EJEMPLO 1: Ecuaciones lineales.

a.

b.

c.

a, b y c son ejemplos de ecuaciones lineales en 2, 3 y 4 incgnitas respectivamente.

EJEMPLO 2: Ecuaciones que no son lineales.

a.

b.

c.

d.

EJEMPLO 3:

La ecuacin linealtiene como solucin la pareja ordenada (5, 8) ya que 3(5) 4 (8) = 17

EJEMPLO 4:

La ecuacin linealtiene como solucin lacuadrupleta(2, -1, 0, 3).

EJEMPLO 5:

Dado el sistema de dos ecuaciones en dos variables

Las parejas de nmeros (3, 0) y ( 1, 4) son soluciones puesto que:3 + 0 = 3 1 + 4 = 3

2 (3) + 2 (0) = 62( 1) + 2 (4) = 6

EJEMPLO 6:

Dado el sistema de tres incgnitas y dos ecuaciones, homogneo

La tripleta de nmeros (-2, 1, 1) es una solucin del sistema.

EJEMPLO 7:

Resolver el siguiente sistema:

Solucion:Observar bien las operaciones en cada paso

El sistema equivalente total es:

y por lo tanto la solucin del sistema es la tripleta (2, 0, -1).

EJEMPLO 8:

Usando la nueva representacin resolvamos el sistema del ejemplo 7.

Resolver el siguiente sistema:

Solucion:Observar bien las operaciones en cada paso

La matriz aumentada final corresponde al sistema:

y si consideramos la solucin como una terna, la podemos escribir como (2, 0, -1).

EJEMPLO 9:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

Solucion:Observar bien las operaciones en cada paso

La matriz aumentada final corresponde al sistema equivalente:

Es decir

Observando que x y estn completamente determinadas por z y que no hay ninguna restriccin sobre z, vemos que todas las soluciones son de la forma x = -5 -1, y = -25 - 2, donde s es cualquier nmero real. El nmero s se llama parmetro. Una solucin particular puede obtenerse asignando un valor al parmetro s; por ejemplo, si s = 0, obtenemos x = -2, y = -2 y z = 0.

Podemos verificar la solucin reemplazando los valores de x, y y z en el sistema inicial. Si consideramos la solucin como una terna, vemos que toda solucin es de la forma.

EJEMPLO 10:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

Solucion:Observar bien las operaciones en cada paso

La matriz aumentada final corresponde al sistema equivalente:

En virtud de que la tercera ecuacin es absurda, se concluye que el sistema no tiene solucin.

Como vemos en los ejemplos 7, 9 y 10 un sistema de ecuaciones de ecuaciones lineales tiene solucin nica, infinitas soluciones o no tiene solucin.

EJEMPLO 11:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

Solucion:Observar bien las operaciones en cada paso

La matriz aumentada final corresponde al sistema equivalente:

Reemplazando x3en las ecuaciones correspondientes a x1y x2obtenemos:

Las variables (o variable) de la cual dependen las dems variables se le asigna un parmetro podemos, tomando ax4= tcomo parmetro, escribir el conjunto solucin en la forma paramtrica:

EJEMPLO 12:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

Solucion:Observar bien las operaciones en cada paso

La matriz est ahora en forma escalonada, de modo que encontramos el sistema asociado equivalente:

ECUACIN LINEAL

DEFINICIN 1:

Una ecuacin lineal connincgnitasx1, ..., xnes una ecuacin que se puede escribir en la formaa1x1+a2x2+a3x3+ ... +anxn=b(1), donde lasa-es se llaman coeficientes de losxy el nmerobse llama trmino constante.Se asume que lasa-es y labson valores conocidos.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

DEFINICIN 2: Solucin de una ecuacin lineal.Unan-tupla de nmeros (s1, ..., sn) es una solucin de la ecuacin (1) si y solo si:a1s1+a2s2+a3s3+ ... +ansn=b.

Ejemplo 3

Ejemplo 4

DEFINICIN 3:Un sistema demecuaciones lineales connincgnitas es un conjunto de ecuaciones lineales que se puede escribir de la siguiente forma:(2)

Los coeficientesai jparayson nmeros fijos al igual que las constantesbi,i= 1, 2, ...,m. Este sistema se llama homogneo sibi= 0 parai= 1, 2, ...,muna n-tupla de nmeros (s1, s2, ..., sn) es una solucin del sistema de ecuaciones (2) si y solo siparai = 1, 2, ..., m.Es decir, la n-tupla de nmeros es solucin de cada una de las ecuaciones del sistema (2).

Ejemplo 5

Ejemplo 6

MTODO DE ELIMINACIN DE GAUSS Y GAUSS JORDAN PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESEl mtodo de Eliminacin de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) en otro S.E.L. equivalente ms sencillo de resolver (se puede resolver por simple inspeccin). Cuando se habla de un sistema equivalente se refiere a un sistema que tiene exactamente las mismas soluciones.Las operaciones que se llevan a cabo para obtener el sistema equivalente se llaman operaciones elementales.Hay tres tipos de operaciones elementales:I. Intercambio de dos ecuaciones del S.E.L.

II. Reemplazar una ecuacin del S.E.L. por un mltiplo escalar de esta. (Se multiplica a ambos lados de una ecuacin por un nmero diferente de cero).

III. Reemplazo de una ecuacin del S.E.L. por la suma de esta y un mltiplo escalar de otra ecuacin del S.E.L.

Cuadro descriptivo

Ejemplo 7

En el proceso de pasar de un sistema equivalente a otro, puede ahorrarse trabajo escribiendo solamente los coeficientes de las variables y los trminos constantes, que son los nicos que cambian en el procedimiento. En el ejemplo anterior al sistema de ecuaciones original lo podemos representar por medio del siguiente arreglo:

Se llama matriz asociada al sistema y cada nmero de la matriz se llama componente, tambin se llama matriz aumentada del sistema.

La matriz:

Se llama matriz de coeficientes del sistema

y la matriz:

Se llama la matriz (vector) de trminos constantes del S.E.L.

En lugar de efectuar las operaciones en las ecuaciones del sistema, podemos obtener el mismo resultado si los realizamos en las filas (o renglones) de la matriz aumentada del S.E.L., y en lugar de hablar de ecuaciones se habla de filas. ComoEij,KEi, K0, KEi+ Ejdenotan operaciones entre ecuaciones del sistema, denotaremosFij,KFi, (K0), KFi+ Fjlas operaciones respectivas en las filas de la matriz aumentada del sistema.Por ejemplo, si realizamos la operacin- 2 F1+ F2en la matriz

Obtenemos:

Ejemplo 8

La matriz aumentada final corresponde al sistema:

y si consideramos la solucin como una terna, la podemos escribir como (2, 0, -1).Este mtodo de comenzar con el S.E.L. para reducirlo en un S.E.L. equivalente

Se llama el proceso de reduccin Gauss - Jordan o Eliminacin de Gauss - Jordan.La matriz aumentada final que aparece en este proceso se dice que est en formaescalonada reducida.El mtodo de Gauss - Jordan es un refinamiento del mtodo de eliminacin de Gauss. En el mtodo de eliminacin de Gauss procedemos como en la forma anterior pero suspendemos el proceso cuando llegamos a una matriz ampliada como la marcada con asterisco, que se llamamatriz escalonada.Para resolver un sistema de ecuaciones lineales no es necesario aplicar eliminacin de Gauss - Jordan, es suficiente con el mtodo de eliminacin de Gauss.El sistema correspondiente a la matriz denotada con asterisco

Se puede resolver por sustitucin. De la ltima ecuacin se tiene quex3= - 1. Sustituyendo este valor en la segunda ecuacin y despejando, tenemos quex2= - 1 + 1 = 0. Conocidos los valores dex3yx2los sustituimos en la primera ecuacinx1+ 2(0) + (-1) = 1 y obtenemosx1= 2.Se puede demostrar que el nmero de operaciones aritmticas que hay que realizar es menor en el mtodo de Gauss que en el mtodo de Gauss - Jordan.Para resolver un sistema denecuaciones connincgnitas se requiereMtodo:Numero aprox. de operaciones

Mtodo de Eliminacin de Gauss

Mtodo de Eliminacin de Gauss - Jordan

Ejemplo 9

Ejemplo 10

Ejemplo 11

OBSERVACIN:En el proceso de eliminacin de Gauss en una misma etapa se pueden hacer varias operaciones elementales, teniendo presente que una fila afectada por una operacin elemental no puede ser utilizada en ms operaciones elementales en esta misma etapa.

ALGORITMO PARA ESCALONAR UNA MATRIZ(PARA LA ELIMINACIN DE GAUSS)

1. En la matriz ampliada del sistema localizamos la primera columna de izquierda a derecha, distinta de cero, y en esta buscamos un elemento no nulo preferiblemente un uno (si es posible).2. Si es necesario, intercambiamos la primera fila con la fila que contiene el elemento no nulo determinado anteriormente.3. Hacemos cero todas las dems entradas de la primera columna, sumando el mltiplo apropiado de la primera fila a las otras filas.4. Repetimos los pasos del 1 al 3, ignorando la primera fila. Continuamos de la misma manera hasta que toda la matriz est en forma escalonada (hasta terminar el proceso de eliminacin de Gauss).

Ejemplo 12

El primer elemento no nulo de una fila no nula en la matriz escalonada se llama pivote.Las variables que corresponden a las columnas donde hay pivotes se llaman variables bsicas o variables principales. Las variables que no son bsicas se llaman variables libres o parmetros.Para resolver el sistema equivalente se despejan las variables bsicas en trminos de las no bsicas y a las no bsicas se les asignan parmetros reales.En el ejemplo anterior tenemos: Variables bsicas: x1, x3, x6 Variables no bsicas: x2, x4, x5

Despejando las variables bsicas en trminos de las no bsicas el sistema queda as:

Finalmente hacemosx2=t, x4=r, x5=p, donde t, r y p son nmeros reales arbitrarios (parmetros).

La solucin en forma de n-tuplas es: