003 - Geometria y Trigonometria

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Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación GUÍA 2 - CIENCIAS 34 DEFINICIÓN Se denomina circunferencia al lugar geométrico de todos los puntos de un plano cuya distancia a otro punto del mismo plano llamado centro, es constante. Esta longitud constante se denomina radio. Centro : O Radio : OP , OP = R Cuerda : CD Diámetro : AB , AB = 2R Secante : m Tangente : n Arco : CD, CTD Flecha o Sagita : MH Punto de tangencia: T Longitud de la Circunferencia : 2 R Área del círculo : R 2 = 3.1416 ó = 22/7 CÍRCULO Es aquella superficie plana determinada por la unión de una circunferencia y su región interior. PROPIEDADES 1. Si: L es tangente OT es radio Entonces: OT L ; = 90° 2. Si: O es centro ON AB Entonces: AM = MB ; mAN = mNB 3. Si: PA y PB son tangentes y O es centro. Entonces: PA = PB ; = Nota Inradio: Radio de la circunferencia inscrita. Circunradio: Radio de la circunferencia circunscrita. TEOREMA DE PONCELET En todo triángulo rectángulo la suma de las longitudes de los catetos es igual a la suma de las longitudes de la hipotenusa y el diámetro de la circunferencia inscrita. Se cumple: TEOREMA DE PITHOT En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de dos lados opuestos es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados. Se cumple: POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS COPLANARES Circunferencias Exteriores O 1 O 2 > R + r Circunferencias Tangentes Exteriores O 1 O 2 = R + r O A B C D M H R P m n T A B P O C A B a b c r a + b = c + 2r a + c = b + d A B C D a b c d O 1 13 O 2 r A M O N B L T O O 1 O 2 R r

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GUÍA 2 - CIENCIAS 34

DEFINICIÓN Se denomina circunferencia al lugar geométrico de todos los puntos de un plano cuya distancia a otro punto del mismo plano llamado centro, es constante. Esta longitud constante se denomina radio. Centro : O

Radio : OP , OP = R

Cuerda : CD

Diámetro : AB , AB = 2R

Secante : m

Tangente : n

Arco : CD, CTD

Flecha o Sagita : MH

Punto de tangencia: T Longitud de la

Circunferencia : 2 R

Área del círculo : R2

= 3.1416 ó = 22/7

CÍRCULO Es aquella superficie plana determinada por la unión de una circunferencia y su región interior. PROPIEDADES 1.

Si: L es tangente

OT es radio

Entonces:

OT L ; = 90°

2. Si: O es centro ON AB

Entonces:

AM = MB ; mAN=mNB

3. Si: PA y PB son tangentes y O es centro.

Entonces: PA = PB ; = Nota Inradio: Radio de la circunferencia inscrita. Circunradio: Radio de la circunferencia circunscrita. TEOREMA DE PONCELET En todo triángulo rectángulo la suma de las longitudes de los catetos es igual a la suma de las longitudes de la hipotenusa y el diámetro de la circunferencia inscrita.

Se cumple: TEOREMA DE PITHOT En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de dos lados opuestos es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados.

Se cumple:

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS COPLANARES Circunferencias Exteriores

O1 O2 > R + r Circunferencias Tangentes Exteriores

O1 O2 = R + r

O A B

C

D M

H R P

m n

T

A

B

P

O

C

A B

a b

c

r a + b = c + 2r

a + c = b + d

A

B C

D

a

b

c

d

O1

13

O2

r

A M

O

N

B

L

T O

O1 O2

R

r

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Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

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GUÍA 2 - CIENCIAS

Circunferencias Secantes

R – r < O1 O2 < R + r

Circunferencias Tangentes Interiores

O1 O2 = R – r

Circunferencias Interiores Circunferencias Concéntricas

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 1. Angulo Central: 2. Angulo Inscrito

AB x AB 2x

3. Angulo Seminscrito 4. Angulo interior

AB 2x

AB BCx

2

5. Angulo exterior

AB BCx

2

AB BCx

2

6. Angulo exterior formado por dos tangentes

AE BE

180º

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1

1. En un triángulo rectángulo de semiperímetro igual a 32 unidades, el radio de la circunferencia inscrita mide 6 unidades. Calcular la longitud de la hipotenusa.

2. El perímetro de un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia

es 20 y el lado menor mide 3. ¿Cuánto mide el lado mayor? 3. En un triángulo se encuentra inscrita una circunferencia. Hallar

la menor distancia de un vértice a un punto de tangencia, si los lados del triángulo miden 12; 18 y 20.

4. En la figura el perímetro

del triángulo ABC es 40 m y el lado AB = 8 m. Calcular TC.

5. Se tiene una circunferencia cuyo diámetro mide 20. Calcular la longitud de la flecha correspondiente al menor arco determinado por una cuerda MN, si MN = 16.

6. Un diámetro divide a una cuerda en 2 segmentos que miden 14

3 y 2 3 cm. ¿Cuál es la medida del radio, sabiendo que del

centro de la circunferencia a la cuerda hay una distancia de 8 cm?

7. Las bases de un trapecio isósceles miden 16 y 36 unidades.

¿Cuánto mide el radio de la circunferencia tangente a los cuatro lados del trapecio?

8. Los diámetros de dos circunferencias miden 13 cm y 27 cm. Si

la distancia entre los centros es de 25 cm, calcular la longitud de la tangente común interior a ambas circunferencias.

xºO

A

B P

A

Bxº

A Bxº

A

B

C

D

AD

CB

A

C

B

A

B

Eº º

r R

O

O1 O2 < R – r

O1 O2 = 0

P Q

T

B

A C

O1

R

O2

r

O1

R

O2

r T

R r

O1 O2

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Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

GUÍA 2 - CIENCIAS 36

9. Del gráfico la diferencia entre los perímetros de los triángulos ABC y QPC es 12 y el perímetro del cuadrilátero ABPQ es 18 .

Hallar PQ. 10. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza la altura

BH , si la distancia entre los pies de las bisectrices de los

ángulos ABH y HBC miden 4 m, calcular el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC.

TAREA 1

1. En la figura: AB = 2 cm y CD = 10 cm. Hallar BC.

A) 8 cm B) 10 cm C) 12 cm D) 14 cm E) 24 cm

2. Calcular la longitud del radio de la circunferencia inscrita en un

triángulo rectángulo cuyos catetos miden 15 m y 20 m. A) 10 m B) 2,5 m C) 5 m D) 4 m E) F.D.

3. La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 15. Calcular la suma de los diámetros de las circunferencias inscrita y circunscrita a dicho triángulo. A) 7,5 B) 15 C) 30 D) 45 E) N.A.

4. El perímetro de un triángulo rectángulo es 56 m y el radio del círculo inscrito es 3 m. Hallar el radio del círculo circunscrito. A) 14 m C) 16 m E) 12,5 m B) 6 m D) 12 m

5. En un triángulo rectángulo la hipotenusa y el inradio suman 12 . Hallar el perímetro del triángulo. A) 6 B) 12 C) 24 D) 18 E) 36

6. Se tiene un triángulo ABC, donde AC = 24, BC = 10 y AB = 26. ¿Cuánto mide el radio del círculo inscrito en dicho triángulo? A) 2 B) 4 C) 6 D) 3 E) 5

7. La suma de longitudes de los radios de las circunferencias inscritas y circunscrita a un triángulo rectángulo es 14. Si uno de los catetos mide 18, calcular la longitud del otro cateto. A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 12

8. Calcular el perímetro de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 10 y el inradio mide 2. A) 14 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24

9. Tres lados consecutivos de un cuadrilátero circunscrito miden 6, 8 y 11. Hallar la longitud del cuarto lado. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

10. Se circunscribe un cuadrilátero ABCD a una circunferencia, de modo que BC = 6, CD = 9 y AD = 12. Hallar AB. A) 9 B) 10 C) 8 D) 18 E) 22

11. En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia, cuyo punto

de tangencia con BC es M. Si AC = 10 y el perímetro del

triángulo es 42, hallar BM. A) 11 B) 12 C) 10 D) 13 E) 9

12. Se tiene una circunferencia inscrita a un triángulo ABC que es

tangente en “E” al lado AC . Hallar la medida de EC , si el

perímetro del triángulo mide 40 y AB = 8. A) 2 B) 10 C) 8 D) 6 E) 9

13. Un punto dista 8 m del centro de una circunferencia de diámetro 10 m. Hallar la distancia mínima del punto a la circunferencia. A) 1 m B) 2 m C) 3 m D) 4 m E) 5 m

14. Desde un punto que dista 9 m, de una circunferencia se traza una tangente que mide 15 m. Hallar la longitud del radio de la circunferencia. A) 5 m B) 8 m C) 9 m D) 10 m E) 14 m

15. Las distancias entre los centros de 3 circunferencias tangentes exteriores miden 12; 16 y 18. ¿Cuánto mide el radio menor? A) 5 B) 3 C) 7 D) 4 E) 6

16. En dos circunferencias tangentes interiores la distancia entre sus centros es 1 y el radio mayor mide 4. El radio menor medirá. A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 3 E) 3,5

17. Los diámetros de dos circunferencias miden 2,5x y 1,5x. Si la distancia entre sus centros es 2x, las circunferencias son: A) Exteriores B) Tangentes exteriores C) Concéntricas D) Secantes E) Tangentes interiores

18. La distancia que hay entre los centros de 2 circunferencias tangentes exteriores es 14 cm. Si la diferencia de los radios es 6 cm, ¿cuántos mide el radio menor? A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm D) 5 cm E) 6 cm

19. La distancia que hay entre los centros de 2 circunferencias tangentes interiores, es 6 cm. Si la suma de sus radios es 10 cm, ¿cuánto mide el radio mayor? A) 1 cm B) 2 cm C) 3 cm D) 4 cm E) 5 cm

20. La menor distancia entre 2 circunferencias exteriores es 2 cm, y la mayor distancia es 18 cm. ¿Cuál es la suma de las medidas de los radios de estas 2 circunferencias? A) 6 cm B) 8 cm C) 10 cm D) 12 cm E) 16 cm

21. Los radios de las circunferencias miden 8; 3 y 1. Hallar el perímetro del triángulo determinado por los centros.

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

22. Los radios de las circunferencias miden 3 y 1. M y N son los centros de las circunferencias y T es punto de tangencia. Hallar PT.

A) 3

B) 2 3

C) 4

D) 4 3

E) 5

A

B

C

Q

P

A

B

C

D

P

T

M N

Page 4: 003 - Geometria y Trigonometria

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

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GUÍA 2 - CIENCIAS

23. Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores entre sí de diferente tamaño; si las distancias entre sus centros son 12; 10 y 8 m respectivamente, ¿cuál es la longitud del radio mayor? A) 5 m B) 7 m C) 8 m D) 7,5 m E) F.D.

24. Desde un punto exterior a una circunferencia trazamos una

tangente que tiene la misma medida que el radio (7 2 cm).

¿Cuál es la distancia más corta del punto a la circunferencia?

A) 7 (2 – 2 ) cm B) 7 (2 + 2 ) cm C) 14 2 cm

D) 18 cm E) F.D.

25. En una circunferencia, una cuerda de 16 cm tiene una flecha de 2 cm. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia?

A) 15 cm B) 16 cm C) 15 3 cm

D) 17 cm E) 18 cm

26. En una circunferencia de radio 17, se puede trazar una cuerda que mide 16. ¿Cuánto mide la longitud de la flecha relativa a dicha cuerda?

A) 3 B) 5 C) 2 D) 3 E) 5

27. La distancia del centro de una circunferencia a una cuerda que mide 40, es igual a 21. ¿Cuánto mide el radio de dicha circunferencia? A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29

28. Indicar lo verdadero (V) o falso (F) según corresponda: - La tangente y la circunferencia tienen un solo punto en

común. - La secante a una circunferencia, determina una cuerda. - La distancia entre los centros de dos circunferencias

tangentes es siempre igual a la suma de las longitudes de los radios.

- Todo radio perpendicular a una cuerda, divide a dicha cuerda en partes congruentes.

A) V F F F B) V V V V C) F V V V D) V V F V E) V F V V

29. Hallar: “AM”, si: AB + CD = 86; BC = 24 y PD = 14.

A) 14 B) 24 C) 32 D) 36 E) 21

30. En la figura: AB = 5 ; AD = 4 y CD = 3 . Hallar BC.

A) 1

B) 2 C) 3

D) 4

E) N.A.

31. Hallar la medida del radio de la circunferencia inscrita en un trapecio isósceles cuyas bases miden 2 y 6 cm respectivamente.

A) 2 cm B) 2 cm C) 3 cm D) 3 cm E) F.D.

32. En un sector circular AOB de 60°, se inscribe una circunferencia

de longitud 4 . Calcular la longitud del arco AB.

A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

33. El ángulo de un sector circular es /4 radianes y su radio 16. Calcular la longitud de su arco. A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16

34. En una circunferencia, una cuerda de 8 cm y un radio se bisecan. La medida del radio es:

A) 3

43 cm B) 2 cm C) 2 3 cm

D) 3

38cm E)

3

3cm

35. Dada una circunferencia, se observa que dos cuerdas PQ y

RS se cortan perpendicularmente en un punto M, de modo

que PM = MS = 21 cm y además: RM = MQ = 3 cm. ¿Cuánto mide el radio de esta circunferencia? A) 10 cm B) 18 cm C) 15 cm E) 20 cm D) 25 cm

36. Se tiene dos circunferencias de diámetro congruentes que

miden 2 3 cm. Hallar la longitud de la tangente común

exterior, sabiendo que la distancia entre sus centros es 6 3

cm.

A) 6 3 cm B) 4 3 cm C) 8 cm

D) 4 cm E) 6 cm

37. ¿Cuál es la longitud de la tangente exterior común a las circunferencias tangentes exteriores de radios 12 y 27 m respectivamente? A) 32 m B) 38 m C) 30 m D) 40 m E) 36 m

38. Tres circunferencias de radio 1, 2 y 3 m son tangentes exteriores 2 a 2. Calcular el radio de la circunferencia que pasa por los puntos de contacto entre dichas circunferencias. A) 0,5 B) 1 C) 1,5 D) 2,5 E) N.A.

39. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 8 tomando

como diámetros dichos catetos se trazan semicircunferencias las cuales determinan los puntos “E” y “F” sobre la hipotenusa. ¿Cuál es la longitud de EF? A) 2 B) 1 C) 1,4 D) 1,5 E) 0

40. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), se traza la altura CH, las circunferencias inscritas en los triángulos AHC y HBC,

determinan en el lado AB los puntos P y Q. Calcular AC si CH

– PQ = 3. A) 6 B) 3 C) 12 D) 9 E) 15

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 2

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

1. Calcular mBM , si ABCD es un cuadrado.

A

B

C

D

T

P

M

O

A

B

C

D

A

B

C

M

D

Page 5: 003 - Geometria y Trigonometria

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

GUÍA 2 - CIENCIAS 38

2. En la figura el triángulo ABC es isósceles (AB = BC) y

m BCD = 20°, calcular mRB mAD .

3. Hallar “x” si + = 133°. “O” : centro. 4. Del gráfico; calcular: ° + ° si los polígonos sombreados son

regulares.

5. Si: TP = 4 y AB = 6, calcular mTL .

6. En la figura mostrada: mAB 140º y mCD 80º . Calcular

“x”. 7. Hallar “x”, si P = 50°.

8. Calcular “x”, sabiendo que: m BAC = 40°. 9. En la figura: AD = DE y m ABR = 25°. Calcular la m DCE (A y

C: puntos de tangencia). 10. Siendo A y B puntos de tangencia, hallar el valor de .

11. Se tiene un círculo y un semicírculo; donde A, B, C y F son

puntos de tangencia. Hallar el valor de x.

TAREA 2

1. Hallar el valor de x siendo O el centro de la circunferencia.

A) 80° B) 60° C) 40° D) 20° E) N.A.

A

B

C D

R

A

B

C

D E

R

°

°

A

T

B

L

P

O

A

B

C

D

x

A B

P

O

x

A

B

C

x

° °

A

B

O

C

D

x

A x°

C

B

O

80°

A

B

A

B

C

F

O1

x

Page 6: 003 - Geometria y Trigonometria

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

39

GUÍA 2 - CIENCIAS

2. En el cuadrilátero inscrito, ABCD, calcular x.

A) 15° B) 30° C) 45° D) 50° E) 60°

3. Los ángulos A, B y C de un cuadrilátero inscrito ABCD son proporcionales a los números 4, 3 y 5. Hallar la medida del ángulo D. A) 90° B) 100° C) 110° D) 120° E) 150°

4. Si: “O” es centro, hallar .

A) 100º B) 110º C) 115º D) 120º E) 150º

5. Hallar “x” si AB es diámetro.

A) 40º B) 60º C) 80º D) 100º E) 120º

6. En la figura, calcular (x + y).

A) 40º B) 60º C) 80º D) 160º E) N.A.

7. Si: B y C son puntos de tangencia, calcular .

A) 15º B) 25º C) 30º D) 45º E) 50º

8. Hallar “x”.

A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) N.A.

9. Hallar “x”.

A) 15° B) 30° C) 45° D) 60° E) 75°

10. En la figura el ángulo P mide 40°. El valor del ángulo AOB es (O

es centro):

A) 115° B) 50° C) 100° D) 120° E) 130°

11. Un cuadrilátero inscrito en una circunferencia tiene tres lados

iguales, cada uno de los cuales subtiende un arco de 80°. ¿Cuánto mide el mayor de los ángulos internos del cuadrilátero? A) 116° B) 150° C) 100° D) 120° E) 16°

12. En la figura, hallar “x”, si: m A + m C = 110°.

A) 70° B) 60° C) 55° D) 40° E) 35°

13. En la figura, hallar .

A) 30° B) 40° C) 60° D) 70° E) 80°

14. En la figura O es centro y B el punto de tangencia. Calcular x.

A) 26° B) 13° C) 39° D) 28° E) 32°

15. AE es tangente, mAB 150º . Hallar mBC .

A) 150° B) 120° C) 160° D) 135° E) N.A.

A

B

C x 20°

A

B C N

M x

A

B

C

x

A

F

M 2

A

B

C

O

20°

30°

A B

C D

E

x 50°

y

A B

C D

x 80°

50°

A

B

C

O A

B

C O

x 26°

A

B

C

E 50°

A

B

C

D

O P

A

C B

D

x

2x

Page 7: 003 - Geometria y Trigonometria

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

GUÍA 2 - CIENCIAS 40

16. Del gráfico, A, B, C y D son puntos de tangencia. Calcular “x”.

A) 20° B) 30° C) 35° D) 40° E) 45°

17. Si: mAB 140º y m APT = 50°; calcular x.

A) 25° B) 30° C) 35° D) 45° E) 50°

18. En la figura, hallar: A + B + D; si mBC 45º y mAE 55º

A) 80° B) 100° C) 130° D) 140° E) N.A.

19. Del gráfico, calcular “x”, siendo mAB mBC .

A) 80° B) 70° C) 60° D) 40° E) 50°

20. Calcular “x”, si O es centro.

A) 135° B) 155° C) 150° D) 145° E) 130°

21. En la figura, calcular x.

A) 60° B) 50° C) 40° D) 30° E) 45°

22. En la figura, calcular x, si O es centro, mAB 63º , además

EC AO .

A) 10° B) 12° C) 15° D) 18° E) 21°

23. En la figura mostrada BP es bisectriz, P es punto de tangencia.

Siendo mFB 40º , calcular el valor de x.

A) 40° B) 36° C) 30° D) 20° E) 15°

24. Hallar x.

A) 42° B) 38° C) 36° D) 33° E) 30°

25. Del gráfico, AB = BC y mBD 50º . Calcular “x”.

A) 40° B) 25° C) 50° D) 60° E) 30°

26. Del gráfico, calcular “x”.

A) 85° B) 95° C) 75° D) 65° E) 90°

27. Hallar .

A) 12° B) 15° C) 18° D) 21° E) 24°

A

C

B

D

x 3x 2x

A B P

T

x

50°

A B

C

D

E

x

A P

B

C

60°

80°

x

O

A

B

C

x

20°

80°

A

B

C

D E O

x

A

B

C

F

P x

x

156°

x

A

D

B

C

x

85°

95°

18°

Page 8: 003 - Geometria y Trigonometria

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

41

GUÍA 2 - CIENCIAS

28. En la figura, calcular x, si O es centro de la circunferencia. A) 45° B) 50° C) 55° D) 60° E) 70°

29. Del gráfico, C y T son puntos de tangencia. Hallar “x”.

A) 20° B) 22°30´ C) 15° D) 18° E) 30°

30. Del gráfico, calcular “x”.

A) 15° B) 18° C) 20° D) 22°30´ E) 24°

31. Hallar ° – °, si: MN//RS .

A) 80° B) 60° C) 90° D) 100° E) N.A.

32. En la figura BCDF es un paralelogramo BD//AE ; calcular la

m FEA, si: m CDF = 60°.

A) 15° B) 18° C) 30° D) 24° E) 16°

33. Si O y O1 son centros y mNB 80º , hallar mPM .

A) 100° B) 120° C) 130° D) 140° E) 160°

34. En la figura O1 y O2 son centros, tal que AB , es tangente.

Calcular: “ ”.

A) 45° B) 30° C) 34,5° D) 36° E) 37,5°

35. En la figura PF es tangente “M” es punto medio del arco AB.

Hallar “x”.

A) 90° B) 100° C) 110° D) 120° E) 130°

36. En la figura, hallar x.

A) 60° B) 30° C) 45° D) 80° E) 75°

TEOREMA DE THALES Tres o más rectas paralelas, determinan en una recta secante a ellas, segmentos que son proporcionales, a los segmentos determinados por las mismas rectas paralelas en cualquier otra secante a ellas.

Si: 321 L//L//L

Entonces: AB DE

BC EF=

A

B

C

D

E

F

L1

L2

L3

A

O B

C

x

40°

A B C

T

x

2x

A

B

C

O

x 6x

R S

M N O

° °

A

B

E

60°

C

D

F

A

N

B

M

P O

O1

A

B

O1

O2

A

B

F

x

P

M

40°

x

2x

Page 9: 003 - Geometria y Trigonometria

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

GUÍA 2 - CIENCIAS 42

COROLARIO

Si: 1 2 3L / / L / / L

por Tales: BM BN

MA NC

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR

En el ABC:

a m

c n=

TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR

En el ABC:

a m

c n=

TEOREMA DEL INCENTRO

En el ABC “I”: incentro

a c m

b n

+=

Definición: Dos triángulos son semejantes si sus ángulos interiores tienen igual medida respectivamente y sus lados homólogos son proporcionales. Los lados homólogos en triángulos semejantes, son aquellos lados opuestos a ángulos de igual medida. Notación: ABC MNQ

Símbolo de semejanza: se lee “es semejante”

Se cumple: AB BC ACK

MN NQ MQ

Donde: K es razón de semejanza Casos de semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes, si dos ángulos del primer

triángulo son de igual medida que dos ángulos del segundo triángulo respectivamente.

Si: m BAC = m NMQ y m ACB = m MQN

Entonces: ABC MNQ

Dos triángulos son semejantes, si un ángulo del primer

triángulo es de igual medida que un ángulo del segundo y los lados que los determinan son proporcionales respectivamente.

Si: m BAC = m NMQ y AB MN

AC MQ

Entonces: ABC MNQ

Dos triángulos son semejantes si los tres lados del primer

triángulo son respectivamente proporcionales a los tres lados del segundo triángulo.

A

B

C

M

L1

L2

L3

N

A

B

C D

c a

m n

A

B

C D

a c

m

n

A

B

C

I

a

b

c m

n

M Q

N

A

B

C

A

B

C

N

M Q

M Q

N

c

b A

B

C

ck

bk

Page 10: 003 - Geometria y Trigonometria

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

43

GUÍA 2 - CIENCIAS

Si: AB BC AC

MN NQ MQ Entonces: ABC MNQ

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 3

1. Hallar “x” en el trapecio. a) 1 b) 2 c) 3 d)9 e) 8

2. Hallar: “ED” ; ACED ; BD = 8 ; 3BE = 4EC

a) 8 b) 4 c) 3 d) 7 e) 6

3. Calcular “x” ; DEAB ; DG = 6 ; GC = 9

a) 5 b) 10 c) 7 d) 8 e) 4

4. Hallar “x” ; AB = 12 ; AC = 16 ; BC = 14

a) 3 b) 6 c) 4 d) 8 e) 10

5. Hallar “AB” ; BE = 4 y EC = 12

a) 4 b) 12 c) 6 d) 8 e) 10

6. Hallar “AB” ; BC = 7

a) 7 b) 14 c) 10 d) 8 e) 9

7. Hallar “x” ; AB = 3BC

a) 15 b) 10 c) 5 d) 20 e) 1

8. Hallar “x”

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 8

9. Hallar “AE” ; CE = 8 y 3

7

BD

BC

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 8

10. Calcular “BD” ; AB = 9 y BC = 4

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9

M Q

N

a c

b A

B

C

ck

bk

ak

x

1

81

x

A C

E D

B

D A G C

E

B

x

A C

B

D

x

A C

B

D

E

A C

B

A C B

B

x 5

3 2 x

A

B

D C

E

C

D A

B

Page 11: 003 - Geometria y Trigonometria

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

GUÍA 2 - CIENCIAS 44

11. Calcular “MN” ; AC = 60 ; 2NC = 3BN ; ACMN

a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 60

12. Hallar “AB” ; AD = 2 ; DC = 6

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13. Hallar “BQ” ; QD = 5 ; CP = 3PD

ABCD: Paralelogramo a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

14. Hallar “NC” ; AB//MN ; BN = 4 ; 6AB = 7MN

a) 8 b) 12 c) 16 d) 20 e) 24

15. Hallar “AD” ; BE = 3 y 3AM = 4MC

a) 6 b) 3 c) 9 d) 12 e) 15

TAREA DOMICILIARIA 1

1. La razón de dos segmentos es 3/5. Si uno de ellos mide 8 cm

más que el otro, ¿cuánto mide el segmento menor? A) 1 cm B) 12 cm C) 13 cm D) 9 cm E) 8 cm

2. En la figura, calcular AH + GB, si HI = IJ = JB, HE = 7 y CB = 8.

A) 42 B) 40 C) 28 D) 45 E) 43

3. Si: L1 // L2 // L3 // L4, calcular x.

A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 12

4. En la figura se tiene que EF//CD//AB . Calcular DF – BD.

A) 8,5 B) 7,5 C) 8,6 D) 7,6 E) 7

5. Del gráfico hallar “3m” si L1 // L2 // L3.

A) 2 B) 4 C) 6 D) 9 E) 12

6. Del gráfico calcular y – x si L1 // L2 // L3.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

7. Hallar x si AC + BD = 48.

A) 6 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

8. En la figura L1 // L2 // L3 . Hallar “x”

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) N.A.

B

M

A C

N

A C

B

D

A D

P Q

B C

B

M

A C

N

M

A

B E C

D

A B

C D

E F

G H

I

J

A

B

C

D

E

F

4 7

2x+1 5x–5

L1

L2

L3

L4

x+3

2x–5

L1

L2

L3

6

15

2m

3m+4

L1

L2

L3

x

y x–3

y+4

8

10

A

12

21

7

B

C

D

E

F

G

H

x

8

3

16

x

L1

L2

L3

Page 12: 003 - Geometria y Trigonometria

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

45

GUÍA 2 - CIENCIAS

9. En la figura: CF//BE//AD ; AC = 15, AB = 3, DF = 20. Hallar

DE.

A) 4 B) 5 C) 7 D) 5.5 E) N.A.

10. Hallar x, si L1 // L2 // L3.

A) 20 B) 15 C) 8 D) 10 E) 6

11. A partir del gráfico mostrado se pide calcular x, si PQ es

paralelo a BC y AD .

A) 2 B) 3 C) 1 D) 1/2 E) 2/3

12. En la figura L1 // L2 // L3 // L4. Hallar FH – EG, si EH = 27.

A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 12

13. En la figura, se cumple que: AO/2 = OB/3 = BC/4.

Halla MO, si MP = 45 y L1 // L2 // L3

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18

14. En la figura que se muestra, el segmento MN es paralelo a

AB , además: AM = 2MC y BN = 5 cm. ¿Cuántos mide NC ?

A) 3,5 cm B) 2,5 cm C) 1,5 cm D) 1 cm E) 3 cm

15. Considerando el gráfico anterior y asumiendo que BN excede a

NC en 2. Calcular NC, si además AM = 3 y MC = 2. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

16. Del gráfico calcular x si: 4(AB) = 3(BC); EF = 8.

A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

17. Si en el triángulo ABC de la figura AC//DE , entonces el

triángulo ABC es:

A) Escaleno B) Rectángulo C) Isósceles D) Equilátero E) Isósceles y rectángulo

18. Del gráfico, calcular: E = m.b

n.a

A) 1 B) 2 C) 3 D) 2/3 E) 3/2

19. Hallar AR, si AB = 6, BC = 8 y AC = 7.

A) 3 B) 2 C) 1 D) 3,5 E) 1,5

20. En un triángulo ABC si AB = 18; BC = 12 y AC = 15, se traza la

bisectriz BF . Calcular la longitud de AF .

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

21. En el triángulo ABC, donde 5

7

BC

AB se traza la bisectriz

interior BD . Si AD = 3,5, ¿cuánto mide DC ?

A) 2,5 B) 3 C) 3 D) 1,5 E) 3,5

L1

L2

L3

A

C

1,5

1 B

L4 D

E

F

G

H

2

L1

L2

L3

A

24 8

x+9

B

C

D

E

F

5

A

B C

D

E F x

a

b

m

n

R A

B

C

A

B

C

D E

5

1 x–1

x+3

A

B

C P

N

M

O

L1

L2

L3

A

B C

D

Q P

x

4 2 2

2

A

B

C M

N A

B

D

C

E

F

Page 13: 003 - Geometria y Trigonometria

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

GUÍA 2 - CIENCIAS 46

22. En el triángulo rectángulo ABC, BD es bisectriz del B,

AD = 8, DC = 10, entonces el lado BC mide:

A) 10 B) 8 C) 12 D) 16 E) 30

23. En un triángulo ABC, AB = 4, BC = 8 y AC = 6, se traza la

bisectriz exterior BE (E en la prolongación de CA ). Calcular

EA. A) 5 B) 4 C) 8 D) 2 E) 6

24. En un triángulo ABC, AB = 8, BC = 6 y AC = 7, se trazan las

bisectrices interior BD y exterior BE . Hallar DE:

A) 12 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24

25. En un triángulo ABC, AB = 6, BC = 9 y AC = 10. Se traza la

bisectriz interior BD y la exterior BE . Hallar la medida de

ED .

A) 14 B) 16 C) 10 D) 24 E) 26

26. En un triángulo ABC, sobre BC y AC se toman los

puntos P y Q respectivamente, de modo que AB//PQ .

Hallar QC – AQ, si BP = 5, PC = 7 y AC = 36. A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

27. Dado un triángulo rectángulo ABC recto en B, sobre el

cateto BC se toma un punto P desde el cual se traza PQ

perpendicular a BC (Q en AC ). Hallar QC, si AB = 12,

AC = 20 y BP = 4. A) 5 B) 10 C) 15 D) 16 E) 18

28. En un triángulo ABC se traza la bisectriz CF y luego por “F”,

una paralela a AC de modo que interseca a BC en Q. Hallar

BQ si BC = 6 y AC = 12. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

29. En un triángulo ABC se ubican los puntos M y N sobre AB y

BC respectivamente tal que MB = 1; BN = 2 y NC = 8. ¿Para

qué valor de AM, MN y AC son paralelas?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

30. Los lados AB y BC de un triángulo ABC miden

respectivamente 18 m y 30 m. Por un cierto punto M del lado

AB se traza una paralela que corta al lado AC en N. Si MN =

5m, ¿a qué distancia está M de A? A) 3 m C) 6 m E) 9 m B) 15 m D) 2,50 m

31. En un triángulo ABC, la bisectriz del A corta a BC en

M. Por M se traza una paralela al lado AB , la que cota a AC

en el punto N. Si MN = 3 m, MB = 1 m y MC = 6 m; el lado

AC mide:

A) 18 m C) 10 m E) 19 m B) 9 m D) 21 m

32. En un triángulo ABC: AB – AC = 2, BC – AB = 2 y BC + AC =

20. Calcular el mayor segmento que determina la bisectriz en el lado de mayor longitud.

A) 5,33 C) 4,25 E) 6,70 B) 6,67 D) 5,50

33. Los lados de un triángulo ABC miden BC = 6, CA = 8; AB = 4

respectivamente. Por un punto M de AB se traza la paralela

MN al lado BC . Hallar la longitud de AM de modo que el

triángulo MAN y el trapecio BMNC tengan igual perímetro. A) 3,5 B) 2,0 C) 1,5 D) 2,5 E) 3,0

34. En un triángulo ABC se trazan la bisectriz interior AD y la

ceviana BP que se cortan perpendicularmente. Si 3

1

PC

AP y

BC = 25, hallar BD. A) 4,5 B) 5 C) 6 D) 7,5 E) 10

35. En un triángulo acutángulo ABC, se trazan las bisectrices

interiores AQ y CP . Hallar QC, si AP = 2, PB = 3 y BQ = 4.

A) 7

17 B)

7

22 C)

7

32 D)

7

12 E)

7

18

36. Dado el triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD y la

mediana BM . Hallar: AC

DM, si

5

3

BC

AB

A) 4

1 B)

5

1 C)

8

1 D)

7

2 E)

9

1

PROYECCIÓN ORTOGONAL La proyección ortogonal de un punto sobre una recta es el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto hacia la recta. TEOREMAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

AH : proyección ortogonal de AB sobre AC

HC : proyección ortogonal de BC sobre AC

Teoremas

1. c2 = bm a

2 = bn

2. a2 + c

2 = b

2 3. ac = bh 4. h

2 = mn

A

B

C

a

b

c

h

H

m n

A B

C

D 2x+3

2x–3

Page 14: 003 - Geometria y Trigonometria

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

47

GUÍA 2 - CIENCIAS

TEOREMA DE LAS CUERDAS TEOREMA DE LAS SECANTES TEOREMA DE LA TANGENTE

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 4

1. Hallar: x + y + z

a) 42 b) 47 c) 49 d) 45 e) 43

2. Hallar: “x” a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

3. Hallar: x + y + z a) 13 b) 25 c) 17 d) 55 e) 65

4. Hallar: x

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

5. Hallar “x”; a x b = 36 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. Hallar: “x”

a) 3 b) 4 c) 6

d) 23

e) 33

7. Hallar: AB; 22AM ; AD = DC a) 2

b) 2

c) 22

d) 4

e) 24

8. Hallar: AB; BH = 2 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

A

B

C

D

P

a

b

x

y

A B

D

b

a

m

n

P

C

A

B

C

b

a

m

P

ab = xy

ab = mn

m2 = ab

x y z

9 16

3

2

7

x

12

5

x 24

7

y 15

8

z

2

3

x

32

a x b

4x

x

4 5

B

C A D

P

C A B H

M

B

C A D H

M

Page 15: 003 - Geometria y Trigonometria

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

GUÍA 2 - CIENCIAS 48

9. Hallar: “AB”; BH = 9; HC = 4 y MH = 2 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

10. Hallar “AP”; BH = 4; AF = 6 ABCD es un cuadrado

a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12

11. Hallar la mayor altura de un triángulo isósceles de lados: 8, 8 y 4.

a) 60 b) 8 c) 7 d) 6 e) 50

12. Hallar la menor altura del triángulo isósceles de lados 7, 7 y 8.

a) 22 b) 33 c) 44

d) 11 e) 55

13. Hallar: x a) 23 b) 24 c) 25 d) 26 e) 6

14. Hallar: “x”

a) 310

b) 6 c) 15 d) 20 e) 100

15. Hallar: b

a

a) 1/2 b) 2/9 c) 1/3 d) 9 e) 7

TAREA DOMICILIARIA 2

1. En la figura, la suma de las áreas de los cuadrados ABCD y

EFGC es 72 u2. Calcular la longitud de FA

A) 6u B) 9u C) 10u D) 8u E) 12u

2. En la figura, AB = 25; AH = 24 y HC = 30. Hallar HD.

A) 7,25 B) 8,75 C) 9,20 D) 6,25 E) 7,50

3. En la figura: EF EQ = 20; AE = 5 y AB = BC. Hallar la

longitud del segmento tangente CT.

A) 9

B) 9 3

C) 9 2

D) 9 5

E) 9 6

4. Los lados de un triángulo rectángulo tienen medidas que forman una progresión aritmética de razón igual a 1. Calcular la medida de la altura relativa a la hipotenusa. A) 1,2 B) 1,4 C) 1,6 D) 2,2 E) 2,4

5. Los lados menores de un triángulo rectángulo miden x y 3x+3,

el tercer lado mide 4x – 3. Calcular el perímetro del triángulo. A) 54 B) 56 C) 58 D) 60 E) 62

6. La hipotenusa de un triángulo mide 20 y la altura relativa a ella

mide 9,6. Calcular la medida del cateto mayor.

A) 18 B) 5 10

C) 16 D) 6 10

E) 12

7. Hallar AB.

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

8. Hallar BH.

A) 4 B) 6 C) 15 D) 5 E) 9

1 x

5

8 17

x

5

4 81

a b

A

B C

D

E F

G

A

B

C

D H

A

B

C

E

T

Q

F

x

A

B

C H 2 6

A

B

C H 3 12

M 2

B C

A D

H

P B C

A D

H

F

Page 16: 003 - Geometria y Trigonometria

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

49

GUÍA 2 - CIENCIAS

9. Hallar HB.

A) 9 B) 12 C) 16 D) 13 E) 10

10. Hallar PQ. A) 6 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15

11. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 12 cm. Hallar la altura relativa a la hipotenusa.

A) 13

60 B)

13

30 C)

13

15 D)

13

10 E)

13

20

12. La altura de un triángulo rectángulo determina en la hipotenusa segmentos de 9 y 16 . Calcular los catetos.

A) 15 y 20 C) 20 y 30 E) 30 y 40 B) 40 y 50 D) 50 y 60

13. Hallar R, OP = 8, ON = 15.

A) 16 B) 17 C) 18 D) 20 E) 23

14. Los lados de un triángulo miden 10 , 41 y 42 . ¿Cuánto hay

que disminuir cada lado para que el nuevo triángulo sea rectángulo? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

15. En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos están

en la relación de 4 a 5. Hallar la relación de dichos catetos.

A) 5

2 B)

5

2 C)

5

3 D) 5 E)

5

4

16. El perímetro de un triángulo rectángulo es 56 y la suma de los cuadrados de sus lados es 1 250. Hallar la longitud del menor lado.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 17. En un triángulo rectángulo, la suma de las longitudes de sus

catetos es 35. Calcular la longitud de la hipotenusa si la altura relativa a la hipotenusa mide 12.

A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 12 3

18. En un trapecio isósceles, calcular la longitud de la proyección

de una de sus diagonales sobre la base mayor, si la suma de las longitudes de sus bases es 10 cm. A) 2,5 cm B) 5 cm C) 7,5 cm D) 10 cm E) 6,5 cm

19. Los lados de un triángulo rectángulo están expresados por tres

números enteros consecutivos. Hallar la longitud de la proyección del lado mayor sobre el lado menor. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 2,5

20. La altura trazada del vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo mide 60 cm y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es de 25 cm. Hallar el perímetro del triángulo. A) 360 cm C) 380 cm E) 410 cm B) 370 cm D) 390 cm

21. Una rueda está apoyada en un ladrillo como muestra el gráfico.

Si: AB = 15 y BC = 9, entonces el radio de la rueda mide:

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 17

22. En la figura, calcular el radio de la circunferencia, sabiendo que el lado del cuadrado ABCD mide 16.

A) 6 B) 5 C) 8 D) 10 E) 12

23. Hallar PB; si AP = 4; PC = 9 y PD = 12.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

24. Hallar CD; si AB = 5, AF = 4 y FC = 3.

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

25. Hallar PT; si PA = 3 y AB = 9.

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

26. En un triángulo rectángulo, el producto de las medidas de los

catetos es 48 cm2; si la hipotenusa mide 10 cm, ¿cuánto mide

la altura relativa a la hipotenusa? A) 12/5 cm C) 24/5 cm E) 5,5 cm B) 1,2 cm D) 5 cm

A

B

C H

15 20

P Q

3 12

A

B

C D

R

O

P M

N

A B

C

R

A

B C

D

r

A B

C

D

F

A

B

T

P

A B

C D

P

Page 17: 003 - Geometria y Trigonometria

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

GUÍA 2 - CIENCIAS 50

27. Hallar BC, si AB = 3 y CD = 4.

A) 1,5 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) 4

28. Hallar PC, si AP = 16, PB = 4 y PD = 32.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

29. Hallar AB, si: BC = 1 , CD = 2 y DE = 13 .

A) 3,5

B) 4,5

C) 6 D) 2,5

E) 6,5

30. Del gráfico, señalar lo correcto:

A) x2 = ab

B) x2 = 2ab

C) bax

D) x2 = a

2 – b

2

E) 2x = a + b 31. La figura muestra dos semicircunferencias. Indicar lo correcto:

A) a = 2c B) b = c C) a = b + c

D) a2 = b . c

E) c = 3b 32. En la figura, O es centro de la circunferencia. BF = 3 y OF = 9.

Hallar EF.

A) 3 B) 3,6 C) 4,2 D) 3,2 E) 4,6

33. En un triángulo equilátero ABC, cuyo lado mide 8 cm, se traza una perpendicular desde uno de los vértices, hasta el lado opuesto; del pie de esta perpendicular se traza otra perpendicular hacia uno de los otros lados. ¿Cuánto medirá esta perpendicular?

A) 3 cm B) 4 3 cm C) 3 3 cm

D) 4 cm E) 2 3 cm

34. Una hoja de papel de forma cuadrada, de 20 cm de lado, se

dobla juntando 2 esquinas opuestas. ¿Cuánto mide el doblez?

A) 10 2 cm B) 10 cm C) 25 cm

D) 40 cm E) 20 2 cm

35. Los lados de un rectángulo miden 15 y 20 cm respectivamente.

¿Cuál es la distancia de uno de los vértices a una de las diagonales? A) 18 cm B) 9 cm C) 12 cm D) 10 cm E) 13 cm

36. En un cuadrado ABCD cuyo lado mide 2 5 cm, hallar la

distancia que hay desde el vértice A hasta DM , siendo M el

punto medio de AB .

A) 2

5cm B)

2

5cm C)

5

5cm

D) 2 cm E) 1 cm

37. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) los catetos AB y

BC miden 15 y 20 cm respectivamente; se traza la altura BH

Hallar la distancia que hay desde H hasta BC .

A) 10,2 cm B) 9,6 cm C) 12 cm D) 9 cm E) 8,5 cm

38. En el triángulo rectángulo MNS (recto en N), MN = 24 y NS =

36 MT es la mediana trazada del vértice M al lado SN . Hallar

la distancia de N a MT .

A) 14,4 B) 14,6 C) 14 D) 15,6 E) 13,9

39. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, la mediatriz relativa

a la hipotenusa interseca a BC en M. Si AC = 12 y BC = 10 ,

encontrar el valor de BM.MC. A) 18,16 B) 16,18 C) 20,16 D) 16,20 E) 20,20

40. Se da un rectángulo ABCD, en el cual AD = 2. CD. Por B se

traza BE , perpendicular a AC . Si E está en AD y ED = 9 m,

entonces AD mide:

A) 12 m B) 9 m C) 6 m

D) 9 2 m E) 12 2 m

A

B

C

D

P

x

a b

E

F

G

a b

c

A

B

C

D

E

F

A B C

D E

P

Q

B

D

A C O

F

E

Page 18: 003 - Geometria y Trigonometria

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

51

GUÍA 2 - CIENCIAS

ÁREA es la medida de la extensión de una superficie, expresado en unidades cuadráticas por tanto el número que represente el área de una región siempre debe ser positivo. Para abreviar se hará referencia al área de un triángulo, área de un polígono, etc. entendiendo que se trata del área de la región correspondiente. FIGURAS EQUIVALENTES: son las que tienen la misma área. FÓRMULAS PRINCIPALES DE ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES

h

b

a

b

S

b

hS

S

a

b

1. 2.

3. 4.

S

a

aaS

p = a+b+c

2

c

ba

r

c

ba

p = a+b+c

2

SR

c

a b

4. 5.

6. 7.

RELACIÓN ENTRE ÁREAS DE TRIÁNGULOS

h

mb

nh

bb

n

S1 b .h

S2 m.n=

S1 h

S2 n=

S2S1 S2S1

m aan

S1 m

S2 n=

S1 = S2

1.

3. 4.

2.

h

mb

nh

bb

n

S1 b .h

S2 m.n=

S1 h

S2 n=

S2S1 S2S1

m aan

S1 m

S2 n=

S1 = S2

1.

3. 4.

2.

x

xxxxxxxxx

x

x x

xx

x

x

x = S/4 x = S/6

a'h'

c'

b'h

c

ab

SS'

5.

7.

6.

S a b c h

S' a' b' c' h' 2222

2222

=====

ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES

a

a

aa S

b

a S

S = a2

S = a.b

a

1. Cuadrado 2. Rectángulo

D

d

h

b

S

S

S = b.h S = D.d

2

3. Romboide 4. Rombo

Page 19: 003 - Geometria y Trigonometria

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

GUÍA 2 - CIENCIAS 52

b

B

hS

SX

Y

5. Trapezoide 6. Trapecio

PROPIEDADES DE TRAPECIOS

X Y

S1

S2

X = Y X = S1.S2

1.

S1 S2X

S1 = S2x = S/2

3.2.

PROPIEDADES DE TRAPEZOIDES

X

S1

S2

x y

x = S/2x.y = S1.S2

1. 2.

PROPIEDADES DE ROMBOIDES

z

w

x

y

wz

yx

x = y = z = w

ÁREA DE REGIONES CIRCULARES CÍRCULO: Es la región limitada SECTOR CIRCULAR por una circunferencia

rS

r

S

SEGMENTO CIRCULAR CORONA CIRCULAR

r

S

R

r

PROBLEMAS APLICATIVOS 1. En el cuadrante AOB mostrado, OB = 8u, BC = 10u, CDFA es

un cuadrado, calcule el área de la región triángulo CBF.

2. La base de un triángulo isósceles mide 10 m y la altura relativa uno a sus lados iguales mide 8 m. Hallar su área.

3. Una circunferencia de 2 cm de radio está inscrita en un

triángulo rectángulo de 10 cm de hipotenusa. El área de dicho triángulo es:

4. En la siguiente figura hallar el área de la región sombreada, si

ABCD es un cuadrado de área S. 5. Según el gráfico, calcule el área de la región sombreada, siendo

CDEF un rectángulo y (AB) (CD) = 18u2.

A

B C

D

A

B

C

D E

F

A

B

C

D F

O

Page 20: 003 - Geometria y Trigonometria

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

53

GUÍA 2 - CIENCIAS

A

B

C

L P

N

37°

A B

C

O M

3

6. En un triángulo rectángulo que tiene un ángulo de 15°, se inscribe un cuadrado de área “A” que descansa sobre la hipotenusa. Hallar el área del triángulo rectángulo.

7. En el gráfico, calcule el área de la región sombreada, si el área

de la región triangular LBP es 30u2. L y N son puntos de

tangencia.

8. Hallar el área de la región ABC, si OM = 4 u.

9. Hallar el área de la región sombreada, si (AC) (CD) = 4 3 cm2

y mAPB = 140°. “C” es punto de tangencial.

10. Si en un triángulo ABC, las alturas miden 12 cm, 15 cm y 20

cm, entonces su área en cm2 es:

TAREA DOMICILIARIA 3

1. Hallar el área de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide

4 m y un ángulo mide 30°.

A) 3 m2 C) 7 m

2 E) 2 3 m

2

B) 5 m2 D) 8 m

2

2. En la figura adjunta, AP = PQ = QD. Hallar el área A de la

región sombreada.

A) 5,5 cm2

B) 4,5 cm2

C) 3,5 cm2

D) 2,5 cm2

E) 1,5 cm2

3. Calcular el área de un triángulo equilátero de semiperímetro 12 m.

A) 16 m2 C) 24 m

2 E) 16 3 m

2

B) 18 m2 D) 32 m

2

4. Calcular el área de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa

mide 13 y un cateto mide 12. A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50

5. Calcular el área de un triángulo equilátero de altura 3 .

A) 2 B) 3 C) 3 D) 4 E) 6

6. La mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo mide 12,5.

Calcular su área si uno de los catetos mide 24. A) 42 B) 72 C) 84 D) 96 E) N.A.

7. Si el área de un triángulo rectángulo es de S m2, el producto de

sus catetos será de:

A) S2 m

2 C) S/3 m

2 E) S m

2

B) S/2 m2 D) 2S m

2

8. Hallar el área de un triángulo rectángulo si sus ángulos agudos

está en relación de 1 a 5 y la altura relativa a la hipotenusa mide 2. A) 8 B) 8,5 C) 3 D) 2 E) 1

9. El perímetro de un triángulo isósceles es 36, si la base mide 16, calcular su área. A) 16 B) 32 C) 36 D) 48 E) N.A.

10. Hallar el área de un triángulo cuyo dos de sus lados miden 5 y

8 y el ángulo que forman mide 60°.

A) 10 3 C) 20 3 E) 20

B) 18 D) 15 3

11. Se tiene un triángulo equilátero de 8 m de lado. Si se unen los

puntos medios de sus lados se obtiene un triángulo cuya área es:

A) 8 3 m2 C) 2 3 m

2 E) N.A.

B) 4 3 m2 D) 6 3 m

2

12. Calcular el área de un triángulo equilátero, sabiendo que el

radio del círculo inscrito mide “R”.

A) 3 3 R2 C) 3R

2 E)

2R

3

B) 3 R2 D) R

2

13. El ángulo B de un triángulo obtusángulo ABC mide 135°. Si el

lado AB mide a, calcular el área de dicho triángulo.

A) a2

2 C) 3a2 E)

2a 2

3

B) 2a2 D)

2a 2

4

14. Hallar el área de un triángulo equilátero cuya altura mide 6.

A) 6 3 C) 12 3 E) N.A.

B) 8 3 D) 16 3

15. La base de un triángulo isósceles mide 8 m, si la distancia del

baricentro a uno de los extremos de la base es 5 m, calcular su área.

A) 18 m2 C) 36 m

2 E) N.A:

B) 24 m2 D) 48 m

2

A

B

C

P

D 10°

A

B C

D Q P

A

4 cm

9 cm

1 cm

Page 21: 003 - Geometria y Trigonometria

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

GUÍA 2 - CIENCIAS 54

T

A D

B C

16. Las longitudes de los lados de un triángulo son 8, 10 y 12. Hallar el inradio y el circunradio.

A) 7

2; 16

7 C) 7 ; 16 7

7 E) 6 ; 9 16

2

B) 5

2; 16

5 D) 5 ; 16 5

5

17. Según el gráfico, calcular 2

1

S

S, si ABCD es un romboide.

A) 1/4 B) 1/2 C) 1 D) 1/8 E) 2 18. Uniendo los puntos medios de los lados del triángulo rectángulo

ABC se obtiene un triángulo cuyo cateto e hipotenusa miden 3 m y 5 m respectivamente. El área del triángulo ABC es:

A) 32 m2 C) 24 m

2 E) 36 m

2

B) 30 m2 D) 48 m

2

19. En un triángulo ABC, AC = 2 y BC = 4. Si la altura relativa a

AC mide 3, calcular la medida de la altura relativa a BC .

A) 1,5 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) 4,5

20. Hallar el área del triángulo ABC, si A es punto de tangencia.

(R = 4 m)

A) 8 m2

B) 12 m2

C) 16 m2

D) 24 m2

E) 32 m2

21. En la figura: ABC es un triángulo rectángulo y AP=AF. Hallar el

área del triángulo ABC.

A) 4 3 m2 C) 3 3 m

2 E) 4m

2

B) 12 3 m2 D) 6 3 m

2

22. Hallar el área de un triángulo ABC, cuyos vértices están dados

por las siguientes coordenadas: A = (0,1), B = (2,4), C = (4,0).

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

23. En la figura, ABC es un triángulo equilátero de lado “L”, BP=L/4

y AP= 13 . Hallar el área del triángulo equilátero ABC.

A) 4 B) 16

C) 4 13

D) 4 3

E) 8 24. Se tiene un triángulo isósceles ABC, en el que: AC=BC=25,

AB=40. Se traza AB//DE ( D en AC y E en BC ), de modo

que el área del triángulo EDC, sea igual al área del trapecio

ABED. Se pide hallar la distancia de C a DE .

A) 7.5 C) 7.5 3 E) N.A.

B) 7.5 2 D) 15

25. El área de un triángulo ABC es igual a 24 m2, el lado BC mide

12 m y la mediana AM mide 5 m. Hallar el menor de los otros

dos lados del triángulo. A) 10m B) 6m C) 8m D) 3m E) 5m

26. En un triángulo rectángulo cuyo perímetro es 40 m la diferencia de los catetos es 7 m. Luego la superficie de dicho triángulo en

m2, es:

A) 65 B) 120 C) 60 D) 1275 E) N.A.

27. Si en un triángulo isósceles ABC, la base AB = 15 m y la altura AM = 12 m, el área será:

A) 70 m2 C) 75 m

2 E) N.A.

B) 140 m2 D) 155 m

2

28. En un trapezoide ABCD sobre AD se toma un punto P de

manera que los triángulos ABP y PCD son equiláteros. Calcular el área del cuadrilátero si AB = 4 y CD = 6.

A) 18 3 B) 15 C) 16 D) 24 E) 19 3

29. La diagonal BD de un cuadrado ABCD se prolonga hasta un

punto E de manera que DE = 4 2 . Calcular el área del

cuadrilátero AECD, si el lado del cuadrado mide 10. A) 20 B) 80 C) 40 D) 60 E) 50

30. En el gráfico, ABCD es un cuadrado y T es punto de tangencia.

Si AB = 5 . Calcular el área de la región sombreada.

A) 52

B) 62

C) 7,52

D) 82

E) 92

RELACION DE AREAS

1. En un triángulo ABC se traza la ceviana BD de modo que 3AC

= 4DC. Calcular el área del triángulo BDC si el área de ABC es

48 m2.

A) 12 m2 C) 36 m

2 E) N.A.

B) 24 m2 D) 42 m

2

A

B C P H

B

A

C PP

6

F

18°

12°

A

B C

D

S1

S2

A

B

C

R

O

Page 22: 003 - Geometria y Trigonometria

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

55

GUÍA 2 - CIENCIAS

2. Hallar el área del ABC.

A) 36 m2

B) 32 m2

C) 40 m2

D) 38 m2

E) N.A. 3. En un triángulo ABC, AB=8 y BC=10. Se toma “M” punto

medio de AC ; la distancia de “M” a AB es igual a 5. Calcular

la distancia de “M” a BC .

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A.

4. En un triángulo ABC se traza la ceviana BD tal que DC = 2AD.

Hallar el área del triángulo ABC si el área de ABD es 8 m2.

A) 18 m2 C) 24 m

2 E) 30 m

2

B) 16 m2 D) 26 m

2

5. M y N son los puntos medios de los lados AB y BC de un

triángulo ABC, si A ABC = 28 cm2, hallar el A MBN.

A) 9 cm2 C) 7 cm

2 E) 14 cm

2

B) 6 cm2 D) 12 cm

2

6. En un triángulo ABC, AB = 3m, BC = 4m se traza la bisectriz

interior BF (F en AC ). Calcular el área de la región triangular

BFC si el área de la región triangular ABC es 84 m2.

A) 18 m2 C) 36 m

2 E) N.A.

B) 24 m2 D) 48 m

2

7. La base de un triángulo mide 4 m. ¿Cuál es en metros la

longitud de una paralela a la base que divide a dicho triángulo en dos partes equivalentes?

A) 2 m C) 3 m E) 2( 2 – 1)m

B) 2 2 m D) 2 m

8. La base de un triángulo isósceles mide 18, se trazan dos

paralelas a la base que dividen al triángulo en tres regiones equivalentes. Calcular la longitud de la paralela más cercana a la base.

A) 3 2 C) 6 6 E) N.A.

B) 6 2 D) 8 6

9. En la figura mostrada A ABC = 64 2. Hallar: A PFE:

A) 4 2 C) 16

2 E) N.A.

B) 8 2 D) 24

2

10. El área de un ABD es 84 2 y AB : BC = 5 : 7. Se traza la

bisectriz interior BD . Calcular: área ABD.

A) 30 2 C) 35

2 E) 39

2

B) 32 2 D) 36

2

11. En un ABC, recto en B, BH es altura. Calcular: A AHB /

A BHC, si AB:BC = 2 : 3.

A) 2/3 C) 4/5 E) 16/81 B) 3/2 D) 4/9

12. En un PQR, A PQ y B QR , tal que PR//AB .

Si PR = 8, calcular AB, siendo las regiones AQB y PABR equivalentes.

A) 2 2 C) 2 E) 4 2

B) 4 D) 3 2

13. ¿Qué porcentaje del área NO sombreada representa el área sombreada?

A) 24% C) 58% E) N.A. B) 36% D) 68%

14. En La figura mostrada se tienen dos regiones equivalentes. Hallar EF/AC.

A) 1/2

B) 2 / 3

C) 1/4

D) 2 / 2

E) N.A.

15. En un triángulo ABC se traza AC//PQ de tal manera que

PBQ 2

ABC 5. Calcular PQ si AC = 20.

A) 5 2 C) 4 10 E) N.A.

B) 10 2 D) 5 10

16. En un triángulo se traza la altura al lado BC , si la altura mide

12 cm. ¿A qué distancia del vértice A se debe trazar una

paralela a BC para que se determine dos regiones

equivalentes?

A) 3 2 C) 6 E) N.A.

B) 6 2 D) 8 2

17. En un triángulo ABC de 54 cm2 de área, se ubica el punto “F”

sobre AB de modo que: AB = 3BF y M es punto medio de BC.

Calcular el área de la región AFMC.

A) 18 cm2 C) 36 cm

2 E) N.A.

B) 27 cm2 D) 45 cm

2

A

B

C

E F

P

A

B

C

E

F

A

B

C

D

M

a

2a

6m2

5 7 9 10 11

Page 23: 003 - Geometria y Trigonometria

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

GUÍA 2 - CIENCIAS 56

18. Hallar el área de la región sombreada, si AE = EC y BF = 3FE y

A ABC = 40.

A) 3

B) 4 C) 5 D) 8 E) N.A.

19. Del gráfico AD = 2DB, 2EC = 2BE, FC = 3AF y A ABC = 60.

Hallar el área de la región sombreada.

A) 20 B) 30 C) 40 D) 80 E) N.A.

20. En una región triangular ABC de área 242, se ubican los

puntos medios “M” de AB , “N” de MC y L de AN tal que

BL interseca a MN en “F”. Hallar A LFN.

A) 2 2 C) 6

2 E) N.A.

B) 3 2 D) 9

2

21. El área de una región triangular ABC es 18 2, en las

prolongaciones de BA y BC se ubican los puntos “E” y “F”

respectivamente tal que AE = 2AB y CF = 3BC. Hallar: A ACFE.

A) 72 2 C) 162

2 E) N.A.

B) 144 2 D) 198

2

22. Del gráfico 3BD = 2AD, 5AE = 4EC y A ABC = 99. Hallar: A ELC.

A) 25

B) 33 C) 42 D) 45 E) N.A.

23. ¿En qué relación están S1 y S2?

A) 1/10

B) 1/15 C) 1/12 D) 1/9 E) N.A.

24. En la figura mostrada, hallar la relación de las áreas de las

regiones ABP y PMCQ si: 3

2

QC

AQ;

2

3

MC

BM

A) 15

13

B) 1

C) 14

13

D) 13

14

E) N.A.

25. Hallar: “S2 / S1”

A) 4/3

B) 4/5 C) 3/5 D) 2/3 E) N.A.

26. En un triángulo ABC, de área 26m2 AB = 8m y BC=10m. La

mediana AM y la bisectriz interior BD se cortan en O. Hallar

el área del triángulo BOM.

A) 15 m2 C) 10 m

2 E) N.A.

B) 12 m2 D) 5 m

2

27. ABC es un triángulo de 75 m2 de área y cuyo baricentro es G,

se prolonga la mediana AD un segmento DE tal que

DE = 3

AD; calcular el área del triángulo BEG.

A) 25 m2 C) 15 m

2 E) 30 m

2

B) 2

75 m

2 D) 50 m

2

28. ABC es un triángulo con área 24 m2 en el cual AB = 8 m,

AC = 9 m, M es punto del lado BC tal que BC = 3BM. Hallar la

distancia del punto “M” al lado AB .

A) 2 m2 C) 8 m

2 E) N.A.

B) 4 m2 D) 12 m

2

29. Hallar el área de la región sombreada si el área del triángulo

ABC es 80 m2.

A) 20 m2

B) 28 m2

C) 30 m2

D) 42m2

E) N.A.

30. En la figura mostrada, calcular la relación entre el área de la

región sombreada y el área de la región no sombreada. Además

BM=MC; BP=4

AP y AQ=QR=RC.

A) 13/14 B) 15/13 C) 12/17 D) 13/17 E) N.A.

S1

S2

2b

b 2a

3a

c 4c A

B

C E

F P

A

B

C F

E

D

A

B

C E

L D

a

5a

S1

S2

A

B

C Q

P M

B

A C 4 3 2 1

3

4

5

A

B

P

M

Q R C

Page 24: 003 - Geometria y Trigonometria

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

57

GUÍA 2 - CIENCIAS

A B

C D

2a

A B

C D

5 7

20°

REGIONES CIRCULARES 1. Hallar el área del círculo inscrito en un cuadrado de área 36

cm2.

A) 3 cm2 C) 9 cm

2 E) N.A.

B) 6 cm2 D) 16 cm

2

2. Hallar la razón entre el área del círculo inscrito y circunscrito a

un mismo cuadrado. A) 1/2 B) 1/4 C) 2/3 D) 1/8 E) N.A.

3. Halla el área del sector circular de radio 10 m y ángulo central

18°.

A) 5 m2 C) 10 m

2 E) 12,5 m

2

B) 7,5 m2 D) 2,5 m

2

4. Halla el área del círculo inscrito en un triángulo equilátero cuyo

perímetro mide 36 3 cm.

A) 36 cm2 C) 72 cm

2 E) 12 cm

2

B) 18 cm2 D) 9 cm

2

5. El área de una corona circular es 96 cm2. Si la suma de los

radios es 16 cm, ¿cuál es la diferencia de los mismos? A) 8 cm C) 7 cm E) 4 cm B) 9 cm D) 6 cm

6. Si la longitud de una circunferencia es 54 m, halla el área del círculo.

A) 625 m2 C) 784 m

2 E) 900 m

2

B) 676 m2 D) 729 m

2

7. Halla la longitud de una circunferencia, si se sabe que el área

de su círculo es 81 cm2.

A) 18 cm C) 9 cm E) 15 cm

B) 27 cm D) 12 cm

8. Hallar el área de un sector circular cuyo arco tiene longitud 2

cm y ángulo central 36°.

A) 10 cm2 C) 12 cm

2 E) 8 cm

2

B) 5 cm2 D) 16 cm

2

9. Hallar el área de un sector circular de radio 10 cm y ángulo

288°.

A) 10 cm2 C) 18 cm

2 E) N.A.

B) 80 cm2 D) 72 cm

2

10. ¿Cuál debe ser el radio de un sector circular cuyo arco tiene por

longitud 8 m, si su área debe ser 4 m2?

A) 4 m C) 1 m E) Falta el valor B) 2 m D) 1/2 m del ángulo central

11. ¿Cuál es el área del círculo inscrito en un sector circular de 60°

y 15 m de radio?

A) 100 C) 25 E) N.A.

B) 56,25 D) 6,25

12. En una circunferencia de radio 12 cm, un sector circular

subtiende un arco de longitud 5

12 cm. Hallar el área del sector.

A) 18 cm2 C) 72/5 cm

2 E) N.A.

B) 36 cm2 D) 144 cm

2

13. Hallar la medida del ángulo central de un sector circular

equivalente a un cuadrado de lado r10

; siendo r el radio del

sector. A) 18° B) 36° C) 48° D) 54° E) N.A.

14. Halla el área de la región sombreada.

A) ( – 1) m2 C) (2 – 2) m

2 E) (2 – 4) m

2

B) ( – 2) m2 D) ( – 2) m

2

15. Hallar el área de la región sombreada.

A) 4 / 3

B) / 4

C) 3 / 2

D) 3 / 4 E) / 3

16. En la figura se muestra 2 circunferencias concéntricas. Hallar el

área de la corona circular en función de AB.

A) (AB)2 / 4

B) (AB)2 / 3

C) (AB)2 / 2

D) (AB)2

E) 2 (AB)2

17. En el cuadrado ABCD mostrado, hallar el área de la región sombreada.

A) a2 / 4

B) a2 / 2

C) 2 a2 / 3

D) a2 / 6

E) 3 a2 / 4

18. Calcular el área del círculo inscrito en un triángulo equilátero, el

cual a su vez está inscrito en una circunferencia de longitud igual a 4 m.

A) m2 C) 6 m

2 E) 4 m

2

B) 2 m2 D) 8 m

2

19. Tomando como diámetro los catetos de un triángulo rectángulo

se trazan 2 semicírculos, cuyas áreas son 55 y 32. Hallar el área del semicírculo cuyo diámetro es la hipotenusa del triángulo. A) 55 B) 87 C) 64 D) 110 E) 32

20. Dentro de un círculo V de radio r se construye otro M tangente interiormente con V y de diámetro r, entonces:

A) V – M = 3331 % de V

B) V – M = 50% de V C) V – M = 75% de V

D) V M = 4

3 de V

E) V M = 6632 de V

V

O

A B

O

Page 25: 003 - Geometria y Trigonometria

Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación

GUÍA 2 - CIENCIAS 58

A B

C D

A B C D

r

s

C

D A

B

R

21. Un hexágono regular tiene 24 3 cm2 de área. Desde sus

vértices como centro se describen hacia adentro, arcos de circunferencias que terminan en el punto medio de los lados adyacentes. Se pide hallar el área interior al hexágono y exterior a los arcos de circunferencia descritos.

A) 8 (3 3 - 3 ) cm2 D) 8 (3 3 - ) cm

2

B) 8 ( 3 - 3 ) cm2 E) N.A.

C) 8 ( 3 - ) cm2

22. En la figura, el diámetro del círculo mayor es 8. Si M, N, P y Q

son puntos medios de los respectivos radios, hallar el área de la región sombreada.

A)

B) 2

C) 3 D) 4

E) 6

23. En la siguiente figura, el área del cuadrado es 20 cm2. Calcular

el área de la región sombreada, si los arcos trazados tienen por

centro A y por radios ACyAB .

A) 9 cm2

B) 8 cm2

C) 15 cm2

D) 12 cm2

E) 10 cm2

24. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 4, AD es una

semicircunferencia y AC es un cuarto de circunferencia. Hallar el área de la región sombreada.

A) F.D. B) 2 C) 6 D) 8 E) 4

25. En el rombo mostrado m B = 120° y CD = 4. Hallar el área de

la región sombreada.

A) 34 ( – 3 ) D) 3 (4 3 – )

B) 34 (3 3 – ) E) N.A.

C) 4 (3 3 – /3)

26. Calcular el área de la región sombreada.

ABCD es un cuadrado de lado R.

A) 6

R2

( 3 + ) D) 3

R2

(3 3 + 2 )

B) 12

R2

(3 3 + 2 ) E) N.A.

C) 12

R2

( 3 + 2 )

27. El apotema de un hexágono regular mide 6 3 . Hallar el área

del círculo circunscrito al hexágono. A) 120 C) 208 E) N.A.

B) 36 D) 144

28. Las circunferencias de diámetros BCyAD son concéntricas.

Hallar el área sombreada.

A) 4

(r + s)2 D)

4(r

2 – s

2)

B) 4

(r – s)2 E)

2(r + s)

2

C) 4

(r2 + s

2)

29. Se tiene 2 circunferencias tangentes exteriores e iguales de

radio 2 y centros O y O1. Desde O se trazan 2 tangentes a la

circunferencia de centro O1. Hallar el área de la región

comprendida entre las 2 tangentes y las 2 circunferencias.

A) 34 ( – 3 ) D) 2 3 –

B) 32 ( – 3 ) E) 4 3 – 2

C) 4 3 –

30. El área de un círculo se duplica cuando su radio se aumenta en

n, entonces r es igual a:

A) n ( 2 + 1) C) n E) 12

n

B) n ( 2 - 1) D) n (2 - 2 )

A

B

C

D

A

B

C Q

M

N

P