TRIÁNGULO RECTÁNGULO: DEFINICIÓN, PROPIEDADES, TEOREMA DE PITÁGORAS. EJERCICIOS Y PROBLEMAS.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Los triángulos rectángulos cumplen una serie de relaciones métricas importantes entre sus lados.Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto, b y c, se llaman catetos y el tercer lado, a, (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa. El teorema de Pitágoras relaciona los dos catetos y la hipotenusa: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a2 = b2 + c2Otra relación importante que se cumple en un triángulo rectángulo es el teorema del cateto: el cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella, es decir, c2 = a · m, b2 = a · n

EJEMPLO:

Resolver el triángulo rectángulo de figura adjunta

EJEMPLO: Resolver el siguiente triángulo

x

Cb = 50m

A

c

B

a = 64m

PITAGORAS

c2 = a2+ b2⇒ c = √ a2+ b2

c = √ 642+ 502 = √ 4096 + 2500 =

c = √ 6596 = 81,21576202~ 81,22m

a2+ b2 = c2 ⇒ a2= c2 - b2

a = √ c2− b2 = √ 602 − 282

a = √ 3600 - 784 = √ 2816 = 53,06599665

a = 53, 06599665 ~ 53,07m

B

a =?c = 60m

CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO El círculo trigonométrico, es la circunferencia cuyo radio es la unidad.

0

r = 1P (x,y)

(1,0)y

(1,0)

y(0,1)

(0,- 1)

x

α

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1.- Seno: es la función trigonométrica que aplica al ángulo α la ordenada “y” del punto P, es decir:Seno (α) = ySen α = y 2.- Coseno: es la función trigonométrica que aplica al ángulo α la abscisa “x” del punto P, o sea:Coseno (α) = xCos α = x 3.- Tangente: es la función trigonométrica que aplica al ángulo α la razón entre la ordenada “y” y la abscisa “x” del punto P.

Tangente (α) =

y x

= Sen α Cos α

Tg α =

4.- La Cotangente: es la función inversa de la tangente, es decir:

Cotangente (α) =

y x

ó 1 tag α

Ctg α =

y x ó Ctg α =

1 tag α

5.- La Secante: es la función inversa del coseno, por tanto:

Secante (α) =

1 x

= 1 Cos α

Sec α =

1 x ó Sec α =

1 Cos α

6.- La Cosecante: es la inversa de la función seno, o sea:

Cosecante (α) =

1 y

= 1 Sen α

Csc α = 1 y

= 1 Sen α

El producto de toda función trigonométrica por su inversa, es igual a la unidad.

VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LOS ÁNGULOS: 0° - 90° - 180° - 270° y 360°

Ángulos

Funciones

0° 90° 180° 270° 360°

Seno 0 1 0 -1 0Coseno 1 0 -1 0 1

Tangente 0 No 0 No 0Cotangente No 0 No 0 No

Secante 1 No -1 No 1Cosecante No 1 No -1 0

Los valores máximos y mínimos de las funciones: Seno y Coseno es 1 y –1, por lo tanto el Rango de ambos es el intervalo cerrado.

Cos

Sen

x

y

Rgo f seno = [-1 , 1]

Rgo f coseno = [-1 , 1]

La representación gráfica del seno es una curva llamada Sinousoide y la del coseno: Cosinousoide.

1. PRIMER CUADRANTE:Ya que “x”, “y”, “r”, son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas: Sen +;Csc +;Tg +;Cot +;Sec +

2. En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.Sen +; Csc +; Tg -; Cot -; Cos -; Sec -

3. En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas ( : = +)Sen –; Csc –; Tg +; Cot +; Cos –; Sec –

4. En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secanteSen -; Csc –; Tg –; Cot –; Cos +; Sec +

REDUCCION DE ANGULOS AL PRIMER CUADRANTEUsar el libro de Guillermo coronado

ANGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN : DEFINICIÓN. APLICACIONES Y PROBLEMAS.

RESOLUCIÓN DE LOS TRIÁNGULOS: LEY DE SENOS Y LEY DE COSENOS.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS.

Problema:Para el triángulo de la figura, C=102.3 grados, B=28.7 grados y b=27.4 metros. Encontrar los ángulos y lados restantes.

El tercer ángulo del triángulo es A = 180 - B - C = 49 grados.Por la ley de los senos tenemos que:

Usando b = 27.4 se obtiene, a = 27.4/ Sen 28.7 x Sen 49 = 43.06 mtsY c = 27.4/ Sen 28.7 x Sen 102.3 = 55.75 mts

Problema:

Encontrar los tres ángulos de un triángulo cuyos lados son a= 80 mts, b = 19 mts, c=14 mts.

Por la ley de los cosenos tenemos que:Cos B = (1/2ac) (a2 + c2 – b2) = (1/2)(8)(14) (82 + 142 – 192) = -0.4508.

Como cos(B) es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso. De hecho, B = 116.80 grados.

Podemos seguir aplicando la ley de los cosenos para obtener los otros ángulos, pero es más simple usar ahora la ley de los senos, pues :

Como B es obtuso, A debe ser agudo entonces A=22.08 grados.

EXAMEN PARCIAL DE TRIGONOMETRIA

APELLIDOS Y NOMBRES:………………………………………………………………………………………………FECHA: 12/12/14I. RESOLVER a) 115º 45' 53" + 253º 37' 45" b) 257º 17' 26" – 180º 39' 57"II. CONVERSIONESa) 175º 15' 31" a grados centesimales y radianes b) 0,858 rad a grados sexagesimales III. REDUCIR AL PRIMER CUADRANTE Y HALLAR SUS FUNCIONES TRIGONOMETRICASa) (-35860º)IV. HALLAR: α, Y FUNCIONES TRIGON. DE LOS DOS ANGULOS COMPLEMENTARIOSa) Seno α = 0.2165106V. RESOLVERa) Se tiene un triángulo ABC, el cateto adyacente mide 35m, el mismo que forma con la hipotenusa un ángulo de 25º 17' 32", hallar los ángulos internos y lados del triángulo.VI. RESOLVER

a) Desde lo alto de un muro de 3.6 m se ve la parte superior de un poste con un ángulo de elevación de 53º y su parte inferior con un ángulo de depresión de 37º, se sabe que se tiene un solo nivel de referencia. ¿Cuál es la altura del poste?VII. RESOLVERa) Desde una torre de control By pass se observa un incendio con un ángulo de depresión de 23º. Sobre la horizontal que une la base de la torre con el lugar del incendio se observa la unidad de bomberos con un ángulo de depresión de 30º (lado opuesto del incendio). Se conoce que la distancia desde el punto de observación de la torre hasta la unidad de bomberos es de 300 m. Determine que distancia debe recorrer los bomberos hasta el sitio del incendio.VIII. RESOLVERa) Los puntos A y B están en una misma recta horizontal con el pie de una colina, los ángulos de depresión de estos puntos desde la cima de la colina donde se encuentra el observador, son de 30º y 22º respectivamente. Si la distancia entre A y B es 75.0 m. ¿Cuál es la altura de la colina?

IX. RESOLVERa) Se tiene un terreno urbano, para construir una vivienda, debido a la inaccesibilidad a su interior, se ha medido el perímetro, siendo sus lados de 15m, 18m y 9m, hallar los ángulos internos, perímetro y superficie

X. TEMA LIBRE