Ecuaciones Diferenciales No Lineales y Estabilidad

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      Análisis Matemático III Unidad 5: ED No Lineales. Estabilidad

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    Ecuaciones diferenciales no lineales y estabilidad

    Introducción

    Hasta este momento, en la mayor parte de nuestro estudio se han visto métodos para resolverecuaciones y sistemas diferenciales. Principalmente hemos considerado ecuaciones lineales paralas cuales existe una compleja y extensa teoría. Sin embargo, hemos considerado algunasecuaciones simples no lineales de primer orden, notando que por lo general es muy difícil, sinoimposible, encontrar una solución a una ecuación diferencial dada en una forma razonablementeconveniente y explícita, en estos casos. Por lo tanto es importante considerar que puedeobtenerse información cualitativa acerca de las soluciones de las ecuaciones diferenciales, en particular de las no lineales, sin resolverlas realmente.En este capítulo desarrollaremos algunas ideas cualitativas acerca de las soluciones de lossistemas de ecuaciones diferenciales, usando directamente su expresión analítica del mismo, sinnecesidad de obtener implícita o explícitamente las soluciones del mismo.

    Hay varias maneras de estudiar el problema. En una de ellas puede analizarse directamente laforma de la ecuación diferencial para obtener información acerca de las soluciones. Por logeneral, se requiereinformación sobre las soluciones cerca de puntos en los cuales hemosencontrado que está sucediendo algo particularmente interesante. Si la variable independiente est   (usualmente representa el tiempo), también deseamos investigar el comportamiento de lassoluciones cuando el tiempo crece ( → ∞) o decrece ( →−∞). Este tipo de comportamientose llama comportamiento asintótico de las soluciones.Otra manera de abordar los problemas es linealizarlos. Las ecuaciones y sistemas diferencialesque sirven de modelo a muchos fenómenos de interés ingenieril (el clima, reacciones nucleares,dinámica de poblaciones, etc.) son no lineales. Algunas veces es posible reemplazar un modelo

    no lineal por un problema lineal convenientemente elegido, de manera que las soluciones del problema lineal nos revelen las propiedades de las soluciones del problema no lineal. Este proceso se llama linealización.Otra idea que consideraremos en este capítulo se asocia principalmente al concepto deestabilidad de una solución, ya que en las aplicaciones tales como teoría de control automático,una pregunta importante es si pequeños cambios en las condiciones iniciales (entrada) conducena pequeños cambios (estabilidad) o a grandes cambios (inestabilidad) en la solución (salida).Consideremos un péndulo. Si la lenteja tiene una posición inicial como la de la Fig.1 y se suelta,se moverá hacia abajo y eventualmente llegará a un estado de reposo con la lenteja abajo. Si alcontario, el péndulo se coloca verticalmente con la lenteja, ya sea abajo (Fig. 2) o arriba (Fig. 3)

    el péndulo permanecerá en estas posiciones a menos que se le perturbe. Estas posiciones sellaman puntos críticos o puntos de equilibrio del péndulo.

    Figura 1 Figura 2 Figura 3

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    Una cuestión de interés es si una partícula que se desplaza ligeramente partiendo de un punto deequilibrio, regresa al punto de equilibrio, se aleja de él o se mueve simplemente en la vecindad.Para el caso analizado, imaginemos las posibilidades de un desplazamiento pequeño de lalenteja de un péndulo desde (a) una posición vertical descendente con resistencia de aire, (b) una

     posición vertical ascendente con o sin resistencia de aire y (c) una posición vertical descendentesin resistencia de aire (Fig. 4). En el caso (a) decimos que el punto crítico (de equilibrio) esasintóticamente estable, en (b) es inestable y, en el (c), es estable pero no asintóticamente.

    Figura 4

    Por lo tanto, el término estable se utiliza para describir una posición o estado de un sistema quetiene la propiedad de que éste regresa a esta posición o estado después de una pequeña perturbación. El término inestable da la idea de que el sistema no regresa a su estado inicial, nisiquiera después de una perturbaciónaún muy pequeña.

    Soluciones de sistemas autónomos

    El resto de la unidad nos interesaremos en los sistemas de dos ecuaciones diferencialessimultáneas de la forma

     = (,) 

     = (,)  (1)

    Supongamos que las funciones F y G son continuas y tienen derivadas parciales continuas enalgún dominio D, en el plano xy. Entonces, por el teorema de existencia y unicidad de lassoluciones a un PVI, si (0 ,0)  es un punto en este dominio, existe una solución única  =, y  = () del sistema (1) que satisface las condiciones iniciales.

    0 = 0  0 = 0  (2)

    La solución está definida en algún intervalo  <  <  el cual contiene al punto 0.Observemos que la variable independiente  no aparece explícitamente en las ecuaciones (1).Tales sistemas se llaman autónomos. Físicamente, un sistema autónomo es uno en el que los

     parámetros del sistema no dependen del tiempo. Éstos son frecuentes en la práctica, porejemplo, el sistema que modela el movimiento de un péndulo no amortiguado de longitud l ,modelos de depredador-presa, entre otros.Antes de analizar en detalle los modelos señalados sistemas haremos algunas observacionesgenerales acerca de los sistemas dados en (1).Cualquier solución  = , = ()de (1) se llama trayectoria del sistema. En el caso en elque  =  y  = , la trayectoria tiene un único punto en su gráfica.También podemos pensar en las funciones  = , = ()como las ecuaciones paramétricas de una curva en el plano. En las discusiones, es conveniente identificar a unatrayectoria con su gráfica y hablar de la trayectoria y de la curva o de la gráfica indistintamente.

    Ejemplo 1 : Consideremos el sistema ′ =  + ;′ = 2. Este es un sistema

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    autónomo con , =  +  y , = 2.Podemos obtener su solución por medio de los métodos vistos en la unidadanterior, la que puede expresarse

     =  = 1− + 22 

     =  = −21− + 22  

    Para cada elección de 1  y 2, las funciones  = , = ()  sonecuaciones paramétricas de una curva en el plano. Estas curvas son las gráficasde las trayectorias del sistema de ED y también nos referimos a ellas comotrayectorias. Por ejemplo, si 1 = 0 y 2 = 1, obtenemos

     = 2 =  Esta trayectoria (Fig. 5) es una semirrecta desde el origen, ya que 2 > 0 paratodo t . Además, el origen no está en esta trayectoria, a pesar de que hay puntosen la trayectoria tan cerca de (0,0)  como queramos porque 2 → 0  cuando

    →−∞.De manera análoga, si escogemos 1 = 1 y 2 = 0, tenemos = −2− = −2 

    Esta trayectoria (Fig. 6) es una semirrecta desde el origen con pendiente −2. 

    Dado cualquier punto (0 ,0) y cualquier tiempo 0 podemos encontrar unasolución  = , = ()  del sistema que satisfaga las condicionesiniciales 0 = 0, 0 = 0. Entonces existe una trayectoria que pasa porcada punto (0 ,0)  del plano. Por ejemplo, sea 0 = 0, 0 = 1,0 = 0,

    encontramos para este PVI que 1 = 1

    3  y 2 =

     2

    3, así que la trayectoria que

    satisface (0) = 1,(0) = 0 está dada paramétricamente por =

    1

    3− +

    2

    32  

     =−23− +

    2

    32 

    La trayectoria que pasa por (0,1) se muestra en la figura 7.

    Figura 5

    Figura 6

    Figura 7

    He aquí algunos hechos respecto de las trayectorias. Supongamos que  F   y G  son funcionescontinuas para todo ( x,y) en el sistema (1). Con primeras derivadas parciales continuas.1.  Dado cualquier punto 0 en el plano existe una trayectoria que pasa por 0. El PVI tiene una

    solución única y  = , = () son ecuaciones paramétricas de una curva que pasa por(0 ,0).

    2.  Una traslación de una trayectoria es una trayectoria. Supongamos que  = , = () esuna solución del sistema (1). Si c es cualquier constante, podemos verificar que la sustitución =  + , = ( + )  también satisfacen el sistema y, por lo tanto, tambiéndeterminan una trayectoria. Llamamos a las soluciones  =  + , = ( + )  unatraslación de  = , = () por la constante c.

    3.  Si dos trayectorias pasan por el mismo punto (0 ,0), una trayectoria es una traslación de laotra. Podemos decir que existe una trayectoria que pasa por cada punto del plano y todas lastrayectorias que pasan por un punto dado son traslaciones unas de otras.

    4. 

    Las trayectorias son dirigidas en el siguiente sentido. Supongamos que las ecuaciones paramétricas son  = , = (). Conforme t   crezca podemos ver los puntos

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    (,)  moviéndose a lo largo de la trayectoria en cierta dirección. Esto impone unsentido de dirección a lo largo de la trayectoria, y usualmente esto se indica colocandoflechas en la gráfica de la trayectoria. Es, de hecho, posible darse una buena idea de ladirección a lo largo de la trayectoria a partir del sistema (1) mismo. Así, si 0 ,0 < 0  y

    0 ,0 > 0, entonces ′

    < 0 (por lo que x se mueve hacia la izquierda) y ′

    > 0 (así quey se mueve hacia arriba) en 0 ,0.Figura 8.

    5.  Una trayectoria no puede cruzarse a sí misma. Intuitivamente, esto significa que la curva dela Figura 9 no puede ser la gráfica de una trayectoria. Sin embargo, las trayectorias puedenser curvas cerradas(Figura 10). Las trayectorias cerradas representan a las soluciones periódicas del sistema (1).

    Figura 8  Figura 9  Figura 10 

    En el caso de los sistemas autónomos (1), llamaremos al plano  xy el plano fase del sistema. Aldibujo del conjunto de trayectorias en el plano fase se le llama retrato fase del sistema.

    Ejemplo 2 : Consideremos el sistema ′

    =  + ;′

    = −4 + . La solución general del sistema es =  = [1(2) + 2(2)] 

     =  = 2[−1(2) + 2(2)] El retrato fase de este sistema consiste en el dibujo de las trayectorias en el plano xy obtenidas eligiendo diferentes valores de 1  y 2. La figura 11muestra tres trayectorias 1 ,2 y 3.1 es la gráfica de  = 2, = −2(2) 

    2 es la gráfica de  = 2, = 2(2) 

    3 es la gráfica de = 22 − 22, = 4[−2 − 2cos2] 

    Las flechas en las trayectorias indican la dirección del movimiento a lo largode la trayectoria cuando t  crece.

    Figura 11

    Llamamos a un punto punto crítico  (o punto de equilibrio) del sistema autónomo (1) si0 ,0 = 0 ,0 = 0. Un punto crítico se llama aislado  si existe un disco de radio positivo alrededor de 0 ,0  que no contenga a ningún otro punto crítico del sistema.Estudiaremos únicamente sistemas cuyos puntos críticos sean aislados.

    Observemos que si 0 ,0  es un punto crítico de (1) la solución del PVI formado por elsistema (1) y las condiciones (2) tiene una trayectoria de un solo punto. Como ′0 =

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    (0),(0) = 0 ,0 = 0 y análogamente ′0 = 0 ,0 = 0, la solución no puedeabandonar al punto 0 ,0 en ningún tiempo t . Por lo tanto, la trayectoria a través del puntocrítico consta del único punto crítico 0 ,0.Como las trayectorias diferentes de un sistema autónomo no pueden cruzarse unas a otras,

    ninguna otra trayectoria puede pasar a través de un punto crítico. Así que, si una trayectoriaempieza en un punto que no es crítico, nunca puede llegar a un punto crítico. Puede, sinembargo, aproximarse arbitrariamente a un punto crítico de varias maneras.A continuación clasificaremos los puntos críticos de acuerdo al comportamiento de lastrayectorias que empiezan cerca de ellos o se aproximan a ellos. Asu vez, estas clasificacionesnos permitirán describir diferentes tipos de comportamientos de las soluciones.

    Estabilidad y clasificación de puntos críticos

    Recordemos que el retrato fase de un sistema autónomo′ = (,) 

    ′ = (,)  (3)Consiste en los trazos de trayectorias en el plano fase (el plano xy). En tal dibujo, usualmentecolocamos flechas en cada trayectoria para indicar la dirección del movimiento de un punto(,)  a lo largo de la trayectoria conforme t   crece. Ahora veremos cómo surgen lasdiferentes conformaciones de las trayectorias.Dos preguntas importantes que nos planteamos son las siguientes:1.  Si dos trayectorias están “cerca una de otra” en un tiempo, ¿permanecerán cercanas en

    tiempos posteriores, o se alejarán una de la otra? Esta es la pregunta sobre la estabilidad. Enun punto estable del sistema, las trayectorias permanecerán cercanas en el sentido quedefiniremos más adelante. En un punto inestable, las trayectorias se alejarán unas de otras.

    2. 

    ¿Cómo se comportan las trayectorias cuando → ∞o cuando →−∞? Ésta es la preguntadel comportamiento asintótico.

    Supondremos que 0 ,0 es un punto crítico aislado del sistema autónomo (3) y denotaremos por  y  a las soluciones del sistema (3) y consideraremos la trayectoria (,).

    Definición : Decimos que una trayectoria (,) se aproxima a0 ,0 si

    lim→∞

     = 0  y lim→∞  = 0 

    o

    lim→−∞  = 0 y lim→−∞  = 0 .∎ 

    Una manera de pensar en este concepto es que el punto (,) se aproxima a 0 ,0 sifinalmente (para t suficientemente grande) se mueve dentro de un disco arbitrariamente pequeñocon centro en 0 ,0  o (cuando t crece a partir de−∞) surge de un disco arbitrariamente pequeño con centro en 0 ,0. La trayectoria no puede pasar por el punto crítico, de modo quenunca, de hecho llega, a 0 ,0.

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    Definición : Una trayectoria (,)  entra a 0 ,0  si seaproxima a 0 ,0, y además

    − 0

    − 0 

    tiene límite finito cuando → ∞o cuando →−∞. ∎ 

    La interpretación geométrica de ( − 0)/( − 0)  es la pendiente de la recta que pasa por(,) y por 0 ,0, la definición requiere que la recta 0  tienda a una dirección fija cuando tcrece (o cuando →−∞). Ahora distinguiremos cuatro tipos de puntos críticos de acuerdo al comportamiento de lastrayectorias cerca del punto.

    Definición : CentroUn punto crítico 0 ,0  es un centro si está encerrado por unafamilia infinita de trayectorias cerradas de la familiaarbitrariamente cercanas a 0 ,0  pero ninguna de ellas seaproxima a 0 ,0.

    Definición : Punto sillaUn punto crítico 0 ,0  es un punto silla si las trayectorias son

    como se muestra en la figura 12. Hay dos trayectorias en forma desemirrecta 0  y 0  que se aproximan a 0 ,0 cuando , y dostrayectorias en forma de semirrecta 0  y 0  que se aproximan a0 ,0  cuando →−∞; las otras trayectorias tienen a estascurvas como asíntotas y tienen una forma parecida a las hipérbolas.Observemos las direcciones a lo largo de las trayectorias queentran: hacia 0 ,0  cuando → ∞  y alejándose de 0 ,0 cuando →−∞.

    Figura 12

    Definición : Punto espiralUn punto crítico 0 ,0 es un punto espiral si existe en círculo Calrededor de 0 ,0  tal que toda trayectoria que esté dentro delcírculo gira en espiral alrededor de 0 ,0 una infinidad de vecesy se aproxima a 0 ,0.

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    Definición : NodoUn punto crítico 0 ,0 es un nodo si hay una familia infinita detrayectorias que entran a él.

    Definiremos ahora lo que significa que un punto crítico sea estable, recordando que,intuitivamente, un punto crítico es estable si las trayectorias que están cerca de él en algúnmomento permanecen en una vecindad del punto para todos los tiempos posteriores.

    Definición : Punto crítico estableUn punto crítico 0 ,0 es estable si para cada  > 0 existe unr con0 ≤ ≤ , tal que todas las trayectorias que entran alcírculo de radio r con centro en 0 ,0 en algún momento 0, permanecen dentro del círculo de radio Rconcentro en 0 ,0  para todo tiempo  > 0 . ∎ 

    Figura 13

    Observemos que en la definición, ≤ . Si 0 ,0  es estable, cualquier trayectoria que seacerque a 0 ,0r unidades en algún momento 0, permanece a partir de este momento a

    menos de  R unidades de 0 ,0  (pero no necesariamente a menos de r unidades). Esteconcepto se ilustra en la figura 13.Un punto crítico que no es estable se llama inestable.La estabilidad asintótica se refiere a un punto estable que tiene la propiedad adicional de quetodas las trayectorias que se acercan suficientemente a 0 ,0  deben de hecho tender oaproximarse a 0 ,0. 

    Definición : Punto crítico asintóticamente estableUn punto crítico 0 ,0 es asintóticamente estable si es establey existe un círculo C con centro en 0 ,0  tal que toda

    trayectoria que esté dentro de C en un momento 0 se aproxima(tiende) a 0 ,0 cuando → ∞. ∎ 

     Nuestra intención al formular estos conceptos es estudiar los sistemas no lineales. Sin embargo,en el caso de los sistemas lineales, es posible establecer un resultado definitivo que utilizaremos posteriormente cuando linealicemos problemas, y también nos proveen una gran cantidad deejemplos de la terminología que hemos desarrollado.

    Teorema 1 : Clasificación de puntos críticos de un sistema lineal

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    Sean a, b, c y d reales tales que−≠ 0. Entonces el origen es el único punto crítico delsistema lineal

    ′ =  +  ′ =  +  

    Además, sean 1 y 2 las raíces de la ecuación auxiliar2 −  +  + − = 0 Podemos entonces obtener las siguientes conclusiones:1.  (0,0) es un nodo si 1 y 2 son reales, distintas y del mismo signo. En este caso (0,0) es

    asintóticamente estable si 1  y 2  son ambas negativas, e inestable si 1  y 2  son ambas positivas.

    2.  (0,0)  es un punto silla si 1  y 2  son reales, distintas y de signos opuestos. En este caso(0,0) es inestable.

    3.  (0,0) es un punto espiral si 1 y 2 son complejas conjugadas con parte real distinta de cero.Además, (0,0) es asintóticamente estable si 1 tiene parte real negativa y es inestable si la

     parte real es positiva.4.  (0,0)  es un nodo si 1  y 2  son iguales. En este caso (0,0)  es asintóticamente estable si1 < 0 e inestable si 1 > 0 .

    5.  (0,0)  es un centro si 1  y 2  son imaginarias puras. Además, (0,0)  es estable pero noasintóticamente estable. ∎ 

    Ejemplo 3 : Un nodo asintóticamente estableConsideremos el sistema

    ′ = −3 +  ′ = − 3 

    La ecuación auxiliar es 2 + 6 + 8 = 0 con raíces 1 = −4, 2 = −2.La solución general del sistema es

     = 1−4 + 2−2  = −1−4 + 2−2  

    Si 1 ≠ 0 y 2 = 0 obtenemos trayectorias en forma de semirrecta = −, teniendo x el mismo signo que 1.Si 2 ≠ 0 y 1 = 0 obtenemos trayectorias en forma de semirrecta = , teniendo x el mismo signo que 2. Estas trayectorias entran

    al origen.

    Figura 14

    Para hallar las trayectorias en el plano de las fases para las cuales 1 ≠ 0 y 2 ≠ 0 se plantea laecuación de primer orden (esto puede realizarse porque el sistema es autónomo) siguiente:

    =

     =−3−3+

     

    ecuación diferencial homogénea, que resuelta como tal da como solución(+)2

    − = 1.

    ()()

     =−1−4+2−2

    1−4+2−2→ 1  cuando → ∞ 

    Las trayectorias formadas cuando tanto 1 como 2 son distintas de cero entran al origen con pendiente 1 y el origen es un nodo asintóticamente estable. Figura 14.

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    Ejemplo 4 :Consideremos el sistema

    = − + 3 ′ = 2 − 2 La ecuación auxiliar es

    2 + 3 − 4 = 0 con raíces 1 = 1, 2 = −4.La solución general del sistema es

     = 1 + 2−4 

     =2

    31 − 2−4  

    Si1 = 0  y 2 ≠ 0entonces  = − = −2−4 . Estas trayectorias en forma de semirrectaentran al origen con pendiente

    −1 cuando

    → ∞.

    Si1 ≠ 0 y 2 = 0entonces  = 2

    3 =  2

    31 . Estas trayectorias en forma de semirrecta entran al

    origen con pendiente2

    3cuando →−∞  (la punta de la flecha se aleja del

    origen).Para hallar las trayectorias en el plano de las fases para las cuales 1 ≠ 0 y2 ≠ 0  se plantea la ecuación de primer orden (esto puede realizarse porque el sistema es autónomo) siguiente:

    =

     =  2−2−+3

     

    ecuación diferencial homogénea cuya solución es (3 − 2)( + )4 = .El retrato fase se muestra en la figura 15.

    Figura 15

    Cuando el punto crítico 0 ,0 no es el origen, es posible trasladar el sistema de manera que enla sustitución

     = 0 +   = 0 +  

    u y v satisfagan un sistema autónomo con punto crítico en el origen, con igual comportamiento

    que el sistema original.

    Ejemplo 5 :Consideremos el sistema

    ′ = 2 −  ′ = − 1 

    Es claro que el punto crítico es 0 ,0 = (1,2). Luego mediante la sustitución  = − 1;  = − 2se traslada el sistema a otro de la forma

    ′ = −  ′ =  

    que presenta un único punto crítico aislado, (0,0). La ecuación auxiliar correspondiente es2 + 1 = 0 

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    con raíces 1,2 = ±. Luego, (0,0) es un centro estable en ambos sistemas.

    La ecuación diferencial de las trayectorias en el plano uves

     = −  

    que tiene como soluciones 2 + 2 = , circunferencia en el plano uv, y que se correspondecon ( − 1)2 + ( − 2)2 =  en el plano xy.

    Sistemas casi lineales

    Ahora regresemos a estudiar el sistema general autónomo en  x y  y, que dependen de t . Como t  no aparece explícitamente en el sistema, tenemos que

    ′ = , ′ = (,) 

    (4)

    Los aportes más importantes de este análisis nos permitirán llegar a conclusiones delcomportamiento de las soluciones del sistema (4) cuando éste “no es demasiado diferente” de un

    sistema lineal. Para definir lo que significa “no es demasiado diferente” consideremos el sistema ′ =  + + , 

    ′ =  +  + (,)  (5)dondea, b, c y d  son constantes.Intuitivamente si (,)  y (,)  tiende a cero “suficientemente rápido” conforme (,) tiende al origen, el sistema (5) puede aproximarse por el sistema lineal

    ′ =  +  ′ =  +  

    (6)

    y las soluciones de los dos sistemas exhibirán un comportamiento similar en el origen.La condición que le pediremos a (,)  y (,)  es que tiendan a cero más rápido que ladistancia del origen a (,). Esta condición puede escribirse

    lim ,→(0,0)

    (,)

     2 + 2 = lim ,→(0,0)(,)

     2 + 2 = 0 Cuando se satisface esta condición decimos que el sistema (5) es casi lineal. Para que estoslímites sean cero es necesario, pero no suficiente que 0,0 = 0,0 = 0. Esto esexactamente lo que se necesita para que el origen sea un punto crítico del sistema (5).Enunciaremos ahora el principal resultado sobre sistemas casi lineales.

    Teorema 2 :

    Supongamos que el sistema (5) es casi lineal y que −≠ 0. Supongamos que P  y Q tienen primeras derivadas parciales continuas para todo (x,y) y que 0,0 es un punto crítico aislado delsistema

    Sean 1 y 2 las raíces de la ecuación auxiliar2 −  +  + − = 0 

    Entonces, las soluciones de los sistemas (5) y (6) tienen el mismo comportamiento en (0,0), enel siguiente sentido.

    1.  Si 1 y 2 son reales, distintas y del mismo signo, el origen es un nodo en ambos sistemas.2.  Si 1 y 2 son reales, distintas y de signos opuestos, el origen es un punto silla en ambos

    sistemas.3.  Si 1 = 2, el origen es un nodo en ambos sistemas a menos que  = ≠ 0 y  =  = 0: en

    este caso el origen es un nodo en el sistema lineal pero puede ser un nodo o un punto espiral

    en el sistema no lineal.

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    4.  Si 1 y 2 son complejos, con parte real distinta de cero, el origen es un punto espiral enambos sistemas.

    5.  Si 1 y 2 son imaginarias puras, el origen es un centro en el sistema lineal y es un centro oun punto espiral en el sistema no lineal.∎ 

    Ejemplo 6 :Consideremos el sistema no lineal

    ′ = 4 − 2 − 4 ′ =  + 6 − 82 

    En las cercanías de (0,0) podemos pensarlo como el sistema lineal′ = 4 − 2 ′ =  + 6 

     perturbado por la suma de dos términos no lineales , = −4  y , = −82. P  y

    Q son continuas con primeras derivadas parciales continuas en todo el plano. Además, 0,0 =0,0 = 0 y (0,0) es un punto crítico aislado tanto del sistema lineal asociado como del nolineal. Finalmente

    lim ,→(0,0)

    −4

     2 + 2= lim

    ,→(0,0)

    −82

     2 + 2= 0 

    Por lo tanto, podemos utilizar el Teorema 2 para analizar la naturaleza de los puntos críticos. Laecuación auxiliar del sistema lineal es

    2 − 10 + 26 = 0 con raíces 1,2 = 5 ± . Por la conclusión 4 del Teorema 2, (0,0) es un punto espiral en elsistema no lineal.

    El siguiente resultado de Liapunov nos permite extraer conclusiones acerca de la estabilidad delorigen en sistemas casi lineales que satisfagan las hipótesis del Teorema 2.

    Teorema 3. Teorema de Liapunov 

    Bajo las hipótesis del Teorema 2 podemos sacar las siguientes conclusiones1.  Si 1  y 2  son reales negativas o complejas con parte real negativa, el origen es

    asintóticamente estable en ambos sistemas (5) y (6).2.  Si 1  y 2  son reales positivas o complejas con parte real positiva, el origen es un punto

    crítico inestable en ambos sistemas (5) y (6).

    Por ejemplo, usando el teorema de Liapunov, concluimos que el origen es un punto espiralinestable en el Ejemplo 6.

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    Ejemplo 7: Consideremos el sistema 

    ′ = −2 + 22 ′ = −3 +  + 32 

    Hay dos puntos críticos para este sistema (0,0) y (1,0). Cerca de(0,0), el retrato fase para el sistema no lineal debe parecerse al delsistema linealizado

    ′ = −2 ′ = −3 +  

    ya que

    lim ,→(0,0)

    22

     2 + 2= lim

    ,→(0,0)

    32

     2 + 2= 0 

    Los valores propios del sistema lineal asociado son -2 y 1, por lo queel origen es un punto silla inestable. Podemos calcular que (0,1) es

    un vector propio correspondiente al valor propio 1 y que (1,1) es unvector propio correspondiente al valor propio -2. Usando estainformación, podemos esbozar el retrato fase para el sistema lineal,Figura16.Para el punto crítico (1,0) las sustituciones  = − 1;  =   produce el sistema casi lineal

    ′ = −2 + 1 + 2( + 1)2 = 2 + 22  ′ = −3 + 1 +  + 3( + 1)2 = 3 +  + 32 

    Y que tiene a (0,0) como punto crítico correspondiente y cuyosistema lineal asociado es

    = 2  ′ = 3 +  

    Figura 16 

    Figura 17 

    Los valores propios aquí son 2 y 1, por lo que para este sistema el origen es un nodo inestable.Usando el hecho de que (0,1) es un vector propio correspondiente al valor propio 1 y (1,3) lo es para el valor propio 2, podemos esbozar el retrato fase para el sistema lineal, Figura 17.Cerca de los dos puntos de equilibrio, el retrato fase del sistema no lineal se parece al de lossistemas linealizados. Las curvas solución se muestran en la Figura 18.

    Figura 18

    Referencias Bibliográficas

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    O´NEIL, P. (1998). Matemáticas avanzadas para Ingeniería Vol. 1 (3ª ed.). México: CECSA.

    BLANCHARD, P., DEVANEY, R. Y HALL, G.  (1999). Ecuaciones Diferenciales. México:International Thomson Editores.

    BOYCE, W. Y DIPRIMA, R.  (1998). Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en laFrontera (4ª ed.). México: Limusa Noriega Editores.