MÉTODO DE DIFERENCIAS MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS (FDM)FINITAS (FDM)

MÉTODO DE DIFERENCIAS MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS (FDM)FINITAS (FDM)

● Cambia  ecuaciones  diferenciales  a ecuaciones en diferencias finitas

● Relaciona  el  valor  de  la  variable dependiente  en  un  punto  a  valores  de puntos vecinos

FDM: PASOS PARA UNA FDM: PASOS PARA UNA SOLUCIÓNSOLUCIÓN

● Dividir la región de solución en una grilla de nodos

● Aproximar  la Ec. Diferencial en una Ec. de Diferencias  Finitas  equivalente,  que relacione  la  variable  independiente  en  un punto dentro de la región de solución a sus valores en varios puntos cercanos

● Solucionar  las  Ec  en  Diferencias  sujetas  a las  Condiciones  de  Frontera  y/o  a  las Condiciones Iniciales

NO OLVIDEMOS QUE:NO OLVIDEMOS QUE:

● La naturaleza del problema● La región de solución ● El tipo de CF

FDM depende de:FDM depende de:

PATRONES DE GRILLA 2DPATRONES DE GRILLA 2D

ESQUEMAS DE DIFERENCIAS ESQUEMAS DE DIFERENCIAS FINITAS: Primera DerivadaFINITAS: Primera Derivada

Diferencia Directa B­PDiferencia Directa B­P

Diferencia Inversa P­ADiferencia Inversa P­A

Diferencia Central B­ADiferencia Central B­A

ESQUEMAS: Segunda DerivadaESQUEMAS: Segunda Derivada

Cualquier aproximación de una derivada en términos Cualquier aproximación de una derivada en términos de sus valores en un conjunto discreto de puntos es de sus valores en un conjunto discreto de puntos es llamada: aproximación de llamada: aproximación de Diferencias FinitasDiferencias Finitas

ESQUEMAS: SERIE DE TAYLORESQUEMAS: SERIE DE TAYLOR

¿Qué es O( h¿Qué es O( hnn ) ? ) ?

Error introducido al truncar la serie

Error del orden de (x)4

Los términos que son  más grandes que (x)4

ESQUEMAS: SERIE DE TAYLORESQUEMAS: SERIE DE TAYLOR

¿Qué error existe?¿Qué error existe?

O(O(x)x)22

O(O(x)x)

Este error existe en todas las Diferencias 

Finitas

FDM: SOLUCIÓNFDM: SOLUCIÓN

Función a determinarFunción a determinar

Aproximación de Diferencia Aproximación de Diferencia central en el nodo central en el nodo (i, j)(i, j)

FDM: PDE PARABÓLICASFDM: PDE PARABÓLICASDifusión de Calor 1D

FDFD CDCD

FDM: PDE PARABÓLICAS  FDM: PDE PARABÓLICAS  Formula ExplicitaFormula Explicita

(x, t + t) (x, t)

El  valor  de El  valor  de   a  lo  largo  a  lo  largo de  la  1º    fila,  t  =de  la  1º    fila,  t  = t, t, puede  ser  calculado  en puede  ser  calculado  en términos de las CF y CI, términos de las CF y CI, entonces  los  valores de entonces  los  valores de   de la 2º fila,  t = de la 2º fila,  t = 22t, t, son  calculados  en son  calculados  en términos de la 1º fila y. . términos de la 1º fila y. . ..

MOLÉCULA COMPUTACIONALMOLÉCULA COMPUTACIONAL

0  r  1/2

El  cuadrado  se  usa  para  representar  el  punto  de  la  grilla El  cuadrado  se  usa  para  representar  el  punto  de  la  grilla donde donde   se  presume  conocido  y  el  circulo  donde  se  presume  conocido  y  el  circulo  donde     es    es desconocidodesconocido  

SOLUCIÓN ESTABLESOLUCIÓN ESTABLE

(1 – 2r) > 0(1 – 2r) > 0 0 0  r r  1/21/2

Si r = 1/2Si r = 1/2

Crank y Nicholson: Crank y Nicholson: Formula Formula impícitaimpícita

Puesto que la solución estable depende de r  o del tamaño del paso t, la formula explícita es ineficiente

CF( j )

CF( j +1)

Formula ImplícitaFormula Implícita

El lado derecho consiste de tres valores conocidos, mientras el lado izquierda tiene tres valores desconocidos de 

Formula ImplícitaFormula Implícita

Si existen n nodos libres a lo largo de cada fila, entonces para j = 0, Si existen n nodos libres a lo largo de cada fila, entonces para j = 0, aplicando la ecuación implícita a los nodos i = 1, 2, . . ., n resulta en n aplicando la ecuación implícita a los nodos i = 1, 2, . . ., n resulta en n ecuaciones simultáneas con n valores desconocidos  y con CF y CI ecuaciones simultáneas con n valores desconocidos  y con CF y CI conocidos  de conocidos  de  .  Similarmente,  para  j  =1,  se  obtiene  n  ecuaciones .  Similarmente,  para  j  =1,  se  obtiene  n  ecuaciones simultaneas  en  términos  de  los  valores  conocidos  de  j  =  0,  y  así simultaneas  en  términos  de  los  valores  conocidos  de  j  =  0,  y  así sucesivamente.sucesivamente.

El paso puede ser escogido  mucho mas grande que el de la formula El paso puede ser escogido  mucho mas grande que el de la formula implicita.  Se  pueden  escoger  muchos  valores  de implicita.  Se  pueden  escoger  muchos  valores  de  rr    pero  es    pero  es conveniente escoger conveniente escoger r = 1:r = 1:

|

EJEMPLOEJEMPLO

EJEMPLO: MÉTODO EJEMPLO: MÉTODO EXPLICITOEXPLICITO

MAL despeje 

EJEMPLO: MÉTODO EJEMPLO: MÉTODO EXPLICITOEXPLICITO

EJEMPLO: MÉTODO IMPLÍCITOEJEMPLO: MÉTODO IMPLÍCITO

EJEMPLO: MÉTODO IMPLÍCITOEJEMPLO: MÉTODO IMPLÍCITO

EJEMPLO: MÉTODO IMPLÍCITOEJEMPLO: MÉTODO IMPLÍCITO

FDM: PDE HIPERBÓLICASFDM: PDE HIPERBÓLICAS

Ec OndaEc Onda u: u: velocidad de ondavelocidad de onda

FDMFDM

Formula Explícita ­ MoléculaFormula Explícita ­ Molécula

r r ≤≤  1 1

EstabilidadEstabilidad

F. Explícita – Molécula simple  r = 1F. Explícita – Molécula simple  r = 1

r = 1r = 1

Inicio del Algoritmo de SoluciónInicio del Algoritmo de Solución

j = 0, t = 0j = 0, t = 0

?? Suponiendo ...Suponiendo ...

EJEMPLO: HiperbólicasEJEMPLO: Hiperbólicas

CFCF

CICI

CFCF

Solución AnalíticaSolución Analítica

EJEMPLO: HiperbólicasEJEMPLO: Hiperbólicas

FDM Explicito:FDM Explicito: r = 1r = 1

EJEMPLO: HiperbólicasEJEMPLO: Hiperbólicas

Puesto que  u = 1 y r = 1, Puesto que  u = 1 y r = 1, △△t = t = △△x. También, dado x. También, dado que el problema es simétrico con respecto a x = 0.5, que el problema es simétrico con respecto a x = 0.5, se soluciona únicamente para 0 < x < 0.5, t ≥ 0.se soluciona únicamente para 0 < x < 0.5, t ≥ 0.

EJEMPLO: SoluciónEJEMPLO: Solución

FDM: PDE's ELIPTICASFDM: PDE's ELIPTICASPoissonPoisson

FDM: PDE's ELIPTICASFDM: PDE's ELIPTICAS

Para cada punto (i , j) en la grilla de la Ec. de PoissonEc. de Poisson

h: Tamaño de la grilla

Laplace

PROMEDIO!

FDM ELIPTICAS ­ MOLECULASFDM ELIPTICAS ­ MOLECULAS

2° Orden2° Orden

FDM ELIPTICAS ­ MOLECULASFDM ELIPTICAS ­ MOLECULAS

4° Orden4° Orden

QUIZQUIZDIBUJE  UN  DIAGRAMA  DE FLUJO  PARA  DETERMINAR LA  SOLUCION  CON  LA FORMULA EXPLICITA

DIBUJE  UN  DIAGRAMA  DE FLUJO  PARA  DETERMINAR LA  SOLUCION  CON  LA FORMULA IMPLICITA

FDM: PDE's ELIPTICASFDM: PDE's ELIPTICAS

SOLUCION

GRAN NUMERO DE GRAN NUMERO DE ECUACIONESECUACIONES

ALGEBRAICASALGEBRAICAS

Método MatricialMétodo Matricial

[A]: Matriz [A]: Matriz SparseSparse (muchos ceros) (muchos ceros)[X]: Matriz columna de todos los valores [X]: Matriz columna de todos los valores  desconocidos en  desconocidos en 

los los nodos libres.nodos libres.[B]: Matriz columna de todos los valores [B]: Matriz columna de todos los valores conocidos en los conocidos en los 

nodos fijos.nodos fijos.

Método MatricialMétodo Matricial

La matriz La matriz AA también se caracteriza por tener  también se caracteriza por tener los términos no nulos, agrupados cerca a la los términos no nulos, agrupados cerca a la diagonal.diagonal.

Para determinar los valores de Para determinar los valores de XX desconocidos: desconocidos:

Métodos IterativosMétodos IterativosLos  métodos  iterativos  son  generalmente  usados  para Los  métodos  iterativos  son  generalmente  usados  para solucionar grandes sistemas de ecuaciones simultaneas. solucionar grandes sistemas de ecuaciones simultaneas. 

Un  método  iterativo  para  solucionar  ecuaciones  es  aquel  que Un  método  iterativo  para  solucionar  ecuaciones  es  aquel  que utiliza  una  primera  aproximación  para  calcular  la  segunda utiliza  una  primera  aproximación  para  calcular  la  segunda aproximación,  luego  esta  es  usada  para  calcular  la  tercera aproximación,  luego  esta  es  usada  para  calcular  la  tercera aproximación y así sucesivamente.aproximación y así sucesivamente.

Gauss­SeidelGauss­SeidelSuccessive over – relaxationSuccessive over – relaxation

SORSORJacobiJacobi

SORSOR

Residuo: cantidad en que el valor Residuo: cantidad en que el valor (i, j)(i, j) no  no satisface la ecuación anteriorsatisface la ecuación anterior

+

Para mejorar la convergencia:

SORSOR

●El  parámetro El  parámetro   se  denomina  el  se  denomina  el  factor  de  relajación factor  de  relajación  mientras  la mientras  la técnica es conocida como el método de Sobre­Relajación Sucesiva técnica es conocida como el método de Sobre­Relajación Sucesiva (SOR). El valor de (SOR). El valor de  se encuentra entre 1 y 2. ( Cuando se encuentra entre 1 y 2. ( Cuando  = = 1, el 1, el método simplemente se  llama relajación sucesiva). Su valor óptimo método simplemente se  llama relajación sucesiva). Su valor óptimo optopt debe hallarse con prueba y error. debe hallarse con prueba y error. 

●Para  iniciar  el  Algoritmo,  se  comienza  con  un  valor  inicial Para  iniciar  el  Algoritmo,  se  comienza  con  un  valor  inicial  00(i,  j) (i,  j) para  cada  nodo  libre.  Típicamente  se  elige para  cada  nodo  libre.  Típicamente  se  elige  00(i,  j)  =  0  o  con  el (i,  j)  =  0  o  con  el promedio de promedio de    en los nodos fijos. en los nodos fijos. 

EJEMPLOEJEMPLO

Solucione la ecuación de Laplace:Solucione la ecuación de Laplace:

concon

Paso:Paso:

EJEMPLO: ElípticasEJEMPLO: Elípticas

EJEMPLO: ElípticasEJEMPLO: Elípticas

EJEMPLO: ElípticasEJEMPLO: ElípticasSolucione la ecuación de Poisson (usando SOR):Solucione la ecuación de Poisson (usando SOR):

Banda AislanteBanda Aislante

EJEMPLO: Elípticas EJEMPLO: Elípticas  Sol. Analítica Sol. Analítica

CF Heterogéneas

CF Homogéneas

EJEMPLO: Elípticas – Sol. AnalíticaEJEMPLO: Elípticas – Sol. Analítica

EJEMPLO: Elípticas – Sol. AnalíticaEJEMPLO: Elípticas – Sol. Analítica

EJEMPLO: Elípticas – SOREJEMPLO: Elípticas – SOR

Factor de sobre­Factor de sobre­relajaciónrelajación

ConCon

NNxx ­ N ­ Nyy:: Numero de divisiones  Numero de divisiones 

                          a lo largo del eje x y ya lo largo del eje x y y

NNx x = N= Ny y = 4, 12, 20= 4, 12, 20 x = x = y = 1/4, 1/12, 1/20y = 1/4, 1/12, 1/20  

Recordando el problemaRecordando el problema

Banda AislanteBanda Aislante

EJEMPLO: Elípticas – SOREJEMPLO: Elípticas – SOR

Precisión y Estabilidad de las Precisión y Estabilidad de las soluciones del FDMsoluciones del FDM

● La La  estabilidadestabilidad  y  la  y  la  precisiónprecisión  son  son extremadamente  importantes,  si  la  solución extremadamente  importantes,  si  la  solución se desea confiable y útise desea confiable y útill

● La La precisiónprecisión es una medida de la cercanía de  es una medida de la cercanía de la  solución  aproximada  a  la  solución  exacta la  solución  aproximada  a  la  solución  exacta (si existe).(si existe).

● La La  estabilidadestabilidad  es el  requerimiento de que el  es el  requerimiento de que el esquema  no  incrementa  la  magnitud  de  la esquema  no  incrementa  la  magnitud  de  la solución al incrementar el tiempo (paso).solución al incrementar el tiempo (paso).

Fuentes de ErrorFuentes de Error

Existen tres fuentes de error, casi inevitables Existen tres fuentes de error, casi inevitables en la solución numérica de problemas físicos:en la solución numérica de problemas físicos:

Error deError de  ModeladoModelado

Error deError de  TruncamientoTruncamiento(Discretizar)(Discretizar)

Error deError deRedondeoRedondeo

PRECISIONPRECISION

Error de ModeladoError de Modelado

Sistema Sistema No LinealNo Lineal

SistemaSistemaLinealLineal

●Los  errores  de  Modelado  son  causados  por Los  errores  de  Modelado  son  causados  por ciertas  suposiciones  hechas  en  el ciertas  suposiciones  hechas  en  el modelamiento matemático.modelamiento matemático.

●Por ejemplo, un Sistema No Lineal que puede Por ejemplo, un Sistema No Lineal que puede representarse por medio de una PDE lineal.representarse por medio de una PDE lineal.

Error de Truncamiento Error de Truncamiento (Discretizaci(Discretizacióón)n)

● En análisis numérico se trata con un numero En análisis numérico se trata con un numero finito  de  términos  cuando  el  proceso  es finito  de  términos  cuando  el  proceso  es descrito por una serie infinita.descrito por una serie infinita.

● Por  ejm,  en  varios  esquemas  de  derivación Por  ejm,  en  varios  esquemas  de  derivación de FD, algunos términos de orden mayor en de FD, algunos términos de orden mayor en la serie de Taylor fueron despreciados.la serie de Taylor fueron despreciados.

Error de TruncamientoError de Truncamiento

● Se pueden  reducir usando grillas mas  finas, decrementando el  tamaño de  la  grilla h  y  el incremento temporal (paso) t. t. 

● También  se  pueden  disminuir  usando También  se  pueden  disminuir  usando aproximaciones de ordenes mas grandes.aproximaciones de ordenes mas grandes.

● Al  utilizar  aproximaciones  de  orden  mayor Al  utilizar  aproximaciones  de  orden  mayor pueden  producirse  soluciones  falsas  o pueden  producirse  soluciones  falsas  o inestabilidad.inestabilidad.

Error de RedondeoError de Redondeo

● Los cálculos se pueden realizar solo con una Los cálculos se pueden realizar solo con una precisión finita en un computador.precisión finita en un computador.

● Esta  fuente  de  error Esta  fuente  de  error  inevitableinevitable  se  debe  al  se  debe  al tamaño limitado de los registros en la unidad tamaño limitado de los registros en la unidad aritmética del computadoraritmética del computador

● Los  errores  de  redondeo  pueden  ser Los  errores  de  redondeo  pueden  ser minimizados  usando  la  aritmética  de  doble minimizados  usando  la  aritmética  de  doble precisión precisión 

Redondeo ­ DiscretizaciónRedondeo ­ Discretización

¿Y la solución puede crecer sin ¿Y la solución puede crecer sin limites?limites?

● Un  algoritmo  numérico  es  estable  si  un Un  algoritmo  numérico  es  estable  si  un pequeño error en cualquier ciclo produce  un pequeño error en cualquier ciclo produce  un error acumulativo pequeño.error acumulativo pequeño.

● La  consecuencia  de  la  inestabilidad  es La  consecuencia  de  la  inestabilidad  es desastrosa.desastrosa.

● En  el  paso En  el  paso  nn  ocurre  un  error  ocurre  un  error  nn,  asumiendo ,  asumiendo una variable independiente.una variable independiente.

● En el paso En el paso n+1n+1, la amplificación de este error , la amplificación de este error es:  es:  n+1n+1==ggnn

EstabilidadEstabilidad

● g: factor de amplificación● Para dos o mas variables:

Matriz

  n+1n+1==ggnn EstabilidadEstabilidad

Método de Von NeumannMétodo de Von NeumannPDE Parabólica:

Serie de Fourier:

k: numero de onda

PDE aprox.PDE aprox.LinealLineal

Método de Von NeumannMétodo de Von Neumann