Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

download Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

of 26

Transcript of Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    1/67

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    2/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 22

    Ecuaciones No LinealesEcuaciones No Lineales (I)(I)

    Antes de plantear la resoluciAntes de plantear la resolucióón de Sistemas de Ecuacionesn de Sistemas de EcuacionesNo Lineales, resulta conveniente efectuar un breve repasoNo Lineales, resulta conveniente efectuar un breve repasode los mde los méétodos de resolucitodos de resolucióón de ecuaciones algebraicas non de ecuaciones algebraicas nolineales (polinomios) y trascendentes.lineales (polinomios) y trascendentes.

    La determinaciLa determinacióón de las ran de las raí í ces de una ecuacices de una ecuacióón algebraican algebraicano lineal (polinomio) es uno de los problemas mno lineal (polinomio) es uno de los problemas máás antiguoss antiguosde las matemde las matemááticas que se presentan con frecuencia en laticas que se presentan con frecuencia en laresoluciresolucióón de problemas reales.n de problemas reales.

    Existe una gran variedad de mExiste una gran variedad de méétodos de resolucitodos de resolucióón quen que

    prueban la larga historia en el anprueban la larga historia en el anáálisis de este problema ylisis de este problema yde su importancia hasta la actualidad.de su importancia hasta la actualidad.

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    3/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 33

    Ecuaciones No Lineales (II)Ecuaciones No Lineales (II)

    Estos mEstos méétodos se diferencian por la necesidad de:todos se diferencian por la necesidad de:

    Obtener todas las raObtener todas las raí í ces de una ecuacices de una ecuacióón on o úúnicamentenicamente

    algunas de ellas.algunas de ellas.

    Determinar todas las raDeterminar todas las raí í ces reales o complejas, simples ces reales o complejas, simples mmúúltiples.ltiples.

    De disponer de una 1era. aproximaciDe disponer de una 1era. aproximacióón para c/u de ellas.n para c/u de ellas.

    DisponiDisponiééndose en la actualidad de computadorasndose en la actualidad de computadorasdigitales, resulta conveniente utilizar los mdigitales, resulta conveniente utilizar los méétodos mtodos máássapropiados para obtenerlas.apropiados para obtenerlas.

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    4/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 44

    Sea un a funciSea un a funcióón cualquiera de una variable quen cualquiera de una variable que

    llamamosllamamos

    f(x) f(x)

    . .

    Se trata de encontrar un valorSe trata de encontrar un valor

    x* x* para el que se cumplapara el que se cumpla

    f(x*) = 0 f(x*) = 0 . Si existe ese valor, se denomina. Si existe ese valor, se denomina ra ra í í z z de lade laecuaciecuacióón.n.

    Pasos BPasos Báásicossicos::1)1)

    DeterminaciDeterminacióón de un valor aproximado de la ran de un valor aproximado de la raí í z (valor dez (valor dearranque de marranque de méétodo).todo).

    2)2)

    Mejoramiento de la soluciMejoramiento de la solucióón hasta un grado de precisin hasta un grado de precisióónnestablecido.establecido.

    SoluciSolucióón Numn Numéérica de Ecuacionesrica de Ecuaciones

    Algebraicas y Trascendentes de una VariableAlgebraicas y Trascendentes de una Variable

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    5/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 55

    Paso 1:Paso 1:

    Se resuelve bajo consideraciones f Se resuelve bajo consideraciones f í í sicas delsicas delproblema que se estudia o graficando la funciproblema que se estudia o graficando la funcióón yn ydeterminando dos valores de la variable independientdeterminando dos valores de la variable independientpara los que la funcipara los que la funcióón cambia de signo.n cambia de signo.Por ejemplo:Por ejemplo:

    Si para dos valoresSi para dos valores x x -- yy x x ++ se tiene:se tiene:

    f(x f(x -- ) < 0 ) < 0 yy f(x f(x ++ ) > 0 ) > 0 f(x) f(x) es una funcies una funcióón continua en el intervalon continua en el intervalo(( x x --,, x x ++)) sese

    puede asegurar que existepuede asegurar que existe x* x* (x(x -- , , x x ++)); entonces; entoncespodemos elegir como valor de arranque:podemos elegir como valor de arranque: x x 00 = (x= (x --+ x+ x ++ )/2 )/2

    http://prevpage/http://nextpage/

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    6/67

    02/11/2015 6

    x

    x a 1 x x2 x

    2 x x 1 x x3 x

    ( ) f b

    2( ) f x

    1( ) f x a

    b1 x

    2 x

    1( ) ( ) 0? f x f x

    2( ) ( ) 0 ? f x f x

    1 x xNo

    2 x xSi

    ( ) y f x

    ( ) f a x b x a 1 x

    BisecciBiseccióónn

    * x

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    7/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 77

    x 4 senx f(x) = x-

    4 senx-3 /2 4 -8.7124

    -5 /4 2.8284 -6.7554

    - 0 -3.1416-3 /4 -2.8284 0.4722- /2 -4 2.4292

    - /4 -2.8284 2.0430

    0 0 0

    /4 2.8284 -2.0430

    /2 4 -2.4292

    3 /4 2.8284 -0.47220 3.1416

    5 /4 -2.8284 6.7554

    3 /2 -4 8.7124

    CambioCambiodedesignosigno

    CambioCambiodedesignosigno

    DeterminaciDeterminacióón de las Ran de las Raí í ces de la Ecuacices de la Ecuacióónnf(x) = xf(x) = x – –

    4 * sen(x) = 04 * sen(x) = 0

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    8/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 88

    BBúúsqueda de las Rasqueda de las Raí í cesces

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    9/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 99

    Luego, existe una raLuego, existe una raí í z en el intervaloz en el intervalo( ( 3 3 /4, /4, ) ) ..

    Entonces podemos elegir como primera aproximaciEntonces podemos elegir como primera aproximacióón a lan a lasolucisolucióón el valor:n el valor:

    Esto es,Esto es, x x 00 = 2.5= 2.5 puede considerarse un valor aproximado depuede considerarse un valor aproximado de

    x*. x*.

    AnAnáálogamente existe otra ralogamente existe otra raí í z enz en

    ( ( -- , , -- 3 3 /4) /4) y un valory un valor

    aproximado de esta raaproximado de esta raí í z es:z es:

    Existe una tercer raExiste una tercer raí í z enz en x = 0 x = 0 cuya determinacicuya determinacióón resultan resultaobvia.obvia.

    0

    x x 2.3562 3.1416 x 2.5

    2 2

    0

    x x 3.1416 2.3562 x 2.5

    2 2

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    10/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 1010

    Paso 2:Paso 2: Mejorar la soluciMejorar la solucióón mediante la simple repeticin mediante la simple repeticióón deln delmméétodo o mediante la implementacitodo o mediante la implementacióón de un mn de un méétodo mtodo máás refinados refinado

    hasta lograr el grado de precisihasta lograr el grado de precisióón requerido.n requerido.

    Para el caso de la raPara el caso de la raí í z positiva, evaluamos la funciz positiva, evaluamos la funcióón en el punto medio, asn en el punto medio, así í ::

    Adoptamos:Adoptamos:

    Luego, la aproximaciLuego, la aproximacióón siguiente es:n siguiente es:

    Luego, evaluamos la funciLuego, evaluamos la funcióón en la nueva aproximacin en la nueva aproximacióón:n:

    Hacemos:Hacemos:

    De donde:De donde:

    y asy así í

    sucesivamente hasta un grado preestablecido de exactitud.sucesivamente hasta un grado preestablecido de exactitud.

    0 f x 2.5 0.1061 0

    0 3 x x 2.5 ; x 2.3562 4

    1

    x x 2.3562 2.5 x 2.4281 2 2

    1 f x 2.4281 0.1898 0

    1 x x 2.4281 ; x 2.5

    2

    x x 2.4281 2.5 x 2.4604

    2 2

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    11/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 1111

    DiscusiDiscusióón de la Convergencia (I)n de la Convergencia (I)

    SoluciSolucióón Iterativa:n Iterativa:

    Significa comenzar con una soluciSignifica comenzar con una solucióón inicialn inicial(aproximada ) y generar una secuencia de n(aproximada ) y generar una secuencia de núúmeros (serie):meros (serie):

    tal que si existetal que si existe

    entoncesentoncesx*x*

    es una raes una raí í z de la ecuaciz de la ecuacióónn f(x f(x *) = 0*) = 0 ..

    Error Exacto en la IteraciError Exacto en la Iteracióón n:n n:

    HipHipóótesis Usuales:tesis Usuales:1)1)

    Se debe cumplir que:Se debe cumplir que:2)2)

    Existe una raExiste una raí í zz úúnica ennica en I = I = [[ a, b a, b ]]

    y pertenece ay pertenece a R. R.

    (1) I x* a,b y f x C

    n 1 2 n x x , x , ..., x

    n ne x x*

    n nlím x x* y f x* 0

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    12/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 1212

    DiscusiDiscusióón de la Convergencia (II)n de la Convergencia (II)

    El error exacto en la iteraciEl error exacto en la iteracióónn n n no se conoce:no se conoce:

    por lo tanto no puede utilizarse como criterio de terminacipor lo tanto no puede utilizarse como criterio de terminacióónnde mde méétodo.todo.

    Tolerancia del Error:Tolerancia del Error:

    oo n n 1 n 1

    x x x

    n ne x x*

    n

    n n 1

    f x x x

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    13/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 1313

    Orden de Convergencia (I)Orden de Convergencia (I)

    Un mUn méétodo iterativo se dicetodo iterativo se dice convergente de orden p convergente de orden p , si, siexiste un nexiste un núúmeromero p p R R tal que:tal que:

    dondedonde K K representa la constante asintrepresenta la constante asintóótica del error.tica del error.

    A mayor orden de convergencia, el mA mayor orden de convergencia, el méétodo convergertodo convergeráá

    aa

    mayor velocidad, lo cual no implica garantmayor velocidad, lo cual no implica garantí í a dea deconvergencia.convergencia.

    AdemAdemáás del orden de convergencia, en el proceso des del orden de convergencia, en el proceso deccáálculo interviene el costo computacional por iteracilculo interviene el costo computacional por iteracióónnque es importante para definir la eficiencia del mque es importante para definir la eficiencia del méétodo.todo.

    n 1 n 1

    p n n n n

    x x* elím lím K 1 ; K 0

    e x x*

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    14/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 1414

    Orden de Convergencia (II)Orden de Convergencia (II)Método Orden deConvergencia InformaciónRequerida para

    Calcular x n+1

    Sustitución Directa Lineal(p=1)

    F(x n) = x n + f(x n)

    Newton - Raphson Cuadrático(p= 2)

    f(x n) y f ’(x n)

    Secante Superlineal(p = 1.618)

    f(x n) y f(x n-1)

    Bisección Lineal(p =1)

    f(x n) y f(x n-1)

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    15/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 1515

    Principales MPrincipales Méétodos Iterativostodos Iterativos

    A los fines de su consideraciA los fines de su consideracióón en la resolucin en la resolucióón den deproblemas de ingenierproblemas de ingenierí í a, podemos agruparlos en dosa, podemos agruparlos en dos

    categorcategorí í as:as:1.1.

    MMéétodo de Aproximaciones Sucesivastodo de Aproximaciones Sucesivas2.2.

    MMéétodos detodos deLinealizaciLinealizacióónn

    a)a)

    NewtonNewton – –

    RaphsonRaphsonb)b)

    Modificado de Newton para Resolver RaModificado de Newton para Resolver Raí í ces Mces Múúltiplesltiples

    c)c)

    Von Mises o Cuerdas ParalelasVon Mises o Cuerdas Paralelasd)d)

    SecanteSecante

    e)e) RegulaRegula falsifalsi y my méétodos relacionados.todos relacionados.

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    16/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 1616

    MMéétodo de Aproximaciones Sucesivas (Itodo de Aproximaciones Sucesivas (I

    Dada la ecuaciDada la ecuacióónn f(x f(x ) = 0 ) = 0 se la explicita de la siguientese la explicita de la siguientemanera:manera: x = x = F(x F(x ) ) dondedonde

    F(x F(x ) ) x + x + f(x f(x ) )

    La condiciLa condicióón suficiente de convergencia del mn suficiente de convergencia del méétodo es:todo es: F F ’’(x)(x)

    < 1< 1

    Algoritmo: Algoritmo:

    Para evitar oscilaciones e incluso divergencias se utiliza laPara evitar oscilaciones e incluso divergencias se utiliza lasiguiente secuencia (siguiente secuencia (qq: acelerador de convergencia):: acelerador de convergencia):

    n 1 n x F x

    n n 1 n 1 n n 1

    Estimación : x F x

    Mejora : x q x 1 q x

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    17/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 1717

    MMéétodo de Aproximaciones Sucesivas (II)todo de Aproximaciones Sucesivas (II)

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    18/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 1818

    MMéétodo detodo de WegsteinWegstein (I)(I)

    MMéétodo para acelerar la convergencia del mtodo para acelerar la convergencia del méétodo detodo deaproximaciones sucesivas.aproximaciones sucesivas.

    De gran importancia para resolver sistemas de ecuaciones noDe gran importancia para resolver sistemas de ecuaciones nolineales.lineales.

    El mEl méétodo propone un valor mejorado de la solucitodo propone un valor mejorado de la solucióón den deacuerdo a:acuerdo a:

    de manera que:de manera que:

    se corrigese corrige x x n n +2+2 y continy continúúa.a.

    n 1 n

    n 1 x q x 1 q x

    n 1 n 2 x F x

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    19/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 1919

    Distinguimos las siguientes etapas del mDistinguimos las siguientes etapas del méétodo:todo:1)1)

    Etapa de preparaciEtapa de preparacióón.n.

    2)2)

    Etapa de iniciaciEtapa de iniciacióón.n.3)3)

    Etapa general del mEtapa general del méétodo.todo.

    MMéétodo detodo de WegsteinWegstein (II)(II)

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    20/67

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    21/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 2121

    MMéétodo detodo de WegsteinWegstein (IV)(IV)

    2)2) Etapa de IniciaciEtapa de Iniciacióón:n:

    2 1

    3 2

    2 1 2 1

    3 2 3

    x F x x xw x x x x

    wq w 1

    x q x 1 q x

    é d d ( )

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    22/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 2222

    MMéétodo de Wegstein (V)todo de Wegstein (V)

    3)3) Etapa General del MEtapa General del Méétodo:todo: n n 1

    n n 1 n 1 n

    n n 1 n n 1

    n 1 n n 1

    x F x

    F x F x x xw

    x x x xw

    qw 1

    x q x 1 q x

    é d d ( )

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    23/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 2323

    MMéétodo detodo de WegsteinWegstein (VI)(VI)

    Significado del MSignificado del Méétodo:todo:

    La soluciLa solucióón mejorada en la etapan mejorada en la etapa

    (n+1) se obtiene extrapolando la recta que pasa por:(n+1) se obtiene extrapolando la recta que pasa por:

    hasta su interseccihasta su interseccióón con la rectan con la recta y = x y = x ::

    EcuaciEcuacióón de la Recta Secante:n de la Recta Secante:

    oo

    cuya interseccicuya interseccióón con la rectan con la recta y = x y = x es:es:

    n n n 1 n 1 x ,F x y x ,F x

    ( ) ( ) ( )

    ( )

    n n 1

    n n n n 1

    F x F x y F x x x

    x x

    -

    -

    -= + -

    -

    ( ) ( ) n n F x w x x= + -

    n 1 n n n 1 n 1

    w 1 x x x q x 1 q x

    w 1 w 1

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    24/67

    02/11/2015 24

    Método de Wegstein (VII) Interpretación Geométrica

    ~

    1( )nF x

    ~

    1n x

    y x

    ~

    n x

    ~

    ( )nF x

    ~

    1( )nF x

    *

    y F x( )

    x

    y

    ~

    1n x

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    25/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 2525

    MMéétodo de Newton Raphsontodo de Newton Raphson

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    26/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 2626

    MMéétodo de Newton Raphson de 2do. Ordentodo de Newton Raphson de 2do. Orden

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    27/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 2727

    MMéétodo de Newton Raphson de 2do. Ordentodo de Newton Raphson de 2do. Orden

    Forma AlternativaForma Alternativa

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    28/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 2828

    MMéétodo de Interpolacitodo de Interpolacióón Lineal on Lineal o Falsa PosiciFalsa Posici

    óónn

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    29/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 2929

    Ejemplos de AplicaciEjemplos de Aplicacióónn

    A continuaciA continuacióón se presentan algunos ejemplosn se presentan algunos ejemplos

    de aplicacide aplicacióón de mn de méétodos numtodos numééricos en laricos en laresoluciresolucióón de problemas tn de problemas tí í picos de Ingenierpicos de Ingenierí í aaQuQuí í mica.mica.

    Obviamente, estos ejemplos no cubren todosObviamente, estos ejemplos no cubren todoslos campos que pueden analizarse en un cursolos campos que pueden analizarse en un cursode este tipo.de este tipo.

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    30/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 3030

    EcuaciEcuacióón de Estado Soaven de Estado Soave--RedlichRedlich--Kwong:Kwong:Determinar el volumen especDeterminar el volumen especí í fico V de un gas a T y P dadas:fico V de un gas a T y P dadas:

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    31/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 3131

    Underwood:Underwood:

    RelaciRelacióón de mn de mí í nimo reflujo de unanimo reflujo de unacolumna de destilacicolumna de destilacióón mn múúltiple etapa:ltiple etapa:

    Colebrook:Colebrook:

    Factor de fricciFactor de friccióón para el flujo turbulento an para el flujo turbulento atravtravéés de una tubers de una tuberí í a de un fluido incompresible :a de un fluido incompresible :

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    32/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 3232

    MMéétodo de los Operadores Diferenciales para la Determinacitodo de los Operadores Diferenciales para la Determinacióón den deSoluciones AnalSoluciones Analí í ticas de Ecuaciones Diferenciales Homogticas de Ecuaciones Diferenciales Homogééneasneas

    Lineales de Orden n:Lineales de Orden n:

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    33/67

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    34/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 3434

    Tipos de RaTipos de Raí í ces y su Aproximacices y su Aproximacióónn

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    35/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 3535

    Tipos de RaTipos de Raí í ces y su Aproximacices y su Aproximacióónn

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    36/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 3636

    Tipos de RaTipos de Raí í ces y su Aproximacices y su Aproximacióónn

    Sol ciSolucióón N mn Numéérica de Ec aciones No Linealerica de Ecuaciones No Lineale

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    37/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 3737

    SoluciSolucióón Numn Numéérica de Ecuaciones No Linealerica de Ecuaciones No LinealeEjemplos y Archivos .mEjemplos y Archivos .m

    Ejemplo_01.m:Ejemplo_01.m:

    Calcula el factor de fricciCalcula el factor de friccióón a partir de lan a partir de la

    EcuaciEcuacióón de Colebrook medianten de Colebrook mediante

    Aproximaciones Sucesivas (XGX.m).Aproximaciones Sucesivas (XGX.m).

    InterpolaciInterpolacióón Lineal (LI.m).n Lineal (LI.m).

    NewtonNewton--Raphson (NR.m).Raphson (NR.m).

    Ejemplo_02.m:Ejemplo_02.m: Resuelve la ecuaciResuelve la ecuacióón de estado Soaven de estado Soave--RedlichRedlich--Kwong mediante el mKwong mediante el méétodo de Newtontodo de Newton--Raphson para polinomiosRaphson para polinomios(NRpoly.m).(NRpoly.m).

    Ejemplo_03.m:Ejemplo_03.m: Resuelve polinomios de grado n y funciones dResuelve polinomios de grado n y funciones dtransferencia utilizando el mtransferencia utilizando el méétodo de Newtontodo de Newton--Raphson conRaphson condivisidivisióón sintn sintéética (NRsdivision.m).tica (NRsdivision.m).

    S l iS l ióó NN éé i d E i N Li li d E i N Li l

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    38/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 3838

    SoluciSolucióón Numn Numéérica de Ecuaciones No Linealesrica de Ecuaciones No LinealesEjemplos y Archivos .mEjemplos y Archivos .m

    MMéétodostodos

    XGX.mXGX.m::

    MMéétodo de Aproximaciones Sucesivas paratodo de Aproximaciones Sucesivas para

    determinar una radeterminar una ra í í z de una ecuaciz de una ecuacióón no lineal.n no lineal.

    LI.mLI.m::

    MMéétodo de Interpolacitodo de Interpolacióón Lineal para determinarn Lineal para determinar

    unauna rara í í zz

    de una ecuacide una ecuacióón no lineal.n no lineal.

    NR.mNR.m::

    MMéétodo Newtontodo Newton--RaphsonRaphson

    para determinar unapara determinar unarara í í z de una ecuaciz de una ecuacióón no lineal.n no lineal.

    NRpoly.mNRpoly.m::

    MMéétodo Newtontodo Newton--RaphsonRaphson

    para determinarpara determinar

    una rauna ra í í z de una ecuaciz de una ecuacióón polinomial.n polinomial.

    NRsdivision.mNRsdivision.m:: MMéétodo Newtontodo Newton--RaphsonRaphson con divisicon divisióónnsintsintéética para determinar todas las ratica para determinar todas las raí í ces de unaces de unaecuaciecuacióón polinomial.n polinomial.

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    39/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 3939

    SoluciSolucióón Numn Numéérica de Ecuaciones No Linealesrica de Ecuaciones No Lineales

    Ejemplos y Archivos .mEjemplos y Archivos .mFuncionesFunciones

    Colebrookg.mColebrookg.m:: Contiene la EcuaciContiene la Ecuacióón den de Colebrook Colebrook expresada en forma que pueda resolverse medianteexpresada en forma que pueda resolverse medianteAproximaciones Sucesivas (utilizada en elAproximaciones Sucesivas (utilizada en el

    Ejemplo_01.m).Ejemplo_01.m).

    Colebrook.mColebrook.m:: Contiene la EcuaciContiene la Ecuacióón den de Colebrook Colebrook expresada en forma que pueda resolverse medianteexpresada en forma que pueda resolverse mediante

    InterpolaciInterpolaci

    óón Lineal o Newtonn Lineal o Newton

    --RaphsonRaphson

    (utilizada en el(utilizada en el

    Ejemplo_01.m).Ejemplo_01.m).

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    40/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 4040

    Ejemplo 1: SoluciEjemplo 1: Solucióón de la Ecuacin de la Ecuacióón de Colebrooken de Colebrooke

    Determinar la SoluciDeterminar la Solucióón de la Ecuacin de la Ecuacióón den de Colebrook Colebrook

    mmedianteediante loslos

    mméétodos de:todos de:

    SustituciSustitucióón Directa o Aproximaciones Sucesivasn Directa o Aproximaciones Sucesivas

    InterpolaciInterpolacióón Linealn Lineal

    NewtonNewton--RaphsonRaphson

    Desarrollar una funciDesarrollar una funcióón de MATLAB para resolver ecuacionesn de MATLAB para resolver ecuacionesno lineales mediante los mno lineales mediante los méétodos de sustitucitodos de sustitucióón directa,n directa,interpolaciinterpolacióón lineal y Newtonn lineal y Newton--RaphsonRaphson..

    Utilice estas funciones para calcular el factor de fricciUtilice estas funciones para calcular el factor de friccióón de lan de laEcuaciEcuacióón den de Colebrook Colebrook

    para el flujo a travpara el flujo a travéés de una tubers de una tuberí í a cona con/D = 10/D = 10−−44

    y Re = 10y Re = 1055. Compare estos m. Compare estos méétodos.todos.

    Ejemplo 1Ejemplo 1

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    41/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 4141

    Ejemplo 1Ejemplo 1Calculating the friction factor from the Colebrook equationCalculating the friction factor from the Colebrook equation

    Reynolds No. = 1e5Reynolds No. = 1e5Relative roughness = 1eRelative roughness = 1e--44

    1 ) Successive substitution1 ) Successive substitution2 ) Linear Interpolation2 ) Linear Interpolation

    3 ) Newton Raphson3 ) Newton Raphson0 ) Exit0 ) Exit

    Choose the method of solution : 1Choose the method of solution : 1

    Function containing the Colebrook equation : 'Colebrookg'Function containing the Colebrook equation : 'Colebrookg'

    Starting value = 0.01Starting value = 0.01

    Ej l 1Ejemplo 1

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    42/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 4242

    Iteration x g(x)Iteration x g(x)1 0.01 0.02016831 0.01 0.02016832 0.0201683 0.01872042 0.0201683 0.0187204

    3 0.0187204 0.01886393 0.0187204 0.01886394 0.0188639 0.01884914 0.0188639 0.01884915 0.0188491 0.01885065 0.0188491 0.01885066 0.0188506 0.01885056 0.0188506 0.0188505

    f = 0.0189f = 0.0189

    Ejemplo 1Ejemplo 1

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    43/67

    02/11/2015 43

    0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02

    0.0188

    0.019

    0.0192

    0.0194

    0.0196

    0.0198

    0.02

    0.0202

    0.0204

    x

    g ( x ) [ - - : y = x ]

    x=g(x): fcn and path to root, (*: initial; o: root)

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    44/67

    Ejemplo 1Ejemplo 1

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    45/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 4545

    Iteration x f(x)Iteration x f(x)

    0 0.01 2.95850 0.01 2.95850 0.030 0.03 --1.681281.681281 0.02275281 0.0227528 --0.7239850.723985

    2 0.0202455 0.2820982 0.0202455 0.2820983 0.01935363 0.0193536 --0.1051580.1051584 0.01903264 0.0190326 --0.03852420.03852425 0.01891655 0.0189165 --0.01402170.01402176 0.01887446 0.0188744 --0.005091330.005091337 0.01885927 0.0188592 --0.001847080.001847088 0.01885368 0.0188536 --0.0006698880.000669888

    9 0.01885169 0.0188516 --0.0002429240.00024292410 0.018850910 0.0188509 --8.80885e8.80885e--005005

    f = 0.0189f = 0.0189

    Ejemplo 1Ejemplo 1

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    46/67

    Ejemplo 1Ejemplo 1

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    47/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 4747

    1 ) Successive substitution1 ) Successive substitution2 ) Linear Interpolation2 ) Linear Interpolation

    3 ) Newton Raphson3 ) Newton Raphson0 ) Exit0 ) Exit

    Choose the method of solution : 3Choose the method of solution : 3Function containing the Colebrook equation : 'Colebrook'Function containing the Colebrook equation : 'Colebrook'

    Starting value = 0.01Starting value = 0.01

    Ejemplo 1Ejemplo 1

    Ejemplo 1Ejemplo 1

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    48/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 4848

    Ejemplo 1Ejemplo 1

    Starting value = 0.01Starting value = 0.01Iteration x f(x)Iteration x f(x)

    0.01 2.95850.01 2.9585

    1 0.0154904 0.8252161 0.0154904 0.825216

    2 0.0183977 0.09820292 0.0183977 0.0982029

    3 0.0188425 0.001704923 0.0188425 0.00170492

    4 0.0188505 6.30113e4 0.0188505 6.30113e--007007

    5 0.0188505 3.79039e5 0.0188505 3.79039e--011011f = 0.0189f = 0.0189

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    49/67

    02/11/2015 49

    0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.019

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    x

    f ( x )

    Newton-Raphson: fcn and path to root (*: initial; o: root)

    Ejemplo 2: DeterminaciEjemplo 2: Determinacióón den de una rauna ra ííz de unz de un

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    50/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 5050

    Ejemplo 2: DeterminaciEjemplo 2: Determinacióón den de una rauna ra í í z de unz de unpolinomio de grado n mediante el mpolinomio de grado n mediante el méétodo detodo deNewton Raphson aplicado a la EcuaciNewton Raphson aplicado a la Ecuacióón de Estadon de EstadoSoaveSoave--RedlichRedlich--Kwong.Kwong.

    Desarrollar una funciDesarrollar una funcióón de MATLAB para calcular unan de MATLAB para calcular unarara í í z de una ecuaciz de una ecuacióón polinomial mediante el mn polinomial mediante el méétodo detodo deNewtonNewton--Raphson.Raphson.

    Calcular el volumen especCalcular el volumen especí í fico de un gas puro a unafico de un gas puro a unadada presidada presióón y temperatura utilizando la Ecuacin y temperatura utilizando la Ecuacióón den deEstado SoaveEstado Soave--RedlichRedlich--Kwong:Kwong:

    Las constantes a y b de la EcuaciLas constantes a y b de la Ecuacióón se obtienen de la siguiente manen se obtienen de la siguiente maner

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    51/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 5151

    yy gg

    donde Tc y Pc representan la temperatura crdonde Tc y Pc representan la temperatura crí í tica y la presitica y la presióón crn crí í ticaticarespectivamente. La variablerespectivamente. La variable

    es una funcies una funcióón empn empí í rica de larica de la

    temperatura:temperatura:

    El valor de S es funciEl valor de S es funcióón del factor acn del factor acééntrico,ntrico, , del gas:, del gas:

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    52/67

    Ejemplo 2Ejemplo 2

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    53/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 5353

    Input the vector of pressure range (Pa) = [1:40]*101325Input the vector of pressure range (Pa) = [1:40]*101325

    Input temperature (K) = 500Input temperature (K) = 500Critical temperature (K) = 425.2Critical temperature (K) = 425.2

    Critical pressure (Pa) = 3797e3Critical pressure (Pa) = 3797e3

    Acentric factor = 0.1931Acentric factor = 0.1931

    RESULTS:RESULTS:

    Pres. = 101325.00 Ideal gas vol. =41.0264 Real gas vol. =40.8111Pres. = 101325.00 Ideal gas vol. =41.0264 Real gas vol. =40.8111Pres. = 1013250.00 Ideal gas vol. = 4.1026 Real gas vol. = 3.883Pres. = 1013250.00 Ideal gas vol. = 4.1026 Real gas vol. = 3.88388

    Pres. = 2026500.00 Ideal gas vol. = 2.0513 Real gas vol. = 1.828Pres. = 2026500.00 Ideal gas vol. = 2.0513 Real gas vol. = 1.82844

    Pres. = 3039750.00 Ideal gas vol. = 1.3675 Real gas vol. = 1.140Pres. = 3039750.00 Ideal gas vol. = 1.3675 Real gas vol. = 1.14077Pres. = 4053000.00 Ideal gas vol. = 1.0257 Real gas vol. = 0.795Pres. = 4053000.00 Ideal gas vol. = 1.0257 Real gas vol. = 0.79544

    Ejemplo 2Ejemplo 2

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    54/67

    02/11/2015 54

    102

    103

    104

    10-1

    100

    10

    1

    102

    Pressure, kPa

    S p e c

    i f i c V o

    l u m e , m

    3 / k m o

    l

    Newton-Raphson: fcn and path to root (*: initial; o: root)

    Ideal SRK

    Ejemplo 3: SoluciEjemplo 3: Solucióón de un Polinomio de Grado n yn de un Polinomio de Grado n y

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    55/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 5555

    Ejemplo 3: SoluciEjemplo 3: Solucióón de un Polinomio de Grado n yn de un Polinomio de Grado n yFunciFuncióón de Transferencia Utilizando el Mn de Transferencia Utilizando el MéétodotodoNewtonNewton--Raphson con DivisiRaphson con Divisióón Sintn Sintéética y Mtica y Méétodotodode Autovalores.de Autovalores.

    Consideremos el reactor isotConsideremos el reactor isotéérmico continuo tanquermico continuo tanqueagitado (CSTR) como el que se muestra en la siguienagitado (CSTR) como el que se muestra en la siguienFigura:Figura:

    Las componentes A y R alimentan al reactorLas componentes A y R alimentan al reactor

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    56/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 5656

    Las componentes A y R alimentan al reactor as co po e tes y a e ta a eactotasas Q y (qtasas Q y (q−− Q), respectivamente. En el reactor seQ), respectivamente. En el reactor sedesarrolla el siguiente esquema de reaccidesarrolla el siguiente esquema de reaccióón:n:

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    57/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 5757

    Este problema fue analizado por Douglas paraEste problema fue analizado por Douglas parailustrar las diversas tilustrar las diversas téécnicas de disecnicas de diseñño de sistemaso de sistemasde control simple con retroalimentacide control simple con retroalimentacióón En sun En suananáálisis Douglas hizo las siguientes hiplisis Douglas hizo las siguientes hipóótesis:tesis:

    1)1) La componente R estLa componente R estáá presente en el reactor en exceso depresente en el reactor en exceso demanera que las velocidades de reaccimanera que las velocidades de reaccióón puedan aproximarsen puedan aproximarsepor expresiones de primer orden.por expresiones de primer orden.

    2)2) Las componentes B, C, D y E de la alimentaciLas componentes B, C, D y E de la alimentacióón son cero.n son cero.3)3)

    Se elige un conjunto particular de valores de velocidades y dSe elige un conjunto particular de valores de velocidades y dconcentraciones de la alimentaciconcentraciones de la alimentacióón, constantes cinn, constantes cinééticas yticas yvolumen del reactor.volumen del reactor.

    4)4)

    Las perturbaciones se deben a cambios en la composiciLas perturbaciones se deben a cambios en la composicióón den dela componente R en el recipiente.la componente R en el recipiente.

    l b d l l l ó d l

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    58/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 5858

    El objetivo del control es mantener la composiciEl objetivo del control es mantener la composicióón de lan de lacomponente C tan prcomponente C tan próóxima como sea posible al valor dxima como sea posible al valor ddisediseñño en estado estacionario, a pesar del hecho quo en estado estacionario, a pesar del hecho quingresen perturbaciones al sistema.ingresen perturbaciones al sistema.

    Este objetivo se alcanza mediante la mediciEste objetivo se alcanza mediante la medicióón de lan de lacomposicicomposicióón real de C utilizando la diferencia entre en real de C utilizando la diferencia entre evalor deseado y el valor medido para manipular evalor deseado y el valor medido para manipular ecaudal de entrada Q de la componente A.caudal de entrada Q de la componente A.

    Douglas desarrollDouglas desarrollóó la siguiente funcila siguiente funcióón de transferencian de transferenciapara el reactor con un sistema de control proporcional:para el reactor con un sistema de control proporcional:

    http://prevpage/

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    59/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 5959

    Kc es la ganancia del controlador proporcional.Kc es la ganancia del controlador proporcional.

    Este sistema de control es estable para valores de KEste sistema de control es estable para valores de Kque suministran raque suministran raí í ces de la funcices de la funcióón de transferencian de transferenciacon parte real negativa.con parte real negativa.

    Utilizando el mUtilizando el méétodo de Newtontodo de Newton--Raphson con divisiRaphson con divisióónnsintsintéética o el mtica o el méétodo de los autovalores, determine latodo de los autovalores, determine larara í í ces de la funcices de la funcióón de transferencia para un rango den de transferencia para un rango devalores de Kc y calcule el valor crvalores de Kc y calcule el valor crí í tico de Kc por encimatico de Kc por encimadel cual el sistema se vuelve inestable.del cual el sistema se vuelve inestable.

    Escribir el programa de manera que pueda utilizarseEscribir el programa de manera que pueda utilizarsepara resolver polinomios de grado n o funciones dpara resolver polinomios de grado n o funciones dtransferencia del tipo mostrado en la Ecuacitransferencia del tipo mostrado en la Ecuacióón anterior.n anterior.

    http://prevpage/

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    60/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 6060

    ObsObséérvese lo siguiente:rvese lo siguiente:

    http://prevpage/

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    61/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 6161

    Algoritmo de la DivisiAlgoritmo de la Divisióón Sintn Sintééticatica

    MMéétodo de los A to alorestodo de los Autovalores

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    62/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 6262

    MMéétodo de los Autovalorestodo de los Autovalores

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    63/67

    KcKc = 0.0000= 0.0000

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    64/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 6464

    KcKc

    0.0000 0.0000

    RootsRoots

    == --4.354.35--2.85912.8591--2.84092.8409 --1.451.45

    KcKc

    = 100.0000= 100.0000

    RootsRoots

    == --9.8519.851 --2.248 0.2995+5.701i 0.29952.248 0.2995+5.701i 0.2995--5.701i5.701i

    KcKc

    = 50.0000= 50.0000

    RootsRoots

    == --8.49498.4949--2.24592.2459--0.3796+4.485i0.3796+4.485i--0.37960.3796--4.485i4.485i

    KcKc

    = 75.0000= 75.0000

    RootsRoots

    == --9.24879.2487--2.24732.2473--0.001993+5.163i0.001993+5.163i--0.0019930.001993--5.163i5.163i

    KcKc

    = 87.5000= 87.5000

    RootsRoots

    == --9.56419.5641--2.2477 0.1559+5.445i 0.15592.2477 0.1559+5.445i 0.1559--5.445i5.445i

    Kc = 81.2500Kc = 81.2500

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    65/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 6565

    Kc 81.2500.

    Roots =Roots =--9.41049.4104--2.2475 0.07893+5.308i 0.078932.2475 0.07893+5.308i 0.07893--5.308i5.308i

    Kc = 78.1250Kc = 78.1250

    Roots =Roots =--9.33069.3306--2.2474 0.039+5.237i 0.0392.2474 0.039+5.237i 0.039--5.237i5.237i

    Kc = 76.5625Kc = 76.5625

    Roots =Roots = --9.299.29--2.2473 0.01864+ 5.2i 0.018642.2473 0.01864+ 5.2i 0.01864--

    5.2i5.2i

    Kc = 75.7813Kc = 75.7813

    Roots =Roots =--9.26949.2694--2.2473 0.00836+5.182i 0.008362.2473 0.00836+5.182i 0.00836--5.182i5.182i

    Kc = 75.3906Kc = 75.3906

    Roots =Roots =--9.25919.2591--2.2473 0.003192+5.173i 0.0031922.2473 0.003192+5.173i 0.003192--5.173i5.173i

    KcKc = 75 1953= 75 1953

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    66/67

    02/11/201502/11/2015 MatemMatem áática Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruztica Superior Aplicada Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz UTNUTN -- FRRoFRRo 6666

    KcKc

    = 75.1953= 75.1953

    RootsRoots

    == --9.25399.2539--2.2473 0.0006016+5.168i 0.00060162.2473 0.0006016+5.168i 0.0006016--5.168i5.168i

    KcKc

    = 75.0977= 75.0977

    RootsRoots

    == --9.25139.2513--2.24732.2473--0.0006953+5.166i0.0006953+5.166i--0.00069530.0006953--5.166i5.166i

    KcKc

    = 75.1465= 75.1465

    RootsRoots

    == --9.25269.2526--2.24732.2473--4.667e4.667e--005+5.167i005+5.167i--4.667e4.667e--005005--5.167i5.167i

    KcKc

    = 75.1709= 75.1709

    RootsRoots

    == --9.25339.2533--2.2473 0.0002775+5.167i 0.00027752.2473 0.0002775+5.167i 0.0002775--5.167i5.167i

    KcKc

    = 75.1587= 75.1587

    RootsRoots

    == --9.25299.2529--2.2473 0.0001154+5.167i 0.00011542.2473 0.0001154+5.167i 0.0001154--5.167i5.167i

  • 8/19/2019 Ecuaciones No Lineales en IQ MSA

    67/67

    KcKc

    = 75.1526= 75.1526

    RootsRoots

    == --9.25289.2528--2.2473 3.438e2.2473 3.438e--005+5.167i 3.438e005+5.167i 3.438e--005005--5.167i5.167i

    KcKc

    = 75.1495= 75.1495

    RootsRoots

    == --9.25279.2527--2.24732.2473--6.147e6.147e--006+5.167i006+5.167i--6.147e6.147e--006006--5.167i5.167i

    KcKc

    = 75.1511= 75.1511

    RootsRoots

    == --9.25279.2527--2.2473 1.412e2.2473 1.412e--005+5.167i 1.412e005+5.167i 1.412e--005005--5.167i5.167i

    KcKc

    = 75.1503= 75.1503

    RootsRoots == --9.25279.2527--2.2473 3.985e2.2473 3.985e--006+5.167i 3.985e006+5.167i 3.985e--006006--5.167i5.167i