Resolución de Sistemas de Ecuaciones No Lineales

© Prof. Dr. François E. CellierFebrero 5, 2008

Principio de la presentación

Modelado Matemático de Sistemas Físicos

Resolución de Sistemas de Ecuaciones No Lineales

• En esta clase, trataremos la resolución mixta simbólica y numérica de sistemas de ecuaciones no lineales acopladas.

• El método de rasgadura brinda también una solución eficiente para el tratamiento de sistemas de ecuaciones no lineales.

• La iteración numérica de los sistemas de ecuaciones no lineales puede limitarse a las variables de rasgadura.




Contenido

• Sistemas de ecuaciones no lineales• Iteración de Newton• Iteración de Newton con rasgadura• Iteración de Newton de sistemas de ecuaciones

lineales




Sistemas de Ecuaciones No Lineales: Ejemplo I




Sistemas de Ecuaciones No Lineales: Ejemplo II

p2

p0

Embalse Esclusa

Consumidor IConsumidor II

Presión ambiental

p1

q1

q3

q2

Vista topológica

Vista esquemática




Sistemas de Ecuaciones No Lineales: Ejemplo III

q

p

q: Caudalp: Caída de presión

q

p

q = k · sign(p ) · p

p = sign(q) · q2 / k2




Sistemas de Ecuaciones No Lineales: Ejemplo IV

p2 = 100

p0 = 1fS(q1 ,p1 ,p2) = 0fI(q2 ,p0 ,p1) = 0fII(q3 ,p0 ,p1) = 0q1 = q2 + q3

p2

p0

Embalse Esclusa

Consumidor IConsumidor II

Presión ambiental

p1

q1

q3

q2




Sistemas de Ecuaciones No Lineales: Ejemplo V

p2 = 100

p0 = 1fS (q1 ,p1 ,p2 ) = 0fI (q2 ,p0 ,p1 ) = 0fII (q3 ,p0 ,p1 ) = 0q1 - q2 - q3 = 0

p2 = 100


Sistema de ecuaciones no lineales con 4 incógnitas




Iteración de Newton I

Sistema de ecuaciones no lineales:

f(x) = 0 x n f n

Vector inicial: x 0

Fórmula de iteración: x i+1 = x i - x i

H n

n

Incremento: x i = H(x i )-1 · f(x i )

x n

Matriz Hessiana: H(x) =f(x)x




Iteración de Newton: Ejemplo I

x =

p1

q1

q2

q3

p2 - p1 - sign(q1) · q12 /k1

2

p1 – p0 - sign(q2) · q22 /k2

2

p1 – p0 - sign(q3) · q32 /k3

2

q1 - q2 - q3

f(x) = = 0

-2|q1 |/k12

-2|q2 |/k22

-2|q3 |/k32

-1110

001

0

0-1

00

-1

H(x) =




Iteración de Newton II

Cálculo del incremento: x i = H(x i )-1 · f(x i )

H(x i ) · x i = f(x i )

Sistema lineal de ecuaciones con incógnitas x

x n




Iteración de Newton con Rasgadura I

Elección

p2 = 100


p2 = 100


p2 = 100





Iteración de Newton con Rasgadura II

p2 = 100


p2 = 100

p0 = 1q1 = q2 + q3

p1 = f1 (q1 ,p2 )q2 = f2 (p0 ,p1 )q3 = f3 (p0 ,p1 )

q1 = f2 (p0 ,p1 ) + f3 (p0 ,p1 )= f2 (p0 , f1 (q1 ,p2 ) ) + f3 (p0 , f1 (q1 ,p2 ))




Iteración de Newton con Rasgadura III

q1 = f2 (p0 ,p1 ) + f3 (p0 ,p1 )= f2 (p0 , f1 (q1 ,p2 ) ) + f3 (p0 , f1 (q1 ,p2 ))

x = q1 f(x) = q1 - f2 (p0 , f1 (q1 ,p2 ) ) - f3 (p0 , f1 (q1 ,p2 )) = 0

H(x i ) · x i = f(x i )

Sistema lineal de ecuaciones con incógnita x

x 1




Iteración de Newton : Ejemplo IIp2 = 100

p0 = 1q1 = q2 + q3

p1 = p2 - sign(q1 ) · q12 / k1

2

q2 = k2 · sign(p1 - p0 ) · p1 - p0

q3 = k3 · sign(p1 - p0 ) · p1 - p0

pq1q1 = 1pp1q1 = - 2|q1| / k1

2

pq2q1 = k2 / ( 2 · p1 - p0 ) · pp1q1

pq3q1 = k3 / ( 2 · p1 - p0 ) · pp1q1

f = q1 - q2 - q3

h = pq1q1 - pq2q1 - pq3q1

La sustitución simbólica de expresiones casi nunca es provechosa. Es mucho mejor iterar sobre todas las ecuaciones y derivar cada ecuación en forma separada para determinar las derivadas parciales.




Iteración de Newton : Ejemplo IIIq1 = Valor inicialdx = 1while dx > dxmin p1 = p2 - sign(q1 ) · q1

2 / k12

q2 = k2 · sign(p1 - p0 ) · p1 - p0

q3 = k3 · sign(p1 - p0 ) · p1 - p0

pp1 = - 2|q1| / k12

pq2 = k2 / ( 2 · p1 - p0 ) · pp1

pq3 = k3 / ( 2 · p1 - p0 ) · pp1

f = q1 - q2 - q3

h = 1 - pq2 - pq3

dx = h \ f q1 = q1 – dxend

La iteración se produce sobre todas las ecua-ciones. Sin embargo, el sistema lineal de ecuaciones interno sólo se resuelve para las variables de rasgadura.




Iteración de Newton en Sistemas Lineales

Sistema lineal: A·x = b

f(x) = A·x – b = 0

H(x) = f(x)/ x = A

A·x = A·x – b

x = x – A-1·b

x 1 = x 0 – (x 0 – A-1·b) = A-1·b

La iteración de Newton converge tras una sola iteración.




Conclusiones• El método de rasgadura es igualmente apto para el uso con sistemas

lineales y no lineales.• La iteración de Newton en un sistema de ecuaciones no lineales

conduce internamente a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. La matriz Hessiana de este sistema de ecuaciones lineales sólo necesita ser determinada para las variables de rasgadura.

• La iteración de Newton puede también utilizarse muy eficientemente para la resolución de sistemas lineales en muchas variables ya que converge en un sólo paso (con el cálculo correcto de la matriz H(x)).

• En la práctica, la matriz H(x) generalmente se aproxima de manera numérica en lugar de calcularse analíticamente.

• De todas maneras, las técnicas de manipulación simbólica de fórmulas pueden usarse para obtener expresiones simbólicas de los elementos de la matriz Hessiana.

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