Unidad IV ... IV.1 Sistema de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales es una...

download Unidad IV ... IV.1 Sistema de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales es una colecciأ³n

of 9

  • date post

    18-Feb-2020
  • Category

    Documents

  • view

    1
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Unidad IV ... IV.1 Sistema de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales es una...

  • U ni

    da d

    IV

  • Esquema conceptual: Unidad IV

    UNIDAD IV Sistemas de ecuaciones

    lineales y matrices

    4. Determinantes de 2x2

    5. Determinantes de 3x3

    7. Resolución de un sistema de 3x3 por regla de Kramer

    6. Regla de Sarrus

    Definición de matriz Representación matricial de un sistema de valores Determinantes

    Aplicación de determinantes en la

    solución de sistemas de ecuaciones lineales

    2. Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas

    Métodos gráficos Estrategia de eliminación por igualación

    1. Sistemas de ecuaciones lineales

    3. Solución de sistemas de tres ecuaciones lineales en tres incógnitas

    Ecuaciones dependientes Ecuaciones independientes

    Ecuaciones incompletas

    Á l g e br a

    98

  • Se m

    an a

    7 Presentación

    Una ecuación es una expresión que contiene una o más incógnitas o varia-bles. Mediante operaciones algebraicas, es posible determinar los valores de dichas variables. En diversas aplicaciones, tanto de las ciencias matemáti- cas como de la administración, los problemas se plantean en términos de más de una ecuación, los cuales forman parte de un sistema que debe resolverse simultáneamente ya que el valor hallado para las incógnitas es el mismo para todas las ecuaciones del sistema.

    El alumno resolverá sistemas de ecuaciones lineales.

    Objetivos específicos

    IV.1 Sistema de ecuaciones lineales

    IV.2 Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas

    Tema y subtemas

    IV Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

    U n i da d I V. S i st e m a s d e e c uaci o n e s l i n e a l e s y m at r i ce s

    99

  • IV.1 Sistema de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales es una colección de m ecuaciones de primer grado con n incógnitas cuyos valores, una vez hallados, resuelven (o satisfacen) a todas y cada una de las ecuaciones del sistema.

    Ejemplo:

    4x + 3y = 10 2x + 5y = 11

    es un sistema de ecuaciones lineales con m = 2 (dos ecuaciones) y n = 2 (dos incógnitas), en donde la solución es x = 1 , y = 2 que satisface simultáneamen- te ambas ecuaciones del sistema.

    Ecuaciones dependientes

    Cuando las ecuaciones de un sistema son múltiplos entre sí, el sistema tiene un número in1nito de soluciones. Por ejemplo, en el sistema:

    x + y = 6 2x + 2y = 12

    La segunda ecuación equivale a la primera ecuación multiplicada por dos (es decir, la segunda ecuación es múltiplo de la primera), por lo tanto, el sistema tiene un número in1nito de soluciones, lo que en la práctica no es de utilidad para la resolución de problemas. Una solución es x = 4, y = 2 y otra x = 5 , y = 1, son dos de un número in1nito de soluciones.

    Ecuaciones independientes

    Cuando las ecuaciones de un sistema no son múltiplos entre sí (es decir, ninguna de ellas puede obtenerse a partir del producto de otra multiplicada por determi- nado valor), se dice que son ecuaciones independientes y, en consecuencia, tienen solución única, lo que es de gran utilidad en la solución de problemas prácticos. Por ejemplo, el sistema

    4x + 3y = 22 2x + 5y = 18

    tiene sus dos ecuaciones independientes, por lo que la solución única es:

    x = 4 , y = 2

    Definición de sistema de ecuaciones lineales

    Características de las ecuaciones dependientes

    Características de las ecuaciones

    independientes

    Á l g e br a

    100

  • Ecuaciones incompatibles

    Se dice que un sistema de ecuaciones es incompatible si, pese a conformarse de ecuaciones independientes, éstas no tienen solución en común. Por ejemplo, el sistema:

    3x + 6y = 30 6x + 12y = 15

    se conforma de ecuaciones incompatibles debido a que no existen valores de x y y, que resuelvan ambas ecuaciones en forma simultánea.

    IV.2 Solución de un sistema de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas

    Métodos gráficos

    La primera técnica para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógni- tas es el método grá1co. Considerando que la grá1ca de una ecuación de primer grado corresponde a una recta, se procede a gra1car ambas ecuaciones en el plano cartesiano para determinar visualmente las coordenadas (x y y) en donde la rectas se cortan.

    Ejercicio. Resolver el sistema por el método grá1co:

    2x + y = 0 x + y = −1

    Solución:

    Se procede a gra1car ambas ecuaciones, despejando en ambas.

    y = −2x y = −1 − x

    Puede observarse que las rectas se cortan en el punto x =1 , y = 2, y que pue- de comprobarse al sustituir dichos valores en el sistema original resolviéndolo de manera simultánea.

    2(1) + (−2) = 0 1 + (−2) = 0

    Características de las ecuaciones incompatibles

    Solución de un sistema de ecuaciones a través de métodos gráficos

    U n i da d I V. S i st e m a s d e e c uaci o n e s l i n e a l e s y m at r i ce s

    101

  • Estrategia de eliminación por igualación

    Este método consiste en despejar cualquiera de las dos incógnitas de ambas ecua- ciones, con el 1n de generar una ecuación de primer grado con una sola incógnita, es decir, se elimina la incógnita inicial. Al resolver la ecuación de primer grado mediante los pasos anteriores, ahora el valor obtenido se sustituye en cualquiera de las ecuaciones para obtener el valor de la otra incógnita.

    Ejercicio. Resolver el sistema:

    4x + 3y = 22 [1] 2x + 5y = 18 [2]

    Solución:

    Despejamos alguna de las incógnitas, digamos x en las dos ecuaciones. Para la ecuación [1], x se despeja de la siguiente manera:

    4x = 22 − 3y

    x = 22 − 3y4

    Para la ecuación [2], x se despeja de la siguiente manera:

    2x = 18 − 5y

    Solución de un sistema de ecuaciones a través

    de eliminación por igualación

    6

    4

    2

    0

    −2

    −4

    −6 −6 −4 −2 0 2 4 6

    2x+y, x+y

    Á l g e br a

    102

  • x = 18 − 5y 2

    Se procede ahora a igualar los valores de x obtenidos en los pasos anteriores:

    22 − 3y4 = 18 − 5y

    2

    Así, se obtiene una ecuación con una sola incógnita, en donde la variable x ha sido eliminada. Se resuelve entonces la ecuación y tenemos:

    22 − 3y4 = 18 − 5y

    2

    2(22 – 3y) = 4(18 − 5y)

    44 − 6y = 72 − 20y

    14y = 28

    y = 2814

    y = 2

    Este valor se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones por ejemplo en [1]

    4x + 3(2) = 22

    4x = 16

    x = 164

    x = 4

    Con lo que el sistema queda resuelto.

    U n i da d I V. S i st e m a s d e e c uaci o n e s l i n e a l e s y m at r i ce s

    103

  • Reactivos de autoevaluación

    Instrucciones: Selecciona la respuesta correcta:

    1. Resuelve el sistema: [1] x + 4y = 13 [2] 2x − y = –1

    a) x = −1, y = −3 b) x = −1, y = 3 c) x = 1, y = 3

    2. Resuelve el sistema: [1] −x − y = 3 [2] x − y = 1

    a) x = −1, y = −2 b) x = 1, y = −2 c) x = –1, y = 2

    3. Resuelve el sistema: [1] 5x − y = −9 [2] x − 5y = 3

    a) x = −2, y = −1 b) x = 2, y = −1 c) x = −2, y = 1

    4. Resuelve el sistema: [1] 3x − 2y = 7 [2] −4x + 6y = −6

    a) x = −3, y = 1 b) x = 3, y = 1 c) x = −3, y = −1

    5. Resuelve el sistema: [1] 7x + y = 5 [2] x − 3y = −15 a) x = 5, y = 0 b) x = −5, y = 0 c) x = 0, y = 5

    Instrucciones: Relaciona las columnas anotando en el paréntesis el número de la opción correcta.

    1. Expresión que contiene una o más incógnitas: ( ) Ecuación lineal. 2. Colección de m ecuaciones con n incógnitas: ( ) Sistema de ecuaciones. 3. Sistema con número infinito de soluciones: ( ) Método gráfico. 4. Sistema de ecuaciones independientes que no

    tienen solución en común: ( ) Eliminación.

    5. Técnica visual para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales:

    ( ) Sistema con ecuaciones incompatibles.

    6. Ecuación de primer grado: ( ) Sustitución. 7. Punto donde se cortan las rectas del sistema de

    ecuaciones: ( ) Ecuaciones que nos son

    múltiplo entre sí. 8. Método para comprobar la solución de un

    sistema de ecuaciones: ( ) Ecuación.

    9. La igualación de una estrategia de: ( ) Sistema con ecuaciones dependientes.

    10. Ecuaciones independientes: ( ) Solución del sistema.

  • Fuentes de información Baldor, A. (2001). Álgebra. México: Publicaciones Cultural. Grossman, S. (1998, 2a edición). Álgebra Lineal. México: Grupo Editorial Ibe-

    roamericana. Swokowski, E. (1994). Álgebra Universitaria. México: CECSA. Thompson, E. (1996). Álgebra. México: UTEHA

    Despeje: Conjunto de pasos algebraicos para hallar el valor de una incógnita. Gra!car: Realizar la representación de una ecuación en el eje cartesiano. Cortar: En matemáticas se re1ere al punto donde se intersectan las grá1cas de

    ecuaciones. Múltiplo: Dos valores o dos ecuaciones son múltiplos si uno divide al otro de forma

    exacta. Eliminac