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Sistemas de ecuaciones no lineales

Curso: Metodos Numericos en IngenierıaProfesor: Dr. Jose A. Otero HernandezCorreo: [email protected]: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM

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INTRODUCCION ITERACION DE PUNTO FIJO NEWTON-RAPHSON

Topicos

1 INTRODUCCIONSistema de ecuaciones no lineales

2 ITERACION DE PUNTO FIJOPresentacion del metodoPrograma MATLABCondicion de convergencia

3 NEWTON-RAPHSONPresentacion del metodoPrograma MATLAB

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Sistema de ecuaciones no lineales

¿Que es un sistema de ecuaciones no lineales?

f1(x1, x2, ..., xn) = 0,f2(x1, x2, ..., xn) = 0,

...fn(x1, x2, ..., xn) = 0.

¿Que es un sistema de ecuaciones no lineales?xi, i = 1, 2, . . . , n→ Incognitasfi, i = 1, 2, . . . , n→ Funciones no lineales con respecto xi

Ejemplos

u(x, y) = x2 + x y − 10 = 0v(x, y) = y + 3x y2 − 57 = 0

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Sistema de ecuaciones no lineales

SolucionSi xs = [xs1, x

s2, ..., x

sn], es la solucion del sistema de

ecuacionesEntonces: fi(xs) = 0, para i = 1, 2, . . . , n

Solucion exactaLos sistemas de ecuaciones no lineales no tienen solucionexacta o analıtica.Soluciones numericas son necesarias

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Topicos




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Presentacion del metodo

Metodos de iteracion de punto fijoEl metodo de iteracion de punto fijo estudiado anteriormentepuede modificarse para resolver un sistema de ecuaciones nolineales simultaneas.

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Ejemplos IBusquemos la solucion del sistema de ecuaciones no lineales:

u(x, y) = x2 + x y − 10 = 0v(x, y) = y + 3x y2 − 57 = 0

Hallar la funcion gx(x, y):

gx (x, y) =10− x2

y

Hallar la funcion gy(x, y):

gy (x, y) = 57− 3xy2

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Algoritmoxi+1 = gx (xi, yi)

yi+1 = gy (xi+1, yi)

Algoritmo: Ejemplos I

xi+1 =10−x2

iyi

yi+1 = 57− 3xi+1 y2i

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Programa MATLAB

function pun to f i j osenv1 ( gx , gy , x0 , y0 ,EE)% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %% punto f i j osenv1 : Nombre de l a func ion% Valores de entrada% gx : func ion matematica de entrada−>x=gx ( x , y )% gy : func ion matematica de entrada−>y=gy ( x , y )% x0 : Valor de i n i c i a l de x% y0 : Valor de i n i c i a l de y% EE: Er ro r Estimado% Valores de s a l i d a% Sal ida : Raiz x , EA x , Raiz y , EA y% IM : I t e r a c i o n Maxima% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %IM=1; x ( IM ) =x0 ; y ( IM ) =y0 ;EAx( IM ) =10ˆ3;EAy( IM ) =10ˆ3;while EAx( IM )>EE | | EAy( IM )>EE

x ( IM+1)=gx ( x ( IM ) , y ( IM ) ) ; y ( IM+1)=gy ( x ( IM+1) , y ( IM ) ) ;EAx( IM+1)=abs ( ( x ( IM+1)−x ( IM ) ) / x ( IM+1) ) ∗100;EAy( IM+1)=abs ( ( y ( IM+1)−y ( IM ) ) / y ( IM+1) ) ∗100;IM=IM+1;

endSal ida1 =[ ’ I t e r a c i o n Maxima= ’ ,num2str ( IM−1) ] ;Sal ida2 =[ x ( 2 : size ( x , 2 ) ) ’ EAx ( 2 : size ( x , 2 ) ) ’ y ( 2 : size ( y , 2 ) ) ’ EAy ( 2 : size ( y , 2 ) ) ’ ] ;disp ( ’ ’ )disp ( Sal ida1 )disp ( ’ ’ )disp ( ’ Raiz x EApro x Raiz y EApro y ’ )disp ( Sal ida2 )

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Programa MATLAB

>> pun to f i j osenv1 (@( x , y ) (10−x ˆ 2 ) / y ,@( x , y ) 57−3∗x∗y ˆ2 ,1 .5 ,3 .5 ,0 .001 )

I t e r a c i o n Maxima=106

Raiz x EApro x Raiz y EApro y

1.0e+154 ∗

0.0000 0.0000 −0.0000 0.0000−0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 −0.0000 0.0000−0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 −0.0000 0.0000−0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0.0000 0.0000 −0.0066 0.0000−0.0000 0.0000 0.1976 0.0000

0.0000 0.0000 −5.9275 0.0000−0.0000 0.0000 I n f NaN

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Programa MATLAB

Ejemplos IIBusquemos la solucion del sistema de ecuaciones no lineales:

u(x, y) = x2 + x y − 10 = 0v(x, y) = y + 3x y2 − 57 = 0

Hallar la funcion gx(x, y):

gx (x, y) =√

10− xy

Hallar la funcion gy(x, y):

gy (x, y) =

√57− y

3x

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Programa MATLAB

Algoritmo

xi+1 =√10− xiyi

yi+1 =√

57−yi3xi+1

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Programa MATLAB

>> pun to f i j osenv1 (@( x , y ) (10−x∗y ) ˆ 0 . 5 ,@( x , y ) ((57−y ) / (3∗ x ) ) ˆ 0 . 5 , 1 . 5 , 3 . 5 , 0 . 0 0 1 )


Raiz x EApro x Raiz y EApro y2.1794 31.1753 2.8605 22.35601.9405 12.3118 3.0496 6.19912.0205 3.9557 2.9834 2.21711.9930 1.3762 3.0057 0.74192.0024 0.4673 2.9981 0.25521.9992 0.1601 3.0007 0.08702.0003 0.0547 2.9998 0.02981.9999 0.0187 3.0001 0.01022.0000 0.0064 3.0000 0.00352.0000 0.0022 3.0000 0.00122.0000 0.0007 3.0000 0.0004

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Condicion de convergencia

Convergencia

∣∣∣∣∂gx∂x

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∂gx∂y

∣∣∣∣ < 1∣∣∣∣∂gy∂x

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣∂gy∂y

∣∣∣∣ < 1

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Topicos




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Metodos de Newton-RaphsonEl metodo de Newton-Raphson estudiado anteriormente puedemodificarse para resolver un sistema de ecuaciones no linealessimultaneas.

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Serie de Taylor de multiples variables

ui+1 = ui + (xi+1 − xi)∂ui∂x

+ (yi+1 − yi)∂ui∂y

vi+1 = vi + (xi+1 − xi)∂vi∂x

+ (yi+1 − yi)∂vi∂y

Considerando ui+1 = vi+1 = 0, para las raıces aproximadas,llegamos a un sistema de ecuaciones para determinar xi+1 yyi+1:

Serie de Taylor de multiples variables

xi+1∂ui∂x

+ yi+1∂ui∂y

= −ui + xi∂ui∂x

+ yi∂ui∂y

xi+1∂vi∂x

+ yi+1∂vi∂y

= −vi + xi∂vi∂x

+ yi∂vi∂y

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Formula de Newton-Raphson

xi+1 = xi −ui

∂vi∂y − vi

∂ui∂y

∂ui∂x

∂vi∂y −

∂ui∂y

∂vi∂x

yi+1 = yi −vi

∂ui∂x − ui

∂vi∂x

∂ui∂x

∂vi∂y −

∂ui∂y

∂vi∂x

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Programa MATLAB

function newtonraphsonsenv1 ( u , v , x0 , y0 ,EE)% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %% newtonraphsonSENv1 : Nombre de l a func ion% Valores de entrada% u , v : func iones matematicas de entrada% x0 : Valor de i n i c i a l de x , y0 : Valor de i n i c i a l de y0 , EE: Er ro r Estimado% Valores de s a l i d a% Sal ida : IM : I t e r a c i o n Maxima , Raiz y Er ro r Aproximado% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %syms x ydux=@( xx , yy ) subs ( d i f f ( u , x ) ,{x , y} ,{xx , yy}) ;duy=@( xx , yy ) subs ( d i f f ( u , y ) ,{x , y} ,{xx , yy}) ;dvx=@( xx , yy ) subs ( d i f f ( v , x ) ,{x , y} ,{xx , yy}) ;dvy=@( xx , yy ) subs ( d i f f ( v , y ) ,{x , y} ,{xx , yy}) ;IM=1; rx ( IM ) =x0 ; ry ( IM ) =y0 ; EAx( IM ) =10ˆ3;EAy( IM ) =10ˆ3;while (EAx( IM )>EE) | | (EAy( IM )>EE)

rx ( IM+1)= rx ( IM )−(u ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )−v ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) . . .∗duy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) / ( dux ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) − . . .duy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvx ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) ;

ry ( IM+1)= ry ( IM )−(v ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dux ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )−u ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) . . .∗dvx ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) / ( dux ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) − . . .duy ( rx ( IM ) , ry ( IM ) )∗dvx ( rx ( IM ) , ry ( IM ) ) ) ;

EAx( IM+1)=abs ( ( rx ( IM+1)−rx ( IM ) ) / rx ( IM+1) ) ∗100;EAy( IM+1)=abs ( ( ry ( IM+1)−ry ( IM ) ) / ry ( IM+1) ) ∗100;IM=IM+1;

endSal ida1 =[ ’ I t e r a c i o n Maxima= ’ ,num2str ( IM−1) ] ;Sal ida2 =[ rx ( 2 : size ( rx , 2 ) ) ’ EAx ( 2 : size ( rx , 2 ) ) ’ r y ( 2 : size ( ry , 2 ) ) ’ EAy ( 2 : size ( ry , 2 ) ) ’ ] ;disp ( ’ ’ ) ; disp ( Sal ida1 )disp ( ’ ’ ) ; disp ( ’ Raiz x EApro x Raiz y EApro y ’ )disp ( Sal ida2 )

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Programa MATLAB

>> newtonraphsonsev1 (@( x , y ) x ˆ2+x∗y−10,@( x , y ) y+3∗x∗y ˆ2−57 ,1.5 ,3.5 ,0.001)


Raiz x EApro x Raiz y EApro y2.0360 26.3272 2.8439 23.07151.9987 1.8676 3.0023 5.27642.0000 0.0650 3.0000 0.07632.0000 0.0000 3.0000 0.0000

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