Universidad Autónoma de Baja California

Facultad de Ingeniería, Arquitectura y Diseño

Métodos Numéricos

Prof. Juárez Luna Víctor M.

Practica #3

Adriana Godoy Iñiguez

Matricula: 326543

Grupo 031

Ensenada, B.C; a lunes 17 de septiembre de 2012.

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INDICE

Teoría “Método de Newton Raphson”…………………………………………3,4

Desarrollo de la practica ………………………………………………………..5,7

Conclusión y Bibliografía……………………………………………………….8

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Método de Newton-Raphson

En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier ) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente. f'(x)= 0 Sea f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n

Donde f ' denota la derivada de f.

Nótese que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable con forma analítica o implícita cognoscible. Existen variantes del método aplicables a sistemas discretos que permiten estimar las raíces de la tendencia, así como algoritmos que extienden el método de Newton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etc.

La primera de ellas es una simple interpretación geométrica. En efecto, atendiendo al desarrollo geométrico del método de la secante, podría pensarse en que si los puntos de iteración están lo suficientemente cerca (a una distancia infinitesimal), entonces la secante se sustituye por la tangente a la curva en el punto. Así pues, si por un punto de iteración trazamos la tangente a la curva, por extensión con el método de la secante, el nuevo punto de iteración se tomará como la abscisa en el origen de la tangente (punto de corte de la tangente con el eje X). Esto es equivalente a linealizar la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto ( , ( )) y cuya pendiente

coincide con la derivada de la función en el punto, .

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La nueva aproximación a la raíz, , se logra la intersección de la función lineal con el eje X de abscisas. Matemáticamente:

El orden de convergencia de este método es, por lo menos, cuadrático. Sin embargo, si la raíz buscada es de multiplicidad algebraica mayor a uno (i.e, una raíz doble, triple, ...), el método de Newton-Raphson pierde su convergencia cuadrática y pasa a ser lineal de constante asintótica de convergencia 1-1/m, con m la multiplicidad de la raíz.

Existen numerosas formas de evitar este problema, como pudieran ser los métodos de aceleración de la convergencia tipo ∆² de Aitken o el método de Steffensen. Derivados de Newton-Raphson destacan el método de Ralston-Rabinowitz, que restaura la convergencia cuadrática sin más que modificar el algoritmo a:

Se puede demostrar que el método de Newton-Raphson tiene convergencia cuadrática: si es raíz, entonces:

para una cierta constante . Esto significa que si en algún momento el error es menor o igual a 0,1, a cada nueva iteración doblamos (aproximadamente) el número de decimales exactos. En la práctica puede servir para hacer una estimación aproximada del error:

Error relativo entre dos aproximaciones sucesivas:

Con lo cual se toma el error relativo como si la última aproximación fuera el valor exacto. Se detiene el proceso iterativo cuando este error relativo es aproximadamente menor que una cantidad fijada previamente.

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1. Dadas las siguientes funciones:

Se encontró la primera derivada

Las raíces se encontraron por medio de un software Matemático (Wolframealpha) Raíz Real=0.567143

Se grafico cada función en un domino y se observaron las raíces

Se trazaron las graficas de cada función en un dominio donde se observo la raíz o raíces.

GRAFICA 1

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GRAFICA 2

Se trabajó mediante el método de Newton-Raphson.

Se usaron las siguientes formulas del método:

�� � 1 � �� � ��������

�� � |����� � �����| ∗ 100

�� � ������ � ���������� � ∗ 100

�� � ������ � ������� � ∗ 100

TABLA 1

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TABLA 2

Formulas utilizadas en Excel para la TABLA1

1era iteración =EXP(-B9)-B9 =-EXP(-B9)-1

2da iteración =(B9)-(C9/D9) =EXP(-B10)-B10 =-EXP(-B10)-1 =ABS(B10-B9)*100 =ABS((B10-B9)/B10)*100 =ABS((M5-B10)/B10)*100

Formulas utilizadas en Excel para la TABLA2

1era iteración =POTENCIA (B18;3)-5*POTENCIA(B18;2)-20

=3*POTENCIA (B18;2)-10*(B18)

2da iteración =(B18)-(C18/D18)

=POTENCIA(B19;3)-5*POTENCIA(B19;2)-20

=3*POTENCIA(B19;2)-10*(B19)

=ABS((B19-B18))*100

=ABS((B19-B18)/B19)*100

=ABS((M7-B19)/M7)*100

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CONCLUSIONES

En esta práctica fue más fácil por el tipo de método que utilizamos el de Newton Raphson por llega al resultado del problema de la forma más rápida y se basa en trazar rectas tangentes que toman la forma de la función por medio de su primer derivada la única desventaja de este método es encontrar la derivada de la función.

BIBLIOGRAFIA

Método de Newton aplicado al cálculo de la raíz cuadrada de un número El método de Newton en Mathcad Application Server (con animación) Método de Newton-Raphson: Notas, PPT, Mathcad, Maple, Matlab, Mathematica