Unidad 2 Sistemas de Ecuaciones Lineales

Unidad

1SISTEMAS DE ECUACIONESLINEALES

COMPETENCIA ESPECiFICA A DESARROLLAR

Manejar las matrices, sus propiedades y operaciones a fin de expresar conceptos y problemasmediante ellas, en los sistemas de ecuaciones lineales; así como en otras áreas de las matemáti-cas y de la ingeniería, para una mejor comprensión y una solución más eficiente.

Utilizar el determinante y sus propiedades para probar la existencia y el cálculo de la in-versa de una matriz.

DI INTRODUCCiÓN

Este libro trata del álgebra lineal. Al buscar la palabra "lineal" en el diccionario se encuentra,entre otras definiciones, la siguiente: lineal: (dellat. linealis). 1. adj. Perteneciente o relativo ala línea. t Sin embargo, en matemáticas la palabra "lineal" tiene un significado mucho más am-plio. Una gran parte de la teoría de álgebra lineal elemental es, de hecho, una generalización delas propiedades de la línea recta. A manera de repaso se darán algunos hechos fundamentalessobre las líneas rectas:

i) La pendiente m de una recta que pasa por los puntos (x., YI) y (x2' Y2) está dada por

_ Y2 - YI _ ~Y ....•..m------ SlXlrX2x2 - XI ~X

ii) Si x2 - XI = OYY2 =1=Y" entonces la recta es vertical y se dice que la pendiente es indefi-nida.'

iii) Cualquier recta (a excepción de aquella que tiene una pendiente indefinida) se puede des-cribir al escribir su ecuación en la forma pendiente-ordenada Y = mx + b, donde m es lapendiente de la recta y b es la ordenada (el valor de Y en el punto en el que la recta cruzael eje y) .

•t Diccionario de la Lengua Española, vigésima segunda edición, RealAcademia Española. Madrid: EspasaCalpe, 2001.! Indefinida o infinita, como también se le denomina en otros libros.

12 UNIDAD 2 Sistemas de ecuaciones lineales

iv) Dos rectas distintas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.

v) Si la ecuación de la recta se escribe en la forma ax + by = e, (b i= O), entonces se puedecalcular fácilmente, m = -alb.

vi) Si mI es la pendiente de la recta LI' m2 es la pendiente de la recta L2, mI i= OYLI YL2 sonperpendiculares, entonces m2 = -l/mI.

vii) Las rectas paralelas al eje x tienen una pendiente cero.

viii) Las rectas paralelas al eje y tienen una pendiente indefinida.

En la sección que sigue se ilustrará la relación que existe entre resolver sistemas de ecua-ciones y encontrar los puntos de intersección entre pares de rectas.

EII Dos ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Considere el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x y y:

allx + al2y = b,

a21x + a22y = b;

donde all' a12, a21' a22, b, y b2 son números dados. Cada una de estas ecuaciones corresponde auna línea recta. Una solución al sistema (1) es un par de números, denotados por (x,y), que sa-tisface (1). Las preguntas que surgen en forma natural son: ¿tiene este sistema varias solucionesy, de ser así, cuántas? Se responderán estas preguntas después de ver algunos ejemplos, en loscuales se usarán dos hechos importantes del álgebra elemental:

(1)

Hecho A Si a = b y e = d, entonces a + e = b + d.

Hecho B Si a = b y e es cualquier número real, entonces ea = eb.

El hecho A establece que si se suman dos ecuaciones se obtiene una tercera ecuación correcta.El hecho B establece que si se multiplican ambos lados de una ecuación por una constante seobtiene una segunda ecuación válida. Se debe suponer que e i= O ya que aunque la ecuaciónO = Oes correcta, no es muy útil.

_,- __ S_is_te_m_a_c_o_n_u_n_a_s_o_l_u_c_i6_n_ú_n_ic_a__

Considere el sistemax-y=7x+y=5

Si se suman las dos ecuaciones se tiene, por el hecho A, la siguiente ecuación: 2x = 12 (es decir,x = 6). Entonces, si se despeja de la segunda ecuación, y = 5 - x = 5 - 6 = entonces y = -l.Así, el par (6, -1) satisface el sistema (2) y la forma en que se encontró la solución muestra quees el único par de números que lo hace. Es decir, el sistema (2) tiene una solución única.

(2)

EJEMPLO 2 Sistema con un número infinito de soluciones

Considere el sistemax - y = 7

2x-2y=14 (3)

Se puede ver que estas dos ecuaciones son equivalentes. Esto es, cualesquiera dos números, x yy, que satisfacen la primera ecuación también satisfacen la segunda, y viceversa. Para compro-bar esto se multiplica la primera ecuación por 2. Esto está permitido por el hecho B. Entonces

2.2 Dosecuacioneslinealescon dos incógnitas 13

x - y = 7 o y = x - 7. Así, el par (x, x - 7) es una solución al sistema (3) para cualquier nú-mero real x. Es decir, el sistema (3) tiene un número infinito de soluciones. Para este ejemplo, lossiguientes pares son soluciones: (7,O), (O, -7), (8, 1), (1, -6), (3, -4) Y (-2, -9).

EJEMPLO 3 Sistema sin solución

Considere el sistemax - y = 7

2x-2y=13(4)

Si se multiplica la primera ecuación por 2 (que de nuevo está permitido por el hecho B) se obtiene2x - 2y = 14. Esto contradice la segunda ecuación. Por lo tanto, el sistema (4) no tiene solución.

Un sistema que no tiene solución se dice que es inconsistente.Geométricamente es fácil explicar lo que sucede en los ejemplos anteriores. Primero, se

repite que ambas ecuaciones del sistema (1) son de líneas rectas. Una solución a (1) es un pun-to (x, y) que se encuentra sobre las dos rectas. Si las dos rectas no son paralelas, entonces seintersecan en un solo punto. Si son paralelas, entonces nunca se intersecan (es decir, no tienenpuntos en común) o son la misma recta (esto es, tienen un número infinito de puntos en co-mún). En el ejemplo 1 las rectas tienen pendientes de 1 y - 1, respectivamente, por lo que noson paralelas y tienen un solo punto en común (6, -1). En el ejemplo 2, las rectas son paralelas(tienen pendiente 1) y coincidentes. En el ejemplo 3, las rectas son paralelas y distintas. Estasrelaciones se ilustran en la figura 2.1.

Ahora se procederá a resolver el sistema (1) formalmente. Se tiene

allx + al2y = b,

a21x + a22y = b;(5)

bSi a'2 = 0, entonces x = _1 Yse puede usar la segunda ecuación para despejar y.

all

bSi a22 = 0, entonces x = _2 Yse puede usar la primera ecuación para despejar y.

a2,

Si a'2 = a22 = 0, entonces el sistema (1) contiene sólo una incógnita, x.

Así, se puede suponer que ni a'2 ni a22 son cero.Si se multiplica la primera ecuación por a22 y la segunda por a'2 se tiene

Figura 2.1Dos rectas se intersecanen un punto, en ninguno o(si coinciden) en un númeroinfinito de puntos.

alla22 X + a'2a22 y = a22b,

a'2a2' X + a'2a22 y = a'2b2(6)

y y y

--;-~~~--------_. x

Sin solución

--;-~~~.-------~ x

Número infinito de soluciones

--4-----~~-------.xoallx + a'2Y = b,

a2,x + a22y = b2

allx + al2y = b,

a2,x + a22y = b2

a) Rectas no paralelas;un punto de intersección

b) Rectas paralelas; sinpuntos de intersección

e) Rectas que coinciden; número infinitode puntos de intersección

14 UNIDAD 2

SISTEMAS

I!! EQUIVALENTES

TEOREMA a

Sistemas de ecuaciones lineales

Antes de continuar se puede ver que los sistemas (1) y (6) son equivalentes. Esto quiere decir quecualquier solución del sistema (1) es una solución del sistema (6) y viceversa. Ello se concluyedirectamente del hecho B, suponiendo que e no es cero. Después, si en (6) se resta la segundaecuación de la primera, se obtiene

(7)

Es necesario hacer una pausa en este punto. Si a"a22 - a'2a2' "* 0, entonces se puede dividirentre este término para obtener

Después se puede sustituir este valor de x en el sistema (1) para despejar y, y así se habrá en-contrado la solución única del sistema.

Se ha demostrado lo siguiente:

Si alla22 - a'2a2' "* 0, entonces elsistema (1) tiene una solución única •

¿Cómo se relaciona esta afirmación con lo que se analizó anteriormente? En el sistema (1)se puede ver que la pendiente de la primera recta es -all/a'2 y que la pendiente de la segunda es-a2/a22. En los problemas 40, 41 Y42 se pide al lector que demuestre que alla22 - a'2a2' = ° si Ysólo si las rectas son paralelas (es decir, tienen la misma pendiente). De esta manera se sabe quesi alla22 - a'2a2' "* 0, las rectas no son paralelas y el sistema tiene una solución única.

Lo que se acaba de analizar puede formularse en un teorema. En secciones posteriores deeste capítulo y los siguientes se harán generalizaciones de este teorema, y se hará referencia aél como el "teorema de resumen" conforme se avance en el tema. Una vez que se hayan de-mostrado todas sus partes, se podrá estudiar una relación asombrosa entre varios conceptosimportantes de álgebra lineal.

Teorema de resumen

El sistema

allx + aI2y = b,

a2,x + a22y = b2

de dos ecuaciones con dos incógnitas x y y no tiene solución, tiene una solución únicao tiene un número infinito de soluciones. Esto es:

i) Tiene una solución única si y sólo si a"a22 - a'2a2' "* O.

ii) No tiene solución o tiene un número infinito de soluciones, si y sólo si

Los sistemas de m ecuaciones con n incógnitas se estudian en la sección 2.3 y se verá quesiempre ocurre que no tienen solución, o que tienen una o un número infinito de soluciones.

2.2 Dosecuacioneslinealescon dos incógnitas 15

AUTO EVALUACiÓN

1} De las siguientes afirmaciones con respecto a la solución de un sistema de dos ecuacio-nes con dos incógnitas, ¿cuál de ellas no es verdadera?

a) Es un par ordenado que satisface ambas ecuaciones.

b) Su gráfica consiste en el(los) punto(s) de intersección de las gráficas de las ecua-ciones.

e) Su gráfica es la abscisa de las gráficas de las ecuaciones.

d) Si el sistema es inconsistente, no existe una solución.

11} ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta para un sistema inconsistente de dos ecua-ciones lineales?

a) No existe una solución.

b) La gráfica del sistema está sobre el eje y.e) La gráfica de la solución es una recta.

d) La gráfica de la solución es el punto de intersección de dos líneas.

11I) ¿Cuál de las aseveraciones que siguen es cierta para el siguiente sistema de ecuaciones?

3x - 2y = 8

4x + y=7a) El sistema es inconsistente.

b) La solución es (-1, 2).

e) La solución se encuentra sobre la recta x = 2.

d) Las ecuaciones son equivalentes.

IV) De las siguientes ecuaciones que se presentan, ¿cuál de ellas es una segunda ecuación parael sistema cuya primera ecuación es x - 2y = -5 si debe tener un número infinito de solu-ciones?

a) 6y = 3x + 151 5

e) y = --x+-2 2

b) 6x - 3y = -153 15

d) -x=3y+-2 2

V) ¿Cuál de las gráficas de los siguientes sistemas es un par de rectas paralelas?

a) 3x - 2y = 74y = 6x - 14

e) 2x + 3y = 7

3x - 2y = 6

b) x - 2y = 7

3x = 4 + 6y

d) 5x + y = 17y = 3x

Desarrollo de competencias 2.2

En los problemas 1 a 16 encuentre las soluciones (si las hay) de los sistemas dados. En cada casocalcule el valor de a11a22 - a12a21•

1. x - 3y = 4 2. 5x - 7y = 4 3. 2x- y =-3 4. 2x - 8y = 5-4x + 2y = 6 -x+2y=-3 5x + 7y = 4 -3x+12y=8

5. 10x - 40y = 30 6. 2x - 8y = 6 7. 6x + y = 3 8. 5x + y=O-3x + 12y = -90 -3x+12y=-9 -4x - y = 8 7x + 3y = O

16 U !DAD 2 Sistemas de ecuaciones lineales

9. 3x + y = O2x -3y = O

13. 2x + 3y = 43x + 4y = 5

10. 4x - 6y = O-2x + 3y = O

14. ax + by = eax - by = e

11. 5x + 2y = 32x + 5y = 3

15. ax + by = ebx + ay = e

12. 4x + 7y = 37x - 4y = 3

16. ax - by = ebx + ay = d

17. Para el siguiente sistema de ecuaciones lineales determine para qué valores de K el sistematiene solución única; justifique su solución.

Kx+ y+ z=1

x + Ky + z = 1

x+ y+Kz=l

18. En el siguiente sistema de ecuaciones lineales determine para qué valores de K el sistema:

a) No tiene solución

b) Tiene soluciones infinitas

e) Tiene solución única

2x- y - Kz = O

x-y-2z=1

-x+2y =K

19. Encuentre las condiciones sobre a y b tales que el sistema en el problema 14 tenga unasolución única.

20. Encuentre las condiciones sobre a, b y e tales que el sistema del problema 15 tenga un nú-mero infinito de soluciones.

21. Encuentre las condiciones sobre a, b, e y d tales que el problema 16 no tenga solución.

En los problemas 22 al 29 encuentre el punto de intersección (si hay uno) de las dos rectas.

22. x - y = 7; 2x + 3y = l

24. y - 2x = 4; 4x - 2y = 6

26. 4x - 6y = 10; 6x - 9y = 15

28. 2y - 3x = O; 7y - 5x = 9

23. 2x - 2y = 3; 3x + 7y = -]25. 4x - 6y = 7; 6x - 9y = 12

27. 3x + y = 4; y - 5x = 2

29. 3x + 4y = 5; 6x - 7y = 8

Sea L una recta y L 1. la recta perpendicular a L que pasa a través de un punto dado P. La dis-tancia de L a P se define como la distancia! entre P y el punto de intersección de L y L 1.. En losproblemas 30 a 36 encuentre la distancia entre la recta dada y el punto.

30. x - y = 6; (O, O)

32. 3x + y = 7; (1, 2)

34. 2y - 5x = -2; (5,-3)

~6. 6y + 3x = 3; (8, -1)

31. 2x + 3y = -1; (O, O)

33. 5x - 6y = 3; (2,.!f)

35. 3y - 7x = O; (-1, -5)

37. Encuentre la distancia entre la recta 2x - y = 6 y el punto de intersección de las rectas3x - 2y = l Y 6x + 3y = 12.

t Recuerde que 51 (X,. Yl) Y (x2' Y2) son dos puntos en el plano xy, entonces la distancia d entre ellos está dada por

d= J(x,- xJ + (y, - Y2)2.

2.3 m ecuaciones con n incógnitas 17

*38. Pruebe que la distancia entre el punto (x., y,) y la recta ax + by = e está dada por

d = lax, + by, - el~a2 + b'

39. En un zoológico hay aves (de dos patas) y bestias (de cuatro patas). Si el zoológico contiene60 cabezas y 200 patas, ¿cuántas aves y bestias viven en él?

40. Suponga que alla22 - a'2a2' = O. Demuestre que las rectas dadas en el sistema de ecuacio-nes (1) son paralelas. Suponga que all * 00a'2 * Oy a2, * Oo a22 * O.

41. Si existe una solución única al sistema (1), muestre que alla22 - a'2a2' *O.

42. Si alla22 - a'2a2' * Odemuestre que el sistema (1) tiene una solución única.

43. La compañía Sunrise Porcelain fabrica tazas y platos de cerámica. Para cada taza o platoun trabajador mide una cantidad fija de material y la pone en la máquina que los forma, dedonde pasa al vidriado y secado automático. En promedio, un trabajador necesita tres mi-nutos para iniciar el proceso de una taza y dos minutos para el de un plato. El material parauna taza cuesta ¡t25 y el material para un plato cuesta ¡t20. Si se asignan $44 diarios para laproducción de tazas y platos, ¿cuántos deben fabricarse de cada uno en un día de trabajo de8 horas, si un trabajador se encuentra trabajando cada minuto y se gastan exactamente $44en materiales?

44. Conteste la pregunta del problema 43 si los materiales para una taza y un plato cuestan ¡t15y ¡t10, respectivamente, y se gastan $24 en 8 horas de trabajo.

45. Conteste la pregunta del problema 44 si se gastan $25 en 8 horas de trabajo.

46. Una tienda de helados vende sólo helados con soda y malteadas. Se pone lanza de jarabey 4 onzas de helado en un helado con soda, y lanza de jarabe y 3 onzas de helado en unamalteada. Si la tienda usa 4 galones de helado y 5 cuartos de jarabe en un día, ¿cuántoshelados con soda y cuántas malteadas vende? [Sugerencia: 1 cuarto = 32 onzas, 1 galón =

4 cuartos.]

RESPUESTAS A LA AUTO EVALUACiÓN

1. e) 11. a) 111. e) IV. a) V. b)

m ECUACIONES CON n INCÓGNITAS:ELIMINACiÓN DE GAUSS-JORDAN y GAUSSIANA

En esta sección se describe un método para encontrar todas las soluciones (si es que existen)de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Al hacerla se verá que, igual que en elcaso de 2 X 2, tales sistemas o bien no tienen solución, tienen una solución o tienen un númeroinfinito de soluciones. Antes de llegar al método general se verán algunos ejemplos sencillos.Como variables, se usarán xl' x2, x3, etc., en lugar de x, y, z, ... porque la generalización es mássencilla si se usa la notación con subíndices.

EJEMPLO 1 Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: solución única

Resuelva el sistema

2x, + 4x2 + 6x3 = 18

4x, + 5x2 + 6x3 = 24

3x, + x2 - 2x3 = 4

(1)

18 U IDAD 2

•• Solución


En este caso se buscan tres números xl' x2' x3' tales que las tres ecuaciones en (1) se satisfagan.El método de solución que se estudiará será el de simplificar las ecuaciones como se hizo en lasección 2.2, de manera que las soluciones se puedan identificar de inmediato. Se comienza pordividir la primera ecuación entre 2. Esto da

XI + 2x2 + 3x3 = 9

4xI + 5x2 + 6x3 = 24

3xI + x2 - 2x3 = 4

(2)

Como se vio en la sección 2.2, al sumar dos ecuaciones se obtiene una tercera ecuación correc-ta. Esta nueva ecuación puede sustituir a cualquiera de las dos ecuaciones del sistema que seusaron para obtenerla. Primero se simplifica el sistema (2) multiplicando ambos lados de laprimera ecuación de (2) por -4 y sumando esta nueva ecuación a la segunda. Esto da

-4xI - 8x2 - 12x3 = - 36

4xI + 5x2 + 6x3 = 24

- 3x2 - 6x3 = - 12

La ecuación -3x2 - 6x3 = -12 es la nueva segunda ecuación y el sistema ahora es

XI + 2x2 + 3x3 = 9

- 3x2 - 6x3 = - 12

3x I + x2 - 2x3 = 4

Nota. Como se puede ver por el desarrollo anterior, se ha sustituido la ecuación 4xI + 5x2 +6x3 = 24 por la ecuación - 3x2 - 6x3 = -12. En este ejemplo y otros posteriores se sustituiránecuaciones con otras más sencillas hasta obtener un sistema cuya solución se pueda identificarde inmediato.

Entonces, la primera ecuación se multiplica por - 3 y se suma a la tercera, lo que da porresultado:

XI + 2x2 + 3x3 = 9

-3x2 - 6x3 = -12

-5x2 - l Ix, = -23

(3)

Observe que en el sistema (3) se ha eliminado la variable XI de la segunda y tercera ecuaciones.Después se divide la segunda ecuación por - 3:

XI + 2x2 + 3x3 = 9

x2 + 2x3 = 4

-5x2 - IIx3 = -23

Se multiplica la segunda ecuación por - 2 Y se suma a la primera; después se multiplica la se-gunda ecuación por 5 y se suma a la tercera:

x3 = I

x2 + 2x3 = 4

x3 = -3

ELIMINACiÓN DE

GAUSS-JORDAN

I! MATRIZ

MATRIZ DE

ID COEFICIENTES


Ahora se multiplica la tercera ecuación por -1:

X3 = 1

x2 + 2x3 = 4

x3 = 3

Por último, se suma la tercera ecuación a la primera y después se multiplica la tercera ecuaciónpor - 2 Yse suma a la segunda para obtener el siguiente sistema, el cual es equivalente al sis-tema (1):

=4= -2

X3 = 3

Ésta es la solución única para el sistema. Se escribe en la forma (4, - 2, 3). El método que se usóse conoce como eliminación de Gauss-Jordan. t

Antes de seguir con otro ejemplo es conveniente resumir lo que se hizo en éste:

i) Se dividió la primera ecuación, entre una constante, para hacer el coeficiente de XI

igual a l.

ii) Se "eliminaron" los términos en XI de la segunda y tercera ecuaciones. Esto es, loscoeficientes de estos términos se hicieron cero al multiplicar la primera ecuación porlas constantes adecuadas y sumándola a la segunda y tercera ecuaciones, respectiva-mente, de manera que al sumar las ecuaciones una de las incógnitas se eliminaba.

iii) Se dividió la segunda ecuación entre una constante, para hacer el coeficiente de x2

igual a 1 y después se usó la segunda ecuación para "eliminar" los términos en x2

de la primera y tercera ecuaciones, de manera parecida a como se hizo en el pasoanterior.

iv) Se dividió la tercera ecuación entre una constante, para hacer el coeficiente de x3

igual a 1y después se usó esta tercera ecuación para "eliminar" los términos de x3 dela primera y segunda ecuaciones.

Cabe resaltar el hecho de que, en cada paso, se obtuvieron sistemas equivalentes. Es decir,cada sistema tenía el mismo conjunto de soluciones que el precedente. Esto es una consecuen-cia de los hechos A y B de la sección 2.2.

Antes de resolver otros sistemas de ecuaciones es conveniente introducir una notación quesimplifica la escritura de cada paso del procedimiento mediante el concepto de matriz. Unamatriz es un arreglo rectangular de números y éstas se estudiarán con gran detalle al inicio dela sección 1.5. Por ejemplo, los coeficientes de las variables x" x2' x3 en el sistema (1) se puedenescribir como los elementos de una matriz A, llamada matriz de coeficientes del sistema:

A =[! ~ ~]3 1 -2

(4)

•t Recibe este nombre en honor del gran matemático alemán Karl Fnedrich Gauss (1777-1855) y del Ingeniero alemán

Wilhelm Jordan (1844-1899). Vea la semblanza bibliográfica de Gauss en la página 31. Jordan fue un experto en Inves-tigación geodésica tomando en cuenta la curvatura de la Tierra. Su trabajo sobre la solución de sistemas de ecuacionesapareció en 1888 en su libro Handbuch der Vermessungskunde (Manual de geodesia).

20 U IDAD 2

MATRIZ

I! mxn

MATRIZ

I! AUMENTADA

REDUCCIÓN

I! POR RENGLONES


Una matriz con m renglones y n columnas se llama una matriz de m X n. El símbolo m X n selee "m por n". El estudio de matrices constituye gran parte de los capítulos restantes de estelibro. Por la conveniencia de su notación para la resolución de sistemas de ecuaciones, las pre-sentamos aquí.

Al usar la notación matricial, el sistema (1) se puede escribir como la matriz aumentada

[2 4 6 I 18]4 5 6 I 243 1 -2 I 4

(5)

Ahora es posible introducir cierta terminología. Se ha visto que multiplicar (o dividir)los dos lados de una ecuación por un número diferente de cero da por resultado una nuevaecuación equivalente. Más aún, si se suma un múltiplo de una ecuación a otra del sistema seobtiene otra ecuación equivalente. Por último, si se intercambian dos ecuaciones en un sistemade ecuaciones se obtiene un sistema equivalente. Estas tres operaciones, cuando se aplican alos renglones de la matriz aumentada que representa un sistema de ecuaciones, se denominanoperaciones elementales con renglones.

Para resumir, las tres operaciones elementales con renglones aplicadas a la matriz aumen-tada que representa un sistema de ecuaciones son:

Operaciones elementales con renglones

i) Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente de cero.

ii) Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.

iii) Intercambiar dos renglones. •El proceso de aplicar las operaciones elementales con renglones para simplificar una matrizaumentada se llama reducción por renglones.

NOTACIÓN

1. R¡ ~ cR¡quiere decir "reemplaza el i-ésimo renglón por ese mismo renglón multiplicado porc". [Para multiplicar el z-ésimo renglón por e se multiplica cada número en el i-ésimo renglónpor c.]

2. Rj ~ Rj + cR¡ significa sustituye elj-ésimo renglón por la suma del renglónj más el renglóni multiplicado por c.

3. R¡ +=2 Rj quiere decir "intercambiar los renglones ¡y f'.

4. A ~ B indica que las matrices aumentadas A y B son equivalentes; es decir, que los sistemasque representan tienen la misma solución.

En el ejemplo 1 se vio que al usar las operaciones elementales con renglones i) y ü) varias veces,se puede obtener un sistema cuyas soluciones estén dadas en forma explícita. Ahora se repitenlos pasos del ejemplo 1 usando la notación que se acaba de introducir:

I 18] R,->fR, [1 2I 24 ---=-~) 4 5

I 4 3 1

I 9]I 24

I 4

R,->R, - 4R, [ 1 2R,->R, -3R, ) O -3

O -5

3-6

-11 -l~]-23

6

6-2

3

6-2

EJEMPLO 2

•• Solución

EJEMPLO 3


-1 I2 I

-1 I

: -~]I 3

R,-->R, -211, [1 OR,-->R, +511, ) O l

O OR,-->R, +R, [1 O OR,-->R, -ZN, ) O 1 O

O O 1De nuevo se puede "ver" de inmediato que la solución es x, = 4, x2 = -2, x) = 3.

Solución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

número infinito de soluciones

Resuelva el sistema2x, + 4x2 + 6x) = 18

4x, + 5x2 + 6x) = 24

2x, + 7x2 + 12x) = 30

Para resolver este sistema se procede como en el ejemplo 1,esto es, primero se escribe el sistemacomo una matriz aumentada:

[2 4 6 I 18]4 5 6 I 242 7 12 I 30

Después se obtiene, sucesivamente,

[1 2 3I 9] 11,-->11,-411, {~ 2 3 I 9]R,-+}R, ) 4 5 6 I 24

R,-->R, -2R, -3 -6 I -122 7 12 I 30 3 6 I 12

[1 2 3

1:]R,-->R, -211, {~O -1 ~]R,-+}R, ) O 1 2R,-->R, -311,

1 2O 3 6 O O

Esto es equivalente al sistema de ecuaciones

x) = 1

x2 + 2x) = 4

Hasta aquí se puede llegar. Se tienen sólo dos ecuaciones para las tres incógnitas x" x2' x) yexiste un número infinito de soluciones. Para comprobar esto se elige un valor de x)" Entoncesx2 = 4 - 2x) y x, = 1 + x). Ésta será una solución para cualquier número x)" Se escribe estasolución en la forma (l + x),4 - 2x), x). Por ejemplo, si x3 = O,se obtiene la solución (1, 4,O).Para x) = 10 se obtiene la solución (11, -16, 10), Ypor ello para cada valor de x) habrá unasolución distinta.

Sistema inconsistente

Resuelva el sistema2x2 + 3x) = 4

2x, - 6x2 + 'lx; = 15

x, - 2x2 + 5x3 = 10

(6)

22 UNIDAD 2

• Solución

DEFINICiÓN a


La matriz aumentada para este sistema es

El elemento 1,I de la matriz no se puede hacer I como antes porque al multiplicar Opor cual-quier número real el resultado es O. En su lugar se puede usar la operación elemental conrenglones iii) para obtener un número distinto a cero en la posición 1,1. Se puede intercambiarel renglón 1 con cualquiera de los otros dos; sin embargo, al intercambiar los renglones 1 y 3queda un 1 en esa posición. Al hacerla se obtiene lo siguiente:

[

O 2 3 I2 -6 7 I1 -2 5 I

10]-54

[

1 -2R,->R, - 2R, ) O -2

O 210]154

-2 5-6 7

2 3

5-3

3

Es necesario detenerse aquí porque, como se ve, las últimas dos ecuaciones son

-2xz - 3x3 = -5

2x2 + 3x3 = 4

lo cual es imposible (si -2x2 - 3x3 = -5, entonces 2x2 + 3x3 = 5, no 4). Así no hay unasolución. Se puede proceder como en los últimos dos ejemplos para obtener una forma másestándar:

1~]-1'1]

R,->R, +2R, [1 O 8 IR,->R, -2R, ) O 1 t I

O O O I

Ahora la última ecuación es OXI + OX2 + OX3 = -1,10 cual también es imposible ya que O*" -l.Así, el sistema (6) no tiene solución. En este caso se dice que el sistema es inconsistente.

Sistemas inconsistentes y consistentes

Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es inconsistente si no tiene solución. Sedice que un sistema que tiene al menos una solución es consistente.

Se analizarán de nuevo estos tres ejemplos. En el ejemplo 1se comenzó con la matriz de coefi-cientes

[

2 4

Al = 4 53 1

En el proceso de reducción por renglones, Al se "redujo" a la matriz

[1 O O]

RI = O 1 OO O 1

DEFINICiÓN a

EJEMPLO 4


En el ejemplo 2 se comenzó con

A, ~[~

4

l~l5

7

Yse terminó con

R, ~[~

O

-~l1

O

En el ejemplo 3 se comenzó con

A, ~[~

2

~l-6-2

Yse terminó con

R, ~[~

O

il1

O

Las matrices R" Rz' R3 se llaman formas escalonadas reducidas por renglones de las matrices A"Az y A3 respectivamente. En general, se tiene la siguiente definición:

Forma escalonada reducida por renglones y pivote

Una matriz se encuentra en la forma escalonada reducida por renglones si se cumplen lassiguientes condiciones:

i) Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la par-te inferior de la matriz.

ii) El primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cualquierrenglón cuyos elementos no todos son cero es l.

iii) Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en elrenglón de abajo está más hacia la derecha que el primer 1 en el renglón de arriba.

iv) Cualquier columna que contiene el primer 1 en un renglón tiene ceros en el resto desus elementos. El primer número diferente de cero en un renglón (si lo hay) se llamapivote para ese renglón.

Nota. La condición iil) se puede reescribir como "el pivote en cualquier renglón está a la dere-cha del pivote del renglón anterior".

Cinco matrices en la forma escalonada reducida por renglones

Las siguientes matrices están en la forma escalonada reducida por renglones:

[~O

~l U) [~

O O

~l ili) (~ ~)iv) (~ ~) [~O 2

~li)O O

v) 31 1 O 1O 1

O O O O O

Las matrices i) y ii) tienen tres pivotes; las otras tres matrices tienen dos pivotes.

24 UNIDAD 2

DEFINICiÓN El

EJEMPLO 5


Forma escalonada por renglones

Una matriz está en la forma escalonada por renglones si se cumplen las condiciones i),ü) y iü) de la definición 2.

Cinco matrices en la forma escalonada por renglones

Las siguientes matrices se encuentran en la forma escalonada por renglones:

[~2

:1 [1 -1 6

-:1i) 1 ii) O 1 2O O O O

ili) (~ O 2 5Jiv) (~ n [i

3 2 ~l012v) 1 3

O O

Nota. Por lo general, la forma escalonada por renglones de una matriz no es única. Es decir,una matriz puede ser equivalente, en sus renglones, a más de una matriz en forma escalonadapor renglones. Por ejemplo

muestra que las dos matrices anteriores, ambas en forma escalonada por renglones, son equiva-lentes por renglones. Así, cualquier matriz para la que A es una forma escalonada por renglo-nes, también tiene a B como forma escalonada por renglones.

Observación J. La diferencia entre estas dos formas debe ser evidente a partir de los ejemplos.En la forma escalonada por renglones, todos los números abajo del primer I en un renglónson cero. En la forma escalonada reducida por renglones, todos los números abajo y arriba delprimer I de un renglón son cero. Así, la forma escalonada reducida por renglones es más exclu-siva. Esto es, en toda matriz en forma escalonada reducida por renglones se encuentra tambiénla forma escalonada por renglones, pero el inverso no es cierto.

Observación 2. Siempre se puede reducir una matriz a la forma escalonada reducida por renglo-nes o a la forma escalonada por renglones realizando operaciones elementales con renglones.Esta reducción se vio al obtener la forma escalonada reducida por renglones en los ejemplos1,2 Y 3.

Como se vio en los ejemplos 1, 2 Y3, existe una fuerte relación entre la forma escalonadareducida por renglones y la existencia de la solución única para el sistema. En el ejemplo Idicha forma para la matriz de coeficientes (es decir, en la primeras tres columnas de la matrizaumentada) tenían un I en cada renglón y existía una solución única. En los ejemplos 2 y 3 laforma escalonada reducida por renglones de la matriz de coeficientes tenía un renglón de cerosy el sistema no tenía solución o tenía un número infinito de soluciones. Esto siempre es ciertoen cualquier sistema de ecuaciones con el mismo número de ecuaciones e incógnitas. Pero antesde estudiar el caso general se analizará la utilidad de la forma escalonada por renglones de unamatriz. Es posible resolver el sistema en el ejemplo I reduciendo la matriz de coeficientes a estaforma.


EJEMPLO 6 Solución de un sistema mediante eliminación gaussiana

Resuelva el sistema del ejemplo 1 reduciendo la matriz de coeficientes a la forma escalonadapor renglones .

•• Solución Se comienza como antes:

U4 6 18 1 .[ 1 2 3 9

15 6 24

RI-4tR)4 5 6 24

1 -2 4 3 1 -2 4

,,~,-., [1 2 3

-1:] .[ 1 2 3

-2;]R,->RJ -3R, R,->}R,

) O -3 -6 O 1 2

O -5 -11 -23 O 5 -11

Hasta aquí, este proceso es idéntico al anterior; pero ahora sólo se hace cero el número (- 5)que está abajo del primer 1 en el segundo renglón:

R,->RJ+5R, [1 2 3--'---=--~) O 1 2

O O -1

EUMINAClÓN

GAUSSIANA

La matriz aumentada del sistema (y los coeficientes de la matriz) se encuentran ahora enla forma escalonada por renglones y se puede ver de inmediato que x3 = 3. Después se usa lasustitución hacia atrás para despejar primero x2 y después XI' La segunda ecuación queda x2 +2x3 = 4. Entonces x2 + 2(3) = 4 Yx2 = - 2. De igual manera, de la primera ecuación se obtieneXI + 2( -2) + 3(3) = 9 o XI = 4. Así, de nuevo se obtiene la solución (4, -2,3). El método desolución que se acaba de emplear se llama eliminación gaussíana.

Se cuenta con dos métodos para resolver los ejemplos de sistemas de ecuaciones:

SUSTITUCiÓN

HACIA ATRÁS

i) Eliminación de Gauss-JordanSe reduce por renglón la matriz de coeficientes a la forma escalonada reducida porrenglones usando el procedimiento descrito en la página 9.

ii) Eliminación gaussianaSe reduce por renglón la matriz de coeficientes a la forma escalonada por renglones, sedespeja el valor de la última incógnita y después se usa la sustitución hacia atrás paralas demás incógnitas.

•¿Cuál método es más útil? Depende. Al resolver sistemas de ecuaciones en una computadorase prefiere el método de eliminación gaussiana porque significa menos operaciones elementalescon renglones. De hecho, como se verá en el apéndice 3, para resolver un sistema de n ecuacio-nes con n incógnitas usando la eliminación de Gauss-Jordan se requieren aproximadamenten3/2 sumas y multiplicaciones, mientras que la eliminación gaussiana requiere sólo n3/3 sumas ymultiplicaciones. La solución numérica de los sistemas de ecuaciones se estudiará en el apéndi-ce 4. Por otro lado, a veces es esencial obtener la forma escalonada reducida por renglones deuna matriz. En estos casos la eliminación de Gauss-Jordan es el método preferido.

26 UNIDAD 2

EJEMPLO 7

••• Solución

EJEMPLO 8


Ahora se observa la solución de un sistema general de m ecuaciones con n incógnitas. Lamayor parte de las soluciones de los sistemas se hará mediante la eliminación de Gauss-Jordan.Debe tenerse en mente, sin embargo, que la eliminación gaussiana suele ser un enfoque másconveniente.

El sistema general m X n de m ecuaciones con n incógnitas está dado por

a¡¡x¡ + a¡2x2 + a13x3 + .a2¡x¡ + a22x2 + a23x3 + .a3¡x¡ + a32x2 + a33x3 +

+ a¡nxn = b,+ a2nxn = b2

+ a3nxn = b, (7)

+a x =bmn n m

En el sistema (7) todos los coeficientes a y b son números reales dados. El problema es encontrartodos los conjuntos de n números, denotados por (x., x2' x3' •.• xn), que satisfacen cada una delas m ecuaciones en (7). El número a..es el coeficiente de la variable x en la i-ésima ecuación.

y J

Es posible resolver un sistema de m ecuaciones con n incógnitas haciendo uso de la elimina-ción de Gauss-Jordan o gaussiana. En seguida se proporciona un ejemplo en el que el númerode ecuaciones e incógnitas es diferente.

Solución de un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas

Resuelva el sistema

X¡ + 3x2 - 5x3 + X4 = 4

2x¡ + 5x2 - 2x3 + 4x4 = 6

Este sistema se escribe como una matriz aumentada y se reduce por renglones:

[~3 -5 1 :) R,-->R, -2R, [ 1 3 -5 1 -~))5 -2 4 O -1 8 2

R,-->-R, [1 3 -5 1 ~)R,-->R, -3R, [1 O 19 7 -;)) )

O 1 -8 -2 O 1 -8 -2

Hasta aquí se puede llegar. La matriz de coeficiente se encuentra en forma escalonada y redu-cida por renglones. Es evidente que existe un número infinito de soluciones. Los valores de lasvariables x3 y x4 se pueden escoger de manera arbitraria. Entonces x2 = 2 + 8x3 + 2x4 Yx¡ =- 2 -19x3 -7x4• Porlo tanto, todas las soluciones se representan por (- 2 -19x3 - 7x4, 2 + 8x3+ 2x4, x3' x4). Por ejemplo, si x3 = 1 Yx4 = 2 se obtiene la solución (- 35, 14, 1, 2).

Al resolver muchos sistemas, es evidente que los cálculos se vuelven fastidiosos. Un buen mé-todo práctico es usar una calculadora o computadora siempre que las fracciones se compliquen.Debe hacerse notar, sin embargo, que si los cálculos se llevan a cabo en una computadora o cal-culadora pueden introducirse errores de "redondeo". Este problema se analiza en el apéndice 3.

Un problema de administración de recursos

Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comida a un lago quealberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promediode 1 unidad del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez dela especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento 1,4 del 2 y 5 del 3.

••• Solución


Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es de 2 unidades del alimento 1, 1unidad del alimento 2 y 5 unidades del3. Cada semana se proporcionan aliaga 25 000 unidadesdel alimento 1,20000 unidades del alimento 2 y 55 000 del 3. Si suponemos que los peces secomen todo el alimento ¿cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?

Sean xI' x2 y x3 el número de peces de cada especie que hay en el ambiente del lago. Si utilizamosla información del problema, se observa que Xlpeces de la especie l consumen Xlunidades delalimento 1, x2 peces de la especie 2 consumen 3x2 unidades del alimento l y x3 peces de la espe-cie 3 consumen 2x3 unidades del alimento l. Entonces, Xl + 3x2 + 2x3 = 25 000 = suministrototal por semana de alimento l. Si se obtiene una ecuación similar para los otros dos alimentosse llega al siguiente sistema de ecuaciones:

XI+ 3x2 + 2x3 = 25000

XI+ 4x2 + x3 = 20000

2xI + 5x2 + 5x3 = 55000

Después de resolver se obtiene

[¡3 2 2500014 1 200005 5 55000

R,-->R, - R, {~ 3 2 250001 ',4', -". [1 O 5 40000 1R,-->R, - 2R,1 -1 -5000

R,-->R, + R,-1 -5000) O 1

-1 1 5000 O O O O

Por consiguiente, si x3 se elige arbitrariamente, se tiene un número infinito de soluciones dadapor (40000 - 5x3, x3 - 5000, xJ Por supuesto, se debe tener XI ;:::O,x2 ;::: OYx3;::: O.Como x2= x3 - 5000;::: O, se tiene x3 ;::: 5 000. Esto significa que O::; Xl ::; 40000 - 5(5000) = 15000.Por último, como 40 000 - 5x3 ;::: O,se tiene que x3 ::; 8 000. Esto significa que las poblacionesque pueden convivir en el lago con todo el alimento consumido son

XI= 40000 - 5x3

x2 = x3 - 5000

5 000 ::; x3 ::; 8 000

Por ejemplo, si x3 = 6000, entonces XI= 10000 Yx2 = 1000.

Nota. El sistema de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones. Sin embargo, el proble-ma de administración de recursos tiene sólo un número finito de soluciones porque XI.x2 y x3deben ser enteros positivos y existen nada más 3 001 enteros en el intervalo [5 000, 8 000]. (Porejemplo, no puede haber 5 237.578 peces.)

ANÁLISIS DE INSUMO y PRODUCTO

Los siguientes dos ejemplos muestran la forma en la cual pueden surgir los sistemas de ecua-ciones en el modelado económico.


_,- __ E_Im_o_d_e_lo_d_e_i_n_s_u_m_o_-_p_ro_d_u_ct_o_d_e_L_e_o_n_ti_e_f_

Un modelo que se usa con frecuencia en economía es el modelo de insumo-producto de Leontíef.'Suponga un sistema económico que tiene n industrias. Existen dos tipos de demandas encada industria: la primera, una demanda externa desde afuera del sistema. Por ejemplo, siel sistema es un país, la demanda externa puede provenir de otro país. Segunda, la deman-da que hace una industria a otra industria en el mismo sistema. Por ejemplo, en EstadosUnidos la industria automotriz demanda parte de la producción de la industria del acero.

Suponga que e¡ representa la demanda externa ejercida sobre la i-ésima industria. Supongaque aij representa la demanda interna que laj-ésima industria ejerce sobre la i-ésima industria.De forma más concreta, "» representa el número de unidades de producción de la industria ique se necesitan para producir una unidad de la industriaj. Sea x¡ la producción de la indus-tria i. Ahora suponga que la producción de cada industria es igual a su demanda (es decir, nohay sobreproducción). La demanda total es igual a la suma de demandas internas y externas.Por ejemplo, para calcular la demanda interna de la industria 2 se observa que la industria 1necesita a2¡ unidades de producción de la industria 2 para producir una unidad de su propiaproducción. Si la producción de la industria 1 es xi' entonces a2¡x¡ se trata de la cantidad totalque necesita la industria 1 de la industria 2. De esta forma, la demanda interna total sobre laindustria 2 es a2¡x¡ + a22x2 + ... + a2llxll.

Al igualar la demanda total a la producción de cada industria se llega al siguiente sistemade ecuaciones:

a¡¡x¡ + a¡2x2 + ... + a¡nxn + e¡ = x¡

a2¡x¡ + a22x2 + + a2nxn + e2 = x2 (8)+a x +e =xnn n n n

o bien, reescribiendo el sistema (8) en la forma del sistema (7) se obtiene

(1- a¡¡)x¡ a¡2x2 a¡nxn = e¡

-a2¡x¡ + (1- a22)x2 a21lxn = e2 (9)

-an¡x¡ all2x2 - ... + (1- anJxn = en

El sistema (9) de n ecuaciones con n incógnitas es de fundamental importancia en el análisiseconómico.

EJEMPLO 10 El modelo de Leontief aplicado a un sistema económico con tres industrias

Suponga que las demandas externas en un sistema económico con tres industrias son 10,25 Y20, respectivamente. Suponga que a¡¡ = 0.2, a¡2 = 0.5, a13 = 0.15, a2¡ = 0.4, a22 = 0.1, a23 = 0.3,a3¡ = 0.25, a32 = 0.5 ya33 = 0.15. Encuentre la producción de cada industria de manera que laoferta sea exactamente igual a la demanda .

•t Así llamado en honor al economista norteamericano Wassily W. Leontief, quien utilizó este modelo en su trabajo pio-

nero "Quantitative Input and Output Relations in the Economic System of the United States" en Review of EconomicStatistics 18(1936). Leontief ganó el Premio Nobel en Economía en 1973 por su desarrollo del análisis de insumo-producto.

•• Solución


En este caso n =3, 1 - all = 0.8, 1 - a22 = 0.9 Y l - a33 = 0.85 Yel sistema (9) es

0.8xI - 0.5x2 - 0.15x3 = 10

-O.4xI + 0.9x2 - 0.3x3 = 25

-0.25xI - 0.5x2 + 0.85x3 = 20

Si se resuelve el sistema por método de eliminación de Gauss-Jordan en una calculadora ocomputadora, trabajando con cinco decimales en todos los pasos se obtiene

[

1 O O I 11 0.30442]O 1 O I 118.74070

O O 1 I 125.81787

Se concluye que la producción necesaria para que la oferta sea (aproximadamente) igual a lademanda es XI = 110, x2 = 119 Yx3 = 126.

LA GEOMETRÍA DE UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES

CON TRES INCÓGNITAS

En la figura 2.1, se observó que se puede repesentar un sistema de dos ecuaciones con dos in-cógnitas mediante dos líneas rectas. Si las rectas tienen un solo punto de intersección el sistematiene una solución única; si coinciden, existe un número infinito de soluciones; si son paralelas,no existe una solución y el sistema es inconsistente.

Algo similar ocurre cuando se tienen tres ecuaciones con tres incógnitas.Se verifica que la gráfica de la ecuación ax + by + cz = d en el espacio de tres dimensiones

es un plano.Considere el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

ax - by - cz = d

ex - fy - gz = h

jx - ky - lz = m(10)

en donde a, b, e, d, e,J, g, h,j, k, 1y m son constantes y al menos una de ellas en cada ecuaciónes diferente de cero.

Cada ecuación en (lO) es la ecuación de un plano. Cada solución (x, y, z) al sistema deecuaciones debe ser un punto en cada uno de los tres planos. Existen seis posibilidades:

1. Los tres planos se intersecan en un solo punto. Por lo que existe una solución única para elsistema (vea la figura 2.2).

2. Los tres planos se intersecan en la misma recta, por lo que cada punto sobre la recta es unasolución y el sistema tiene un número infinito de soluciones (vea la figura 2.3).

z

tPunto de intersección

Figura 2.2Los tres planos se interse-can en un solo punto.

,,,,~

x


3. Los tres planos coinciden. Entonces cada punto sobre el plano es una solución y se tieneun número infinito de soluciones.

4. Dos de los planos coinciden e intersecan a un tercer plano en la recta. Entonces cada puntosobre la recta es una solución y existe un número infinito de soluciones (vea la figura 2.4).

5. Al menos dos de los planos son paralelos y distintos. Por lo que ningún punto puede estaren ambos y no hay solución. El sistema es inconsistente (vea la figura 2.5).

z

x

Figura 2.3los tres planos se interse-can en la misma recta.

Figura 2.5los planos paralelos notienen puntos en común.

r+-rv

x

Figura 2.4Dos planos se intersecan enuna recta.

z

1

x

6. Dos de los planos coinciden en una recta L. El tercer plano es paralelo a L (y no contienea L), de manera que ningún punto del tercer plano se encuentra en los dos primeros. Noexiste una solución y el sistema es inconsistente (vea la figura 2.6).

En todos los casos el sistema tiene una solución única, un número infinito de soluciones o esinconsistente. Debido a la dificultad que representa dibujar planos con exactitud, no ahonda-remos más en el tema. No obstante, es útil analizar cómo las ideas en el plano xy se puedenextender a espacios más complejos.

Figura 2.6El plano 3 es paralelo a L,la recta de intersección delos planos 1 y 2.

z

· SEMBLANZA DE •••

Carl Friedrich Gauss, 1777-1855

Carl Friedrich Gausses considerado el matemático más grande delsiglo XIX, además de uno de los tres matemáticos más importantesde todos los tiempos (Arquímedes y Newton son los otros dos).

Gauss nació en Brunswick, Alemania, en 1777. Su padre, unobrero amante del trabajo, era excepcionalmente obstinado y nocreía en la educación formal, e hizo todo lo que pudo para evitarque Gaussfuera a una buena escuela. Por fortuna para Carl (y paralas matemáticas), su madre, a pesar de que tampoco contaba coneducación, apoyó a su hijo en sus estudios y se mostró orgullosade sus logros hasta el día de su muerte a la edad de 97 años.

Gaussera un niño prodigio. A los tres años encontró un erroren la libreta de cuentas de su padre. Hay una anécdota famosa deCarl, cuando tenía apenas 10 años de edad y asistía a la escuelalocal de Brunswick. El profesor solía asignar tareas para mante-ner ocupados a los alumnos y un día les pidió que sumaran losnúmeros del1 al1 oo. Casi al instante, Carl colocó su pizarra bocaabajo con la palabra "listo': Después, el profesor descubrió queGauss era el único con la respuesta correcta, 5050. Gauss habíaobservado que los números se podían arreglar en 50 pares quesumaban cada uno 101 (1 + 100,2 + 99, etc.), y 50 X 101 = 5050.Años más tarde, Gauss bromeaba diciendo que podía sumar másrápido de lo que podía hablar.

A la edad de 15 años, el Duque de Brunswick se fijó en ély lo convirtió en su protegido. El Duque lo ayudó a ingresar enel Brunswick College en 1795 y, tres años después, a entrar a laUniversidad de G6ttingen. Indeciso entre las carreras de mate-máticas y filosofía, Gauss eligió las matemáticas después de dosdescubrimientos asombrosos. Primero inventó el método de mí-nimos cuadrados una década antes de que Legendre publicarasus resultados. Segundo, un mes antes de cumplir 19 años, resol-vió un problema cuya solución se había buscado durante más dedos mil años: Gauss demostró cómo construir, con tan sólo unaregla y un compás, un polígono regular cuyo número de lados noes múltiplo de 2, 3 o 5.*

El 30 de marzo de 1796, fecha de este descubrimiento, co-menzó un diario que contenía como primera nota las reglas deconstrucción de un polígono regular de 17 lados. El diario, quecontiene los enunciados de 146 resultados en sólo 19 páginas,

* De manera másgeneral, Gaussprobó que un polígono regular de nladossepuedeconstruircon reglay compássiy sólosin esde laforman = 2'P1 • P3 ••• Pm donde k ~ O Y lasp¡ son númerosprimosde Fer-mat distintos. Losnúmerosprimosde Fermatsonaquellosque tomanla forma 22' + 1. Lospnmeroscinco númerosprimosde Fermatson3,5, 17, 257 Y65537.

Carl Friedrich Gauss(Library o/ Congress)

es unos de los documentos más importantes en la historia de lasmatemáticas.

Tras un corto periodo en G6ttingen, Gauss fue a la Univer-sidad de Helmstadt y, en 1798, a los 20 años, escribió su famosadisertación doctoral. En ella dio la primera demostración mate-mática rigurosa del teorema fundamental del álgebra que indicaque todo polinomio de grado n tiene, contando multiplicidades,exactamente n raíces. Muchos matemáticos, incluyendo a Euler,Newton y Lagrange, habían intentado probar este resultado.

Gauss hizo un gran número de descubrimientos en física aligual que en matemáticas. Por ejemplo, en 1801 utilizó un nue-vo procedimiento para calcular, a partir de unos cuantos datos,la órbita del asteroide Ceres. En 1833 inventó el telégrafo elec-tromagnético junto con su colega Wilhelm Weber (1804-1891).Aunque realizó trabajos brillantes en astronomía y electricidad, laque resultó asombrosa fue la producción matemática de Gauss.Hizo contribuciones fundamentales al álgebra y la geometría yen 1811 descubrió un resultado que llevó a Cauchy a desarrollarla teoría de la variable compleja. En este libro se le encuentra enel método de eliminación de Gauss-Jordan. Los estudiantes deanálisis numérico aprenden la cuadratura gaussiana: una técnicade integración numérica.

Gauss fue nombrado catedrático de matemáticas de G6t-tingen en 1807 e impartió clase hasta su muerte en 1855. Aúndespués de su muerte, su espíritu matemático siguió acosandoa los matemáticos del siglo XIX. Con frecuencia, un importanteresultado nuevo ya había sido descubierto por Gauss y se podíaencontrar en sus notas inéditas.

En sus escritos matemáticos Gauss era un perfeccionistay tal vez sea el último gran matemático que conocía práctica-mente todo acerca de su área. Al afirmar que una catedral noera una catedral hasta que se quitara el último de los andamios,ponía todo su empeño para que cada uno de sus trabajos publi-cados fuera completo, conciso y elegante. Usaba un sello en elque se veía un árbol con unas cuantas frutas y la leyenda paucased matura (pocas pero maduras). Gauss creía también que lasmatemáticas debían reflejar el mundo real. A su muerte, Gaussfue honrado con una medalla conmemorativa que llevaba lainscripción "George V, Rey de Hanover, al príncipe de los ma-temáticos".

32 U (DAD 2 Sistemas de ecuaciones lineales

AUTOEVALUACIÓN

l. ¿Cuál de los siguientes sistemas tiene la matriz de coeficientes dada a la derecha?

(3 2 -lJO 1 S2 O 1

a) 3x + 2y = -1

y=S

2x = 1

e) 3x = 2

2x+y=0

-x + Sy = 1

b) 3x + 2z = 10

2x+y=0

-x+Sy+z=S

d) 3x + 2y - z = -3

Y + Sz = lS

2x+z=3

11. ¿Cuál de las siguientes es una operación elemental con renglones?

a) Reemplazar un renglón con un múltiplo diferente de cero de ese renglón.b) Sumar una constante diferente de cero a cada elemento en un renglón.e) Intercambiar dos columnas.d) Reemplazar un renglón con una suma de renglones y una constante diferente

de cero.

111. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre la matriz dada?

[

1 O O 31O 1 1 2

O O O 3O O O O

a) Está en la forma escalonada por renglón.b) No está en la forma escalonada por renglón porque el cuarto número en el

renglón 1 no es l.e) No está en la forma escalonada por renglón porque el primer elemento dife-

rente de cero en el renglón 1 es 3.d) No está en la forma escalonada por renglón porque la última columna con-

tiene un cero.

IV. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre el sistema dado?

x+ y+ z=3

2x + 2y + 2z = 6

3x + 3y + 3z = 10

a) Tiene una solución única x = 1,Y = 1, z = l.b) Es inconsistente.e) Tiene un número infinito de soluciones.

2.3 m ecuacionescon n incógnitas 33


En los problemas del 1 al 26 utilice el método de eliminación de Gauss-Jordan para encontrar,si existen, todas las soluciones para los sistemas dados.

1. x - 2x2 + 3x3 = 11 2. -2x + x2 + 6x3 = 18I . I

4xI + X - x3 = 4 5xI + 8x3 = -162

2XI - x2 + 3x3 = 10 3xI + 2x2 - 10x3 = -3

3. -lxI + x3 = O 4. 3xI + 6x2 - 6x3 = 9

x2 + 3x3 = 1 2xI - 5x2 + 4x3 = 6

x - x2 = -3 -XI + 16x2 - 14x3 = -3I

5. 3xI + 6x2 - 6x3 = 9 6. -2xI - 6x2 - 3x3 = 9

2xI - 5x2 + 4x3 = 6 -XI + x - x3 = 12

5XI + 28x2 - 26x3 = -8 x - x2 + 2x3 = 2I

7. XI + X - x3 = 7 8. XI + X - x3 = 72 2

4XI - x2 + 5x3 = 4 4xI - x2 + 5x3 = 4

2xI + 2x2 - 3x3 = O 6xI + x2 + 3x3 = 18

9. XI + X - x3 = 7 10. X - 2x2 + 3x3 = O2 I

4xI - x2 + 5x3 = 4 4xI + X - x3 = O2

6XI + x2 + 3x3 = 20 2xI - x2 + 3x3 = O

11. -2xI - x2 + 3x3 = O 12. XI + X - x3 = O2

-3XI + 4x2 - x3 = O 4xI - x2 + 5x3 = O

5xI + 3x2 + 2x3 = O 6xI + x2 + 3x3 = O

13. 2x2 + 5x3 = 6 14. XI + 2x2 - x3 = 4

XI 2x3 = 4 3xI + 4x2 - 2x3 = 7

2xI + 4x2 = -2

15. XI + 2x2 - 4x3 = 4 16. XI + 2x2 - 4x3 = 4

-2xI - 4x2 + 8x3 = -8 -2xI - 4x2 + 8x3 = -9

17. XI + 2x2 - x3 + x4 = 7 18. -XI + 2x2 - x3 + 3x4 = 4

3xI + 6x2 -3x3 + 3x4 = 21 -3xI + 6x2 -3x3 + 9x4 = 12

19. 2xI + 6x2 -4x3 + 2x4 = 4 20. X - 2x2 + x3 + x4 = 2I

XI - x3 + x4 = 5 3xI + 2x3 - 2x4 = -8

-3xI + 2x2 -2x3 = -2 4x2 - X - x4 = 13

-XI +. 6x2 - 2x3 =7


21. -2x, + x4 = 1

4x2 - x3 =-1

x, + x2 = -3

23. x - 2x2 + x3 + x4 = 2,3x, + 2x3 - 2x4 = -8

4x2 - x3 - x4 = 1

5x, + 3x3 - x4 = °25. x, + x2 = 4

2x, -3x2 = 7

3x, -2x2 = 11

22. x - 2x2 + x3 + x4 = 2,3x, + 2x3 - 2x4 = -8

4x2 - x3- x4 = 1

5x, + 3x3 - x4 = -3

24. x, + x2 = 4

2x, -3x2 = 7

3x, +2x2 = 8

26. -2x, + x2 = °x, + 3x2 = 1

3x, - x2 =-3

En los problemas 27 a 38 determine si la matriz dada se encuentra en la forma escalonada porrenglones (pero no en la forma escalonada reducida por renglones), en la forma escalonadareducida por renglones o en ninguna de las dos.

27. [~ i~131. [~ ~ r ~l35. (~ ~ ~ ~)

28. [~ r -~l32. [~ ~ ~ ~l36. [~ r1

29. [~ r ~l33. [r ~ ~~l37. [~ ~ ~1

En los problemas 39 a 46 utilice las operaciones elementales con renglones para reducir lasmatrices dadas a la forma escalonada por renglones y a la forma escalonada reducida porrenglones.

39. G ~)

-4 -2)1 6

-6 -3)10 5

42. [-~ -~ -~l-1 1 1

46. [~ -~l4 -3

47. En el modelo de insumo-producto de Leontief del ejemplo 9 suponga que se tienen tresindustrias. Más aún, suponga que e, = 10, e2 = 15, e3 = 30, all = t, a'2 =~, a'3 = h a2, = ¡,a22 = ¡,a23 = t, a3, = 12, a32 = t, a33 = i· Encuentre la producción de cada industria tal quela oferta sea igual a la demanda.


48. En el ejemplo 8 suponga que cada semana se suministran al lago 15000 unidades del pri-mer alimento, 10000 del segundo y 35 000 del tercero. Considerando que todo alimento seconsume, ¿qué población de las tres especies puede coexistir en el lago? ¿Existe una solu-ción única?

49. Un viajero que acaba de regresar de Europa gastó $30 diarios en Inglaterra, $20 diariosen Francia y $20 diarios en España por concepto de hospedaje. En comida gastó $20 dia-rios en Inglaterra, $30 diarios en Francia y $20 diarios en España. Sus gastos adicionalesfueron de $10 diarios en cada país. Los registros del viajero indican que gastó un total de$340 en hospedaje, $320 en comida y $140 en gastos adicionales durante su viaje por estostres países. Calcule el número de días que pasó el viajero en cada país o muestre que losregistros son incorrectos debido a que las cantidades gastadas no son compatibles una conla otra.

50. Una inversionista le afirma a su corredor de bolsa que todas sus acciones pertenecen a trescompañías: Delta Airlines, Hilton Hotels y McDonald's, y que hace dos días su valor bajó$350 pero que ayer aumentó $600. El corredor recuerda que hace dos días el precio de lasacciones de Delta Airlines bajó $1 por cada una, mientras que las de Hilton Hotels bajaron$1.50, pero que el precio de las acciones de McDonald's subió $0.50. También recuerda queayer el precio de las acciones de Delta subió $1.50 por acción, el de las de Hilton Hotelsbajó otros $0.50 por acción y las de McDonald's subieron $1. Demuestre que el corredorno cuenta con la información suficiente para calcular el número de acciones que posee lainversionista en cada compañía, pero que si ella dice tener 200 acciones de McDonald's, elcorredor pueda calcular el número de acciones que posee en Delta y en Hilton.

51. Un agente secreto sabe que 60 equipos aéreos, que consisten en aviones de combate ybombarderos, se encuentran estacionados en cierto campo aéreo secreto. El agente quieredeterminar cuántos de los 60 equipos son aviones de combate y cuántos son bombarderos.Existe, además, un tipo de cohete que llevan ambos aviones; el de combate lleva 6 de ellos yel bombardero sólo 2. El agente averigua que se requieren 250 cohetes para armar a todoslos aviones del campo aéreo. Aún más, escucha que se tiene el doble de aviones de combateque de bombarderos en la base (es decir, el número de aviones de combate menos dos ve-ces el número de bombarderos es igual a cero). Calcule el número de aviones de combatey bombarderos presentes en el campo aéreo o muestre que la información del agente esincorrecta debido a su inconsistencia.

52. Una embotelladora de refrescos desea cotizar la publicidad de sus productos en televisión,radio y revista, se tienen tres propuestas del plan de medios de acuerdo con el presupuestoasignado acerca de la cantidad de anuncios por medio en el transcurso de un mes. En elprimer presupuesto cada anuncio en televisión tiene un coste de $250000, en radio $5 000y en revista $30000. En el segundo presupuesto $310 000, $4000 Y $15000 y en el últimopresupuesto $560000, $10 000 y $35000. Los totales por presupuesto son los siguientes:$21 795000, $31 767000 y $61 225000. Determine la cantidad de anuncios cotizados porcada medio.

53. Considere el sistema

2x¡ - x2 + 3x) = a

3x¡ + x2 - 5x) = b

-5x¡ - 5x2 + 21x) = e

Muestre que es inconsistente si e * 2a- 3b.



2x¡ + 3x - x3 = a.2

x - x2 + 3x3 = b¡

3x¡ - 7x2 - 5x3 = e

Encuentre las condiciones sobre a, b y e para que el sistema sea inconsistente.

*55. Considere el sistema general de las tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:

a¡¡x¡ + a¡2x2 + a13x3 = b,

a2¡x¡ + a22x2 + a23x3 = b2

a3¡x¡ + a32x2 + a33x3 = b3

Encuentre las condiciones sobre los coeficientes aij para que el sistema tenga una soluciónúnica.

RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN

1. d) 11. a) 11I. e) IV. b)

MANEJO DE LA CALCULADORA

La calculadora HP50g puede resolver en forma numérica sistemas de m ecuaciones conn incógnitas. Cuando el sistema tiene infinitas soluciones, la solución reportada es lasolución de norma mínima. Cuando el sistema es inconsistente la solución reportada esla solución de mínimos cuadrados.

Una posible secuencia de pasos para encontrar la solución de un sistema de ecua-ciones se observa en el siguiente procedimiento (no es el único, en el capítulo 11 delmanual del usuario se incluyen otros procedimientos).

Considere el sistema

2x + 4y + 6z = 14

3x - 2y + z = -3

4x + 2y - z = -4

1. Existen diferentes formas de introducir una matriz aumentada, la más sencilla esla siguiente:

[[2 .. Lt.. 6. lLtJ.. [':'"_l., -2. l. -3]. [Lt, 2, -1., -Lt]]

Guardamos la matriz aumentada en la variable AAUG utilizando la siguente se-cuencia

2. Se encuentra la forma escalonada reducida por renglones de AAUG.

c::s::=J MATRICES

DEM MATRICES MEnU:1.CRnTE ..Z.OPU"TIORS ..3. FACfORIZI\TIOO .•••.• ilU __llI\IITIC fORM•.

". UI'IUR """L..1. EIGEnIJE(f(JIIS•••. YECTO••..


liD )c'iZ MEle 1Ii= • X • ALGN(I" MIITIIX LXhEIIR SVS. NEftU

1 i rn -IILI,l(

Z.IEf'J.."r'cf'I.RP;[fS.SvST2""T, ."ATRICES..

seguido de las teclas [5]para seleccionar sistemas lineales y [4]para encontrar la for-ma escalonada reducida por renglones (RREF).El resultado es

ASÍ, XI = -1, etcétera.

En los problemas 56 a 60 utilice una calculadora para resolver cada sistema.

56. 2.6x¡ - 4.3x2 + 9.6x3 = 21.62-8.5x¡ + 3.6x2 + 9.1x3 = 14.2312.3x¡ - 8.4x2 - 0.6x3 = 12.61

57. 2x2 - x3 - 4x4 = 2

x¡ - x2 + 5x3 + 2x4 = -43x¡ + 3x2 - 7x3 - x4 = 4-x¡- 2x2 + 3x3 = -7

58. l.247x¡ - 2.583x2 + 7.161x3 + 8.275x4 = - 1.2053.472x¡ + 9.283x2 + 11.275x3 + 3.606x4 = 2.374

-5.216x¡ -12.816x2 - 6.298x3 + 1.877x4 = 21.2066.812x¡ + 5.223x2 + 9.725x3 - 2.306x4 = -11.466

59. 23.42x¡ - 16.89x2 + 57.31x3 + 82.6x4 = 2158.36-14.77x¡ - 38.29x2 + 92.36x3 - 4.36x4 = -1 123.02-77.21x¡ + 71.26x2 - 16.55x3 + 43.09x4 = 3248.71

91.82x¡ + 81.43x2 + 33.94x3 + 57.22x4 = 235.25

60. ó.Ix, - 2.4x2 + 23.3x3 - 16.4x4 - 8.9xs =

-14.2x¡ - 31.6x2 - 5.8x3 + 9.6x4 + 23.1xs = -10.5x¡ + 46.1x2 - 19.6x3 - 8.8x4 - 41.2xs =

37.3x¡ - 14.2x2 + 62.0x3 + 14.7x4 - 9.6xs =0.8x¡ + 17.7x2 - 47.5x3 - 50.2x4 + 29.8xs = -

12l.787.710.86l.3

27.8

Más ejercicios

En los problemas 61 a 65 calcule la forma escalonada por renglones (REF en lugar de RREF)para cada matriz aumentada.


61. La matriz del problema 57





En los problemas 66 a 71 encuentre todas las soluciones, si las hay, para cada sistema. Redon-dee todas las respuestas a tres lugares decimales. [Sugerencia: Primero obtenga la forma escalo-nada reducida por renglones de la matriz aumentada.]

66. 2.lx) + 4.2x2 - 3.5x3 = 12.9-5.9x) + 2.7x2 + 9.8x3 = -1.6

67. -13.6x) + 71.8x2 + 46.3x3 = -19.541.3x) - 75.0x2 - 82.9x3 = 46.441.8x) + 65.4x2 - 26.9x3 = 34.3

68. -13.6x) + 71.8x2 + 46.3x3 = 19.541.3x) - 75.0x2 - 82.9x3 = 46.441.8x) + 65.4x2 - 26.9x3 = 35.3

69. 5x) - 2x2

-6x) + 8x2

Tx, - 18x2

+ 11x3 -

14x3 -

12x3 +

+ l2xs = 105+ 26xs = -62

2xs = 53

70. 5x) - 2x2 + 11x3 - 16x4 + 12xs = 105-6x) + 8x2 14x3 - 9x4 + 26xs = -62

Tx, - 18x2 12x3 + 21x4- 2xs = 53

-15x) + 42x2 + 21x3 - 17x4 + 42xs = -63

71. 5x) - 2x2 + 11x3 - 16x4 + 12xs = 105-6x) + 8x2 14x3 - 9x4 + 26xs = -62

'l x, - 18x2 12x3 + 21x4 - 2xs = 53-15x) + 42x2 + 21x3 - 17x4 + 42xs = 63

EII SISTEMAS HOMOGÉNEOS DE ECUACIONES

Un sistema general de m X n ecuaciones lineales se llama homogéneo si todas las constantes b.,b2, ••• b"" son cero. Es decir, el sistema general homogéneo está dado por

a))x) + a)2x2 + + a)nxn =0a2)x) + a22x2 + + a2nxn = O

(1)

a x +a x + ... +a x =0mi 1 m2 2 mn n

SOLUCIÓN TRIVIAL O

SOLUCiÓN CERO

SOLUCIONES NO

TRIVIALES

EJEMPLO 1

••• Solución

EJEMPLO 2

Solución

2.4 Sistemas homogéneos de ecuaciones 39

Los sistemas homogéneos surgen de diferentes formas. Se estudiará un sistema Iiomogéneoen la unidad 4. En dicha sección se resolverán algunos sistemas homogéneos, de nueva cuenta,mediante el método de eliminación de Gauss-Jordan.

Para dicho sistema lineál general existen tres posibilidades: que no tenga soluciones, quetenga una solución o que tenga un número infinito de soluciones. Para el sistema general ho-mogéneo la situación es más sencilla.

Como x, = x2 = ... = xn = O es siempre una solución (llamada solución trivial o solucióncero), sólo se tienen dos posibilidades: la solución trivial es la única solución o existe un núme-ro infinito de soluciones además de ésta. Las soluciones distintas a la solución cero se llamansoluciones no triviales. •

Sistema homogéneo que tiene únicamente la solución trivial

Resuelva el sistema homogéneo de ecuaciones

2x, +4x2 + 6x) = O

4x, + 5x2 + 6x) = O3x, + x2 - 2x) = O

Ésta es la versión homogénea del sistema del ejemplo 2.3.1. Al reducir en forma sucesiva, seobtiene (después de dividir la primera ecuación entre 2)

~J ~•~l-5 -11 I O)[~~.~:~l

O O 1 I O

3

-6-11 ~-~:~l

O 1 I O

Así, el sistema tiene una solución única (O,O,O). Esto es, la única solución al sistema es la trivial...Un sistema homogéneo con un número infinito de soluciones

Resuelva el sistema homogéneo

x.l + 2x2 - x) = O3x, - 3x2 + 2x) = O-x,-l1x2+ 6x) = O

Al hacer uso de la eliminación de Gauss-Jordan se obtiene, sucesivamente,

U2 -1 I

~J '~'~". [1 2 -1 I ~l-3 2 I R,->R, + R, ) ~ -9 5 I-11 6 I -9 5 I

,~', [1 2 -1 ~lR,->R, - 2R, {¡ O .1 ~l9

• ) O 1 _2- R,->R, + 9R,1 _2-

9 9

O -9 5 O O

40 UNIDAO 2 Sistemasde ecuaciones lineales

Ahora la matriz aumentada está en la forma escalonada reducida por renglones y, evidente-mente, existe un número infinito de soluciones dadas por (-1/9x3, 5/9x3, xJ Si, por ejemplo,x3 = O,se obtiene la solución trivial. Si x3 = 1se obtiene la solución (-1/9,5/9,1). Si x3 = 91tseobtiene la solución (-1t, 51t, 91t).

EJEMPLO 3 Un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones tiene

un número infinito de soluciones

Resuelva el siguiente sistemax, + x2 - x3 = O

4x, -2x2 + 7x3 = O(2)

• Solución Al reducir por renglones se obtiene

(~1 -1 ~)R,->R, - 4R, ( 1 1 -1 ~))

-2 7 O -6 11

R,->-{-R, e -1 I ~J )(~O 5 I ~JR,->R, - R, 6")

O _11 I 1 _11 I6 6

Así, hay un número infinito de soluciones dadas por (- 5/6x3, 1l/6x3, xJ Esto puede no sor-prender porque el sistema (2) contiene tres incógnitas y únicamente dos ecuaciones.

En términos generales, si hay más incógnitas que ecuaciones, el sistema homogéneo (1)siempre tendrá un número infinito de soluciones. Para ver esto observe que si sólo tuviera lasolución trivial, la reducción por renglones conduciría al sistema

X'2

=0=0

y, posiblemente, algunas ecuaciones adicionales de la forma O = O.Pero este sistema tiene almenos tantas ecuaciones como incógnitas. Puesto que la reducción por renglones no cambia niel número de ecuaciones ni el número de incógnitas, se tiene una contradicción en la suposiciónde que había más incógnitas que ecuaciones. Entonces se tiene el teorema l.

TEOREMAD

El sistema homogéneo (1) tiene un número infinito de soluciones si n > m.

AUTO EVALUACiÓN

l. ¿Cuáles de los siguientes sistemas deben tener soluciones no triviales?

a) allx, + a12x2 = Oa2,x, + a22x2 = O

b) all x, + a'2 x2 = Oa2, x, + a22x2 = O

a3, x, + a32x2 = O

e) allx, + a'2x2 + a13x3 = Oa2, x, + a22x2 + a23x3 = O

2.4 . Sistemashomogéneos de ecuaciones 41

11. ¿Para qué valores de ndrá soluciones no triviales el siguiente sistema?

x+ y+ z=O2x + 3y - 4z = O3x + 4y + kz = O

a) b) 2 e) 3 d) 4 e) 5 f) O


En los problemas 1 a 17 encuentre todas las soluciones a los sistemas homogéneos.1. 2x¡- x2 = O \ 2. x¡ - 5x2 = O

3x¡ + 4x2 = O -x¡+ 5x2 = O

3. x¡ - 3x2 = O 4. x¡+ x - x) = O2

-2x¡ + 6x2 = O 2x¡ - 4x2 + 3x) = O3x¡ + 7x2 - x) = O

5. x¡+ x - x) = O 6. x¡+ x - x) = O2 2

2x¡ - 4x2 + 3x) = O 2x¡- 4x2 + 3x) = O- X ¡ - 7x2 - 6x) = O -5x¡ + 13x2 - 10x) = O

7. 2x¡ + 3x2 - x) = O 8. x¡ - 3x2 + 2x) = O6x¡ - 5x2 + Tx; = O 3x¡ + 6x2 - 3x) = O

9. 4x¡- x2 = O 10. x - x2 + 'lx; - x4 = O¡

Tx, + 3x2 == O 2x¡ + 3x2 - 8x) + x4 = O-8x¡ + 6x2 = O

11. 2x¡ - 5x2 - 6x) - 3x4 = O 12. x¡ - 2x2 + x) + x4 =0x¡ + 3x2 - 5x) + 4x4 = O 3x¡ + 2x) - 2x4 =0

4x2 - X - x4 =0)

5x¡+ 3x) - x4 =0

13. -2x¡ + 7x4 =0 14. 2x¡- x2 = Ox¡ + 2x2- x) + 4x4 =0 3x¡ + 5x2 = O

3x¡ x) + 5x4 =0 Tx, - 3x2 = O4x¡ + 2x2 + 3x) =0 -2x¡ + 3x2 = O

15. x - 3x2 = O 16. -2x¡,+ 6x2 = O¡

-2x¡ + 6x2 = O X - 3x2 = O¡

4x¡ -12x2 = O = lx, +21x2 = O

17. x¡+ x - x) = O2

4x¡- x2 + 5x) = O-2x¡+ x2 - 2x) = O

3x¡ + 2x2 - 6x) = O

42 U IDAD 2 Sistemasde ecuaciones lineales

18. Muestre que el sistema homogéneo de ecuaciones

allx, + a'2x2 = Oa2,x, + a22x2= O

tiene un número infinito de soluciones si y sólo si alla22 - a'2a2' = O.


2x, - 3x2 + 5x3 = O-x,+ 7x2- x3=O4x, - l lx, + kX3 = O

'-¿Para qué valor de k tendrá soluciones no triviales?

*20. Considere el sistema homogéneo de 3 X 3

a"x, + a'2x2 + a'3x3 = Oa2, x, + a22x2 + a23x3 = O

a3,x, + a32x2 + a33x3 = O

Encuentre condiciones sobre los coeficientes aij tales que la solución trivial sea la únicasolución.

RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN

1. e) 11. e)

MANEJO DE LA CALCULADORA

Los sistemas homogéneos se pueden resolver con la calculadora HP50g al utilizar laforma escalonada reducida por renglones de la matriz de coeficientes (RREF).

En los problemas 21 al 24 encuentre todas las soluciones para cada sistema.

21. 2.1x, + 4.2x2 - 3.5x3 = O

-5.9x, + 2.7x2 + 8.9x3 = O

22. -13.6x, + 71.8x2 + 46.3x3 = O41.3x, - 75.0x2 - 82.9x3 = O41.8x, + 65.4x2 - 26.9x3 = O

23. 25x, - 16x2 + 13x3 + 33x4 - 57xs = O-16x, + 3x2 + x3 + 12xs = O

- 18x2 + 16x4 - 26xs = O

24. 5x, - 2x2 + l l x, - 16x4 + 12xs = O-6x, + 8x2 - 14x3 - 9x4 + 26xs = O

7x, - 18x2 - 12x3 + 21x4 - 2xs = O-x, + l Ix, - 9x3 + 13x4 - 20xs = O

Resumen 43

RESUMEN

La matriz de coeficientes de un sistema lineal

Iir,x, + a'2x2 + + a'nXn = b,a2,x, + a22x2 + + a2nXn = b;

a x +a x +···+a x =bmi 1 m2 2 mn n n

es la matriz

all a'2 a'n

A=a2, a22 a2n

a m' am2 a mn

El sistema lineal anterior se puede escribir utilizando la matriz aumentada

all a'2 a'n b,a2, a22 «: b;

amI am2 a mn bm

También se puede escribir como Ax = b, donde

x, b,

x2b=

b2x= y

x n bm

Una matriz está en la forma escalonada reducida por renglones si se cumplen las cuatrocondiciones dadas en la definición 2.3.2

Una matriz está en la forma escalonada por renglones si se cumplen las primeras tres condi-ciones de la definición 2.3.2

Un pivote es el primer componente diferente de cero en el renglón de una matriz

Las tres operaciones elementales con renglones son

Multiplicar el renglón i de una matriz por e: R¡ ~ cR¡, donde e*- O.

44 UNIDAD 2

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Multiplicar el renglón i por e y sumarIo al renglón}: Rj 4' Rj + cR;

Permutar los renglones i y}: R¡ ~ Rj'

El proceso de aplicación de operaciones elementales con renglones a una matriz se deno-mina reducción por renglones.

La eliminación de Gauss-Jordan es el proceso de resolución de un sistema de ecuacionesmediante la reducción por renglones de la matriz aumentada a la forma escalonada redu-cida por renglones, usando el proceso descrito en la sección 2.3.

LaeliminacióndeGaussesel proceso de resolución deun sistemadeecuaciones reduciendo porrenglones la matriz aumentada ala forma escalonada por renglones y utilizando la sustituciónhacia atrás.

Un sistema lineal que tiene una o más soluciones se denomina consistente.

Un sistema lineal que no tiene solución se denomina inconsistente.

Un sistema lineal que tiene soluciones cuenta con, ya sea, una solución única o un númeroinfinito de soluciones.

Un sistema homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas es un sistema lineal de la forma

a¡¡x¡ + a¡2x2 + + a¡nxn = Oa2¡x¡ + a22x2 + + a2nxn = O

a x +a x +···+a x =0mi I m2 2 mn n

Un sistema lineal homogéneo siempre tiene la solución trivial (o solución cero)

x=x=···=x=O¡ 2 n

Las soluciones para un sistema lineal homogéneo diferentes de la trivial se denominansoluciones no triviales.

El sistema lineal homogéneo anterior tiene un número infinito de soluciones si tiene másincógnitas que ecuaciones (n > m) .

COMPETENCIAS FINALES. UNIDAD 2De los ejercicios 1 a 18 encuentre las soluciones (si existen) a los sistemas dados:

1. 3x¡ + 6x2 = 9-2x¡ + 3x2 = 4

2. 3x¡ + 6x2 = 92x1 + 4x2 = 6

Competencias finales. Unidad 2 45

3. 4x¡ + 6x2 = 56x¡ + 9x2 = 15

5. x¡+ x2 + x3 = 2

2x¡- x2 + 2x3 = 4- 3x¡ + 2x2 + 3x3 = 8

7. x¡+ x2 + x3 = O2x¡- x2 + 2x3 = O

- 3x¡ + 2x2 + 3x3 = O

9. 2x¡ - 3x2 + 4x3 = 13x¡ + 3x2 - 5x3 = 54x¡ - 5x2 + x3 = 4

11. x¡+ x2 + x3 = O2x¡- x2 + 2x3 = O

-XI + 4x2 + x3 = O

13. x¡ + x2 = O2x¡ + x2 = O3x¡ + x2 = O

4. 3x¡ - 6x2 = 9

-2x¡ + 4x2 = 6

6. x¡ - 2x2 + x3 = 1

2x¡ + 3x2 - 2x3 = 5

- x¡ - 4x2 + 3x3 = 4

8. x¡ + x2 + x3 = 2

2x¡ - x2 + 2x3 = 4-x¡+4x2+ x3=2

10. x¡ + x2 + x3 = 2

2x¡ - x2 + 2X3 = 4-x¡+4x2 + x3=3

12. 2x¡ + x2 - 3x3 = O

4x¡ - x2 + x3 = O

14. x¡ + x2 = 12x¡ - x2 = 3

3x¡ + x2 = 4

15. x¡ + x2 + x3 + x4 = 42x¡ - 3x2 - x3 + 4x4 = 7

-2x¡ + 4x2 + x3 - 2x4 = 1

5x¡ - x2 + 2x3 + x4 = -1

16. 3x¡ - 2x2 - x3 + 2x4 =04x¡ + 3x2 - x3 - 2x4 = O

-6x¡-13x2+ x3 +lOx4 =02x¡ -24x2- 2x3 +20x4 =0

17. x¡+ x2+ x3+ x4=02x¡ - 3x2 - x3 + 4x4 = O

-2x¡ + 4x2 + x3 - 2x4 =05x¡ - x2 + 2x3 + x4 = O

18. x¡ + x2 + x3 + x4 = O2x¡ - 3x2 - x3 + 4x4 = O

-2x¡ + 4x2 + x3 - 2x4 =0

De los ejercicios 19 a 23 determine si la matriz dada está en la forma escalonada por renglones(pero no en la forma escalonada reducida por renglones), en la forma escalonada reducida porrenglones o en ninguna de las dos.

20. [~ r ~ -:1


22. [~ ~JEn los ejercicios 24 a 26 reduzca la matriz a la forma escalonada por renglones y a la formaescalonada reducida por renglones.

Unidad 2 Sistemas de Ecuaciones Lineales

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