Sistema de Ecuaciones Lineales- Métodos Iterativos -

Contenido

• Métodos Iterativos• Método de Jacobi• Método de Gauss-Seidel• Fórmulas Recursivas

Métodos Iterativos

• Los métodos iterativos son aquellos que producen una secuencia de aproximaciones sucesivas las cuales, bajo condiciones específicas, convergen a la solución verdadera.

• En estos métodos es necesario contar con un valor inicial para que el método empiece a iterar y se requiere además un criterio de convergencia para llegar a la solución.

• Los métodos representativos a éste tipo son:• Método de Jacobi• Método de Gauss-Seidel.

Método de Jacobi

• Un sistema de 𝒏𝒏 ecuaciones lineales con 𝒏𝒏 incógnitas

puede ser resuelto por el método iterativo de Jacobi cuando se satisface ciertas condiciones.Una condición suficiente pero no necesaria es la condición que garantiza la convergencia:

Método de Jacobi

• Las fórmulas recursivas del método de Jacobi para 𝒏𝒏 ecuaciones con 𝒏𝒏 incógnitas son:

• Si se satisface la condición de convergencia entonces las fórmulas recursivas de Jacobigenerarán una secuencia de aproximaciones sucesivas que convergerán en la solución exacta del sistema, iniciando con una aproximación arbitraria (𝒙𝒙𝟏𝟏𝟎𝟎,𝒙𝒙𝟐𝟐𝟎𝟎,𝒙𝒙𝟑𝟑𝟎𝟎, … ,𝒙𝒙𝒏𝒏𝟎𝟎).

• Ya que la condición de convergencia es no necesaria, puede que esta condición no se satisfaga y el método nunca converge.

Método de Jacobi

• Ejemplo:• Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales, con un valor de

convergencia de 0.1:

Método de Jacobi

• Note que el orden de las ecuaciones ha sido seleccionado de tal forma que los coeficientes de la diagonal principal predominan sobre los coeficiente fuera de la diagonal.

• Ya que los elementos de la diagonal son diferentes de cero, podemos expresar la variable 𝒙𝒙𝒊𝒊 en la 𝒊𝒊-ésima ecuación en términos de las variables restantes y la constante.

• El resultado lo podemos expresar en fórmula recursiva como sigue:

Método de Jacobi

• Éste sistema de ecuaciones lo podemos escribir en forma matricial:

• Las primeras iteraciones de la solución son dadas abajo, iniciando con 𝒙𝒙𝟏𝟏𝟎𝟎,𝒙𝒙𝟐𝟐𝟎𝟎,𝒙𝒙𝟑𝟑𝟎𝟎, … ,𝒙𝒙𝒏𝒏𝟎𝟎 = (𝟎𝟎,𝟎𝟎,𝟎𝟎) como solución inicial aproximada:

Método de Jacobi

• Evaluar convergencia

Método de Jacobi

• Evaluar convergencia

Método de Jacobi

• Evaluar convergencia

Método de Jacobi

• Evaluar convergencia

Si continuamos de esta forma, la aproximación 𝒙𝒙𝟏𝟏𝒌𝒌+𝟏𝟏,𝒙𝒙𝟐𝟐𝒌𝒌+𝟏𝟏,𝒙𝒙𝟑𝟑𝒌𝒌+𝟏𝟏convergerá a la solución exacta (3, 2, 1)

Método de Gauss-Seidel

• Este método iterativo para resolver un sistema de ecuaciones lineales es una simple modificación del método de Jacobi.

• Si las fórmulas recursivas son cambiadas de tal forma que cada vez que el valor 𝒙𝒙𝒊𝒊𝒌𝒌+𝟏𝟏 es calculado, éste sea usado para los cálculos de 𝒙𝒙𝒊𝒊+𝟏𝟏𝒌𝒌+𝟏𝟏,𝒙𝒙𝒊𝒊+𝟏𝟏𝒌𝒌+𝟏𝟏, … ,𝒙𝒙𝒏𝒏𝒌𝒌+𝟏𝟏, entonces obtenemos las siguientes fórmulas recursivas para Gauss-Sidel:

Método de Gauss-Seidel

• Una condición suficiente pero no necesaria para que converge el método de Gauss-Seidel es:

• Note que la condición es la misma que la del método de Jacobi, sin embargo, para una solución inicial aproximada, el método de Gauss-Seidelpuede converger para una solución verdadera mientras que el método de Jacobi no, y viceversa.

• Se ha mostrado que el método de Gauss-Seidel tiene el doble de razón de convergencia que el de Jacobi.

Fórmulas Recursivas

• Método de JacobiPara este método aplicar operaciones matriciales de multiplicación y suma de matrices.

0) Entrada de datos: 𝒏𝒏, número de ecuaciones; 𝒌𝒌𝒌𝒌, máximo número de iteraciones; 𝒆𝒆, criterio de convergencia; 𝑨𝑨, matriz de coeficientes; 𝑩𝑩, matriz de constantes.

1) Dividir el renglón 𝒊𝒊 de las matrices 𝑨𝑨 y 𝑩𝑩 entre 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 ≠ 𝟎𝟎

𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 =𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊

; 𝒃𝒃𝒊𝒊 =𝒃𝒃𝒊𝒊𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊

; (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏; 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏)

2) Inicializar contador de iteración 𝒌𝒌 = 𝟏𝟏. Igualar la matriz 𝑿𝑿𝟏𝟏 a cero: 𝒙𝒙𝒊𝒊𝟏𝟏 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎 (𝒊𝒊 =𝟏𝟏,𝒏𝒏)

3) Multiplicar la matriz 𝑨𝑨 por 𝑿𝑿𝟏𝟏 y sumarle la matriz 𝑩𝑩 para obtener 𝑿𝑿𝟐𝟐𝑿𝑿𝟐𝟐 = 𝑨𝑨 × 𝑿𝑿𝟏𝟏 + 𝑩𝑩

Fórmulas Recursivas

4) Evaluar convergencia:a) si cualquiera de 𝒙𝒙𝒊𝒊𝒌𝒌+𝟏𝟏 − 𝒙𝒙𝒊𝒊𝒌𝒌 > 𝜺𝜺, ir al paso 5b) si todos 𝒙𝒙𝒊𝒊𝒌𝒌+𝟏𝟏 − 𝒙𝒙𝒊𝒊𝒌𝒌 ≤ 𝜺𝜺, ir al paso 6

5) Evaluar el contador de iteración:a) si 𝒌𝒌 < 𝒌𝒌𝒌𝒌, incrementar 𝒌𝒌 a 1 y regresar al paso 3b) si 𝒌𝒌 ≥ 𝒌𝒌𝒌𝒌, ir al paso 7

6) Salida por convergencia. Escribir las soluciones:𝒙𝒙𝒊𝒊 = 𝒙𝒙𝒊𝒊𝒌𝒌+𝟏𝟏 (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏)

7) Salida. Escribir "El programa no pudo converger en 𝒌𝒌𝒌𝒌 iteraciones".

Fórmulas Recursivas

• Método de Gauss-Seidel0) Entrada de datos: 𝒏𝒏, número de ecuaciones; 𝒌𝒌𝒌𝒌, máximo número de iteraciones;

𝒆𝒆, criterio de convergencia; matriz aumentada [𝑨𝑨,𝑩𝑩].1) Dividir el renglón i de las matrices [𝑨𝑨,𝑩𝑩] entre aii (aii ≠ 0)

𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊 =𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊

; 𝒃𝒃𝒊𝒊 =𝒃𝒃𝒊𝒊𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊

; (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏; 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏)

2) Inicializar contador de iteración 𝒌𝒌 = 𝟏𝟏. Inicializar los valores de𝒙𝒙𝒊𝒊𝟏𝟏 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎 (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏)

3) Calcular las iteraciones sucesivas 𝒙𝒙𝒊𝒊𝒌𝒌+𝟏𝟏 usando la siguiente fórmula computacional:

𝒙𝒙𝒊𝒊𝒌𝒌+𝟏𝟏 = 𝒂𝒂𝒊𝒊,𝒏𝒏+𝟏𝟏 −�𝒊𝒊=𝟏𝟏

𝒊𝒊−𝟏𝟏

𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊𝒙𝒙𝒊𝒊𝒌𝒌+𝟏𝟏 − �𝒊𝒊=𝟏𝟏+𝟏𝟏

𝒏𝒏

𝒂𝒂𝒊𝒊𝒊𝒊𝒙𝒙𝒊𝒊𝒌𝒌 ; (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏)

Fórmulas Recursivas

4) Evaluar convergencia:a) Si cualquiera de 𝒙𝒙𝒊𝒊𝒌𝒌+𝟏𝟏 − 𝒙𝒙𝒊𝒊𝒌𝒌 > 𝜺𝜺, ir al paso 5b) Si todos 𝒙𝒙𝒊𝒊𝒌𝒌+𝟏𝟏 − 𝒙𝒙𝒊𝒊𝒌𝒌 ≤ 𝜺𝜺, ir al paso 6

5) Evaluar el contador de iteración:a) Si 𝒌𝒌 < 𝒌𝒌𝒌𝒌, incrementar 𝒌𝒌 a 1 y regresar al paso 3b) Si 𝒌𝒌 ≥ 𝒌𝒌𝒌𝒌, ir al paso 7

6) Salida por convergencia. Escribir las soluciones:𝒙𝒙𝒊𝒊 = 𝒙𝒙𝒊𝒊𝒌𝒌+𝟏𝟏 (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏)

7) Salida. Escribir "El programa no pudo converger en 𝒌𝒌𝒌𝒌 iteraciones".

Problemas

1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales manualmente por cada uno de los siguientes métodos:a) Matriz inversab) Método de Cramerc) Método de Gauss-Jordand) Método de Montante

3𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 + 6𝑧𝑧 = −72𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 − 3𝑧𝑧 = 174𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 = −4

La solución del sistema de ecuaciones es (2, 1, -3)

Problemas

2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales manualmente por cada uno de los siguientes métodos, considerando como valores iniciales (0, 0, 0). Se puede hacer uso de una tabla en Excel:a) Método de Jacobi (error de convergencia 0.1)b) Método de Gauss-Seidel (error de convergencia 0.01)

3𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 132𝑥𝑥 + 7𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 21𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 − 6𝑧𝑧 = 5

La solución del sistema de ecuaciones es (3, 2, 1)

Sistema de Ecuaciones Lineales- Métodos Iterativos -