121_APUNTES TRIGONOMETRIA 4%C2%BA ESO

8/14/2019 121_APUNTES TRIGONOMETRIA 4%C2%BA ESO

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Departamento de Matemticas

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TRIGONOMETRA

Construccin de un aparato medidor de ngulos

Se llama lnea de visin a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con ellugar observado. Llamamos ngulo de elevacin al que forman la horizontal delobservador y el lugar observado cuando ste est situado arriba del observador. Cuandoel observador est ms alto lo llamaremos ngulo de depresin.

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO AGUDO

Tangente de un ngulo

Marta, que vive en primera lnea de playa, observa un hidropedal averiado bajo unngulo de depresin de 10. Ella estima que la altura de su apartamento es de 20 m yque la distancia del portal a las olas es de 15 m.


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Como desea conocer lo que deben nadar sus ocupantes hasta alcanzar la costa, con laayuda de un transportador de ngulos dibuja un tringulo semejante y, posteriormente,mide sus catetos. Por ser proporcionales con el tringulo real, Marta consigue averiguarlo que deban nadar sus ocupantes para alcanzar la playa.

Realiza en tu cuaderno la proeza de Marta.

Definicin

Consideremos un ngulo agudo cualquiera y tracemos una perpendicular por susemirrecta base obteniendo el tringulo ABC, llamaremos tangente de A a la raznBC/AC.

El Teorema de Thales garantiza que el lugar por el que trazamos la perpendicular esindiferente para el clculo de la tangente:

En general, sobre un tringulo rectngulo, diremos que la tangente del ngulo es la

razn cateto opuesto/cateto contiguo.


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De igual manera diremos que el coseno del ngulo es la razn catetocontiguo/hipotenusa y que el seno de ste es cateto opuesto/hipotenusa.

Tambin se utilizan las inversas de la tangente, el coseno y el seno, que se llamanrespectivamente cotangente, secante y cosecante:

A la tangente, coseno, seno y a sus inversas se las llama razones trigonomtricas delngulo "

Estima, sirvindote de un transportador de ngulos y midiendo segmentos en loscorrespondientes dibujos, las razones trigonomtricas de los ngulos de 40 y60.

Obtencin de las razones trigonomtricas mediante la calculadora

Anteriormente hemos estimado las razones de los ngulos mediante la medida desegmentos. La imprecisin de la medida provoca que se obtengan valores con pocaexactitud. Existen tcnicas matemticas que permiten conocer con suficiente finura elvalor de la tangente, el coseno y el seno de un ngulo, pero no se estudian en este curso.No obstante, puedes hacer uso de tu calculadora para obtener una buena estimacinutilizando la teclas TAN, COS y SIN.

Pasos para hallar el valor de la tangente del ngulo de 40:

40 TAN = 0.8390996.

En otros modelos de calculadora se pone TAN en primer lugar y despus se introduce40.


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Tambin es posible, conocida la tangente del ngulo, averiguar el ngulo del que setrata. Supongamos que la tangente de un ngulo vale 2.75:

2.75 TAN-1 = 70.016893, se trata de un ngulo 70 aproximadamente. En otrascalculadoras se introduce 2.75 despus de TAN-1.----------------------------------------------------------------------------------------

Si Marta hubiera estudiado la tangente y dispuesto de una calculadora, no tendra quehaber recurrido al dibujo para calcular la distancia del hidropedal hasta el portal de sucasa:

tg(80)=x/20; x=20. tg(80)=20 . 5'6712818 =113'42 m aproximadamente.

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APLICACIONES

1) Estimacin de la distancia Tierra-Luna


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Ya conoces que el radio lunar es de 1738 Km. Se puede comprobar que si observamosla Luna desde la Tierra, contemplamos su disco bajo un ngulo de medio grado.

Si a x, que es la distancia hasta el centro de la Luna, le quitamos los 1738 Km del radioobtendremos un valor estimado de la separacin entre Tierra y Luna de 396579 Km..(Sin salir de casa hemos podido tener una idea aproximada de lo lejos que estamos de laLuna. Se ha podido conocer, mediante el envo de rayos lser, que la distancia mediahasta la superficie lunar es de 384403 km)

2) Estimacin de la distancia Tierra-Sol

Aristarco (s. III a. J.), clebre astrnomo de Alejandra, intent calcular cuntas vecesera mayor la distancia de la Tierra respecto del Sol que de la Luna. Cuando observamosla Luna en cuarto creciente las lneas Tierra-Luna y Luna-Sol forman un ngulo de 90.Aristarco midi el ngulo que formaba la tierra con la Luna y el Sol estimando su valoren 87.

De esta forma:

Aristarco obtuvo que la distancia de la Tierra hasta el Sol era unas veinte veces mayorque hasta la Luna. Si sustituimos el valor (T-L) comentado anteriormente, obtenemosuna distancia solar de 7344920 Km.

Volviendo con nuestro astrnomo, faltaba comentar que cometi un pequeo error almedir el ngulo cuyo valor real se aproxima bastante a 89 50'. Esta pequea diferenciaen la medida del ngulo se tradujo en una gran diferencia respecto de la verdaderaseparacin Tierra-Sol

Con mayor precisin se ha podido establecer que el Sol dista unos 150 millones de Km.Como recordars, a este valor se le llama unidad astronmica (UA).


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3) Mediciones

Se desea construir un puente sobre un ro, que mide 10 m de ancho, de manera quequede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan unainclinacin de 20E. Cul debe ser la longitud de la baranda?, a qu distancia del caucese situar el comienzo de la rampa?

la baranda es de unos 21 m y 70 cm.

La escalera comienza a unos cinco metros y medio del cauce.

4) Clculo de alturas

Se desea calcular la altura de la torre, para ello se miden los ngulos de elevacin desdelos puntos A y B. Con los datos dela figura tenemos que:

Si despejamos h en las dosigualdades e igualamos tenemos:

(10+x)0'839=1'96x; 8'39+0'839x=1'96x; 8'39=1'121x; x=7'484 m, aproximadamente.

h=7'4841'96=14'668. La torre mide unos 14 metros y medio de alto.

Halla la altura del puente, sabiendo que tiene 17 m de largo.


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PROPIEDADES

Consideremos el tringulo rectngulo de la figura:

1) En todo tringulo rectngulo la hipotenusa es mayor que los catetos, si consideramosla definicin del seno y el coseno es evidente que:

0 < cos "


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4) Demostremos que

:

5) Diremos que " y $ son complementarios si "+$=90E. Esto ocurre con los ngulosagudos de un tringulo rectngulo.

Podemos observar en la figura anterior que el cateto contiguo a " coincide con elopuesto a $ y que la hipotenusa es comn a ambos ngulos, por lo tanto cos " = b/c =sen $. De igual manera tenemos que

Qu relacin existe entre las tangentes de " y $?

Actividad resuelta

De un ngulo agudo " sabemos que su seno vale 0'8. Hallar el coseno y latangente: . Sustituyendo:

; . Tomando races,

Aunque es conveniente que conozcas muy bien el procedimiento anterior, tambin esposible resolver el problema con la ayuda de la calculadora:

0'8 = 53.130120, nos devuelve el valor aproximado del ngulo cuyo seno vale 0'8.

A continuacin slo queda hallar su coseno y su tangente con la propia mquina.

De un ngulo " sabemos que su tangente vale 7'3. Hallar, utilizando la propiedad4, el coseno y el seno del ngulo.

CLCULO EXACTO DE LAS RAZONES DE LOS NGULOS DE 45 30 y60

La calculadora aporta un valor aproximado de las razones de un ngulo con un errormuy pequeo. No obstante, cuando operamos con valores aproximados, los errores

aumentan despus de cada operacin y conviene por ello conocer su valor exacto.


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Clculo de las razones trigonomtricas del ngulo de 45.-

Como el tringulo es issceles, los dos catetos son iguales.

Clculo de las razones trigonomtricas de los ngulos de 30 y 60.-

Si construimos el tringulo auxiliar sealado en trazo discontinuo, obtenemos untringulo equiltero de lado c.

Por ser 60 complementario de 30:

Se puede obtener el valor preciso de muchos ms ngulos mediante el empleo defrmulas trigonomtricas que no estudiars este curso.

LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD

Se llama circunferencia unidad (S1) a la que tiene su centro en el origen de coordenadas

y cuyo radio es la unidad.


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En la figura observamos que el ngulo " determina un punto P(x,y) sobre lacircunferencia.

sen ".= cateto opuesto / hipotenusa = y / 1 = y

cos ".= cateto contiguo / hipotenusa = x / 1 = x

tg ".= cateto opuesto / cateto contiguo = y / x.

Determinacin geomtrica de la tangente

La tangente coincide con la longitud del segmento t determinado por el ngulo sobre lasemirrecta del dibujo. Qu ocurre cuando el ngulo se acerca a 90? Comprubalo conla calculadora.

Razones trigonomtricas de un ngulo cualquiera

Para los ngulos agudos severifica que el coseno y elseno se determinan mediante

el punto que definen sobre S1

,


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esto nos va a permitir definir sobre un ngulo cualquiera, no necesariamente agudo, elcoseno como la primera coordenada (abscisa) del punto asociado y el seno como lasegunda coordenada (ordenada) del mismo.

Ejemplo: estimacin de las razones trigonomtricas del ngulo de 120.Su seno est alrededor de 0'87 y su coseno de -0'5.La calculadora confirma el valor delcoseno y da un valor del seno igual a 0'86602...

Tg 120 = sen 120 / cos 120 = -1'732...

Estima, utilizando la plantilla del final del captulo, las razones trigonomtricasde los ngulos de 220 y 295.

Signo de las razones en funcin de los cuadrantes: es el signo de las coordenadas delpunto determinado por el ngulo.

Observa los puntos que determinan sobre lacircunferencia unidad los ngulos de 0,90,

180 y 270, y calcula el valor de sus senos ycosenos. Dibuja dos ngulos cuyo seno valga 0'4. Sobre la circunferencia unidad, dibuja:

dos ngulos cuyo seno sea -0'7.

dos ngulos cuyo coseno sea 0'5.

dos ngulos cuya tangente valga 3.

Comentarios a las propiedades


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1) El seno y el coseno de un ngulo cualquiera no pueden ser mayores que 1 ni menoresque -1.

2) Si en la propiedad fundamental despejamos el seno, tenemos que

dependiendo el signo del cuadrante al que pertenezca el ngulo.Igual ocurrir con

.

La misma precaucin se tomar cuando trabajemos con la igualdad .

Lo anterior sigue permitiendo calcular las razones trigonomtricas de un ngulo, sabidauna de ellas y el cuadrante que ocupa.

De un ngulo del segundo cuadrante, sabemos que su seno vale 1/5. Hallar sucoseno y su tangente.

De un ngulo del cuarto cuadrante sabemos que su tangente vale -2'8. Calcula suseno y su coseno.

Reduccin al primer cuadrante

Veamos cmo es suficiente conocer las razones trigonomtricas de los ngulos del

primer cuadrante para determinar las del resto de ngulos.

ngulos del 2 cuadrante


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En la figura puedes observar que si al ngulo " le aadimos el $ completamos un sectorde 180:

"+$=180, o dicho de otra manera, $=180-". Cuando dos ngulos suman un llano sedir que son suplementarios.Del dibujo es posible deducir que se verifican las siguientes relaciones:

cos " = - cos (180- ") sen " = sen (180- ")

De acuerdo con lo anterior, se deduce que tg " = - tg (180- ").

Calcula con exactitud, relacionndolos con sus suplementarios, las razonestrigonomtricas de los ngulos de 120, 135 y 150.

ngulos del tercer cuadrante

Si a un ngulo " del tercer cuadrante le restamos un llano, obtenemos otro ngulo $ delprimer cuadrante: $="-180.

Del dibujo se desprenden las siguientes relaciones:

cos " = - cos (" - 180) sen " = - sen (" - 180)

De acuerdo con esto, se tendr que tg " = - tg (" -180).

Basndote en lo anterior, calcula con exactitud las razones de los ngulos de210, 225 y 240.

Observa el dibujo de abajo y encuentra las relaciones entre las razonestrigonomtricas de un ngulo "del cuarto cuadrante" y el ngulo $=360- ".Determina, a continuacin, las de los ngulos de 300, 315 y 330.


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Determina el valor de los ngulos ", $ y (.

ngulos positivos y negativos Hasta ahora slo hemos considerado ngulos "sin orientar" . Cuando interese resear elsentido de un giro se dotar de signo al ngulo correspondiente.

Se consideran positivos los ngulos cuyo sentido de giro sea contrario al de lasmanecillas del reloj.

Trabajando con la calculadora

Si deseamos conocer el valor aproximado del ngulocuyo seno vale -0'6, procedemos de la forma que yaconoces: -0.6 SIN-1 = -36'8698 : la calculadora


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responder que se trata de un ngulo de -37, aproximadamente.

Para hallar un ngulos positivo con igual seno se resta 37 a 360 y obtenemos el ngulode 323. A continuacin, slo hay que determinar el otro ngulo positivo con igual senoque el anterior.

Estima el ngulo del tercer cuadrante cuyo seno vale 0'56. Estima los ngulos cuya tangente vale -1'5.Dibjalos. Estima el ngulo del tercer cuadrante cuyo coseno vale -0'156.

Otras actividades:

Comprueba que las igualdades cos " = - cos (180- ") sen " = sen (180- ") Sabiendo que " es positivo, resuelve las ecuaciones:

sen " = sen 35 cos " = cos (-115)

cos " = cos 20 tg " =tg 36

sen " = sen 310 tg " = - tg 25

cos " = cos 145. sen " = sen (-25)

Medida de un ngulo en radianes

Todo ngulo inscrito en una circunferencia,

determina un arco sobre sta.

Es posible demostrar que se verifica que, es decir,que el cociente entre el arco determinado y el radio de la circunferencia es siempre elmismo. Diremos que este valor es la medida del ngulo en radianes.

En particular, el ngulo que mide 1 radin es aquel que tiene el arco con la mismalongitud que el radio. Posteriormente calcularemos su valor en grados.

Un ngulo de 360 determina un arco igual al permetro de la circunferencia, si

sustituimos en la expresin anterior tendremos que su medida es radianes.

Consideremos un ngulo cualquiera que mida g grados:


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Lo anterior nos relaciona la medida de un ngulo en radianes (r) y en grados (g).

En particular, si sustituimos r por 1 y despejamos g, veremos que1 radin equivale a57'3 aproximadamente.

Halla el valor en radianes de los ngulos de 30, 45, 60, 90,180 y 270. Un ngulo determina, sobre una circunferencia de radio 10 cm, un arco de 29

cm. Calcula su valor en grados. Averigua la longitud del arco que describe un ngulo de 110 sobre una

circunferencia de radio 20 m.


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