Sistemas de Ecuaciones No Lineales

Matemática Superior aplicada

Sistemas de Ecuaciones No Lineales

Profesor: Dr. Alejandro S. M. Santa CruzJTP: Dr. Juan Ignacio ManassaldiAux. 1ra: Ing. Amalia Rueda

Extraído del libro “Problemas de Ingeniería Química” - Ocon Tojo

Capítulo 1 – Transporte de fluidos (conducciones ramificadas) Pag. 29

Ejemplo

Una instalación petrolífera descarga petróleo en dos depósitosA y B situados a 25m y 10m de altura sobre un tercer depósitoalmacén C. De los depósitos A y B parten sendas tuberías de30cm de diámetro que confluyen en el punto D, conectándoseallí con una tubería de diámetro 50cm que va hasta el depositoC. La longitud de las tuberías que parten de los depósitos A y Bes de 800m y la que va desde la confluencia de la tuberíasanteriores hasta C mide 200m. Si en las condiciones detransporte la viscosidad del petróleo es 7.10-4 Kg/m.seg, y ladensidad 870 kg/m3, determínese el caudal horario depetróleo descargado en C.

A

B

D

C

10m

25m

µ = 7.10-4 Kg/m.segρ= 870 Kg/m3

PA = PB = PC = 1 atm

Ø = 50cmL = 200m

Ejemplo: Diagrama

2 2

2 1 2 12 1 0

2.f

P P u uZ Z h

g g

− −+ + − + =

2 12 1 0f

P PZ Z h

g

−+ − + =

Balance de Energía Mecánica

Ejemplo: Balance de Energía

Ecuaciones para tuberías rectas:

No hay trabajo ni cambios de velocidad dentro de cada cañería

1 2

2 12 1 0f

P PZ Z h

g

−+ − + =

Relaciona la caída de presión, el cambio de altura y la perdida de carga por fricción de un fluido no

compresible en cada tramo de cañería.


1 2


2 12 1 0f

P PZ Z h

g

−+ − + =



1 2

2 12 1 0f

P PZ Z h

g g − + − + =

2 12 1 0f

P PZ Z h

g g

+ − + + =

g

PZh += Altura estática



1 2

fhhh −=− 12

2 12 1 0f

P PZ Z h

g g

+ − + + =

g

u

D

Lfh f

.2

2

=

Cálculo de perdidas por fricción

Permite el cálculo de la perdida de carga por fricción hf

cuando se conoce el valor de f (factor de fricción).

Ejemplo: Perdida de carga por fricción

10

1 2.512

Re.Log

f f

= −

Cálculo para el factor de fricción

En general, f se obtiene mediante gráficos (Moody) porque las buenas correlaciones son no-lineales y requieren métodos iterativos.

Esta ecuación es para tubos lisos.

Ejemplo: Factor de fricción

..Re

Du=

Ejemplo: Resumen

g

u

D

Lfh f

.2

2

= Cálculo de perdidas por fricción


..Re

Du= Número de Reynolds

Balance de Energía Mecánicafhhh −=− 12

10

1 2.512

Re.Log

f f

= −

Ejemplo: Resumen


g

u

D

Lfh f

.2

2

= Cálculo de perdidas por fricción


..Re

Du= Número de Reynolds

fhhh −=− 12

10

1 2.512

Re.Log

f f

= −

Ejemplo: Resumen

g

u

D

Lfhh

2

2

12 −=−

10

1 2.512

. .Log

f u D f

= −

Ejemplo: Resumen

g

u

D

Lfhh

2

2

12 −=−

10

1 2.512

. .Log

f u D f

= −

1x

f=Redefinimos:

2

1f

x→ =

2

2 1 2

1

2

L uh h

x D g− = − 10

2.512

. .x Log x

u D

= −

Ejemplo: Ecuaciones finales

Cada tramo debe verificar estas ecuaciones

2

2 1 2

1

2

L uh h

x D g− = − 10

2.512

. .x Log x

u D

= −

1 2

Ejemplo: Tramo A-D

32

2

8708.9

m

N101325

25

m

kg

seg

mmhA +=

mhA 884.36=

10

2.512AD AD

AD AD

x Log xu D

= −

2

2

1

2

AD ADD A

AD AD

L uh h

x D g− = −

Ejemplo: Tramo B-D

32

2

8708.9

m

N101325

10

m

kg

seg

mmhB +=

mhB 884.21=

10

2.512BD BD

BD BD

x Log xu D

= −

2

2

1

2

BD BDD B

BD BD

L uh h

x D g− = −

Ejemplo: Tramo D-C

32

2

8708.9

m

N101325

0

m

kg

seg

mmhC +=

mhc 884.11=

10

2.512DC DC

DC DC

x Log xu D

= −

2

2

1

2

DC DCC D

DC DC

L uh h

x D g− = −

Ejemplo: Resumen

10

2.512AD AD

AD AD

x Log xu D

= −

2

2

1

2

AD ADD A

AD AD

L uh h

x D g− = −

10

2.512BD BD

BD BD

x Log xu D

= −

2

2

1

2

BD BDD B

BD BD

L uh h

x D g− = −

10

2.512DC DC

DC DC

x Log xu D

= −

2

2

1

2

DC DCC D

DC DC

L uh h

x D g− = −

¿Incógnitas?

Ejemplo: Resumen

10

2.512AD AD

A ADD

x xu

LogD

= −

2

2

1

2

ADD

A D

ADA

D A

Lh

D g

uh

x− = −

10

2.512BD

BD BD

BDxu

xLogD

= −

2

2

1

2

BDD

B D

BDB

D B

Lh

D g

uh

x− = −

10

2.512DC DC

D DCC

x xu

LogD

= −

2

2

1

2

DCC

DC

DCD

DC

Lh

D

u

x gh− = −

Ejemplo: Ecuaciones e Incógnitas

Nro. de ecuaciones: 6

Nro. de incógnitas: 7

¿Podemos Resolverlo?

10

2.512AD AD

A ADD

x xu

LogD

= −

2

2

1

2

ADD

A D

ADA

D A

Lh

D g

uh

x− = −

10

2.512BD

BD BD

BDxu

xLogD

= −

2

2

1

2

BDD

B D

BDB

D B

Lh

D g

uh

x− = −

10

2.512DC DC

D DCC

x xu

LogD

= −

2

2

1

2

DCC

DC

DCD

DC

Lh

D

u

x gh− = −

D DC DC AD AD BD BDh x u x u x u

NO

El flujo de masa que ingresa a D es igual que el que lo abandona

..Aum =

DCBDAD mmm =+

...... DCDCBDBDADAD AuAuAu =+

Ejemplo: Balance de materia en D

DCDCBDBDADAD AuAuAu ... =+

2 2 2

4 4 4AD AD BD BD DC DCu D u D u D

+ =

2 2

2 2

AD BDAD BD DC

DC DC

D Du u u

D D+ =

Ejemplo: Ecuaciones e Incógnitas

Nro. de ecuaciones: 6

Nro. de incógnitas: 6

¿Podemos Resolverlo?

10

2.512AD AD

A ADD

x xu

LogD

= −

2

2

1

2

ADD

A D

ADA

D A

Lh

D g

uh

x− = −

10

2.512BD

BD BD

BDxu

xLogD

= −

2

2

1

2

BDD

B D

BDB

D B

Lh

D g

uh

x− = −

D DC AD AD BD BDh x x u x u

SI

2 2

2 2

1

10

2.512 AD BD

DC DC

AD BDDC

C

DC

D

D D

D Du ux Log

D

x

−

+

= −

22 2

2 2 2

1

2

DC ADD AD B

D

D

D

BDC

D C DCC C

L D Dh h u u

x D g D D

− = − +

Sistema de ecuaciones y vector de incógnitas

10

2.512 0AD AD

AD AD

x Log xu D

+ =

2

2

10

2

AD ADD A

AD AD

L uh h

x D g− + =

10

2.512 0BD BD

BD BD

x Log xu D

+ =

2

2

10

2

BD BDD B

BD BD

L uh h

x D g− + =

22 2

2 2 2

10

2

DC AD BDC D AD BD

DC DC DC DC

L D Dh h u u

x D g D D

− + + =

2 2

2 2

1

10

2.512 0AD BD

AD BD

DC DC

DCDC

DC

D Du u

D D

xx Log

D

−

+

+ =


2 2

2 2

2

2

2

2

22 2

2 2 2

10

10

1

10

1

2

1

2

1

2

2.512

2.512

22 AD BD

AD BD

DC DC

AD ADD A

AD AD

BD BDD B

BD BD

DC AD BDC D AD BD

DC DC DC DC

AD AD

AD AD

BD BD

BD BD

DC

D Du u

D D

L uh h

x D g

L uh h

x D g

L D Dh h u u

x D g D Df

x Log xu D

x Log xu D

x Log

−

+

− +

− +

− + +

+

+

+

.51 DC

DC

x

D

( ) 0f x→ =


AD

BD

D

AD

BD

DC

u

u

hx

x

x

x

=

Aproximaciones Sucesivas

2 2

2 2

2

2

2

2

22 2

2 2 2

10

10

1

10

1

2

1

2

1

2

2.512

2.512

22 AD BD

AD BD

DC DC

AD ADD A

AD AD

BD BDD B

BD BD

DC AD BDC D AD BD

DC DC DC DC

AD AD

AD AD

BD BD

BD BD

DC

D Du u

D D

L uh h

x D g

L uh h

x D g

L D Dh h u u

x D g D Df

x Log xu D

x Log xu D

x Log

−

+

− +

− +

− + +

+

+

+

.51 DC

DC

x

D

AD

BD

D

AD

BD

DC

u

u

hx

x

x

x

=


( )( )

( )( )

2 2

2 2

2

2

22 2

2 2 2

10

10

1

10

2

2

1

2

2.512

2.512

2.512 AD BD

AD BD

DC DC

A D AD AD AD

B D BD BD BD

DC AD BDC AD BD

DC DC DC DC

AD

AD AD

BD

BD BD

DC

DC

D Du u

D D

h h x D g L

h h x D g L

L D Dh u u

x D g D D

FLog x

u D

Log xu D

xLog

D

−

+

−

−

+ +

−

−

−

AD

BD

D

AD

BD

DC

u

u

hx

x

x

x

=


Valor de arranque

10 0.89

5.12862log 9.26

Rex x

= − → =

15Dh =

. . ReRe 2.6819

.

u Du

D

= → = =

Re 1 6e=

( )0

2.6819

2.6819

15

9.26

9.26

9.26

x

=

¡Es Clave!Hay que interpretar físicamente el problema

Ecuación de Bahr


( )0

2.6819

2.6819

15

9.26

9.26

9.26

x

=

( )( )0

10.471

4.5281

2.2283

0.0074

0.0074

0.1657

f x

− −

= − − −

( ) ( )( )1 0

3.7138

2.0829

12.7716

9.2674

9.2674

9.4257

x F x

= =

( )( )1

2.263

2.2393

0.1129

0.282

0.2202

0.0520

f x

− −

= − −

( )( )011.6257f x =

( )( )13.2063f x =

Función de Aproximación (I)

( )12

4.0124

2.3327

13.0529

9.5871

9.1560

9.5453

x

=

( )( )120.0000252f x =( )( )12

2.07 5

1.42 5

2 7

1.4 6

2.5 6

6.621 8

e

e

ef x

e

e

e

− −

− −

= −

− − − −

Implementación en SciLab

function out=sistema(x)

//x=(1: uAD,2: uBD,3: hD,4: xAD,5: xBD,6: xDC)

g=9.8 ; //m/s2

mu=7e-4; //kg/(m.s)

rho=870; //kg/m3

PA=101325; //N/m2

PB=101325; //N/m2

PC=101325; //N/m2

zA=25; //m

zB=10; //m

zC=0; //m

DAD=0.3; //m

DBD=0.3; //m

DDC=0.5; //m

LAD=800; //m

LBD=800; //m

LDC=200; //m

hA=zA + PA/(g*rho);

hB=zB + PB/(g*rho);

Implementación en SciLab

hC=zC + PC/(g*rho);

uAD=x(1);

uBD=x(2);

hD =x(3);

xAD=x(4);

xBD=x(5);

xDC=x(6);

uDC = (uAD*DAD^2 + uBD*DBD^2)/(DDC^2);

out(1,1) = hD - hA + LAD*(uAD^2)/((xAD^2)*DAD*2*g);

out(2,1) = hD - hB + LBD*(uBD^2)/((xBD^2)*DBD*2*g);

out(3,1) = hC - hD + LDC*(uDC^2)/((xDC^2)*DDC*2*g);

out(4,1) = xAD + 2*log10(2.51*mu*xAD/(uAD*DAD*rho));

out(5,1) = xBD + 2*log10(2.51*mu*xBD/(uBD*DBD*rho));

out(6,1) = xDC + 2*log10(2.51*mu*xDC/(uDC*DDC*rho));

endfunction

Función de aproximación en SciLab

Solo se debe modificar la salida de la función anterior

out(1,1) = sqrt((hA-hD)*((xAD^2)*DAD*2*g)/LAD);

out(2,1) = sqrt((hB-hD)*((xBD^2)*DBD*2*g)/LBD);

out(3,1) = hC + LDC*(uDC^2)/((xDC^2)*DDC*2*g);

out(4,1) = -2*log10(2.51*mu*xAD/(uAD*DAD*rho));

out(5,1) = -2*log10(2.51*mu*xBD/(uBD*DBD*rho));

out(6,1) = -2*log10(2.51*mu*xDC/(uDC*DDC*rho));

Método de Newton

2 2

2 2

2

2

2

2

22 2

2 2 2

10

10

1

10

1

2

1

2

1

2

2.512

2.512

22 AD BD

AD BD

DC DC

AD ADD A

AD AD

BD BDD B

BD BD

DC AD BDC D AD BD

DC DC DC DC

AD AD

AD AD

BD BD

BD BD

DC

D Du u

D D

L uh h

x D g

L uh h

x D g

L D Dh h u u

x D g D Df

x Log xu D

x Log xu D

x Log

−

+

− +

− +

− + +

+

+

+

.51 DC

DC

x

D

AD

BD

D

AD

BD

DC

u

u

hx

x

x

x

=

Matriz Jacobiana

( )

( )

( )

( )

2

1 2

2

2 2

22 2

3 2 2 2

4

1, , , , ,

2

1, , , , ,

2

1, , , , ,

2

, , , , , 2

AD ADAD BD D AD BD DC D A

AD AD

BD BDAD BD D AD BD DC D B

BD BD

DC AD BDAD BD D AD BD DC C D AD BD

DC DC DC DC

AD BD D AD BD DC AD

L uf u u h x x x h h

x D g


x D g

L D Df u u h x x x h h u u

x D g D D

f u u h x x x x

= − +

= − +

= − + +

= +

( )

( )2 2

2 2

10

5 10

1

6 10

2.51

2.51, , , , , 2

2.51, , , , , 2 AD BD

AD BD

DC DC

AD

AD AD

AD BD D AD BD DC BD BD

BD BD

DCAD BD D AD BD DC DC

DC

D Du u

D D

Log xu D

f u u h x x x x Log xu D

xf u u h x x x x Log

D

−

+

= +

= +

Matriz Jacobiana

( )

( )

2

1 2

2

1 2 3

1, , , , ,

2

2 20 1 0 0

2 2

AD ADAD BD D AD BD DC D A

AD AD

T AD AD AD AD

AD AD AD AD


x D g

L u L uf x

x D g x D g

= − +

− =

( )

( )

2

2 2

2

2 2 3

1, , , , ,

2

2 20 1 0 0

2 2

BD BDAD BD D AD BD DC D B

BD BD

T BD BD BD BD

BD BD BD BD


x D g

L u L uf x

x D g x D g

= − +

− =

Matriz Jacobiana

( )

( )

22 2

3 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 2 2 2 2 2 2 2 2

3

1, , , , ,

2

2 2

2 2

21 0 0

DC AD BDAD BD D AD BD DC C D AD BD

DC DC DC DC

T DC DCAD BD AD AD BD BDAD BD AD BD

DC DC DC DC DC DC DC DC DC DC

DC

DC D

L D Df u u h x x x h h u u

x D g D D

L LD D D D D Df x u u u u

x D g D D D x D g D D D

L

x D

= − + +

= + +

−−

22 2

2 22

AD BDAD BD

C DC DC

D Du u

g D D

+

( )

( )( ) ( )

4 10

10 10

4

2.51, , , , , 2

2 20 0 1 0 0

AD BD D AD BD DC AD AD

AD AD

T

AD AD


log e log ef x

u x

= +

− = +

Matriz Jacobiana

( )

( )( ) ( )

5 10

10 10

5

2.51, , , , , 2

2 20 0 0 1 0

AD BD D AD BD DC BD BD

BD BD

T

BD BD


log e log ef x

u x

= +

− = +

( )

( )( )

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

1

6 10

10 10

2

10 2

6

2.51, , , , , 2

2.512 2

2

AD BD

AD BD

DC DC

AD BD

AD BD

DC DC

AD BD

AD BD

DC DC

DCAD BD D AD BD DC DC

DC

DCDC

DC

AD

T DC

D Du u

D D

D Du u

D D

D Du u

D D

xf u u h x x x x Log

D

xx Log Log

D

Dlog e

Df x

−

+

+

+

= +

= − +

−

=

( )( )

2 2

2 2

2

10 210

22

0 0 0 1AD BD

AD BD

DC DC

BD

DC

DCD Du u

D D

Dlog e

log eD

x+

−

+

Método de Newton

( )0

2.6819

2.6819

15

9.26

9.26

9.26

x

=

( )( )0

10.471

4.5281

2.2283

0.0074

0.0074

0.1657

f x

− −

= − − −

( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 0 0 01

4.27138

2.34356

13.12111

9.73740

9.16658

9.59678

x x J x f x−

= − =

( )( )1

2.41641

0.12989

0.19765

0.10941

0.00751

0.01994

f x

=

( )( )011.6257f x =

( )( )12.42255f x =

Método de Newton

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 1 1 11

4.01476

2.33279

13.0525

9.58904

9.15608

9.54630

x x J x f x−

= − =

( )( )20.01806f x =

( )3

4.0124338

2.3327250

13.052958

9.5871723

9.1560484

9.5453420

x

=

( )( )3 71.478449 10f x −=

Matriz Jacobiana en SciLab

out(1,1) = 2*LAD*uAD/((xAD^2)*DAD*2*g);

out(1,2) = 0;

out(1,3) = 1;

out(1,4) = -2*LAD*(uAD^2)/((xAD^3)*DAD*2*g);

out(1,5) = 0;

out(1,6) = 0;

out(2,1) = 0;

out(2,2) = 2*LBD*uBD/((xBD^2)*DBD*2*g);

out(2,3) = 1;

out(2,4) = 0;

out(2,5) = -2*LBD*(uBD^2)/((xBD^3)*DBD*2*g);

out(2,6) = 0;

Solo se debe modificar la salida de la función anterior

Matriz Jacobiana (en SciLab)

out(3,1) = 2*LDC*(uDC)*(DAD^2/DDC^2)/((xDC^2)*DDC*2*g);

out(3,2) = 2*LDC*(uDC)*(DBD^2/DDC^2)/((xDC^2)*DDC*2*g);

out(3,3) = -1;

out(3,4) = 0;

out(3,5) = 0;

out(3,6) = -2*LDC*(uDC^2)/((xDC^3)*DDC*2*g);

out(4,1) = -2*log10(%e)/uAD;

out(4,2) = 0;

out(4,3) = 0;

out(4,4) = 1 + 2*log10(%e)/xAD;

out(4,5) = 0;

out(4,6) = 0;

Matriz Jacobiana (en SciLab)

out(5,1) = 0;

out(5,2) = -2*log10(%e)/uBD;

out(5,3) = 0;

out(5,4) = 0;

out(5,5) = 1 + 2*log10(%e)/xBD;

out(5,6) = 0;

out(6,1) = -2*log10(%e)*(DAD^2/DDC^2)/uDC;

out(6,2) = -2*log10(%e)*(DBD^2/DDC^2)/uDC;

out(6,3) = 0;

out(6,4) = 0;

out(6,5) = 0;

out(6,6) = 1 + 2*log10(%e)/xDC;

Sistemas de Ecuaciones No Lineales

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