequeo Ecuyo valor ser dado

Si el nmero de iteraciones ha excedido unmximo dado

Detener el proceso una vez que

53

||,......|,||,| 121

21

1

1

K

n

K

n

KKKK xxxxxx

Exx KK || 1



54/129

Cmo asegurar la convergencia si existe?

El proceso de Jacobi y Gauss Seidel convergern si en la

matriz de coeficiente cada elemento de la diagonalprincipal es mayor que la suma de los valores absolutos

de todos los dems elementos de la misma fila o

columna (matriz diagonal dominante)

54

njaa

y

niaa

jii

ijii

n

jjj

ijii

1||

1||||

1

1


55/129

55

Mtodos de Relajacin

Mtodo de SOR


56/129

MTODO DE RELAJACIN DE SOR

Este mtodo es muy similar al mtodo de Jacobi y Gauss-Seidel se

diferencia por usar una escala para reducir el error de aproximacin,

es una metodologa mas reciente, para determinar X(k) lo realiza con

el modelo:

0bsevemos que cuanto w=1, tenemos de Gauss-Seidel, cuanto

0


57/129

Cuando 1


58/129

Ejemplo

La solucin del sistema dado es (3,4,-5)t , usaremos w=1.25 para el

mtodo de SOR con un valor inicial de (1,1,1)t, para k=1

Tenemos

58

Mtodo de SOR


59/129

Cuadro en 7 iteraciones

59

k 0 1 2 3 4 5 6 7

1 6.312500 2.6223145 3.133027 2.9570512 3.0037211 2.9963276 3.00004

1 3.5195313 3.9585266 4.0102646 4.0074838 4.0029250 4.0009262 4.00026

1 -6.6501465 -4.6004238 -5.0966863 -4.9734897 -5.0057135 -4.998282 -5.0004



60/129

60

Mtodo Gauss-Seidel con relajacin

El mtodo de Gauss-Seidel con Relajacin es muy similar a al mtodo de

Gauss-Seidel, la diferencia es que usa un factor de escala para reducir elerror de aproximacin.

Este mtodo obtiene un nuevo valor estimado haciendo una ponderacinentre el valor previo y el calculado utilizando un factor de ponderacin

0 2

)( )1()()1()(

k

i

k

i

k

i

k

i xxxx )( )1()()1()(

k

i

k

i

k

i

k

i xxxx

anteriori

nuevoi

nuevoi xxx )1(

anteriori

nuevoi

nuevoi xxx )1(



61/129

61

Mtodo Gauss-Seidel con relajacin = 1

El resultado no se modifica

Se convierte en la ecuacin de Gauss-Siedel

< 1

Se conoce como subrelajacin Para hacer que un sistema no convergente converja o apresure la

convergencia al amortiguar las oscilaciones.

> 1

Se conoce como sobrerelajacin

Se usa cuando la convergencia va en la direccin correcta hacia la solucinverdadera, pero con una velocidad demasiado lenta. Para llevarla ms cerca

de la verdadera.

La eleccin dees emprica, se utiliza para la solucin de un sistema que se deberesolver de manera repetitiva.



62/129

62

Mtodo Gauss-Seidel con relajacin Y despejando para x1 , x2y x3, y adicionando los valores ya obtenidos,

esta se puede expresar como:

El valor de x1se calcula con los valores asumidos de x2y x3.

Posteriormente el valor de x1 obtenido y x3 asumido, se usan para

calcular x2. Y finalmente el nuevo valor de x3 sale de los valores

calculados x1 y x2.

33

)1(232

)1(1313)1(

3a

xaxabx

kkk

33

)1(232

)1(1313)1(

3a

xaxabx

kkk

22

)(323

)1(1212)1(

2a

xaxabx

kkk

22

)(323

)1(1212)1(

2a

xaxabx

kkk

11

)(

313

)(

2121)1(

1a

xaxabx

kkk

11

)(

313

)(

2121)1(

1a

xaxabx

kkk



63/129

63

Mtodo Gauss-Seidel con relajacinEjemplo 3:

Emplee el mtodo de Gauss-Seidel con relajacin para resolver(=0.90 y

a= 5%):

-5 X1 + 12 X3 = 80

4 X1 1 X2 1 X3 = - 2

6 X1 + 8 X2 = 45

Si es necesario reordene las ecuaciones para que el sistema

converja.

45

2

80

86

114

125

3

2

1

x

x

x



64/129

64


Verificando el criterio de convergencia:

Para un sistema de 3 x 3 obtenemos:

n

ij

jjiii aa

1,,

323133

232122

131211

aaa

aaa

aaa



65/129

65


Esto quiere decir que el elemento diagonal debe ser mayor al elemento

fuera de la diagonal para cada fila. Por tanto reorganizamos el sistemade la siguiente forma:

Por lo tanto se puede asegurar la convergencia con este arreglo.

8045

2

12586

114

3

2

1

xx

x

51268

114



66/129

66


Para calcular el primer valor de X1, se

asumirn X2 y X3 con valores cero.Entonces para X1,

Para calcular el valor de X2, se utilizarsolamente el valor encontrado de X1, dado

que a23es cero.

Para calcular el valor de X3, se utilizar

solamente el valor encontrado de X1, dado

que a32es cero.

50000,04

01012

1

1

11

31321211

x

x

a

xaxabx

50000,04

01012

1

1

11

31321211

x

x

a

xaxabx

00000,6

8

)50000,0(645

2

2

22

32312122

x

x

a

xaxabx

00000,6

8

)50000,0(645

2

2

22

32312122

x

x

a

xaxabx

45833,6

12

)50000,0(580

3

3

33

23213133

x

x

a

xaxabx

45833,6

12

)50000,0(580

3

3

33

23213133

x

x

a

xaxabx



67/129

67

Mtodo Gauss-Seidel con relajacin Segunda iteracin:

61458,2

445833,610000,612

1

1

11

31321211

x

x

a

xaxabx

30313,2)50000,0()9,01(61458,29,0

)1(

1

1

111

nuevo

nuevo

anteriornuevonuevo

xx

xxx

89766,3

8

)30313,2(645

2

2

22

3231212

2

x

x

a

xaxabx

10789,4

)00000,6()9,01(89766,39,0

2

2

nuevo

nuevo

x

x

62630,7

12

)30313,2(580

3

3

33

23213133

x

x

a

xaxabx

50951,7

)45833,6()9,01(62630,79,0

3

3

nuevo

nuevo

x

x



68/129

68


Se debe realizar el clculo de los errores y se debe continuar iterandohasta que se cumpla la premisa inicial (

a

= 5%).

Se resaltan los datos donde los errores obtenidos son menores que5%, se logra un error aproximado porcentual menor en las tres

incgnitas en la cuarta iteracin


0 0,00000 0,00000 0,00000

1 -0,50000 6,00000 6,458332 2,30313 4,10789 7,50951 121,71% 46,06% 14,00%

3 2,39423 3,85719 7,64879 3,81% 6,50% 1,82%

4 2,37827 3,84289 7,65673 0,67% 0,37% 0,10%



69/129

69

Mtodo Gauss-Seidel con relajacin Si sustituimos estos valores en las ecuaciones originales para verificar los

resultados se obtiene:

4 *(2,37827) 1 *(3,84289) 1 *(7,65673) = -1,98655

6 *(2,37827) + 8 *(3,84289) + 0 *(7,65673) = 45,01271

-5 *(2,37827) + 0 *(3,84289) + 12 *(7,65673) = 79,98941


0,01%%100

80

79,98941-80Error

0,03%%10045

45,01271-45Error

0,67%%1002-

(-1,98655)-2-Error

EC3

EC2

EC1

0,01%%100

80

79,98941-80Error

0,03%%10045

45,01271-45Error

0,67%%1002-

(-1,98655)-2-Error

EC3

EC2

EC1


70/129

70

Comparacin de Mtodos



71/129

71

Ejercicio

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, para un error a5 %, con los tres mtodos analizados.

14

4124

21

12112

3

2

1

x

xx



72/129

72

Jacobi

%100

nuevo

r

anterior

r

nuevo

r

a x

xx

33

23213133

a

xaxabx

11

31321211

a

xaxabx

22

32312122

a

xaxabx

Iteracin X1 x2 x3 ax1 ax2 ax3

0 0,00000 0,00000 0,00000

1 62,00000 2,00000 7,00000

2 63,00000 36,50000 8,00000 1,587% 94,521% 12,500%

3 80,25000 37,50000 25,25000 21,495% 2,667% 68,317%

4 80,75000 54,75000 25,75000 0,619% 31,507% 1,942%

5 89,37500 55,25000 34,37500 9,650% 0,905% 25,091%

6 89,62500 63,87500 34,62500 0,279% 13,503% 0,722%7 93,93750 64,12500 38,93750 4,591% 0,390% 11,075%

8 94,06250 68,43750 39,06250 0,133% 6,301% 0,320%

9 96,21875 68,56250 41,21875 2,241% 0,182% 5,231%

10 96,28125 70,71875 41,28125 0,065% 3,049% 0,151%



73/129

73

Gauss-Seidel

%100 nuevor

anterior

r

nuevo

ra

xxx

33

23213133

a

xaxabx

11

31321211

a

xaxabx

22

32312122

a

xaxabx


0 0,000001 62,00000 33,00000 23,50000

2 78,50000 53,00000 33,50000 21,019% 37,736% 29,851%

3 88,50000 63,00000 38,50000 11,299% 15,873% 12,987%

4 93,50000 68,00000 41,00000 5,348% 7,353% 6,098%

5 96,00000 70,50000 42,25000 2,604% 3,546% 2,959%



74/129

74

Gauss-Seidel con Relajacin

%100nuevo

r

anterior

r

nuevo

ra

xxx

33

23213133

a

xaxabx

11

31321211

a

xaxabx

22

32312122

a

xaxabx

anteriori

nuevoi

nuevoi xxx )1(


0 0,00000 0,00000 0,00000

1 62,00000 33,00000 23,50000

2 81,80000 58,98000 39,08800 24,205% 44,049% 39,879%

3 93,42800 70,11360 42,65056 12,446% 15,879% 8,353%

4 97,78256 72,63715 43,45218 4,453% 3,474% 1,845%

= 1,20



75/129

75

Comparacin de MtodosHaciendo un resumen de los resultados obtenidos en la siguiente tabla:

El mtodo de Jacobi es el que utiliza una mayor cantidad de iteracionesy que adems tiene errores mayores con respecto al valor verdadero.

Gauss-Seidel los errores son medianos, pero la cantidad de lasiteraciones en mucho menor que en el caso de Jacobi.

Gauss-Seidel con relajacin se obtienen valores ms cercanos a losverdaderos con una cantidad de iteraciones menor. Sin embargo el

inconveniente radica en la eleccin del valor de.

Incgnita Valores

verdaderos

Iteracio-

nes

Valores aproximados Errores verdaderos

Jacobi Seidel C/Relaj Jacobi Seidel C/Relaj

X1 98,5 10 96,281 96,000 97,783 2,25% 2,54% 0,73%

X2 73,0 5 70,719 70,500 72,637 3,13% 3,42% 0,50%

X3 43,5 4 41,281 42,250 43,452 5,10% 2,87% 0,11%



76/129

76




77/129

77


Se observa que para las tres incgnitas con mtodo de Jacobilos resultados son ms oscilantes y convergen de forma mslenta.

Por el Mtodo de Gauss-Seidel se da una convergenciarelativamente rpida.

Si al Mtodo de Gauss-Seidel le aplicamos relajacin laconvergencia es mucho ms rpida hacia los valoresverdaderos.


78/129

78

Algoritmos



79/129

79

Algoritmos

En la prctica, normalmente utilizamos computadoras

para realizar las iteraciones, es por esta razn que

necesitamos implementar algoritmos para encontrar

soluciones de sistemas n x n mediante los mtodos

anteriormente descritos.



80/129

ALGORITMO DE LOS MTODOS DE JACOBI GAUSSSEIDEL

Para solucionar el sistema de Ax = bDatos:Nmero de ecuaciones N

La matriz de coeficientes A

El vector de trminos independientes bEl vector inicial x

El nmero de iteracin MATIZ

El valor de Eps.y M = 0 para usar Jacobi y M

0 para usar GaussSeidel obtenemos la solucin aproximada x y el nmero de

iteraciones K o el mensaje No se alcanz la convergencia

80



81/129

Paso1:Arreglar la matriz aumentada de manera que la matrizcoeficiente quede lo ms cercano posible a la diagonal dominante

Paso2:Hace K = 1

Paso3:Mientras K Maxit repetir los pasos 4 a 18

Paso4:Si M = 0 ir al paso 5 de otro modo hacer x = x

Paso5:Hacer I = 1

Paso6:Mientras I N repetir los pasos 7 al 14

Paso7:Hacer suma = 0

Paso8:Hacer J = 1

Paso9:Mientras J N, repetir los pasos 10 a 12

Paso10:Si J = I ir al paso 12

81



82/129

Paso11:Hacer suma = suma + A(IJ) * x(J)

Paso12:Hacer J = J + 1Paso13:Si M = 0 hacer

x(J) = -(b(J) - suma)/A(JJ)de otro modo hacer

x(I) = (b(J) suma)/A(JJ)

Paso14: Hacer I = J + 1

82



83/129

Paso15:Si |x x| Eps.Ir al paso 19

de otro modo hacer

Paso16:Si M = 0, hacer x = x

Paso17:Hacer K = K + 1

Paso18:Imprimir mensaje No se alcanz la convergencia,el vector x, MAXIT

Paso19:Imprimir el mensaje Vector Solucin, x, K y elmensaje iteraciones terminada

83



84/129

84

Algoritmo JacobiFor k=1,2,

For i=1,2,, nxi=0For j=1,2,,i-1,i+1,,n

End

End

End

1 kjijii Xaxx

xxk

iiiii axbx /)(

)1(,i

ii

(k)

i -ba

1

k

j

n

ij

ji xax



85/129

85

Algoritmo Gauss-SeidelFor k=1,2,

For i=1,2,, nsum=0For j=1,2,,i-1,

End

For j=i+1,,n

End

EndEnd

ii

n

ij

k

jij

i

j

k

jiji

k

ia

xaxab

x

1

11

1

k

jijXasumsum

1 kjijXasumsum

iii

k

i asumbx /)(



86/129

86

Algoritmo Gauss-Seidel con relajacin

in

ij

k

jij

i

j

k

jiji

ii

k

i Xxaxaba

x

1

1

11

1

For k=1,2,For i=1,2,, n

sum=0

For j=1,2,,i-1,EndFor j=i+1,,n

End

End

End

k

jijXasumsum

1 kjijXasumsum

iii

k

i asumbx /)(

)( 11 k

iki

ki

ki xxxx



87/129

87

Primera iteracin

Segunda iteracin

Gauss-Seidel Iterativo de Jacobi

anterior

i

nuevo

i

nuevo

i xxx )1( Gauss-Seidel con relajacin

Desplazamiento

simultneo

Desplazamiento

succesivo

Resumen de los pasos de los mtodos iterativos Jacobi,Gauss-Seidel sin y con relajacin



88/129

88

SntesisLos mtodos iterativos son ptimos para grandes sistemas yson mejor aprovechados cuando se tienen matrices esparcidas.

Estos mtodos iterativos estn basados en el concepto de puntofijo, es decir ( xi= gi(x), i = 1.. n), para resolver sistemas deecuaciones lineales.

Para garantizar la convergencia se debe de cumplir que elsistema tenga una diagonal dominante, es decir que se cumplala desigualdad siguiente, si se cambio el orden de las

ecuaciones esta puede divergir

n

iji

ija

iia

1

S i



89/129

89

SntesisPara mejorar la convergencia, se usan tcnicas como:Utilizacin de los clculos previos asumiendo que una mejor

aproximacin que el vector de condiciones iniciales. (Gauss-Siedel )

Un factor de ponderacin para reducir el error residual ( Relajacin )

La seleccin de un vector de condiciones iniciales apropiado ayuda a

reducir el nmero de iteraciones.

La seleccin de es de carcter prctico y de su eleccin se pueden

lograr tambin que el nmero total de iteraciones se reduzcan.

La finalizacin del clculo de iteraciones se logra cuando todos loselementos de vector de residual estn debajo de la tolerancia requerida.

El mtodo de Jacobi presenta mas oscilaciones que los mtodos de

Gauss-Siedel y relajacin.


90/129

90

Mtodos de Gradiente

MTODOS DEL DESCENSO MS RPIDO DELGRADIENTE CONJUGADO


91/129

En esta oportunidad reflexionaremos sobre algunos

mtodos especiales para resolver sistemas de ecuaciones

lineales.

En donde la matriz A es de orden nxn simtrica y definida

positiva, en otras palabras, ,y debemosrecordar que el producto escalar de dos vectores X ,Y de

componentes reales es:

91



92/129

Propiedades

1.

2.

3.

4.

Observemos que la propiedad 1 se refiere al orden de los

elementos, 2, y 3 indican que se pueden invertir.

92



93/129

Recordemos que si A es simtrica y definida positiva,

entonces el problema de resolver Ax=b es equivalente

al problema:

Veamos por que esta afirmacin es cierta; primero

veamos como se comporta q(x) a lo largo de un rayounidimensional. Para lo cual consideremos x+tv en

donde x y v son vectores y t un escalar grficamente

tenemos

93

x

tv

x+ tv



94/129

Mediante un calculo directo tenemos que para todo

escalar t :

(*)

94



95/129

Como A es simtrica es decir AT =A, entonces en la

ecuacin (*) el coeficiente de t2, es positivo, de esta

manera la funcin cuadrtica sobre el rayo

unidimensional tiene un mnimo y no un mximo.

Calculando la derivada de la ecuacin (*) con respecto at.

95



96/129

Cuando la derivada es cero, existe un mnimo de q a lo

largo del rayo unidimensional en este caso el valor de t

es: ,

en consecuencia usando este valor podemos

determinar el mnimo de q sobre el rayo unidimensional

(**)

96



97/129

Lo que quiere decir esto es que al pasar q(x) de x a, siempre hay una reduccin en el valor de q(x), a

menos que v sea ortogonal al residuo es decirSi x no es una solucin del sistema Ax=b entonces

existen una diversidad de vectores que satisfacen

Por lo tanto entonces x no minimiza q(x) y por lo contrario

si Ax=b no existe ningn rayo unidimensional que salga de x

sobre el cual q(x) tome un valor menor a q(x), en consecuenciauna x con las caractersticas es un mnimo para q(x).

97



98/129

Debemos manifestar que la reflexin anterior sugiere la

existencia de los mtodos iterativos para resolver Ax=b,

luego entonces procedemos de manera natural porminimizar q(x) a lo largo de una sucesin de rayos. Es

decir el algoritmo dispondr de un proceso de:

En seguida nos preocupa determinar la direccin de

bsqueda adecuada

Nuestro algoritmo ser

98



99/129

En donde

Debemos decir que una diversidad de mtodositerativos tienen la forma general:

99



100/129

Para valores particulares del escalar tK, y los valores de

vK, si , entonces tk, mide la distancia que nos

movemos de xK, para hasta la obtencin de xk+1, ver lasiguiente figura.

100



101/129

MTODO DEL DESCENSO MS RPIDO

Este mtodo se le considera dentro del grupo de

mtodos iterativos que usan el algoritmo anterior,considera que vK, debera ser el gradiente negativo

de q(x) en x(k), resultando que este gradiente apunta

en la direccin del residuoEs decir tenemos:

101



102/129

Es decir tenemos:

inputx(0), A, b, M

output0, x(0)

fork=0,1,2,, M-1 do

.

outputk+1, x(k+1)

end

102



103/129

Debemos destacar al programar este algoritmo no es

necesario conservar los vectores de la sucesin , lo mismo

ocurre con , de manera el algoritmo seria:

inputx, A, b, M

output0, x)

fork=0,1,2,, M-1 do

,

.

outputk, x)

end

103

Debemos destacar que este

mtodo generalmente no se

aplica a este tipo de

problemas como consecuenciade su lentitud



104/129

MTODO DEL GRADIENTE CONJUGADO

Otro mtodo considerado dentro del algoritmo analizado

anterior es el mtodo del gradiente conjugado de Hestenes yStiefel, el cual es aplicado a sistemas de la forma Ax=b, en

donde A es considerada simtrica y definida positiva.

En este mtodo las direcciones vK , son elegidas de una enuna en el proceso iterativo y forman un sistema A-ortogonal,

los residuos forman un sistema ortogonal es

decir,

104




105/129


Debemos decir que este mtodo es preferible que el

mtodo de eliminacin Gaussiana simple cuando la matrizA es muy grande y rala.

Este mtodo en su inicio fue muy sorprendente e

importante pero despus de dos dcadas las cosas ya nofue as como consecuencia que se descubri que la

terminacin finita no era asequible en la prctica.

105



106/129


Pues la terminacin finita era indeseable para un mtodo

directo, sin embargo posteriormente cuando se le

considero como un mtodo iterativo las cosas fue

diferente, pues en estos mtodos no es necesario obtener

una solucin absoluta despus de n pasos lo que seespera es obtener una respuesta satisfactoria.

106

La ejecucin del algoritmo en una computadora precisa de un lugar



107/129

j g p p g

de almacenamiento para cuatro vectores

107


108/129

108

Convergencia

CONVERGENCIA

CONVERGENCIA,


109/129

CONVERGENCIA

LONGITUD DE UN VECTORSupongamos x un vector en R2, su longitud denotado

por |x| es definido como un nmero positivo o cero.

En trminos de producto punto

109

l d

CONVERGENCIA


110/129

Ejemplo: sea determinar su norma

Debemos tener en consideracin que el campo de losnmeros reales R tiene el defecto de que un

polinomio de grado n con coeficientes reales no

necesariamente tiene n ceros realesejemplo

110

Su conjugado, norma, o modulo, se le define:

,,,,,,,,

,

CONVERGENCIA


111/129

j g

El campo de los complejos ya no tiene la anomala de los reales, esmas tenemos el teorema fundamental del algebra, que establece

que todo polinomio no constante con coeficientes complejostiene al menos un cero en el plano complejo.

La afirmacin anterior permite afirmar que todo polinomio de

grado n se puede descomponer como un producto de n factoreslineales.

111

ESPACIO VECTORIAL Cn

,,,,,,,

,

CONVERGENCIA


112/129

El espacio vectorial Cn, esta compuesto de todos

los vectores en donde los

Si al vector complejo x es multiplicado por tambin complejo el

resultado es otro vector complejo.

En consecuencia Cn, es un espacio vectorial sobre el cambo deescalares C. En consecuencia en este espacio Cn. El producto

interno se define

112

NORMA DE VECTORES

.

CONVERGENCIA


113/129

NORMA DE VECTORES

Una norma en Rn es una funcin de || || de Rn en R que verifica las

propiedades

113

La norma Euclidiana se define:

CONVERGENCIA


114/129

Podemos observar que,

Consideremos A una matriz con elementos complejos, y A* denota

su conjugada transpuesta es decir en particular, si x es

una matriz de nx1 (o vector columna), entonces , es una

matriz de 1xn o vector fila,

114

CONVERGENCIA


115/129

En general podemos definir norma de un vector x

Como casos particulares tenemos la norma Euclidiana cuando p=2

115

Mximo valor absoluto

CONVERGENCIA


116/129

Estas propiedades son familiares en relacin a la norma Euclidiana

o longitud de un vector.

La norma de una matriz cuadrada, A , puede ser definida enforma consistente con la definicin de norma de un vector:

116

La norma llamado generalmente norma infinito

CONVERGENCIA


117/129

Ejemplo:Dado el vector

determinar sus normas Euclidiana e Infinito

117

DISTANCIA EN ENTRE VECTORES

CONVERGENCIA


118/129

Dado dos vectores en Rn, , , la

distancia I2 y , entre x e y se definen :

118

Ejemplo:Dado el sistema:

CONVERGENCIA


119/129

3.3330x1+ 1.5920x2 10.333x3=15.913

2.2220x1+ 16.710x2+9.6120x3=28.5441.5611x1+ 5.1791x2+1.6852x3=8.4254

Consideremos la solucin inicial, ,usamos eliminacin de Gauss con Pivoteo parcial

usando aritmtica de cinco cifras con redondeo,

obtenemos la siguiente solucin:

119

Las dos medidas de la exactitud de aproximacin de

CONVERGENCIA


120/129

a x son:

120

Observamos que las componentes y son buenas

CONVERGENCIA


121/129

aproximaciones a x2y a x3, y la primera componente es

una aproximacin muy pobre en trminos de distanciasde ambas normas.

Pues el trmino de distancia en Rn , es utilizada para

definir el limite de una sucesin de vectores.

Diremos que una sucesin de vectores converge

a x con respecto a la norma ||*|| si dado cualquier

existe un entero tal que:

121

Ejemplo.Dada la sucesin definida:

CONVERGENCIA


122/129

Tenemos que,

Es as que podemos encontrar un numero entero de tal

manera que para todos los nmeros

122

son menores que lo que nos afirma esto es que la

CONVERGENCIA


123/129

sucesin converge a con respecto a la norma .

Los siguientes trminos son equivalentes:

La sucesin de vectores , converge a x con respecto a

alguna norma.

La sucesin de vectores , converge a x con respecto a

todas las normas.

El , la componente i-sima de x, para cadai =1,2,..,n sucesin de vectores, converge a x con

respecto a alguna norma.

123

NORMAS MATRICIALES

CONVERGENCIA


124/129

Una norma matricial en el espacio de matricial nxnes una

funcin de variable real que verifica las siguientescondiciones para todas las matrices A y B de dimensin

nxn y todos los nmeros reales

124

NORMA MATRICIAL MXIMO O SUBORDINADA

CONVERGENCIA


125/129

Es la norma , vectorial en Rn, la cual se le define sobre

el conjunto de todas las matrices de orden nxn as

Consecuentemente las normas que consideramos son:

125

Cuando n=2 su interpretacin grfica es:

CONVERGENCIA


126/129

126

1

x

1-1

-1

x1

1

Ax

1-1

-1x1-2

2

3

-3

Norma de una matriz

CONVERGENCIA


127/129

127

1

x

1-1

-1

x1

1

x

1-1

-1

x1-2 2

-2

2

AX

Ejemplo: dada la matriz

CONVERGENCIA


128/129

DeterminarSolucin

128


129/129

Muchas Gracias129

sistemas de ecuaciones algebraicas lineales metodos iterativos

Documents

Transcript of sistemas de ecuaciones algebraicas lineales metodos iterativos