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Resolución de Ecuaciones no lineales

Juan Manuel Rodríguez Prieto


Objetivos Aprender a resolver ecuaciones de la forma:

Donde f es una función no-lineal de la variable escalar real .

En este curso estudiaremos tres métodos 1. Bisección2. Punto fijo 3. Newton-Raphson4. Secante

x

f (x) = 0


En general, algoritmos iterativos serán usados para resolver la ecuación no-lineal de la forma:

Dada una aproximación inicial , una sucesión de términos es calculada

Hasta que un valor lo “suficientemente bueno” es encontrado.

f (x) = 0x0

0 1, , , kx x x

xk

Un algoritmo iterativo debe responder a las siguientes preguntas:¿Cómo elegir el punto de partida ? Experiencia, orden de magnitud¿ Cómo son calculados cada uno de los términos de la sucesión? Depende del método

¿Cómo saber si el termino de aproxima la solución lo suficientemente bien? Criterio de convergencia


x0

0 1, , , kx x x

xk

Un sucesión converge a cuando

Dividiendo por

Se dice que una aproximación es lo suficientemente buena si


xk{ } a

limk®¥

xk = a

limk®¥

xk -a = 0

limk®¥

rk = limk®¥

xk -a

a= 0

a

xk

rk £ tolx

En la practica se asume que

De donde surge el siguiente criterio de convergencia

Para prevenir algunos problemas cuando


rk =xk - xk+1

xk+1

xk - xk+1

xk+1

£ tolx

a = 0

xk - xk+1 £ tolx xk+1 + E

En algunos casos, el anterior criterio se satisface aun estando muy lejos de la soluciónPara evitar el problema, vamos a tener en cuenta que cuando la sucesión converge a

Por tanto, se puede formular un segundo criterio de convergencia


a

limk®¥

f (xk) = 0

xk{ }

f (xk ) £ tol f

Resolución de Ecuaciones no lineales: Convergencia

Importancia de seleccionar el criterio de convergencia

Método de punto fijo


El método de punto fijo se basa en re-escribir la ecuación de tal modo que este al lado izquierdo de la ecuación.

f (x) = 0

x

x = g(x)

Método de punto fijoEjemplo 1(a)

f (x) = x2 - 2x- 3

Encuentre los ceros de la función usando el método de punto fijo

x2 = 2x+ 3

x = 2x+ 3

( ) 2 3g x x

1'( )

2 3g x

x

( )g x

'( )g x

Método de punto fijoEjemplo 1(a)

f (x) = x2 - 2x- 3


Utilizando la formula cuadrática obtenemos que los ceros de la función son

x1 = 3,x2 = -1

x2 = 2x+ 3

x = 2x+ 3

xn+1 = 2xn + 3

x0 = 4

En excel

Método de punto fijoEjemplo 1(b)

f (x) = x2 - 2x- 3


2 2 3 0

( 2) 3 0

3

2

x x

x x

xx

3( )

2g x

x

'( )g x

( )g x

Método de punto fijoEjemplo 1(b)

f (x) = x2 - 2x- 3



x1 = 3,x2 = -1 1

3

2n

n

xx

x0 = 4

En excel

2 2 3 0

( 2) 3 0

3

2

x x

x x

xx

Método de punto fijoEjemplo 1(c)

f (x) = x2 - 2x- 3


x2 - 2x- 3 = 0

2x = x2 - 3

x =x2 - 3

22 3

( )2

xg x

( )g x

'( )g x

Método de punto fijoEjemplo 1(c)

f (x) = x2 - 2x- 3



x1 = 3,x2 = -12

2

2

2 3 0

3 2

3

2

x x

x x

xx

2

1

3

2

nn

xx

x0 = 4

En excel

Método de punto fijoEjemplo 2

f (x) = x- e-x


En excel

xn+1 = e-xn

Al observar la columna del error, vemos que el error de la iteración es un factor entre 0.5 y 0.6 el error de la iteración anterior. El método de punto fijo converge linealmente a la solución

Método de punto fijoEjemplo 2

f (x) = x- e-x


xn+1 = e-xn ( )g x

'( )g x

Método de punto fijoEjemplo 3 (a)


En excel

1

3 21

(10 )2

x x

f (x) = x3 + 4x2 -10

1

3 21

1(10 )

2n nx x

Converge a la raíz de la función

Método de punto fijoEjemplo 3 (a)


mapea el intervalo en si mismo ( ver figura y teoremas)

en el intervalo (se cumplen las condiciones para que la sucesión converja al punto fijo de la función )

f (x) = x3 + 4x2 -101

3 21

1(10 )

4n nx x

( )g x

'( )g x

( )g x 1,1.5

'( ) 0.66g x 1,1.5

Método de punto fijoEjemplo 3 (b)


En excel

x =10

4 + x

æ

èçö

ø÷

1

2

f (x) = x3 + 4x2 -10

xn+1 =10

4 + xn

æ

èçö

ø÷

1

2


Método de punto fijoEjemplo 3 (b)


f (x) = x3 + 4x2 -10

xn+1 =10

4 + xn

æ

èçö

ø÷

1

2

( )g x

'( )g x



( )g x 1,2

'( ) 0.15g x 1,2

Método de punto fijoEjemplo 3 ©


En excel

x = x-x3 + 4x2 -10

3x2 + 8x

f (x) = x3 + 4x2 -10

3 2

1 2

4 10

3 8

n nn n

n n

x xx x

x x


Método de punto fijoEjemplo 3 ©


f (x) = x3 + 4x2 -10

3 2

1 2

4 10

3 8

n nn n

n n

x xx x

x x

'( )g x

( )g x



( )g x 1,2

'( ) 0.6g x 1,2

Método de punto fijoEjemplo 3(d)


En excel

x = x- x3 - 4x2 +10

f (x) = x3 + 4x2 -10

No Converge a la raíz de la función

xn+1 = xn - xn

3 - 4xn

2 +10

Método de punto fijoEjemplo 3(d)


f (x) = x3 + 4x2 -10

xn+1 = xn - xn

3 - 4xn

2 +10

Los teoremas no garantizan que el método deba fallar, tampoco tenemos razón para esperar una convergencia

( )g x

'( )g x

Método de punto fijoEjemplo 3(e)


En excel

x =10

x- 4x

æ

èçö

ø÷

1

2

f (x) = x3 + 4x2 -10

No Converge a la raíz de la función

xn+1 =10

xn

- 4xn

æ

èçö

ø÷

1

2

Método de punto fijoEjemplo 3(e)


f (x) = x3 + 4x2 -10

xn+1 =10

xn

- 4xn

æ

èçö

ø÷

1

2

No hay razón para esperar que el método converja

'( )g x

( )g x

Ojo con el dominio de g(x)


Ventajas• Fácil de implementar• Solo es necesario evaluar la función, no es necesario evaluar la derivada

Desventajas• Converge linealmente• No siempre converge a la solución, depende de la función g(x) que seleccionemos

Método de bisección

Método de bisección

Algoritmo

Usas el teorema de Bolzano para una función continua en un intervalo cerrado.

Teorema de Bolzano: Si una función escontinua en un intervalo, entonces tomatodos los intermedios comprendidos entrelos extremos del intervalo.

Método de bisecciónEn Matlab

Algoritmo ( ) 2 1f x x

Encuentre los ceros de la función usando el método de bisección

Método de bisecciónEn Matlab

Primeras 7 iteraciones del método de bisección

1

2

3

4

5

6

7

Método de Newton-Raphson


La serie de Taylor de una función infinitamente diferenciable en el entorno de un numero real a es la siguiente serie de potencias:

Aproximamos f(x) con los dos primeros términos de las series de Taylor e igualamos la función a 0

Despejamos

f (x) =f (n)(a)

n¡n=0

¥

å (x- a)n

f (x) » f (a)+ f '(a)(x- a) = 0

x = a-f (a)

f '(a)=

De manera iterativa lo podemos escribir como sigue

xn+1 = xn -f (xn)

f '(xn)=


xn+1 = xn -f (xn)

f '(xn)=

El método de Newton comienza con una aproximación inicial x0

del cero de la función a partir de la cual se define una sucesión {xn} de aproximaciones definida por

Desde un punto de vista geométrico, lo que hace el método de Newton es construir la recta tangente a la gráfica de f en x0 y encontrar el cero de la recta tangente, x1. La aproximación x2 es el cero de la recta tangente a la gráfica de f en el punto x1 y así sucesivamente.

Método de Newton-RaphsonEjemplo 1

1

ln( )

1

n

n

x

nn n

x

n

e xx x

ex

Encontrar el cero de la función

( ) ln( )xf x e x

1'( ) xf x e

x

El esquema iterativo queda como sigue

Empecemos el esquema con

0 1x

La convergencia del método de newton es cuadrática, ver columna del error

Método de Newton-RaphsonEjemplo 2

2

1

2

2

nn n

n

xx x

x


2( ) 2f x x

'( ) 2f x x



0 2x


Método de Newton-RaphsonEjemplo 3(a)

3

1 2

8

3

nn n

n

xx x

x


3( ) 8f x x

2'( ) 3f x x



0 4x


Método de Newton-RaphsonEjemplo 3(b)

3

1 2

8

3

nn n

n

xx x

x


3( ) 8f x x

2'( ) 3f x x



0 8x


Método de Newton-RaphsonEjemplo 3 (d)

3

1 2

8

3

nn n

n

xx x

x


3( ) 8f x x

2'( ) 3f x x



0 1000x

• La convergencia del método de newton es cuadrática, ver columna del error

• El numero de iteraciones de NR depende de x0 (El método de NR converge a condición de que se escoja una aproximación inicial (x0) suficientemente exacta )


10

1 9

1

10

nn n

n

xx x

x


10( ) 1f x x

9'( ) 10f x x



0 0.5x


10

1 9

1

10

nn n

n

xx x

x


10( ) 1f x x

9'( ) 10f x x



0 0.5x

¿Por qué es tan lenta la convergencia del esquema de NR para el presente ejemplo?

Método de Newton-RaphsonResumen

Requerimientos• La función f(x) debe ser derivable• La derivada de f(x) debe ser siempre diferente de 0

Características: • Convergencia cuadrática (siempre y cuando la derivada se calcule correctamente)• El método es costoso computacionalmente (en cada iteración se evalúa su función y su derivada)

Problemas:• Costoso computacionalmente en cada iteración• Es necesaria la derivada de la función

Método de Newton-RaphsonEn Matlab

3( ) 8f x x

Método de Newton-RaphsonEn Matlab

2( ) 2f x x

Método de la secante

Método de la secante

Usa el algoritmo de Newton-Raphson peroaproxima la derivada de la función, con lapendiente de la línea definida por dosaproximaciones anteriores.

1

( )

( )

nn n

n

f xx x

s x

1

1

( ) ( )( ) n n

n

n n

f x f xs x

x x

Método de la secanteEjemplo


( ) ln( )xf x e x

1

( )

( )

nn n

n

f xx x

s x


Método de Secante

El método de NR converge en menos iteraciones

Comparación de todos los métodos

• El método de Newton-Raphson es el más rápidoen converger, en el sentido que necesita unmenor número de iteraciones para converger

• El método de Newton-Raphson es el método quepresente un mayor número de problemas deconvergencia

• La iteración del método de Newton-Raphson esla más costosa debido a que se debe evaluar lafunción y su derivada

• El método de bisección es el más robusto, pero ala vez es el método mas lento

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