Sistemas de ecuaciones · PDF file Sistemas de ecuaciones lineales. La resolución de...

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    Sistemas de ecuaciones lineales.

    La resolución de sistemas de ecuaciones lineales, es el ejemplo de lo que atañe al Álgebra Lineal. Para resaltar

    la importancia de esta parte del capítulo, citaremos a un matemático argentino.

    (Enzo Gentile, 1981 “…está bien claro que la matemática de las aplicaciones es fundamentalmente el Álgebra

    lineal, la resolución de sistemas lineales,…Sin hablar de la importancia misma dentro de la matemática

    pura…. Todo es Álgebra líneal, en definitiva…

    Un sistema de m ecuaciones y n incógnitas es lineal cuando puede llevarse a forma:

    {

    𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + …… +𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + …… +𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 ⋮

    𝑎𝑚1𝑥1 + ⋮ ⋮ ⋮

    𝑎𝑚1𝑥1 + …… +𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚

    Donde: 𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛 son las indeterminadas que representan a las incógnitas del sistema.

    𝑎11 , 𝑎12, . , 𝑎𝑚𝑛 son números reales que representan los coeficientes del sistema y

    𝑏1, 𝑏2, … . . , 𝑏𝑚 también son números reales y se llaman términos independientes del sistema.

    Por ejemplo, un sistema de 2x2, es decir de dos ecuaciones y dos incógnitas es:{ 3𝑥 − 2𝑦 = 0 5𝑥 + 𝑦 = 3

    o el de 2x3, es decir de dos ecuaciones y tres incógnitas: { −2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0 −𝑥 + 3𝑦 − 6𝑧 = 3

    En el primer sistema, se han llamado a las incógnitas x e y porque el sistema puede estar representando la

    búsqueda de la intersección entre dos rectas del plano y el otro, x,y,z por la intersección de dos planos en el

    espacio.

    También suele considerarse a una solución de un sistema de m ecuaciones y n incógnitas: 𝑥1 ∗, 𝑥2

    ∗, … . 𝑥𝑛 ∗ como

    una n-upla: (𝒙𝟏 ∗ , 𝒙𝟐

    ∗ ,… . , 𝒙𝒏 ∗ ). Así una solución del primer sistema sería una 2-upla (o par ordenado) (𝑥∗, 𝑦∗) y

    una solución del segundo sistema una 3-upla (𝑥∗, 𝑦∗, 𝑧∗).

    Si pensamos la solución del primer sistema, como la intersección de dos rectas del plano, sabemos que pueden

    ocurrir tres situaciones.

    - La primera, que las rectas se corten en un único punto, en ese caso el sistema tendría una única

    solución.

    - La segunda, que las rectas sean coincidentes y en ese caso la solución serían los infinitos puntos de

    la recta.

    Solucionar un sistema de m ecuaciones y n incógnitas es

    hallar n números reales 𝒙𝟏 ∗ , 𝒙𝟐

    ∗ , … . 𝒙𝒏 ∗ tales que, al

    sustituirlos en el sistema por cada una de las incógnitas

    correspondientes, hace que se verifiquen cada una de las

    igualdades numéricas que representan las ecuaciones.

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    - La tercera, que las rectas sean paralelas y en este caso no habría ningún punto del plano en la

    intersección, es decir que el sistema no tendría solución.

    Usando el estudio de las matrices de la primera parte de este capítulo, desarrollaremos un método eficiente

    para resolver sistemas de ecuaciones lineales, conocido como: Método de eliminación de Gauss.

    Algo que va a ser de mucha ayuda es recordar un método sencillo para resolver sistemas de dos ecuaciones y

    dos incógnitas. El método de sumas y restas. O método de eliminación.

    Consideremos el siguiente sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas.

    { 2𝑥 + 5𝑦 = 1 3𝑥 + 2𝑦 = 7

    Si lo resolvemos, la única solución, en este caso es un valor para x y otro para y. Esos valores son

    𝑥∗=3 e 𝑦∗= -1. Podemos verificar que es solución.

    En la primera ecuación, reemplazamos las indeterminadas x e y por 3 y -1 respectivamente y se obtiene:

    2.3+5.(-1)=6-5=1, cumple.

    Y en la segunda ecuación: 3.3+2.(-1)=9-2=7, también cumple.

    Haremos tres observaciones muy importantes para nuestro propósito de resolver sistemas lineales de m

    ecuaciones y n incógnitas. Pretendemos estudiar el método de resolución de sistemas lineales que

    mencionamos anteriormente.

    OBSERVACIÓN 1: Si multiplicamos por un número real no nulo una ecuación, al reemplazarla por la

    original, el sistema que se obtiene tiene la misma solución que el sistema dado.

    ¿Porqué ocurrirá esto?

    Por ejemplo, si elegimos multiplicar por 4 a la primera ecuación del sistema del ejemplo, sabemos que la

    igualdad numérica se mantiene: por la propiedad de monotonía del producto 4. ( 2𝑥 + 5𝑦) = 4. 1

    Tenemos una nueva ecuación, 8𝑥 + 20𝑦 = 4. Reemplazando las incógnitas por 𝑥∗=3 e 𝑦∗= -1 se obtiene una igualdad numérica 8.3+20.(-1) = 4, es decir que siguen siendo solución de la nueva ecuación.

    OBSERVACIÓN 2: Si le sumamos a una ecuación de un sistema dado otra ecuación, se obtiene una nueva,

    que al reemplazarla por la original, el nuevo sistema tiene las mismas soluciones que el dado.

    Observemos en el ejemplo { 2𝑥 + 5𝑦 = 1 3𝑥 + 2𝑦 = 7

    sumando ambas ecuaciones y reemplazando la primera por la

    suma (2 + 3)𝑥 + (5 + 2)𝑦 = 1 + 7, el nuevo sistema que se obtiene

    es: { 5𝑥 + 7𝑦 = 8 3𝑥 + 2𝑦 = 7

    . Es fácil comprobar que 𝑥∗=3 e 𝑦∗= -1 son las únicas soluciones de este nuevo sistema.

    OBSERVACIÓN 3: (es una combinación de las dos observaciones anteriores)

    Si a una ecuación de un sistema dado, se la reemplaza por la que se obtiene así: a una de las ecuaciones se

    le suma otra, multiplicada por un número real no nulo.

    Al reemplazarla en el sistema por ésta última, el nuevo sistema tiene la misma solución que el dado.

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    Las operaciones sobre las ecuaciones que indicamos en las observaciones, aplicadas convenientemente,

    permiten resolver el sistema. La idea es operar sobre las ecuaciones del sistema, para obtener otros, que

    conservan las soluciones del sistema original pero es más fácil de resolver. Este método de resolución de

    sistemas de dos ecuaciones y dos incógnitas, es el que se conoce como método de sumas y restas o de

    eliminación

    { 2𝑥 + 5𝑦 = 1 3𝑥 + 2𝑦 = 7

    Podemos por ejemplo, multiplicar la segunda ecuación por −2

    3 y luego sumarle a esa ecuación, la primera y

    reemplazarla por la nueva en el sistema.

    − 2

    3 . (3𝑥 + 2𝑦) = −

    2

    3 . 7

    −2𝑥 − 4

    3 𝑦 = −

    14

    3

    +

    2𝑥 + 5𝑦 = 1

    11

    3 𝑦 = −

    11

    3

    En este paso hemos eliminado “x” de la primera ecuación.

    El nuevo sistema que se obtiene es: { 11

    3 𝑦 = −

    11

    3

    3𝑥 + 2𝑦 = 7

    Si multiplicamos la primera ecuación por − 6

    11 , obtenemos el sistema: {

    −2𝑦 = 2 3𝑥 + 2𝑦 = 7

    Si a la segunda le sumamos la primera obtenemos el sistema: { −2𝑦 = 2 3𝑥 = 9

    En este paso hemos eliminado “y” de la segunda ecuación.

    Si ahora multiplicamos la primera por - 1

    2 y la segunda por

    1

    3 el sistema que se obtiene {

    𝑦 = −1 𝑥 = 3

    este sistema

    nos muestra la solución!!!!

    Otro ejemplo:

    Resolver por el método de sumas y restas (o eliminación) el siguiente sistema:

    { 3𝑥 − 2𝑦 = 1 7𝑥 + 14𝑦 = 8

    Hay muchas maneras de operar sobre las ecuaciones, teniendo en cuenta las observaciones anteriores. Con el

    propósito de eliminar incógnitas.

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    Por ejemplo, si multiplicamos la primera ecuación por 7 y la segunda por -3, logramos que el coeficiente de x

    en la primera, sea el opuesto del de la segunda y así al sumar las ecuaciones, eliminamos x de la primera.

    Obteniendo un sistema, que tendrá las mismas soluciones que el anterior. (o pudimos haber multiplicado la

    primera por 7 y al sumarla a la segunda, eliminar y)

    { 21𝑥 − 14𝑦 = 7

    −21𝑥 − 42𝑦 = −24

    A la primera ecuación le sumamos la segunda y reemplazamos la primera.

    { −56𝑦 = −17

    −21𝑥 − 42𝑦 = −24 Eliminamos la incógnita x de la primera ecuación.

    Multiplicamos la primera ecuación por − 42

    56

    { 42𝑦 =

    51

    4

    −21𝑥 − 42𝑦 = −24

    A la segunda la reemplazamos por la suma entre ella y la primera ecuación. Se obtiene el siguiente sistema

    que tendrá las mismas soluciones que el anterior:

    { 42𝑦 =

    51

    4

    −21𝑥 = − 45

    4

    Eliminamos la incógnita y de la segunda ecuación.

    Multiplicamos la primera por 1

    42 y la segunda por

    −1

    21 y las reemplazamos por las ecuaciones anteriores.

    { 𝑦 =

    17

    56

    𝑥 = 15

    28

    o lo que es exactamente lo mismo { 𝑥 =

    15

    28

    𝑦 = 17

    56

    y hemos resuelto el sistema.

    Se ha encontrado nuevamente la soluc