MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES

MÉTODOS

• Método del punto fijo multivariante

• Método de Newton-Raphson

• Método de Newton-Raphson modificado

• Aceleración de convergencia

Los diferentes métodos se ilustrarán a continuación mediante ejemplos prácticos en los cuales se aplicará el método correspondiente a cada uno.

Método del punto fijo multivariante.

Consiste en obtener una raíz, o solución, de unaecuación de la forma f(x) = 0,la misma que debe sertransformada en una ecuación equivalente de puntofijo g(x), de tal forma que al reordenar la ecuaciónf(x)=0, “x” se ubique al lado izquierdo de la ecuación demanera que se defina: x= g(x).

Posteriormente, dado un valor inicial para la raíz o alasignar una estimación inicial (x0), del punto fijo xi de“g”, de tal forma que: [xi punto fijo de g si xi= g(xi)].

xn+1 = g(xn).

Entonces la ecuación anterior puede usarse para obteneruna aproximación, para k=1, 2, 3,… hasta que convergen,y expresada por la formula iterativa xi+1= g(xi) quegeneralizando se tiene:

xn+1 = g(xn).

Al realizar las aproximaciones iterativas, es posibleestablecer el error aproximado, para ello se lo calculausando el error normalizado el mismo que se lo sintetizacon la expresión matemática:

Ejemplo:

Hallar las solución al siguiente sistema de ecuaciones no lineales por el método de punto fijo:

Calculo de las iteraciones:

Método de Newton-RaphsonConsiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1)como aproximación del punto de intersección de lasfunciones u(x, y) y v(x, y) que hacen que éstas seanulen.

u(x, y)

x

y

x1

y1

• Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y)valuadas con las coordenadas (x1, y1) y localizar loscuatro puntos u(x1, y), v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1).

u(x, y)

v(x, y)

x

y

x1

y1

• Trazar una recta tangente paralela a la secante queune los puntos u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangenteparalela a la secante que une los puntos v(x1, y) y v(x,y1)

u(x, y)

v(x, y)

x

y

x1

y1v(x, y1)

v(x1, y)

u(x, y1)

u(x1, y)

• El punto de intersección de estas dos tangentesconstituye una segunda aproximación (x2, y2) delpunto de intersección de las dos funciones

u(x, y)

v(x, y)

x

y

x1

y1

x2

y2

• El proceso se repite n veces hasta que lascoordenadas del punto de intersección (xn, yn)coincida prácticamente con el valor exacto de laintersección entre las dos curvas.

u(x, y)

v(x, y)

x

y

x1

y1

x2

y2

• Y cuya solución es:

• Donde J es el determinante jacobiano del sistema es:

i i

i i

u v

x xJ

u v

y y

i ii i

i 1 i

v uu v

y yx x

J

i ii i

i 1 i

u vv u

x xy yJ

x2 + xy - 10 = 0

y + 3xy2 - 57 = 0

iteración xi

yi

ui

vi

ux uy vx vy

1 1.5 3.5 -2.5 1.625 6.5 1.5 36.75 32.5

2 2.03602882 2.8438751 -0.064374959 -4.756208497 6.915932746 2.036028823 24.26287675 35.74127004

3 1.99870061 3.002288563 -0.004519896 0.04957115 6.999689781 1.998700609 27.04120985 37.00405588

4 1.99999998 2.999999413 -1.28609E-06 -2.21399E-05 6.999999381 1.999999984 26.99998944 36.99999267

5 2 3 0 2.23821E-12 7 2 27 37

iteración ex(%) e

x*(%) e

y(%) e

y*(%)

1 25 16.67

2 1.8 26.33 5.2 23.07

3 0.06 1.87 0.08 5.28

4 0 0.06 0 0.08

5 0 0 0 0

De lo cual se puede concluir que la solución del sistema es x=2 e y=3, ya que el error es cero.

* El método de Newton-Raphsonmodificado considera la mismamatriz Jacobiana durante todo elproceso o al menos un número fijode iteraciones

ACELERACIÓN DE CONVERGENCIA

Se entiende por convergencia de un método numérico lagarantía de que, al realizar un buen número de repeticiones(iteraciones), las aproximaciones obtenidas terminan poracercarse cada vez más al verdadero valor buscado.En la medida en la que un método numérico requiera de unmenor número de iteraciones que otro, para acercarse alvalor numérico deseado, se dice que tiene una mayor rapidezde convergencia.

Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivelde garantía de convergencia, y es que algunos métodosnuméricos no siempre convergen y, por el contrario divergen;es decir, se alejan cada vez más y más del resultado deseado.En la medida en la que un método numérico, ante una muyamplia gama de posibilidades de modelado matemático, esmás seguro que converja que otro, entonces se dice quetiene una mayor estabilidad.

En Métodos numérico la velocidad con la cualuna sucesión converge a su límite es llamada orden deconvergencia. Este concepto es, desde el punto de vistapráctico, muy importante si necesitamos trabajar consecuencias de sucesivas aproximaciones de un métodoiterativo. Incluso puede hacer la diferencia entre necesitardiez o un millón de iteraciones.

En particular, convergencia de orden 1 es llamadaconvergencia lineal, la de orden 2 convergencia cuadrática yla convergencia de orden 3 convergencia cúbica.

Al tratar de convertir un proceso de tipo deconvergencia lineal en otro de convergencia cuadrática y porconsiguiente de convergencia más rápida: es lo que seconoce con el nombre de aceleración de la convergencia deun proceso iterativo

PROCESO Δ² DE AITKEN

En análisis numérico, el método o proceso Δ² deAitken es un método de aceleración de la convergencia.Es muy útil para acelerar la convergencia de una sucesiónque converge linealmente. Cuando se aplica el métodode Aitken a una sucesión obtenida medianteuna iteración de punto fijo se conoce como método deSteffensen.

Ejemplo:Aplicar el aceleramiento de Aitken para hallar la solución de con un :