RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES TEMA 3
Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones lineales
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Método de Gauss
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Método de Gauss
Método de Gauss
Dado un sistema de ecuaciones lineales (SEL)
El método de Gauss para la resolución de SEL consiste en obtener un sistema de ecuaciones lineales equivalente al anterior que sea triangular superior (escalonado), es decir,
3333
2222
1111
DzCyBxADzCyBxADzCyBxA
El SEL escalonado es muy sencillo de resolver
Para pasar de uno a otro se realizan operaciones que conservan la equivalencia de SEL
3333
2222
1111
DzCyBxADzCyBxADzCyBxA
33
222
1111
dzcdzcybdzcybxa
Operaciones que conservan la equivalencia en un SEL
A. Intercambiar el orden de las ecuaciones i y j
B. Multiplicar la ecuación i por un nº k no nulo y sustituirla por el resultado
C. Sumar las ecuaciones i y j, multiplicadas por sendos números, y sustituir el resultado por la ecuación i o j.
ji FF
ii FKF .
jiji FtFkFóF ..
Problema: En una confitería envasan los
bombones en cajas de 250 g, 500 g y 1 kg. Cierto día envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más del tamaño pequeño que del mediano. Sabiendo que el precio del kilo de bombones son 24 € y que el importe de los bombones envasados ese día fue de 750 €. ¿Cuántas cajas se envasaron de cada tamaño?
Planteamiento:
1.- Definimos las incógnitas a utilizar:
○ x = Nº cajas de bombones de 250 g (pequeñas)○ y = Nº cajas de bombones de 500 g (medianas)○ z = Nº cajas de bombones de 1 kg (grandes)
Nota:- 250 g = ¼ de kg- 500 g = ½ de kg
Planteamiento de las ecuaciones:a. Cierto día envasaron 60 cajas en total
b. Habiendo 5 cajas más del tamaño pequeño que del mediano
c. El precio del kilo de bombones son 24 € y que el importe de los bombones envasados ese día fue de 750 €
60 zyx
5xy
750242
24
4
24 zyx
75024126 zyx
Resolución del SEL
75024126
5
60
zyxxy
zyx
75024126
5
60
zyxyxzyx
Mediante el Método de Gauss
75024126
5
60
zyxyxzyx
122 FFF
133 6 FFF
390186
552
60
zyzyzyx
390186
552
60
zyzyzyx
233 3 FFF
22515
552
60
zzyzyx
15
225z
15z
15
552
60
zzyzyx
55152 y
20y
15
20
60
zy
zyx 601520 x
25x
Solución:
La solución del sistema es:
Es decir, se envasan 25 cajas de 250 g, 20 cajas de 500 g y 15 cajas de 1 kg
15
20
25
zyx
