g.- Teoria-sistema de Ecuaciones Lineales[1]

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Se llama sistema de ecuaciones lineales, a una relación de varias variables, en

la cual cada variable es lineal.

El ejemplo más simple es el de un sistema de dos variables y dos relaciones

En la cual su solución, está basada en sumar ambas relaciones:

+ 5x = 10

De donde x = 2, luego se reemplaza este valor en cualquier relación y se obtiene

el valor de y:

Por ejemplo reemplazando en :

3(2) – y = 2 luego: 6 – y = 2, finalmente y = 4.

Para un sistema de tres variables y tres relaciones, se enseño a reducir el sistema

a uno de 2 variables y 2 relaciones. Ejemplo:

{

Su solución se basa en reducir el sistema a otro de 2.

Por ejemplo si ( 5 x – z = 8 …..(

Y si sumamos ( 7x + 5z = 16 …..(

En ambos casos se buscó eliminar la misma variable (y), para reducir el sistema a

otro de 2 variables, en la cual para su solución se procede igual al primer ejemplo.

Si bien es cierto es la forma como se enseña a resolver un sistema lineal, pero

faltó especificar que todo sistema tiene la posibilidad de tener solución o no

tenerla.

En general se enseña con la certeza de que todos los sistemas tienen solución, y

si se tiene un sistema de 8 ó 12 variables; el método se vuelve muy laborioso y

siempre con la certeza de que encontrará una única solución, lo cual no es cierto.

Lo primero que debemos aprender es a reconocer cuando un sistema tiene de

todas maneras solución y cuando no se sabe si existe solución.

Todo sistema de ecuaciones lineales puede escribirse en forma matricial:

{

Este sistema en su forma matricial A .B = C

[

] [ ] [

]

Para nuestro ejemplo A = Matriz de coeficientes

B = Matriz de variables

C = Matriz de escalares

Existen dos tipos de sistemas en general:

Sistema Homogéneo {

; la matriz de escalares es nula.

Sistema no Homogéneo {

, la matriz de escalares es no nula.

El sistema puede tener infinitas variables y también infinitas relaciones, la única

diferencia entre ambos sistemas es la matriz de escalares la cual es nula o no

nula.

¿Por qué esta importancia?

Por la razón de que si observa un sistema Homogéneo, de todas maneras tiene

solución, pero si el sistema es no homogéneo entonces no se puede asegurar si

tiene o no tiene solución.

Ejemplo: resolver el sistema, si es que tiene solución.

Solución:

Con solo observar el sistema y verificar que la matriz de escalares es no nula, ya

no podemos asegurar que exista o no exista solución.

Para determinar la existencia o no de una solución debemos hallar el rango del

sistema.

RANGO DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Cuando tenemos una matriz, se le denomina rango de esta matriz al orden de la

menor matriz cuadrada cuyo determinante es diferente de cero.(muy complejo)

Una forma muy sencilla de hallar el rango es escalonando la matriz y contando

cuantas filas no nulas tiene.

Ejemplo:

[

]

Escalonamos la matriz:

:

[

] [

] [

]

Si observa las filas ninguna es nula por eso se dice tiene 3 filas no nulas “este es

el rango de la matriz” Rango = 3

Ejemplo:

[

]

Escalonamos la matriz:

:

[

] [

] [

]

Si observa las filas una es nula por eso se dice tiene 2 filas no nulas “este es el

rango de la matriz” Rango = 2

Volviendo al problema inicial para determinar el rango del sistema debe hallarse el

rango de dos matrices.

1.- Se escribe de manera matricial el sistema:

[

] [ ] [

]

2.- Solo tomamos en cuenta las matrices de coeficientes y de variables

[

] [ ]

3.- Reescribimos el sistema:

|

|

⏞ ⏟

Matriz ampliada

Observe que hay 2 matrices, la idea es escalonar y al final determinar por

separado el rango de cada matriz.

|

| |

| |

| |

|

Es importante saber escalonar la matriz, debe practicar para tener la destreza de

hacer este paso muy rápido.

4.- Escalonado el sistema, observe las matrices por separado:

Matriz

|

|

⏞ ⏟

Matriz ampliada

La matriz tiene 3 filas no nulas Rango de A = 3

La matriz ampliada tiene 3 filas no nulas Rango de

Matriz

Al ser el mismo rango para ambas matrices el Rango del Sistema es 3.

5.- Al determinar el rango del sistema se asegura que este sistema tiene solución.

¿Qué hubiera sucedido si el rango de ambas matrices era diferente?

Simplemente el sistema no tiene solución y termino el ejercicio.

Ejemplo Resolver:

1.- Se escribe de manera matricial el sistema:

[

] [ ] [ ]


[

] [ ]


|

|

⏞ ⏟

Matriz ampliada

|

| |

|

Con la segunda operación la matriz ya está escalonada.

4.- Observando las matrices por separado:

|

|

⏞ ⏟

Matriz

En adelante podemos ir directamente al segundo paso



Al ser diferente el rango para ambas matrices el Sistema no tiene solución.

Ahora debemos determinar si la solución es única o existe infinitas soluciones,

esto se determina comparando el rango del sistema con el número de variables

del sistema.

Supongamos que un sistema tiene rango 5 y tiene 4 variables que resolver; al ser

diferentes estos números se dice que el sistema tiene infinitas soluciones.

Esto implica hacer una operación llamada canonizar el sistema, para poder

determinar los parámetros libres.

Si por el contrario el rango del sistema es igual al número de variables entonces el

sistema tiene solución única.

Ejemplo Resolver:


[

] [ ]


|

|

⏞ ⏟

Matriz ampliada

|

| |

| |

| |

|

Con la cuarta operación la matriz ya está escalonada.

Matriz

En adelante podemos ir directamente al segundo paso

4.- Observando las matrices por separado:



Luego el sistema tiene solución.

5.- El número de variables del sistema es 3. “x, y, z”

Como el rango es igual al número de variables el sistema tiene solución única.

6.- Así como empezó quitando las variables, ahora las vuelve a colocar en la

matriz escalonada y halla el valor de las variables:

|

|

regresando al sistema {

De donde en (3)

Remplazando este valor en (2): .

Finalmente reemplazando estos valores en (1) .

REGLA DE CRAMER:

Esta regla busca solucionar el mismo problema pero

transformando el sistema de relaciones entre variables a otro de forma matricial

en la cual debe hallar el determinante.

Este sistema en su forma matricial:

|

| | | |

|

1.- Se halla el determinante de la matriz de coeficientes |

|

2.- Se reemplaza la matriz de escalares por la primera columna y se halla el

determinante.

|

|= 3(3 - 2) + 0( – 6+1) +5(4-1)= 3+ 0+ 15 = 18 Corresponde a “x”

3.- Se reemplaza la matriz de escalares por la segunda columna y se halla el

determinante.

|

| = -3(3 + 2) +0(3 – 1)-5(-2-1) = -15 + 0+ 15= 0 Corresponde a “y”

4.- Se reemplaza la matriz de escalares por la tercera columna y se halla el

determinante.

|

| = 3(-1 – 1)+0(-1+2)+ 5(1 +2) = -6+15= 9 Corresponde a “z”

5.- La solución se encuentra dividiendo cada determinante entre el determinante

de la matriz.

X =

= ; Y =

= ; Z =

=

El método es bueno comparado con el método convencional de eliminar

variables, pero; no es un método general, tiene requisitos:

El número de variables debe ser igual al número de relaciones.

El determinante de la matriz debe ser diferente de cero, lo que se denomina no

Singular.

Si uno falla ya no es posible resolver el sistema usando este método.

En general para todo sistema de ecuaciones lineales, que tengan igual número de

variables y relaciones, o no lo tengan; debe usarse un método general que

posibilite la solución del sistema.

Ejemplo:

Hallar la solución del sistema{

Solución:

Es un sistema homogéneo, por lo tanto no se sabe si existe solución.

1.- Llevando el sistema a una matriz

Matriz

[

]⏞

[ ]

⏟

Matriz ampliada

2.- Escalonado mediante operaciones elementales.

[

]⏞

[ ]

⏟

Se observa que el rango de la matriz es el mismo que el rango de la matriz

ampliada (rango = 2), por lo tanto existe solución.

3.- El número de variables es 3 y es diferente al rango = 2; por lo tanto existen

infinitas soluciones.

4.- Para resolver este sistema debe realizar una operación llamada Canonizar el

sistema.

Este paso se basa en hallar o determinar los parámetros libres; los mismos que

están determinados por la diferencia entre el número de variables y el rango del

sistema. ( 3 – 2 = 1)

Existe un parámetro libre, que es la diferencia indicada.

5.- Canonizar el sistema significa ir a la última fila no nula y con el primer número

hallado, se anula todos los elementos encima de él; siempre con operaciones

elementales:

[

]⏞

[ ]

⏟

|

|

|

5.- canonizado el sistema se regresa al sistema inicial:

Primer número no nulo

Última fila no nula

se observa en ambas relaciones la variable que se repite en este caso la variable

“z” se repite, por lo cual es tomado como parámetro libre; z= t.

6.- Reescribiendo el sistema; en función del parámetro:

Despejando las variables en función del parámetro:

Como se llamó parámetro a la variable

7.- La solución:

(x,y,z) = (-11/5, -36/15,0) + t (-11/5, -6/15, 1)

Que representa a todos los puntos de una recta de 3 dimensiones.

Ejemplo.

Resolver el sistema:

a.- {

1.-

|

|

|

|

|

Con las 4 operaciones fundamentales se ha escalonado la matriz y observando el

rango de la matriz = 2 y el rango de la matriz ampliada = 3, luego no existe

solución.

Ejemplo:

Resolver el sistema:

{

|

|

|

|

Con las 3 operaciones fundamentales se ha escalonado la matriz y observando el

rango de la matriz = 2 y el rango de la matriz ampliada = 2, luego existe solución.

Como hay 4 variables 4 – 2 = 2 parámetros libres.

2.- Canonizando el sistema:

{

| } Última fila no nula, donde 1 es el primer valor de fila

Luego todo elemento en su columna hacia arriba debe ser cero.

{

| } Canonizado el sistema se debe regresar al comienzo

3.- {

observe que la variable que se repite es “ ”, pero

Teóricamente, hay 2 parámetros libres.

El otro parámetro debe ser elegido como el segundo que más se repite, pero en

este caso las 3 variables tienen la misma opción.

Teóricamente debe elegirse la más alejada, en este caso .

Luego decimos:

Entonces: {

Sucede que no podemos resolver el sistema ya que hay 2 variables ; que no

podemos asignar un parámetro.

Debemos rechazar a como la variable elegida para segundo parámetro y elegir

a

Luego decimos:

Entonces: {

ahora si tiene lógica el sistema.

Despejando cada variable:

Ahora cada variable está en función de los parámetros libres.

Solución: ( , , , ) = (4,0,1,0) + n(-2,1,0,0) + m(1,0,2,1)

Ejemplo:

Resolver el sistema: a.- {

|

|

|

|

|

El sistema ha sido canonizado pero; tenga cuidado al considerar el cambio de

variable al cambiar las columnas. Rango = 3, Número de variables = 4.

Canonizando el sistema ya que existe un parámetro libre.

{

| } {

| }

Regresando al sistema y considerando el cambio de columnas:

La variable que más se repite es y, luego asumimos el parámetro libre Y = m

Despejando las variables.

Solución: (x, y, z, w) = m(3,1,2,1)

Ejemplo:

Resolver el sistema: a.- {

|

|

|

|

El rango del sistema es 2.

Como hay 3 variables 3 – 2 = 1 parámetro libre.

2.- Canonizando el sistema.

|

Última fila no nula, donde - 5 es el primer valor de fila

|

|

3.-{

observe que la variable que se repite es “z”

Elegimos al parámetro z = t, entonces: {

Solución: (x, y, z) = t(2/5,3/5,1)

En resumen:

SISTEMA DE ECUACIONES

HOMOGENEO NO HOMOGENEO

Siempre Existe Solución NO se sabe si Existe Solución

Rang A = Número de variables solución única. Rang A Número de variables solución infinita

Rang A = Rang Aa Existe solución.

Rang A = Número de variables solución única. Rang A Número de variables solución infinita

Rang A Rang Aa

No existe solución

La diferencia entre los sistemas de solución única y solución infinita, son los parámetros libres y se debe canonizar el sistema para poder determinar que

variables son los parámetros.

Sea el siguiente sistema:

Determine los valores de “a” y “b” para que el sistema:

Tenga solución y además es única.

Tenga solución y además infinita.

Tenga infinitas soluciones.

No tenga solución.

|

Escalonando el sistema:

|

|

|

|

|

|

Puede ser:

|

El rango del sistema es 2, pero tiene 3 variables.

|

El sistema no tiene rango.

|

El rango del sistema es 3 y tiene 3 variables

Solo debe observar este elemento

Por el análisis:

; El sistema tiene infinitas soluciones.

; El sistema depende de “b” {

El sistema tiene una única solución.

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