Ecuaciones No Lineales

Donde

Problema Mínimos Cuadrados Problema de Optimización Sistema No Lineal

0)x(f 0)x(f 0)x(f

0)x(f mn RR:f

nm nm nm

Ejemplos

0)xsin(4x)x(f 2 025.0xx)x(f

025.0xx)x(f2212

2211

Existencia y Unicidad:

criterios locales útiles para analizar existencia

• Teorema del valor medio• Teorema de la función inversa• Teoría del punto fijo y mapeo

contractivo• Grado topológico

Existencia y Unicidad: criterios

• Teorema del valor medio: para problemas uni-dimensionales.

“Si f es continua en un intervalo cerrado [a b] y f(a) c f(b), existirá un x* en [a b] tal que f(x*)=c, entonces si signf(a) es opuesto a f(b) y c=0, x* será una raíz en [a b]”.

Condición equivalente: (x-z)f(x)0 para x=a,b y a<z<b dadas: f(a) 0 y f(b) 0

Existencia y Unicidad: criterios

• Teorema del valor medio: para problemas n-dimensionales.

Sensolucióntiene0)x(fentonces

Sdebordeslosenxy

Sztodopara0)x(f)zx(

RSencontinuaRR:fparaT

nnn

Existencia y Unicidad: criterios

• Teorema de la función inversa

*)(

)(

*

:

xfdecerca

ysolucióntieneyxfy

invertibleesfentonces

xensingularnoesJSi

blediferenciaycontinuaRRfpara

f

nn

Existencia y Unicidad: criterios• Teoría del punto fijo y del mapeo

contractivo

Sz,x

zx)z(g)x(g

/10si

RSenacontractivesRR:gUna nnn

x)x(g

/xpuntocualquieresgdefijopuntoUn

fderaizunaaecorrespondgdefijopuntoel

)x(gx)x(fquetalesgSi

Senfijopuntounicountienegentonces

S)S(gySenacontractivesgSi

Raíces Múltiples

Si es singular raíces múltiples*)x(J f

localunicidadsingularnoes*)x(JSi f

 

0~*)x(fy

0*)x(f.......*)x(''f*)x('f*)x(fm

1m

Si dada una función f:

entonces se dice que x* es una raíz de multiplicidad m 

 

Raíces Múltiples

33

Sensibilidad y Condicionamiento

*)x('f

1NCa

*)x('f

1NCa

*)x('f

1NCa

*)x(JNC 1fdimn,a

múltiplesraícespara,NC

gularsinJpara,NC

Sensibilidad y Condicionamiento

*)x('f

1NCa

*)x('f

1NCa

Problema bien condicionado

Problema mal condicionado

Velocidad de Convergencia

C*xx

*xxLim

e

eLim

rk

1k

krk

1k

k

cúbica3r

cuadrática2r

erlinealsup1r

lineal1Cy1r

cuadrática,....,10,10,10,10

erlinealsup,....,10,10,10,10

)10C(lineal,....,10,10,10,10

)10C(lineal,....,10,10,10,10

16842

8532

28642

15432

Criterios de Stop

k

k1k

x

xx

)x(f k )x(f k

)x(f k

Cambio relativo en iteraciones sucesivas

Residual en la iteración k

Métodos para el problema unidimensional

• Bisección • Punto Fijo• Newton• Secante• Interpolación inversa• Interpolación fraccional lineal• Híbridos

Métodos para el problema unidimensional

• Bisección

end

end

mb

else

ma

then))m(f(sign))a(f(signif

2/)ab(am

)tol)ab((while

tol

ablogn 2it

Métodos para el problema unidimensional• Punto Fijo

)x(gx

0)x(gx)x(f

)x(gx k1k

Convergencia: lineal

Criterio de convergencia:

Prueba: utilizando el teorema del valor medio

1*)x('g

*)xx)(('g*)x(g)x(g*xxe kkk1k1k

kk1k e)('ge *)x,x(enodesconocidvalorunSiendo kk

0k

k1k eC......eCe

Métodos para el problema unidimensional• Newton

h)x('f)x(f)hx(f

)x('f

)x(fxx

k

xk1k

)x('f

)x(fx)x(g

k

xkk

0*))x('f(

*)x(''f*)x(f

*))x('f(

*)x(''f*)x(f*))x('f(1*)x('g

22

2

...e*)x(''g2

1e*)x('g*)x(g)x(ge 2

kkk1k

Por Taylor

Ecuación de iteración

Velocidad de convergencia

Métodos para el problema unidimensional• Secante

)xx(

)x(f)x(f)x('f

1kk

1kkk

618.1r:iaconvergencdevelocidad

)x('f

)x(fxx

k

xk1k

Métodos para el problema unidimensional• Interpolación

inversa

c

a

a

b

c

b

f

fw;

f

fv;

f

fu

)1v)(1u)(1w(q

)ab)(u1()bc)(wu(w(vp

q

pb'b

a'c

b'a

Métodos para el problema unidimensional• Interpolación fraccional lineal

wvx

ux)x(

c

b

a

w

v

u

fcf1

fbf1

faf1

cc

bb

aa

bacabc

cca

f)ff)(cb(f)ff)(ca(

f)ff)(cb)(ca(h

Métodos para el problema n-dimensional

• Punto Fijo• Newton• Actualización de la secante• Newton amortiguado• Métodos de la región de

confianza

Métodos para el problema n-dimensional• Punto Fijo

nn RR:g

)x(gx )x(gx k1k

1*))x(J( g A)A(

Métodos para el problema n-dimensional

• Newton0s)x(J)x(f)sx(f

)x(fs)x(J

fJsJJ 11

fJx)x(g 1k1kk xxs

)n(O)x(fs)x(J 3 funcevalnJ 2

Métodos para el problema n-dimensional• Broyden

)x(fs)x(B

k1kk xxs )x(fsB kkk

kTk

Tkkkk1k

k1kss

s)sB)x(f)x(f(BB

Métodos para el problema n-dimensional

• Newton amortiguado (Convergencia Global, Robustez)

kkk1k sxx

2kkk sxf Monitorear o minimizar con

respecto a

No es a prueba de fallas (no existe o converge a un mínimo local, donde f no es cero)

Software para ecuaciones no lineales

Fuente Unidimensional Multidimensional

BrentFMMHSLIMSLDennis&SchnabelKMNMATLABMINPACKNAGNAPACKNRNUMALSLATECTOMS

zerozeroinnb01/nb02zbren

fzerofzero

c05adfrootzbrentzeroinfzerozero1

ns11neqbf neqnjnedriversnsqefsolvehybrd1 hybrj1c05nbf c05pbfquasibroydn newtquanewbndsnsq/sosbrentmtensolve

Software para raíces de polinomios

Fuente Raíces reales Raíces complejas

HSLIMSLMATLABNAGNAPACKNRNUMERALGOSLATECTOMS

pa17zporc/zplrcrootsc02agf

zrhqr

rpzero/rpqr79rpoly

pa16zpoccrootsc02affczeroshortspolzeros(na10)cpzero/cpqr79cpoly

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA EN EL APORTE A LA EDUCACION ING. EN

SISTEMAS

• INTEGRANTES:

– SILVIA MICHAY– JESSICA IMAICELA– DORIS JIMENEZ– JUAN PABLO SANCHEZ