4 Eso Geometria Trigonometria

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ÍNDICE

IV.3.1. Semejanzas.

- Definición de semejanza............................................... 4 - Razón de semejanza...................................................... 5 - Áreas de figuras semejantes.......................................... 6 - Volúmenes de figuras semejantes................................. 8 - PROBLEMAS Y EJERCICIOS....................................10

IV.3.2. Consecuencias del teorema de Thales.

- Teorema de Thales........................................................ 14 - Semejanza de triángulos ...............................................15

Criterios de semejanza Triángulos rectángulos

- División de un segmento .............................................. 16 Cuarto proporcional Tercero proporcional

- El factor escala............................................................... 19 - PROBLEMAS Y EJECICIOS....................................... 20

IV.3.3. Consecuencias del teorema de Pitágoras.

- Teorema de Pitágoras..................................................... 22 - Teorema de la altura....................................................... 23 - Teorema del cateto......................................................... 25 - PROBLEMAS Y EJERCICIOS..................................... 26

IV.3.4. Razones trigonométricas.

- Razones trigonométricas................................................. 28 Seno Coseno Tangente Secante, cosecante y cotangente

- Razones trigonométricas de 0o,30o, 45º, 60º y 90º........... 31 Uso de la calculadora

- Relación entre las razones trigonométricas..................... 32 Teorema fundamental de la trigonometría

- Razones trigonométricas de ángulo no agudos............... 33 - PROBLEMAS Y EJERCICIOS...................................... 34

MATEMÁTICAS (Enseñanza Secundaria para Adultos). MÓDULO IV. 3. -------------------------------

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IV.3.1. Semejanzas

En este apartado, se va a tratar una propiedad geométrica llamada semejanza. Dos figuras geométricas pueden no ser iguales, pero sí semejantes: hay una relación entre las proporciones de ambas figuras. Por ejemplo, si aumentamos la misma medida a todos los lados de una figura (un rectángulo, triángulo, etc.) se obtiene una ampliación de la primitiva: esas dos figuras son semejantes. Lo único que ha variado es el tamaño. Un plano de un piso es semejante al piso (sí está bien hecho). Si vemos una película en el vídeo, los fotogramas que aparecen en la pantalla son semejantes a los que están en la cinta que hemos introducido en el videorreproductor. La primera idea que se tiene de semejanza es la de “parecido”. Dos cosas semejantes, aunque tengan distinto tamaño, se parecen. Pero, aunque los objetos se parezcan, no por ello son semejantes. Nuestra imagen en un espejo de feria se parece a nosotros, pero es una deformación porque no mantiene nuestras auténticas proporciones. Hay parecido, pero no hay semejanza. En este apartado se estudia el concepto de semejanza, el de razón de semejanza y qué ocurre con la razón de las áreas o de los volúmenes de figuras semejantes. Los conceptos que son necesarios para abordar adecuadamente este apartado son conceptos geométricos básicos: figuras geométricas sencillas (triángulos, rectángulos), lados de polígonos, ángulos... También es importante recordar la proporcionalidad, porque dos figuras van a ser semejantes si sus lados son proporcionales.

Es importante recordar el concepto de proporcionalidad: dos magnitudes son directamente proporcionales si el cociente de cada pareja de datos de cada una de ellas permanece constante. A ese número se le llamaba razón de proporción. En esta unidad sólo nos va a interesar la proporcionalidad directa, así que hablaremos de segmentos proporcionales en vez de decir directamente proporcionales.

Si compramos el plano de una ciudad, generalmente viene acompañado de otro plano en el que viene la zona del centro más detalladamente. El trozo del plano grande que corresponde a la zona centro es semejante al detallado: sólo ha cambiado el valor de la escala, las calles forman los mismos ángulos y si una era el doble de larga que la otra la proporción se mantiene. Las dos figuras son semejantes.

CONCEPTOS PREVIOS

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Dos figuras son semejantes si el cociente de las distancias entre dos puntos cualesquiera, en

la misma situación en ambas figuras, permanece constante.

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Cuando decimos puntos en la misma situación estamos hablando de puntos homólogos. En el caso del plano de una cocina, el lugar que ocupa la nevera es homólogo al que ocupa en la cocina real, está en el mismo sitio respecto del global.

En matemáticas se dice que dos objetos son semejantes si sus ángulos no cambian o si se conservan las proporciones.

Ejemplos 1

1. Dos cuadrados siempre son semejantes. Si divido las medidas de las dos diagonales, me da

el mismo número que si divido las de los dos lados, y así con cualesquiera distancias homólogas (en la misma situación) que tome.

a a´

2. Un cuadrado y un rectángulo de lados desiguales no son semejantes; si divido las medidas

de las dos diagonales principales (por ejemplo) no me da el mismo resultado que si divido las de los dos lados de menos longitud en ambas figuras (en el cuadrado todos los lados tienen la misma longitud).

a a´

Está claro que dos figuras son semejantes si segmentos homólogos son proporcionales. Por lo tanto las figuras semejantes tienen una razón de proporción r. A esta razón vamos a llamar a partir de ahora razón de semejanza.

Dicho de una forma coloquial, dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero tamaño diferente.

b

b´

´´ b

b

a

a =

b´

b

´´ b

b

a

a ≠

Razón de semejanza es la razón de proporción que se obtiene al dividir los lados correspondientes de dos figuras semejantes.


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Hemos visto que la semejanza de figuras implica una proporcionalidad entre las medidas de las mismas. Si la razón de proporción es r , entonces si un lado (por ejemplo) mide l, entonces el de la otra figura mide r·l.

Por lo tanto, si dos figuras son semejantes, con razón de semejanza r, sus perímetros son proporcionales, con razón de proporcionalidad r. Como en el cálculo de las áreas de figuras planas siempre está implicado el producto de dos medidas de la misma (lado por lado, base por altura, base por altura partido de dos...), en la figura semejante a la dada estamos multiplicando las mismas medidas multiplicadas por su razón. Con lo cual, sabiendo el área de la primera figura podemos saber el área de la segunda, simplemente multiplicando por r dos veces el área dada. Es decir, multiplicando por r2 Vamos a verlo en dos casos concretos:

1. Dos rectángulos semejantes. h h´

b b´ Al ser figuras semejantes, existe una razón de semejanza entre ambas a la que llamamos r.

Por lo tanto, todas sus medidas de longitud son proporcionales con razón de proporcionalidad r . Para calcular el área de un rectángulo sólo nos interesa la base b y la altura h.

h´= r·h b´= r·b

El área de un rectángulo es lado por lado. Sea A el área del rectángulo en el primer caso: A = b·h

Sea A´ el área del rectángulo en el segundo caso: A´ = b´·h´ = (r·b)·(r·h) = r2·b·h = r2 A

que es lo que se pretendía demostrar. Obsérvese que no estamos haciendo una demostración genérica, sino para ciertos ejemplos.

ÁREAS DE FIGURAS SEMEJANTES

A. V.

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2. Dos triángulos semejantes:

b

b´

Al ser figuras semejantes, existe una razón de semejanza entre ambas a la que llamamos r. h´= r·h b´= r·b

El área de un triángulo es base por altura partido de dos, en el primer caso: A = b·h/2

En el segundo caso: A´ = b´·h´/2 = (r·b)·(r·h)/2 = r2·b·h/2 = r2 A

que es lo que se pretendía

Ejemplos 2

1. De dos triángulos semejantes se conoce la base de uno 2 cm, la altura del otro 4 cm, y el área del más grande: 16 cm2. Calcula la altura del primero y su área.

Sabemos que son semejantes: hay una razón de proporcionalidad que desconocemos r. Sea h la altura del primer triángulo, b´ la base del segundo triángulo y A y A´ sus áreas respectivas. A = b·h =2·h A´= b´·h´ = b´·4 =16 ⇒ 16 = r2·2·h ⇒ 8 = r2·h A´=r2·A Por otro lado, h´ = r·h ⇒ 8= r2·4/r = r·4 ⇒ r = 8/4 = 2

⇒ r·h = 4 ⇒ h = r

4

h´ = 4 Por lo tanto, la altura del primero la deducimos sabiendo la razón de semejanza (2) y la altura del segundo (4) h´ = r·h ⇒ 4 = 2·h ⇒ h= 4/2 = 2 cm El área del pequeño se deduce del área del grande (16 cm2) y de la razón de semejanza. A´ = r2 ·A ⇒ 16 = 22· A ⇒ 16 = 4·A ⇒ A = 16/4 = 4 cm2

Si dos figuras son semejantes con razón de semejanza r , entonces sus áreas son proporcionales con constante de

proporcionalidad r 2.

A´=r 2·A

h h´


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2. Tenemos un sobre de cartas de dimensiones 20 cm por 12 cm. ¿Cuáles serán las medidas de un nuevo sobre, semejante al que tenemos pero que tenga la mitad de área que el primero?

El área del sobre grande es 20·12 = 240 cm2. Si queremos un sobre semejante, sabemos que: A´= r2·A Por otro lado, el área del sobre pequeño es la mitad de la del primero.

A= 1202

240 = cm2.

A´= 240 cm2 ⇒ 240 =r2·120 ⇒ r2 = 22120

240 =⇒= r

A´=r2·A Por lo tanto:

20= 2 ·b ⇒ b= 2102

220

2

20 == cm

12= 262

212

2

12·2 ===⇒ hh cm

De la misma forma que hay una relación entre el área de figuras semejantes es lógico suponer que también la habrá entre los volúmenes, y que si en las áreas se multiplica por el cuadrado de la razón de semejanza en los volúmenes (al haber una dimensión más) se va a multiplicar por el cubo de la razón de semejanza. Veámoslo en dos casos concretos:

1. Vamos a comprobar que esta hipótesis se verifica con los cubos. Lógicamente, dos cubos cualesquiera siempre son semejantes. l l l´ l´ Sea r la razón de semejanza de ambos cubos. Esto quiere decir que l´=r·l. El volumen de un cubo es lado por lado por lado. Sea V el volumen del cubo pequeño y V´el volumen del cubo grande. V=l·l·l=l3 V´=l´·l´·l´=(l´)3 ⇒ V´=r 3V ⇒ V´=(r·l)·(r·l)·(r·l)=r3·l3 l´=r·l

VOLÚMENES DE FIGURAS SEMEJANTES

A. V.

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2. Tenemos dos cilindros semejantes. Sea s la razón de semejanza. h h´

Al ser semejantes h´=sh y r´=sr . El volumen de un cilindro es área de la base por altura. Como la base es circular, su área es Π por el radio (r) elevado al cuadro. Así, el volumen del primer cilindro (V) será:

V=h·(ΠΠΠΠr 2)=ΠΠΠΠhr 2 El volumen del segundo cilindro:

V´=h´·(ΠΠΠΠr ´2)=ΠΠΠΠh´r ´2 Por otro lado, por ser semejantes con razón de semejanza s:

h´=sh r´=sr

Sustituyendo en la fórmula del volumen: V´=Π(sh)(sr)2=Πshs2r2=ΠΠΠΠs3hr 2=s3ΠΠΠΠhr2=s3V

Que es lo que se pretendía demostrar.

Ejemplos 3

1. Se cuenta que en el siglo V a. C., la peste asoló Grecia. El pueblo fue a pedir ayuda al oráculo de Apolo en Delos, que respondió: “debeis duplicar el altar de Apolo”. El altar de Apolo tenía forma de cubo, así que los atenienses construyeros un nuevo altar con arista el doble de la anterior, pero la peste no se detuvo. ¿Por qué?

Supongamos que el templo tiene de arista a. Sí el templo es un cubo perfecto, su volumen es:

V=a·a·a=a3 Al pedir el oráculo un altar de volumen doble, pide que el nuevo altar tenga por área:

V´=2·V=2·a3

Pero los griegos, al duplicar el lado obtuvieron un cubo semejante al otro de razón de semejanza r=2. Por la relación que hay entre los volúmenes semejantes, el auténtico volumen que obtuvieron fue:

V´=r3·V=23·a3=8·a3 que no fue el que pidió el oráculo.

Si dos figuras son semejantes con razón de semejanza r , entonces sus volúmenes son proporcionales con razón de

proporcionalidad r 3. V´=r 3V

r r´


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2. En un ayuntamiento de un pueblo blanco andaluz deciden erigir un monumento al padre de la patria andaluza, Blas Infante. Un escultor decide presentar su proyecto al ayuntamiento, y hace una pequeña estatua que presenta al alcalde diciéndole: “la estatua de Blas Infante será exactamente igual que esta, sólo que 10 veces mayor, y estará hecha en bronce”. Deciden encargarle la estatua, pero con la condición de que el bronce que se le dé sea exactamente el que necesita. ¿Cómo puede saberlo?

Si sabe el volumen de la estatua pequeña puede calcular el volumen de la grande, ya que son semejantes con razón de semejanza 10. Por lo tanto, el volumen de la auténtica estatua será:

V´=r3V=103V=1000V Para calcular el volumen de la estatua pequeña podemos aplicar el principio de Arquímedes: sumergimos la estatua en un depósito lleno de agua, y el volumen de agua que rebose es el de la estatua. 3. Calcula el volumen de un cilindro semejante a otro (con razón de semejanza r=3) de superficie

3 cm2 y altura 6 cm. El volumen de un cilindro es área de la base (3 cm2) por altura (6 cm).

V=3.6=18 cm3 Por la proporcionalidad entre los volúmenes de figuras semejantes:

V´=33V=33.18=486 cm3

1. Las indicaciones de las fotocopiadoras que amplían y reducen vienen dadas en tantos por ciento. Así el 50% quiere decir que la medida 100 en el original pasa a ser de 50 en la copia (la hemos reducido a la mitad).

a) Calcula la razón de semejanza que tendrá un documento si se reduce al 75%.

Resolución: si por cada 100 unidades de medida obtenemos 75 unidades de media, la razón será el cociente entre ambas.

b) Se va a reducir al 75% un documento que mide 12 cm de ancho y 32 cm de

largo. ¿Cuál serán las nuevas medidas? Resolución: se podría hacer por regla de 3, o bien aplicando las propiedades de figuras semejantes. Aplicando esto último, sabiendo el ancho primitivo y la razón de semejanza calculada en el apartado a), llamamos a al ancho que queremos calcular.

a=3/4·12=36/4=9 cm Sea l el largo que queremos calcular.

l=3/4·32=96/4=24 cm

c) Se va a ampliar un 200 % un documento que mide 11 cm de ancho y 21 cm de largo. ¿Cuáles serán sus nuevas dimensiones?

Resolución: la razón será: r=200/100=2

esto quiere decir que estamos duplicando las dimensiones. Por lo tanto el largo será 21·2=42 cm y el ancho 11·2=22 cm.

PROBLEMAS RESUELTOS

4

3

20

15

100

75 ===r

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2. Dada la siguiente figura, dibuja una semejante, con razón de semejanza r=1/2

Resolución: como la razón de semejanza es 1/2, la nueva figura tiene que ser exactamente igual a la anterior, pero lo que ocupaba dos cuadritos ahora tiene que ocupar uno.

3. ¿Qué razón de semejanza tienen dos triángulos semejantes si el área de uno de ellos es 4 cm2 y el del otro es 16 cm2?

Resolución: al ser las áreas proporcionales con razón de proporcionalidad r2, siendo r la razón de semejanza: A´=r2A

A´=16 cm2 A=4 cm2

Por lo tanto: 16=r24 ⇒⇒⇒⇒ r2=16/4=4 ⇒⇒⇒⇒r=2

4. Calcula el volumen de un cilindro, sabiendo que hay otro semejante al anterior de altura 4 cm y de radio 1 cm. La razón de semejanza es 3.

Resolución: calculando el volumen del primer cilindro, por la propiedad del volumen de figuras semejantes, obtenemos el volumen del segundo. El volumen de un cilindro es área de la base por altura; como la base es un círculo, el área de la base es 2Π(radio)2 radio=1 cm ⇒ A=2Π12=2Π cm2 ⇒ V=2ΠΠΠΠ4=8ΠΠΠΠ cm3 h=4 cm Por la relación existente entre volúmenes de figuras semejantes: V´=r3V r=3 ⇒ V´=33V=27·8Π=216 cm3 V=8Π cm3


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5. Un cartabón es un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide el doble del cateto menor. En su interior hay otro triángulo semejante al del exterior. Si las hipotenusas de los triángulos miden 16 cm y 8 cm respectivamente, calcula el área de la banda que determina el cartabón. Resolución: en este tipo de problemas, lo primero que se debe hacer es un dibujo que aclare el enunciado. 10cm 16 cm c2

c1

Al ser el cateto menor la mitad de la hipotenusa: c1=16/2=8 cm

Por otro lado, por el teorema de Pitágoras podemos calcular el otro cateto:

c12+c2

2=h

2 ⇒ 82+c22=162 ⇒ 64+c2

2=256 ⇒ c22=256-64=192 ⇒ 38323·2192 36

2 ====c cm

El área de un triángulo es base por altura partido de dos. En el caso de un triángulo rectángulo la base y la altura coinciden con los catetos. Por lo tanto, el área del triángulo exterior será:

A=c1·c2=8·8 3 =16 3 cm2 Una vez conocida el área del triángulo exterior, para conocer la del interior nos basta con calcular la razón de semejanza y después aplicar la relación existente entre las áreas de figuras semejantes. Para calcular r usamos las dos hipotenusas.

h´=r·h ⇒ 16=r·8 ⇒ r=16/8=2 Una vez calculada la razón de semejanza, calculamos el área del triángulo interior:

A´=r2·A ⇒ 16 3 =22·A ⇒ 16 3 =4A ⇒ A=16 3 /4=4 3 cm2 Así, el área del cartabón será el área del triángulo exterior menos el área del interior.

A´-A=16 3 -4 3 =12 3 cm2

5. Un cordobés tenía una finca rectangular de 20 Hm de larga por 1 Hm de ancha.

Debido a causas de repartición de terreno cuando la construcción de la vía del AVE (tren de alta velocidad) que pasó por sus cercanías, sus medidas se redujeron en un 20%. Manteniendo una disposición semejante a la anterior. ¿Cuáles fueron sus nuevas dimensiones y su nueva área?

Resolución: si las medidas disminuyen un 20%, quiere decir que se ha hecho una finca semejante a la anterior, pero de medidas de un 80%, lo cual implica que cada 100 m de la fina anterior se convierten en 80 m de la nueva. Por la tanto la razón de semejanza r será:

r=80/100=8/10=4/5 Por lo tanto, para saber sus nuevas dimensiones nos basta con multiplicar las anteriores por la razón. Sea l el largo anterior, l´ el nuevo, a el ancho anterior y a ́el nuevo.

l´=rl ⇒ l´=4/5·20=80/5=16 Hm a´=ra ⇒ a´=4/5·1=4/5 Hm=0´8 Hm

Para saber la nueva área basta multiplicar lado por lado, puesto que ya conocemos sus medidas o, si se desea hacer el ejercicio más largo, calculamos el área primitiva y aplicamos la relación existente entre las áreas de figuras semejantes. Primera forma: A´=l´·a´=16·0´8=12´8 Hm2 Segunda forma: A=l·a=20·1=20 Hm2 A´=r2A ⇒ A´=(4/5)220=16/25·20=320/25=12´8 hm2 r=4/5

Como vemos, en ambos casos el resultado es el mismo.

8

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1. Se decide efectuar una ampliación de un documento a un 150 %. a) Calcula la razón de semejanza.

R: r=3/2 b) Calcula las nuevas dimensiones de un documento rectangular que mide 10x30 (10 unidades de ancho y 30 unidades de largo).

R: 15x45 c) Calcula las nuevas dimensiones de un documento que mide 6 cm de ancho y 22 cm de

largo. R: 9 cm de ancho y 33 cm de largo.

d) Calcula las nuevas dimensiones de un documento cuadrado de lado 50 cm.

R: 75 cm.

2. Dibuja una figura semejante a la dada con razón de semejanza r=2.

R:

PROBLEMAS PROPUESTOS


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3. Una escuadra es un triángulo rectángulo cuyos catetos son iguales. En su interior hay otro triángulo semejante al del exterior. Si los catetos de los triángulos miden 15 cm y 5 cm respectivamente, calcula el área de la banda que determina la escuadra.

15 cm

R: 100 cm2

4. Calcula el volumen de un cubo sabiendo el de otro semejante de razón de semejanza 4 y arista 32 cm.

R: 2097152 cm3 5. Calcula el volumen que ocupará una torre cilíndrica si su maqueta está hecha con

razón de semejanza 1/100, su base tiene un área de 100 cm2 y su altura es de 40 cm. R: 4000 m3

5 cm

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IV.4.2.

Consecuencias del teorema de Thales.

El teorema de Thales es fundamental en la llamada medición indirecta: ¿cómo medimos algo que sea inaccesible para nosotros?.

Thales de Mileto fue el primer filósofo y matemático nacido en Grecia. Vivió entre el 642 antes de Cristo y el 548 antes de Cristo. Fue estadista, ingeniero astrónomo, filósofo y matemático... el primero de los siete sabios griegos. Vivió algún tiempo en Egipto, lo que le permitió conocer la matemática y astronomía egipcias.

En este apartado vamos a recordar qué dice el teorema de Thales y algunas consecuencias inmediatas del mismo, como son los criterios de semejanza de triángulos, o la división de un segmento dado en tantas partes iguales como queramos. También vamos a ver cómo se utilizan las escalas. Dibujemos una serie de rectas paralelas.

Ahora las cortamos mediante dos rectas secantes, con lo que se forma una serie de triángulos inscritos. A A´ B´ B C C´ D´ D E´ E

El teorema de Thales, si lo expresásemos de forma matemática, nos quedaría la siguiente igualdad de quebrados:

CONCEPTOS PREVIOS

TEOREMA DE THALES

rBÉ

BE

DC

CD

CB

BC

CA

AC

BA

AB ====== ....´´´´´´´´´


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Otra forma de expresarlo es la siguiente: Al dibujo que hemos hecho se le llama configuración de Thales y, como consecuencia del teorema de Thales, forma una serie de triángulos semejantes.

Gracias al teorema de Thales, vamos a poder dar una serie de criterios de semejanza para triángulos. Por el primer apartado sabemos que dos triángulos (o figuras cualesquiera) son semejantes si mantiene la forma variando sólo el tamaño. En el caso de los triángulos los ángulos deben de mantenerse iguales dos a dos y los lados ser proporcionales.

Como vemos, son unas condiciones muy fuertes, pero que se pueden reducir. Condición equivalente 1: Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales. Condición equivalente 2: Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales. Condición equivalente 3: Dos triángulos son semejantes si tiene dos lados proporcionales y el ángulo formado por los mismos es igual. Estas condiciones se reducen aún más en el caso de los triángulos rectángulos, ya que hay un ángulo igual por definición: el recto.

Ejemplos 1

1. Demuestra que dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual Al tener un ángulo agudo igual, ya tiene dos: el agudo y el recto. Por la condición equivalente 2, son semejantes. 2. Demuestra que dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los catetos proporcionales. Los catetos son los lados que abarcan el ángulo recto. Por lo tanto, tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido (el recto) igual. Por la condición equivalente 3, son semejantes.

El teorema de Thales dice que si cortamos varias rectas paralelas por dos secantes los segmentos correspondientes determinados

por las secantes son proporcionales.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dos triángulos son semejantes si tiene los ángulos iguales y los lados proporcionales

-17-

3. Demuestra que dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen la hipotenusa y un cateto proporcionales.

Sean h, c1 y c2 la hipotenusa y los catetos del primer triángulo, y h´, c1´ y c2´ los del segundo. Sea r la razón de proporcionalidad que hay entre las hipotenusas y dos catetos (supongamos que son c1 y c1´).

h´=rh c1´=rc1

Nos basta con demostrar que los catetos restantes también son proporcionales. Con lo cual y tendríamos la primera condición equivalente. Para ello aplicamos el teorema de Pitágoras que dice: en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa coincide con la suma de los cuadrados de los catetos. Por otro lado, por la proporcionalidad que tenemos:

h´=rh c1´=rc1

Con lo cual ya tenemos los tres lados proporcionales. 4. Demuestra que dos triángulos isósceles son proporcionales si tienen igual el ángulo que

comprende los dos lados iguales. Vamos a hacerlo áficamente. Como tienen un ángulo igual, podemos inscribir uno dentro del otro. O A A´ B B´ Los dos triángulos son los formados por los vértices OAA´ y OBB´. Al ser isósceles, las longitudes de OA y OA´ son iguales, al igual que las de OB y OB´. Por lo tanto, las rectas AA´ y BB´ son paralelas, Tenemos la configuración de Thales. Por lo tanto, los dos triángulos son semejantes. 5. Demuestra que dos triángulos equiláteros siempre son proporcionales. Un triángulo es equilátero si tiene los tres lados y los tres ángulos iguales. Sea α dicho ángulo. Al ser la suma de los ángulos de un triángulo de 180º,

α+α+α=180º ⇒3α=180º⇒ α=180º/3=60º

Por lo tanto tenemos dos triángulos con los tres ángulos iguales de 60º por la condición equivalente 2 (por ejemplo) son semejantes.

21

22

21

222

22

21

2 chcchccch −=⇒−=⇒+=2

12

22

122

22

22

12 ´´´´´´´´´ chcchccch −=⇒−=⇒+=

22

122

1222

12222

12

22

12

2 )()()(´´´´ rcchrchrcrhrrcrhcchc =−=−=−=−=⇒−=


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El teorema de Thales nos permite dividir un segmento en tantas partes iguales (o

proporcionales) como queramos, gracias a una recta auxiliar. Sea AB el segmento que queremos dividir en 4 partes iguales (por ejemplo) A B Comenzando en A, se traza una línea recta auxiliar. A B Dividimos la recta auxiliar con la ayuda de un compás en tantas partes iguales como queramos. Unimos el extremo del último punto obtenido en la división con B y, con una escuadra y un cartabón, trazamos paralelas a la recta que hemos dibujado pasando por los puntos en los que hemos dividido la recta auxiliar. P4 P3 P2

P1 A M1 M2 M3 B Hemos obtenido una configuración de Thales: líneas paralelas cortadas por dos secantes. Por lo tanto, por el teorema de Thales:

Pero, como hicimos la división de la recta auxiliar mediante un compás, los segmentos tienen toda igual longitud, lo cual significa que tenemos unas igualdades de quebrados donde todos los denominadores son iguales. Por lo tanto los numeradores también tienen que ser iguales.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO

43

3

32

32

21

21

1

1

PP

BM

PP

MM

PP

MM

AP

AM===

BMMMMMAM 332211 ===

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Además, como la suma de los cuatro segmentos es la totalidad de AB, cada uno

mide AB4

1.

Ejemplos 2

1. Llamamos segmento cuarto proporcional a tres segmentos dados de longitudes a, b y c aun

segmento de longitud x que verifica a/b=c/x. Vamos a ver cómo lo podemos calcular mediante la recta auxiliar

Trazamos dos rectas secantes. Sobre cada una de ellas marcamos dos segmentos de longitudes a y b, Empezando ambos en

el punto de corte O, de ambas rectas. Llamamos P y Q, a los puntos finales de ambos segmentos. P a O b Q

A partir de P, y con la ayuda de un compás, trazamos un segmento sobre la recta de longitud c y llamamos R a su extremo.

R c P a O b Q

Unimos los puntos P y Q mediante una línea recta y trazamos (mediante una escuadra y un cartabón una paralela pasando por R. R c P a O

b Q x S El segmento de extremos Q y S, por el teorema de Thales, verifica la condición que buscamos. 2. Llamamos segmento tercero proporcional a dos segmentos dados de longitudes a y b a un

segmento de longitud x que verifica a/b=b/x. Vamos a ver cómo lo podemos calcular mediante la recta auxiliar.

La construcción es como la anterior, donde el segmento c=b.


--20-

En ejemplos anteriores hemos hablado de mapas y planos. Son figuras semejantes pero reducidas de tamaño; la reducción se traduce mediante la escala. Igualmente, con las ampliaciones. La escala es en realidad la razón de semejanza. Cuando aumentamos o disminuimos un objeto manteniendo sus proporciones estamos utilizando una escala.

La escala se suele representa poniendo primero la medida de la representación, dos puntos, y la medida real. Normalmente la medida de la representación se toma como la unidad. Así la escala 1:3 significaría que cada unidad de longitud de la representación equivale a tres unidades de longitud de la real. Algunos libros representan la escala mediante la letra E. Una de las aplicaciones más importantes de la escala es la construcción de planos y mapas.

Ejemplos 3

1. Las maquetas de coches de colección suelen usar la escala 1:40. Calcula las medidas reales del coche del dibujo (hecha a 1:40)

2´5 cm

8 cm Al ser escala 1:40, hay que multiplicar por 40 las medidas dadas por el dibujo. Así, el largo tendrá como medida real:

40·8=320 cm =3´2 m y la altura real será:

2´5·40=100 cm=1 m 2. El plano de un cuarto de baño está hecho en escala 1:100. La longitud en el dibujo de la bañera

es de 1´5 cm. ¿Cuánto mide la bañera en realidad? Simplemente hay que multiplicar la longitud de la bañera por 100.

l=1´5·100=150 cm=1´5 m

EL FACTOR ESCALA

La escala de una representación gráfica es la razón de semejanza entre la representación y el objeto real.

-21-

3. En el plano de la figura la distancia real entre la esquina de la calle Ciudad de Santander y la de la Avenida de Portugal es de 280 metros. ¿Cuál es la escala con la que está hecha el plano?

Avenida de Andalucía 5´2 cm

Avenida de Portugal Ciudad de Santander

Lo único que hay que hacer es dividir la medida de la representación entre ña real. Hay que tener en cuenta que las unidades no son iguales, una está expresada en metros y la otra en centímetros. Por lo tanto previamente vamos a pasarlo todo a centímetros (igualmente se puede pasar todo a metros).

280 m=28000 cm Por lo tanto la escala será:

5´2: 28000 Para dejar la representación como unidad, sólo hay que dividir ambos valores entre 5; 2

E →→→→ 1:5384´6153 Lo que significa que cada centímetro del dibujo equivale a 5384´6253 cm (unos 54 metros) de la realidad.

1. Clavamos dos palos de distinta altura verticalmente en el suelo y unimos los extremos del palo con su sombra mediante una línea imaginaria, formándose dos triángulos. ¿Son semejantes?

Resolución: Tenemos en cada caso un triángulo rectángulo, ya que el palo forma una vertical con el suelo. Por lo tanto, nos basta con ver que tienen un ángulo agudo equivalente. Como el ángulo que forma el sol para hacer la sombra no puede cambiar de un palo a otro, el ángulo agudo superior es igual en ambos triángulos, por lo tanto son semejantes. 2. Queremos calcular la altura de la torre del Oro. Para ello observamos a las 11 de la

mañana que la longitud de su sombra es de 21 m. Clavamos un palo de 2 m de altura a la misma hora y medimos su sombra, que es de 1m. ¿Cuánto mide la torre?

Resolución: Como ambas figuras forman triángulos semejantes, nos basta con calcular la razón de semejanza. Nos basta con dividir las longitudes de dos segmentos homólogos conocidos. Los segmentos homólogos que conocemos son las sombras. Así:

r=21/1=21 Por lo tanto, para calcular la altura de la torre del Oro, basta con multiplicar la altura del palo por 21.

h=2·21=42 m

PROBLEMAS RESUELTOS


--22-

3. Dibuja sobre una recta tres puntos, A, B y C de manera que los segmentos AB y AC tengan una razón de 3/2.

AB/AC=3/2 ⇒ AB=3/2AC Si conseguimos dividir el segmento AC en dos partes iguales, lo único que restaría por hacer es trasladar la nueva medida tres veces, cosa que se puede hacer sencillamente usando un compás. Dividir un segmento en dos partes iguales es un proceso que se puede hacer con compás, pero vamos a hacerlo mediante el teorema de Thales. A C B

1. La sombra de la giralda sobre el suelo, en un determinado momento del día, mide 60 m. En

el mismo momento y lugar, la sombra de una poste publicitario de 3 m de altura mide 2 m. Calcula la altura de la Giralda.

R: 90 m 2. Dibuja sobre una recta tres puntos A, B y C de manera que los segmentos AB y AC tengan

una razón de 2/3. 3. ¿A qué escala está hecho el plano de una casa si una pared del salón que mide 3 m en el

plano mide 3 cm? R: 1:100

4. ¿Cuánto mide el largo de un vestido si en el dibujo hecho a escala 1:10 del mismo mide 15 cm?

R: 1´5 m 5. Dos triángulos isósceles, ¿son siempre semejantes?

R: No


-23-

IV.4.3. Consecuencias del teorema de Pitágoras

04.D.

En este apartado vamos a ver algunas consecuencias del teorema de Pitágoras, como son el teorema del cateto y el teorema de la altura. Para ello, previamente se recordará el conocidísimo teorema de Pitágoras referido a triángulos rectángulos, que relaciona la medida de los catetos de un triángulo rectángulo con la hipotenusa.

hipotenusa cateto

cateto Recuérdese que en un triángulo rectángulo se llaman catetos a los lados que

delimitan el ángulo recto, e hipotenusa el lado que queda.

Pitágoras de Samos (nacido en la isla griega de Samos en el año 569 a. de C.) fue discípulo

de Thales de Mileto. Viajó a Egipto y, posiblemente, a la India. Después creó en Crotona una secta con ciertas tendencias religiosas, dedicadas al estudio de las Matemáticas, donde practicaban la comunidad de bienes, siguiendo una dieta vegetariana sin matar ningún animal, por temor de que fuera la morada de algún amigo muerto.

En la escuela Pitagórica se estudiaba Filosofía, Matemáticas, Ciencias Naturales... su influencia fue tan grande que el poder ordenó destruir la escuela y dispersar a sus componentes. A pesar de esto, la secta continuó sus trabajos durante más de dos siglos.

Pitágoras afirmaba que el número era la causa y la esencia de todo. Pero a pesar de sus grandes trabajos en aritmética es conocido por un teorema geométrico que lleva su nombre: el teorema de Pitágoras.

Se han publicado más de 350 demostraciones de este teorema. Pitágoras lo dedujo al ver cómo los albañiles egipcios trazaban ángulos rectos usando una cuerda de doce nudos, colocando un vértice (mediante una estaca clavada en el suelo) en el tercer nudo, el cuarto y el quinto. Pitágoras observó que el triángulo egipcio cumplía:

52=42+32 y lo generalizó para todos los triángulos rectángulos.

CONCEPTOS PREVIOS

TEOREMA DE PITÁGORAS

El teorema de Pitágoras dice que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la

suma de los cuadrados de los catetos.


--24-

h

c1 h2=c1

2+c22

c2

Ejemplos 1

1. De un triángulo rectángulo se conoce la hipotenusa, que mide 20 cm y un cateto que mide 8 cm. Calcula el otro cateto

Sea x la longitud del cateto que desconocemos. Por el teorema de Pitágoras:

202=82+x2 ⇒ 400=64+x2 ⇒ x2=400 –64=336 ⇒ x= 336cm 2. Calcula la altura de un triángulo equilátero en función de su lado.

Hagamos un dibujo que nos ayude.

x x x Al ser un triángulo equilátero, todos los lados miden lo mismo. Sea x la longitud del lado y h la de la altura. La altura es una recta perpendicular a un lado y que pasa por el vértice opuesto. Por lo tanto, el triángulo isósceles está dividido en dos triángulos rectángulos iguales, a los que le podemos aplicar el teorema de Pitágoras.

h x x/2

La altura divide al lado opuesto del triángulo equilátero en dos partes iguales. Por lo tanto, un cateo mide x/2, el otro es la altura (mide h), y la hipotenusa mide x. Aplicando el teorema de Pitágoras:

h

324

3

4

3

44

4

44)2(

2222222

22222 xx

hxxxx

xhx

hxhx ==⇒=−=−=⇒+=+=

-25-

Dibujamos un triángulo rectángulo y su altura. Para que se vea más claro, el triángulo está dibujado sobre su hipotenusa. A c b B C C n m a La notación general en las figuras planas es llamar con letras mayúsculas los vértices y con las mismas letras, pero minúsculas los lados opuestos. Sea h la altura sobre la hipotenusa (la que se traza a partir del vértice que forma ángulo recto) y m y n las longitudes de los segmentos en los que queda dividido el lado a por la altura, a los que se les llama proyecciones sobre de los catetos sobre la hipotenusa.

Ahora tenemos tres triángulos rectángulos: el primero T1, el formado por b, m y h (T2), y el formado por c, n y h (T3). Aplicamos a los tres el teorema de Pitágoras. T1:

⇒ 2222222 2)( cbmnnmcbnm +=++⇒+=+

a=m+n T2:

222 hmb += T3:

222 hnc += Sustituimos en la ecuación de T1 b

2 y c2 por lo que nos ha salido en las ecuaciones de T2 y T3. m2+h2+n2+h2=m2+n2+2mn ⇒ 2h2=2mn ⇒ h2 =mn Hemos demostrado el teorema de la altura.

TEOREMA DE LA ALTURA

h

222 cba +=

El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre

la hipotenusa. h2=m·n

A. V.


--26-

Ejemplos 2

1. Calcula la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las proyecciones de los catetos sobre la misma miden 16 cm y 25 cm respectivamente

Por el teorema de la altura h2=mn Sea m=16 y n=25. Sustituyendo en la fórmula:

h2=16·25=400 ⇒ 20400 ==h cm.

2. Una circunferencia tiene 5 dm de radio. Una cuerda perpendicular al diámetro la divide en dos segmentos, uno de los cuales mide 2 dm. Calcula la longitud de la cuerda.

Hacemos un dibujo. A B C Por las propiedades geométricas de las circunferencias, uniendo los extrmos de la cuerda con los extremos del diámetro (que mide 2·5=10 dm) se forma un triángulo rectángulo donde la hipotenusa (a) es el diámetro. Si una de las proyecciones mide 2 dm, la otra medirá 10-2=8 dm Aplicando el teorema de la altura:

Por tanto, al ser esa la medida de la mitad de la cuerda, la cuerda mide 80 cm.

� Igual que se puede relacionar la medida de la altura sobre la hipotenusa con las

proyecciones sobre la misma de los catetos, también se puede relacionar las medidas de los catetos con sus proyecciones.

� A c b B C C n m �� a

h m n 2 8

dmhhmnh 416168222 ==⇒=⋅=⇒=

TEOREMA DEL CATETO

-27-

Tomando el triángulo rectángulo formado por los lados b,m y h y aplicando el

teorema de Pitágoras: ��b2=m2+h2 Por el teorema de la altura: ⇒ b2=m2+(nm)2=m2+nm=m(n+m) h=nm ⇒ b2=ma n+m=a Si hacemos lo mismo con el triángulo rectángulo formado por los lados c, n y h. ��c2=n2+h2 Por el teorema de la altura: ⇒ c2=m2+(nm)2=n2+nm=n(n+m) h=nm ⇒ c2=na n+m=a Hemos demostrado el teorema del cateto. �

Ejemplos 3

1. En el triángulo cuyos lados miden 6, 8 y 10, calcula la altura sobre la hipotenusa y las proyecciones de los catetos.

Siempre el lado que más mide es la hipotenusa así que los datos que tenemos son:

b=6 c=8 a=10

por el teorema de los catetos: b2=ma ⇒ 62=m10 ⇒ 36=10m ⇒ m=36/10=3´6 c2=na ⇒ 82=n10 ⇒ 64=10n ⇒ n=64/10=6´4

Para calcular la altura aplicamos el teorema de la altura:

h2=mn ⇒ h2=3´6·6´4=23´04 ⇒ 04´23=h 2. Calcula la altura a la que está un OVNI si dos amigos lo ven en medio de ellos, uno a

300 m, y el otro a 400 m. Para calcular el valor de la hipotenusa se aplica el teorema de Pitágoras:

3002+4002=a2 ⇒⇒⇒⇒ a=500 m Aplicando el teorema de los catetos:

b2=ma ⇒ 3002=500m ⇒ m=90000/500=180 m c2=na ⇒ 4002=500n ⇒ n=160000/500=320 m

Aplicando el teorema de la altura: h2=m·n ⇒ h2=180·320=57600 ⇒ h=240 m

El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la

hipotenusa. b2=m·a c2=n·a

A. V.


--28-

3. Un tobogán tiene forma de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. Se sabe que la sombra que proyecta sobre el suelo la escalera de subida mide 1´6 m, mientras que la sombra de la rampa para deslizarse mide 2´5 m. Calcula la altura del tobogán, la longitud de la escalera y la longitud de la rampa

Vamos a plantear el dibujo:

� A rampa =c escalera=b B C C Sombra rampa=2´5 Sombra escalera=1´6 �� a

Al saber m y n, por el teorema de la altura, obtenemos la altura sobre la hipotenusa h: h2=mn.⇒ h2=2´5·1.6=4

Por lo tanto la medida de la altura del tobogán es la raíz cuadrada de 4, o sea 2 m Al saber ambas proyecciones, también sabemos la medida de la hipotenusa:

a=m+n ⇒ a=2´5+1´6=4´1 m Sabiendo a y h, podemos aplicar el teorema de los catetos:

b2=ma ⇒ b2=1´6·4´1=6´56 ⇒ 566́=b m

c2=na ⇒ c2=2´5·4´1=10´25 ⇒ 25´10=c m Y ya tenemos la longitud de la rampa y de la escalera. .

4. En la siguiente figura, calcula las medidas que no se conocen. A

6 m b 8 m B C C n m �� 10 m

Aplicamos el teorema del cateto a ambos catetos:

b2=ma ⇒ 82=m10 ⇒ 64=10m ⇒ m=6´4 m c2=na ⇒ 62=n10 ⇒ 36=10n ⇒ n=3´6 m

1. Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que un cateto mide 4

m y el otro 3 m. Resolución: es una aplicación directa del teorema de Pitágoras:

h2=c12+ c2

2 ⇒ h2=42+32=16+9=25 ⇒ h=5 m

2. Sabiendo que la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo la divide

en dos trozos de 20 y 5 cm respectivamente, calcula la medida de la altura sobre la misma.

Resolución: es una aplicación directa del teorema de la altura: h2=m·n ⇒ h2=20·5=100 ⇒ h=10 cm

h

PROBLEMAS RESUELTOS

-29-

3. Los lados de un triángulo miden 12 cm, 16 cm y 20 cm. Calcula la altura relativa a la hipotenusa y las dos proyecciones de los catetos.

Resolución: llamamos a a la hipotenusa, y b y c a los catetos: a=20 cm b=12 cm c=16 cm

Aplicamos el teorema del cateto: b2=ma ⇒ 144=m20 ⇒ m=144/20=7´2 cm c2=na ⇒ 256=n20 ⇒ n=256/20=12´8 cm

Por el teorema de la altura:

h2=mn ⇒ h2=7´2·12´8=92´16 ⇒ 16´92=h cm

4. La diagonal de un rectángulo mide 20 cm y la base mide 16 cm. Calcula la altura del rectángulo.

Resolución: hagamos el dibujo: 16 cm Podemos hacerlo directamente por el teorema de Pitágoras, ya que hay 8un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es la diagonal (20 cm) y sabemos un cateto, que es la base (16 cm). Queremos saber la altura, que es el otro cateto. Lo llamamos x.

202=162+x2 ⇒ 400=256+x2 ⇒ x2=400-256=144 ⇒ x=12 cm

1. Calcula el cateto de un triángulo rectángulo sabiendo que un cateto mide 3 m y la

hipotenusa mide 5 m R: 4 m

2. Sabiendo que la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo la divide en dos trozos de 24 y 6 cm, ¿cuánto medirá la altura de dicho triángulo?

R: 12 cm 3. En un rectángulo ABCD se traza desde A la perpendicular a la diagonal BD.

Sabiendo que la diagonal queda dividida en dos segmentos que miden 4 y 9 cm, halla los lados del rectángulo.

R: cmycm 133132

20 cm



--30-

IV.4.4.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Trigonometría es una palabra derivada del griego:

Tri que significa tres Gono que significa ángulo

Metría que significa medida Uniendo las tres palabras tenemos el estudio de las relaciones entre las longitudes de los

lados y las medidas de los ángulos de cualquier triángulo. La trigonometría se usa sobre todo para medir distancias inaccesibles: aquellas que no

podemos medir directamente. Por ejemplo en astronomía en cartografía... En este apartado vamos a definir los conceptos seno, coseno y tangente de un ángulo y a

ver qué tipo de relación existe entre ellas. También veremos problemas cotidianos que se resuelven muy fácilmente mediante la

trigonometría. Dado un ángulo agudo cualquiera αααα, si lo corto con una perpendicular a un lado de

los que delimitan el ángulo, obtenemos un triángulo rectángulo. Por el teorema de Thales, da igual a qué distancia tracemos dicha perpendicular las razones van a ser iguales.

α

Al ser fijas las razones sólo dependen del ángulo. Por lo tanto podemos dar una definición para las razones entre los catetos y las razones cateto-hipotenusa, independientemente de por dónde cortemos el ángulo. Llamamos x al cateto contiguo a αααα (el cateto que toca dicho ángulo) y al cateto opuesto y r a la hipotenusa. r y αααα

x

CONCEPTOS PREVIOS

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

-31-

Ejemplos 1

1. Calcula el seno de α en el siguiente triángulo: 4

2

α No hemos puesto el valor del cateto contiguo porque, según la definición, no lo necesitamos.

senαααα=y/r=2/4=1/2 Más adelante veremos que si el seno es 1/2, el ángulo agudo es 60º.

2. Calcula el seno en el siguiente triángulo:

5 3

En este caso no sabemos el cateto opuesto, pero lo averiguamos por el teorema de Pitágoras: r2=x2+y2 ⇒ 52=32+y2 ⇒ 25=9+y2 ⇒ y2=25-9=16 ⇒ y=4

senαααα=4/5

Ejemplos 2

1. Calcula el coseno del siguiente ángulo: 4

αααα 3

No nos hace falta conocer el cateto opuesto. cosαααα=x/r=3/4

El seno de un ángulo agudo αααα es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa de cualquier triángulo

rectángulo que se forme a partir de α.

senαααα=r

y

Se define el coseno de un ángulo agudo αααα como el cociente entre el cateto contiguo y la hipotenusa de cualquier

triángulo rectángulo formado por α

cosαααα=r

x


--32-

2. Calcula el coseno del siguiente ángulo: 50 30 α No conocemos el valor del cateto contiguo, pero lo podemos averiguar mediante el teorema de Pitágoras:

r2=x2+y2 ⇒ 502=302+y2 ⇒ 2500=900+y2 ⇒ y2=2500-900=1600 ⇒ y=40 cosαααα=40/50=4/5

Obsérvese que en ambas razones el numerador es un cateto y el denominador es la hipotenusa. Como la hipotenusa es el lado más grande en un triángulo rectángulo, el numerador es más pequeño que el denominador, lo cual significa que tanto el seno como el coseno son valores más pequeños o iguales que uno.

Ejemplos 3

1. Calcula la tangente del siguiente ángulo:

4 α 10 No nos hace falta conocer la hipotenusa:

tgαααα=y/x=10/4=5/2

2. Calcula la tangente del siguiente ángulo:

2 1 Nos hace falta conocer el otro cateto. Aplicamos el teorema de Pitágoras:

r2=x2+y2 ⇒( 2 ) 2=x2+12 ⇒ 2=x2+1 ⇒ x2=2-1=1 ⇒ x=1 tgαααα=1/1=1

Más adelante veremos que si la tangente vale 1, el ángulo mide 45º.

Dado un ángulo α, se define la secante como el inverso del coseno (secαααα=1/cosαααα), la cosecante como el inverso del seno (cosecαααα=1/senαααα) y la cotangente como el inverso de la tangente (cotgαααα=1/tgαααα)

Se define la tangente de un ángulo agudo αααα como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo de cualquier

triángulo rectángulo formado por α

tgα=x

y

-33-

Vamos a calcular las razones trigonométricas de los ángulos más comunes. La escuadra es un triángulo rectángulo isósceles. Esto quiere decir que tiene dos

ángulos y dos catetos iguales. Sea x el valor del cateto y αααα el valor del ángulo agudo. Como para calcular las razones trigonométricas es independiente a qué distancia tracemos la perpendicular, podemos suponer que la hipotenusa mide 1.

x 1 αααα αααα x Por el teorema de Pitágoras:

x2+x2=12=1 ⇒ 2x2=1 ⇒ x2=1/2 ⇒ 2

2

2

1

2

1

2

1 ====x

Por otra parte, como la suma de los ángulos de un triángulo suma 180º: 90º+αααα+αααα=180º ⇒ 90º+2α=180º ⇒ 2α=180º-90º=90º ⇒ αααα=90º/2=45º

Aplicando la definición de razones trigonométricas:

sen45o=y/r=x/1=2

2

cos45o=x/r=x=1=2

2

tg45o=y/x=1/1=1 De la misma forma se puede obtener las razones de 30º y 60º. Quedándonos la

siguiente tabla: 0o 30º 450 60o 90º

sen 0 1/2

2

2

2

3

1

cos 1

2

3

2

2

½ 0

tg 0

3

3

1 3 No existe

A veces necesitamos saber el valor de un ángulo conocida su razón trigonométrica. Si es una

de las razones de la tabla lo podemos hacer mentalmente. Si no, utilizamos la calculadora científica, en ella tenemos la tecla del seno (SIN), la del coseno (COS) y la de la tangente (TAN). Encima de ellas está:

Encima del seno, el arcoseno (arco cuyo seno vale) SIN-1. Encima del coseno, el arcocoseno (arco cuyo coseno vale) COS-1. Encima de la tangente, la arcotangente (arco cuya tangente vale TAN-1. Para saber el ángulo, metemos la razón que conocemos, le damos a la tecla de segunda

función (SHIFT, 2ND, o INV según la calculadora) y la tecla correspondiente.

A. V.


--34-

Por la misma definición de las razones trigonométricas, podemos sacar algunas

fórmulas que nos permiten, sabiendo una de las razones, conocer las restantes. r y αααα x senα=y/r ⇒ senα/cosα=(y/r):x/r=y·r/(x·r)=y/x cosα=x/r ⇒ tgαααα=senαααα/cosαααα tgα=y/x La tangente de un ángulo es el cociente entre el seno y el coseno del

mismo. sen2α+cos2α=(y/r)2+(x/r)2=y2/r2+x2/r2=(y2+x2)/r2 ⇒ sen2αααα+cos2αααα=r2/r2=1 Por el teorema de Pitágoras: x2+y2=r2

Acabemos de demostrar el teorema fundamental de la trigonometría. Con el teorema fundamental y la fórmula de la tangente, también se puede

demostrar la siguiente fórmula.

Gracias a estas tres fórmulas, dada una razón trigonométrica, podemos conocer las

restantes.

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

El teorema fundamental de la trigonometría dice: el cuadrado del seno más el cuadrado del coseno de un mismo ángulo es igual

a la unidad. sen2αααα+cos2αααα=1

αα

22

tg1cos

1 +=

-35-

Ejemplos 1

1. Demuestra que 1/cos2α=1+tg2α. tgα=senα/cosα ⇒ 1+tg2α=1+(senα/cosα)=1+sen2α/cos2α=(cos2α+sen2α)/cos2α=1/cos2α

2. Halla las restantes razones trigonométricas de un ángulo agudo α, sabiendo que cosα=4/7

cos2α+sen2α=1 ⇒ (4/7)2+sen2α=1 ⇒ 16/49+sen2α=1 ⇒ sen2α=1-16/49=33/49 cosα=4/7 Haciendo raíz cuadrada y tomando sólo el valor positivo, porque las razones trigonométricas de un ángulo agudo son siempre positivas, obtenemos:

senαααα=7

33

tgα=senα/cosα=7

33

7

47

33

=

3. Demuestra las identidades: a) cotg2α=cos2α+(cotgα·cosα)2

cotgα=1/tgα =1:(senα/cosα)=cosα/senα ⇒ cotgα·cosα=(cosα/senα)·cosα=cos2α/senα ⇒ (cotgα·cosα)2=cos4α/sen2α cos2α+(cotgαcosα)2=cos2α+cos4α/sen2α cos2α+(cotgαcosα)2 =(cos2αsen2α+cos4α)/sen2α=cos2α(sen2α+cos2α)/sen2α Por el teorema fundamental: sen2α+cos2α=1 ⇒ cos2α+(cotgαcosα)2=cos2α/sen2α=cotg2α El signo de las razones trigonométricas depende del cuadrante donde se encuentre situado el ángulo. En este caso, el seno sube, y el coseno se desplaza hacia la sen derecha: ambos son positivos. En este caso, el seno sube, y el coseno se desplaza hacia la sen izquierda: el seno es positivo y el coseno es negativo. En este caso, el seno baja, y el coseno se desplaza hacia la izquierda: el seno es negativo y el coseno es negativo. sen

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA

cos

cos

cos


--36-

Análogamente podemos ver que en el cuarto cuadrante el seno es negativo y el coseno es positivo. Como la tangente es el cociente entre el seno y el coseno, será positiva en los cuadrantes donde seno y coseno tengan el mismo signo y negativa en los restantes. mas → todo positivo sen → positivo sólo el seno sen mas tg → positiva sólo la tangente cos → positivo sólo el coseno tg cos

Ejemplos 2

1. Los rayos solares forman un ángulo de 30º con el suelo. Calcula la altura del árbol, sabiendo que la sombra mide 6 m.

y

30º 6 m tg 30º=y/6

tg 30º=3

3

2. Un triángulo tiene por lados 6 cm, 8 cm y 10 cm. Halla las razones trigonométricas del

ángulo menor. El triángulo es rectángulo, ya que verifica el teorema de Pitágoras:62+82=102 10 6 α 8 El ángulo menor siempre es aquel formado por la hipotenusa y el cateto mayor.

sen αααα=6/10=3/5 ⇒ cosecαααα=5/3 cosαααα=8/10=4/5 ⇒ secαααα=5/4 tgαααα=6/8=3/4 ⇒ cotgαααα=4/3

3. Sabiendo que cosα=-3/5 y que está en el tercer cuadrante (180º<α<270º) calcula las restantes razones trigonométricas

Por el teorema fundamental: sen2α+cos2α=1 ⇒ sen2α+(-3/5)2=1 sen2α+9/25=1 ⇒ sen2α=1-9/25=16/25 Para calcular el seno hay que hacer la raíz cuadrada, tomando el signo negativo ya que estamos en el tercer cuadrante,

senαααα=-4/5 tgαααα=senα/cosα=(-4/5):(-3/5)=4/3

-37-

1. La sombra de un árbol es de 40 m y el ángulo que forman los rayos del sol con el suelo es de 60º. ¿Cuál es la altura del árbol?

Resolución: vamos a hacer un dibujo para ayudarnos 40 m

y

Queremos saber y (el cateto opuesto) y sabemos que el cateto contiguo mide 40 m. La razón trigonométrica que nos relaciona ambos catetos es la tangente. tg60o=y/x=y/40

tg600= 3202

340

402

3

402

3 ==⇒=⇒= yyy

m

2. Una cometa está unida al suelo por un hilo de 100 m, que forma con la horizontal del

terreno un ángulo de 60º. Suponiendo que el hilo esté tirante, halla la altura de la cometa.

Resolución: sabemos la hipotenusa y queremos saber el cateto opuesto (la altura). La razón que une ambas medidas es el seno. 100 y 60o sen60o=y/100

3502

3100

1002

3

1002

360sen ==⇒=⇒== y

yyo m

1. Demuestra la identidad:

αααα

4222

cos·cossensec

1 +=

2. Demuestra la identidad: cotgα·secα=cosecα

PROBLEMAS RESUELTOS/PROPUESTOS

60o


4 Eso Geometria Trigonometria

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